初中數(shù)學(xué)-改斜歸正真的好用

1、改斜歸正”真的好用第三步：畫岀所求直線的草圖，如圖1-3所示，這兩條所求直線與已知直線II平行， 且與直線II之間旳距離均為3 ;若能求出這兩條直線的解析式，最變所求b的值也就呼之欲出了 ！那么如何求其解析 式呢？這量本題的難點，也是關(guān)健點！第四步：這兩條直線都可以看成是已知直線II平移而來，但問題是，并非平移3個單 位的距離那么簡單，3僅僅是平行線之間的距離，這個距離昱一個斜距離,不是我 們爵要的距離，我們需要的是如圖4所示的距離d ,即目光聚焦在AB = AC = d ,這 個直距離若是能求出來，直接利用平移口決上加下減“即可輕松搞定解析式；S1-4第五步:如圖5所示，要求AB的長.可以依

2、托AB過點B作BF丄AE于點F ,構(gòu)造岀 一個肓趣的Rt-ARF ,宜邊BF及邊AR荊旦有很鎂的幾何童義，邕中BF = h裘示丙條平行 3sZ0J的距離，不妨稱N為斜”距海；而AB二d表示網(wǎng)條平行宜線沿y軸上下平移的距 離r個妨稱之為直”距離這個Rt-ABF不妨取名為距離三角形”;第六步：如圖1-5所示，注意到一對極其有趣的相似:Rt-ABF-Rt-AEO ,前者是 剛命名的”距離三角形；后吉是第一步中提及的確定的坐標三角形”，具三辺之比 為3:4:5 :從而Rt-ABF三邊之比也為3:4:5 .即BF:AF:AR二3:4:5 ,這三條邊長是一根繩 上的螞蚱”,已知斜距離BF=3 ,故目標直距

3、離AB=5 ;44從而直線b的解析式為y=|x-4,注意封題中所求的吉線解析式為y=yX-b,兩相比較知b=-4;友情提醒：最后求b的值，千萬不能掉以輕心，部分學(xué)生一不小心可能冒出b=4的錯 謀笞案.這也是本題的一個“梗，需要同爭們細心、小心，堅持到最后才是肚利！細 節(jié)決定成敗r細節(jié)決定命運！望同學(xué)們做一個注重細節(jié)的人 做一個堅持到館的人！墨后一步：再來一次同理求直線h的蟀析式，如園16所示，不再宴述，由相伙易求毗時“直“距W AC=5 ,故直線b的解析式為y=ix-6,注意到題中所求的直線解析式為4y= = x-b,兩相比較知b=;綜上所述：b=4或6，選D，Game Over!解題后反思：

4、解決此題的關(guān)健是如何將直距離h轉(zhuǎn)化為斜距離d ,從而利用 平移思煩匚算出所求直線的解析式，而這個轉(zhuǎn)化王要是借助于一組極其有趣的相似，即 所謂距離三角形與坐標三角形”的招似，這組招以在本人以前的作品中多次提 及,是我很喜歡的一組相似，對于解決很多與直線相關(guān)的綜合題中往往可以發(fā)揮奇效， 望同學(xué)們重視.這里的轉(zhuǎn)化是-種重要的”斜化壬墜盈鶴弟嬲;脈滋 法題2 ：(來源：2012年河南中考壓軸題)如圖2,在平面直角坐標系中，言線y = lx + l與撻物線y = ar+dx-3交于a、b兩點，點A在軸上，點B的縱坐標為3.點P是直線AB下方的拋物線上一動點(不與A、B重 合)過點P作軸的垂線交直線AB與

5、點C ,作PD丄AB于點D.(1 )求及sinzACP的值；(2 )設(shè)點P的橫坐標為，用含的代數(shù)式表示線段PD的長,并求出線段PD長的最大值;連接PB ,線段PC把-PDB分成兩個三角形，是否存在適合的值，使這兩個三角形 的面枳之比為9 : 10 ?若存在.育接寫出值:若不存在.說明理由.簡析：(1先將點B的縱坐標為3代入言線y =+ l求出點3(4,3),再求出直線y =+1與x軸的交點.4(-2,0)，然后將A、B兩點代入挖物結(jié)y = d + bx- 3可求出N而對于sinZACP的求法，再次識別到直線AB的“坐標軸三角形” AAOE,如圖21 所示，它是確定的，易知其三邊之比OE:OA:

6、AE=1:2:,而PC與X軸垂直，易知ZACP=ZAEO 從而 sin ZACP=sin ZAEO=圖21解題后反思：注蕙此問的求解再次印證了我前面所說的這個“坐標軸三角 形“ -AOE的巨大效用，值得同學(xué)們關(guān)注,它對于解決與直線相關(guān)的綜合題中可能有大 用，而且當直線（不過原點）的解析式確走時，其坐標軸三角形一走是確定的，從 而其三邊之比確定，這個比值完全取決于直線的解忻式，這里存在看一個很有趣的因果 對應(yīng)關(guān)系，值潯你擁有！5,很容易將斜線段”PD與之掛鉤，從而順刊 將其表示出來，具體操作如下：由題知 P （m w* w 3 ） 9 C （m， w +1 ）則 PC=（三加+ 1） (_*zw

7、_3) =nT + 加 + 4竺=冬，從而PC 552 22 在 RtAPCD 中,由 sinZACP=-5因為要求PD解析式及最大值，不妨一步到位將PD的解折式直接化成頂點式：PD= 故EPD有最大值為竽.無懸后反思：本題中斜線段PD與直線段PC的轉(zhuǎn)化巧妙借助了三角函數(shù) 值，其本質(zhì)還是相似，即上題中提及的所溝“坐標軸三角形與距離三角形的相似 關(guān)系，如圖22所示，這一有趣的相似再次發(fā)揮奇效，其實兩道題目的解題策略與思想 方法一槿一樣，袞振了 思想，就牽住了 “牛舅子，再怎么考也不進了 ！這依然是 轉(zhuǎn)化策略中改斜歸正大法的應(yīng)用，本人作品廣猛說題系列之一道母題引發(fā)的若干 子題對于這個轉(zhuǎn)化有看很詳細

8、的介紹與拓展，敬i靑査閱！另外此題還有個有趣的做法，思路如下：利用-ABP面積之競高公式，將面積表示成m的代數(shù)式，如圖23所示；再利用-ABP面積之底高公式”，由底邊AB確定，結(jié)合面枳法，可以將高PD表示 成m的代數(shù)式，如圖24所示；這里的所謂競高公式詳見本人作品面枳問湮之水平竟、鉛錘高模型的兩 種證明方法與面積問題之水平竟、鉛連高模型的實戰(zhàn)分析；所以PD的最大時，就是-ABP面積最大時，也就是其所渭鎧儘高” PC最大時，這 是-根繩上的螞蚱，而且有 個更有趣的結(jié)論就是當動點P位于定線段AB中點的正 下方時，即當點C是線段AB的中點時，上面所說的量均達到最大值，這個結(jié)論對于任意 直線與拋物線都

9、星音適的，可以設(shè)成最一般的一股式去推導(dǎo)，不再螯述，同學(xué)們不需賞 握此睢導(dǎo)方法，因為會用到“韋達宦理，揚州地區(qū)中老對此淡化了，但是我們可以記 住這個結(jié)論，作為最后的檢驗結(jié)果正確與否之用，不亦樂乎！(2)最后一問是一個面積存在性可題，其間也會涉及到極其有趣的轉(zhuǎn)化思想及分 類思粗,Let s go !分類策略：由題如線段PC把APDB分成的兩個三甬形面積之比為9： 10,這里有兩種可能性：鼻二三或魚竺二巴：Scs 1 Sjc 9 轉(zhuǎn)化策略：這里的面積處理有兩種選擇去向：方式一：如圖25所示，發(fā)規(guī)這兩個三角形有一條公共的高PD,因而其面枳之比戟等于相應(yīng)的底之比街妥咸馬一學(xué)，這個活化原湮可稱之為牛高原理

10、” 在面CB 10 CB 9枳處理中經(jīng)常會使用；雖然將面積之比順利轉(zhuǎn)化為了邊之比，但轉(zhuǎn)化后的線段CD與CB都屬于斜線 段“ 不宜裘示出來,或者還需進一步轉(zhuǎn)化為直線段” 這個方式可暫時放棄；方式二：如圖26所示，發(fā)現(xiàn)這兩個三角形還有一條公共的底邊PC，因而其面積之比 就等于相應(yīng)的高之比，分別過點D、B作PC邊上的高DF、BG,則=2或空=-, BG 10 BG 9圖26這個轉(zhuǎn)化就好多了 因為公共底邊PC是一條豎直的線段.導(dǎo)致亙相應(yīng)的高DF與BG 都是水平的線段，這些線段都厲于直線段,極其容易利用點坐標丟示出來，厲于學(xué) 生基本功；可見方式二優(yōu)于方式一，本質(zhì)上就是“直線段”優(yōu)于斜線段”，當然若執(zhí)意采

11、取方式一轉(zhuǎn)化成2之比，然后再利用“8字型”相似轉(zhuǎn)化為,又變成了方式二，這樣也 CBBG未嘗不可，“條條大路通羅9”,只是稍微走了些蠻路，無傷大雅；接下來就是用m的代數(shù)式去表示直線段DF與BG即可解決問題：顯然BG=4- m ,至于DF的表示方法如同PD的表示方法如出一橄,這一點在本人作品廣猛說題系 列之一道母題引發(fā)的若干子題中也早已提及：從而如圖26 ,在RtADFP中易知其三邊之比為1:2:心，故心卩。垠半PC-m2 +?n + 4)=i(-w: + 2w + 8)j25惜形空斗yi 9BG 104 一加之得?w =情形二當空上時，即上nBG 94-m1. bqS顯 CD -M + 2_10

12、 時解59綜上所述：存在満足條件的加值，且初=?或上29至此，此題得到了完奚的解答！解題后反思：這里面積處理中涉及的”共高原理及共邊原理，再加上相似 三角形的面積之比等于相似比的平方面積問題中轉(zhuǎn)化的有力三大工具，值得同學(xué)們將 之形成知識串，寰握理解應(yīng)用；結(jié)合斜克恿想，權(quán)街之下，本問采取了 共邊原理“.放弄了 共高原理， 這里的改斜歸正”竟路也是值得同學(xué)們認真推敲的重嬰解題思想方法；另外此題中系列“距離三角形與坐標軸三角形”的相似關(guān)系用來轉(zhuǎn)化斜線 段”的轉(zhuǎn)化鏈”也非常有趣，同學(xué)們可以將之串成一根繩上的螞非，知一條線 段，所有的線段將出現(xiàn)連鎖反應(yīng)”，都能診自然而然的表示出來！還有這里的分類意識，同

13、學(xué)們也值得關(guān)注，不要漏解，考慮問題要全面，做一個嚴 謹?shù)膶W(xué)音！分不分類，如何分類，都取決于題目中的部分條件可能指代不明，爲要 同學(xué)們咬文嚼字“式地“細聒慢咽用心分析的！為了讓同學(xué)們徹底固化上面兩道例題均涉及的斜化直一改斜歸正大法，即斜 線段與”直線段的相互迅速切換，下面再提供一道九年級上學(xué)期同學(xué)們就做過的一 道所謂”難題，而且這里的“斜線段還比較隱蔽,需要有主動尋找的蕙識，才能有 效識別！固化訓(xùn)練：(耒農(nóng)：高機韋贊化學(xué)校九年級上學(xué)期自主綜習(xí)汶細如圖3所示，二次函數(shù)ysflx2-勿lc的圖象交x軸于A0) , B (.2, 0),交y軸于C(0, -2),過C畫直線點M在二次國數(shù)圖象上，以M為園

14、心的圈與直線局相切，切點為H.若0.W的半徑為琴，求點M的坐標.簡析：首先易求得撻物線的解析武為y = (x + l)(x-2), y = x2-x-2f接下來，用心分析題目中所涉及的OM,看看能得到什么更有效的信息；數(shù)學(xué)題中，很多時候同一個條件，換一種衰述，可能就能迷惑很多的學(xué)生，也就是很 多學(xué)生缺乏必要的分析意識與能力；董本題來說，所謂條件“以M為圓心的圓與直線KC相切，切點為日，若OM的半徑 為琴”可以轉(zhuǎn)化為“圓心M到直線AC的距離MH=琴”,其實這兩種說法所能衰 達的信息一模一樣，只不過換了個“馬甲”，可能很多學(xué)生都會陷入這個坊，而事實也確 實如此，教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)，能做出此冋的人鳳毛菱

15、角；這樣問題就披轉(zhuǎn)化為“在撻物線上找一點1,使點【到直線AC的距離為琴”,而這個問題與前文中的題1一模一祥；依然可以借助“平移思想”解決此題，可嘆將亶線AC沿與直線AC垂直的方向，向 右上方或者左下方平移學(xué)個魚位，所得直線與撻物線的交點即為所求點滿足條件的直線有兩條.如凰41所示，只要將這兩窠直線解析式求出來，再與拋物 線聯(lián)立解方程組，就可以求岀點M的坐標了；如何求這兩條平行直線的解析式呢？依然是一個有趣的斜化直一改斜歸正解題 策略：首先這兩條直裟都昱確定的，它們與己知直線AC平行旦距同為定值，既然昱確定 的，肯走是可解的；情形一：如圖齊2所示，目光聚焦在直距離CD上來，只要求岀CD的長就可以

16、利 用平移口訣上加下減直接寫出所求直線解析式；依然是構(gòu)譴距離三角形-CDG ,抓住它與確定的“坐標筑三角形CAO相似， 利用比例可以將斜”距離DG轉(zhuǎn)化到直”距離CD上來；由 RiACDGsrScaO 及 OA： OC： AC=1 : 2：書知 DG： GC： CD=1 : 2： & 從 而CD=DG=4,故直線h的解析式為y = -2x-2+4 ,即y = -2x+2t上述兩個X的值即為所求點M的橫坐標，要想求耳縱坐標，可代入拋物線，也可代入直線h的解析式，相比之下，當然是代入直線h的解析式更簡單，代入拋物線會煩死你，逑也是一個計質(zhì)笫略小細節(jié).同學(xué)們零稍法注冒下；易求得此時點N1的坐標為（土返

17、,3+ JI7 ）或（土返,3-7 ）;2 2情形二：而至于直線1：的解析式，同理計算即可，不再宴述，易求得旦解析式為y = -2x-2-4f y = -2x-6,將之與拋物線聯(lián)系解方程組，會發(fā)現(xiàn)無實數(shù)根，即這樣的點M不存在；值得一提的是，情形二如果能較準確的畫圖，其與拋物線無交點是顯然易見的，但 數(shù)學(xué)解題講究規(guī)矩，不管顯不顯然，都需要用計算數(shù)據(jù)來說話，也就墨這個情形二的交 代必不可少，同學(xué)們要注重這些細節(jié)！至此，此題得到完美解答！解題后反思：通過本題的解答，同學(xué)們要意識到，數(shù)學(xué)題中有一些條件霓要經(jīng)過自 己的大腦加工，堇新整合包裝，轉(zhuǎn)化為另 種方式，或許就能柳暗花明，如本題的 圓M半徑轉(zhuǎn)化為點M到切線的距離；當問題轉(zhuǎn)化為另一種表述后，自然變成了我們本文的主旨“改斜歸正大法，利用 所謂距離三角形與坐標軸三角形的相似比例，將“斜線KT轉(zhuǎn)化為直線 段的方法值得同學(xué)們用心體味！結(jié)束語：恩想決定高度，只有站得高，才能望得遠！當你離瞻遠矚，以一個高視角 居高臨下暨新審視一類