2010年江蘇省高等數(shù)學(xué)競賽(本科一級)試題及解答Doc1

1、第十屆本科一級競賽題與評分標(biāo)準(zhǔn)一、填空題（每小題4分，共32分）2)設(shè)函數(shù) 3P 可導(dǎo)，y = /(arctanxp(tanx),My*+4)5Jeg , r占乜=4+cxearctan2-In3.6)2x+2y-z +2 Hoix”-x - 2y+2z419的面積為 16月7)設(shè) 7 = /(一必：) / 可微，/(3,2) = z 4(3,2) = 3,則 TOC o 1-5 h z dz（“） = （2,尸.8）級數(shù)力的和為必1-吟勺 2、！2 .:、 二、（10分）設(shè)/（X）在（0,c上三階可導(dǎo),證明:第w（0,c）,使得J；/（x） =汽/（。）+/）-仔）： /JL4. . . /

2、 . 證記 烏（/（0）+/（明-1卜G）dx“.（1）（2 分）令尸（上。dx-汐（0）“（切哈V（2分）尸（0） = 0,又由（I）得尸（c）亍0,應(yīng)用羅東京理，浙0,c）,使得產(chǎn)（）=0, （2分）由于U（“卜/（k4/”-；（。）”（明，則尸（。）-0, 22；在他 切上應(yīng)用羅爾定理，Mw（0, 7）c（0,c）,使得/伍）=0,（2分）V由于尸（x）=/（%）-；小卜”-，。）+。彳=4/。）,則 22 ZLA = /（），代入（】）式即得所求之式（2分）三、（10分）已知正方體彳5c0-4乃。1。1的邊長為2, 為。的中點(diǎn),戶為側(cè)面正方形BCGa的中心，（1）試求過點(diǎn)八,&F的平面

3、與底面ABCD所成的二面角的值.（2）試求過點(diǎn)彳卜瓦門的平面截正方體所得到的截 面的面積.解1）建立坐標(biāo)系如圖.則4（2,0,2）,（0,1,2）,尸&2】）, 2分）彳二（-1,2,-1）歷=（1,】,-1）, 7 =麗xJ7m（1,2,3）,一 ，底面4AC由法向量為 = （0,0.1）,.所求的二面角。為*2分）工事（2分）2）設(shè)CO的中點(diǎn)為G,則四邊形48CG的面積為S1:3, （2分）所求截面的面積為布.（2分）四，（12分）已知/BCD是等腰梯形，BCAD,AB+BC+CD = 8,求AB.BC 的長，使該梯形繞AD旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積最大.解 令 BC = x/O = y（0

4、 x = 4,設(shè) P(2,4 b，喑廣亨8-“尸=與津=費(fèi)卜乳-2）卜。， C =料尸=尸=_2肛 A = B-C = 0, A 0,.j= 2,y = 4時,V取最大值。即/E=3潭C = 2,/O = 4為所求的值。.（4分）解原式= dx=8s%（1/+41,1廣/ sindy （2 分） TOC o 1-5 h z rr（令 x=y = sinf） = 4 cos21 - cos2 （sin /） d /+4 cos2 / sin2 （sin /） d /.=4jco$2tdt（4分）=461號”d/2 分）j:， 六、（12分）應(yīng)用高斯公式計算J（ax22+cz2）dS ,b,c為常

5、數(shù)）, /其中:3+/+/=22。（注；，不用高斯公式求解本題，最多得6分） - 9:*,解 F = M + V + z, - 2z,斤=（E6E）= （2x,2y,2z-2）,（外側(cè)）nc =(cos a,8s/?.8S,) = (x,y.zl). TOC o 1-5 h z 、 , f*. .v,：r.,原式=UW +妙+cz(z-l)dS+ Jp(z-l)dS+ JJcdSss - y.T =J|(arcosa + dcos/7 + czcos/)dS+ Jjc8sydS +JjcdSX=jjoxdydz +妙 dzdx + czdxdy+ jjcdxdy，JcdS工I=JjJ(o+b

6、+ c)dxdjdz + jjjo dxdydz + JjcdSnn工分) (3分)(3分)= g”(a + b+c)+4 京 c.（3分） 給6分.,溫H (以2如2P2)d“ Jf、(岸1)7 以兇)0= f+必41,原式=20 (+2c-L-dxdydxdy +0 從J.1 Lor?. /j：；2dxd (2 分)(1分)注：若不用高斯公式，譬如卜.列解法，求得正確結(jié)果的,2(q-c)J”co例夕Jdp2(-r)J sin，的0 -d。(4分).七、（12 分）已知數(shù)列a,:q =】,/=2,% = 14八=%.-。“（”2,3,），記兒=,，判別級數(shù)的斂散性.G.4rBi解 出=20%一。1 =1 歸納設(shè) 40,4。1，則。.“-.=況-4一1 H（a”-%） + q 0，0| 。 。，應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法得，V