線性代數(shù)概念復(fù)習(xí)

1、線性代數(shù) （概念） 復(fù)習(xí)- 線性代數(shù) 復(fù)習(xí)一. 行列式1. 全排列1) 由個(gè)自然數(shù)組成的有序數(shù)組成為一個(gè)級(jí)全排列，簡(jiǎn)稱排列。2）一個(gè)對(duì)排列中某兩數(shù)互換位置，其余的數(shù)保持位置不變，得到一個(gè)新的排列的變換成為一個(gè)對(duì)換。3）逆序數(shù)：在一個(gè)排列中，對(duì)某一個(gè)指定的，若，且在的前面（不一定相鄰），即這兩個(gè)元素的前后位置與大小順序正好相反，則稱與構(gòu)成一個(gè)逆序。一個(gè)排列中逆序的總數(shù)成為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記為。4) 逆序數(shù)為偶的排列稱為偶排列，逆序數(shù)為奇的排列稱為奇排列。5）任何一個(gè)排列進(jìn)行一次對(duì)換，排列的奇偶性改變。6）個(gè)自然數(shù)共組成個(gè)級(jí)排列，其中奇偶排列各為個(gè)。2 行列式1）行列式定義個(gè)數(shù) 其中是一個(gè)級(jí)排列

2、，表示對(duì)所有的級(jí)排列求和。2）余子式和代數(shù)余子式（見(jiàn)書(shū)）3）行列式按行（列）展開(kāi)（見(jiàn)書(shū)）4）行列式的性質(zhì)（見(jiàn)書(shū)）5) 行列式計(jì)算（常用的結(jié)論）i) 上（下）三角形行列式 ii) iii)，同階方陣，iv) （Vandenmonde 行列式）v）設(shè)， ， ， ， ， ， ，6）克拉默（Cramer）法則（見(jiàn)書(shū)） 二、矩陣1. 矩陣 個(gè)元素排列成的數(shù)表。概念（見(jiàn)書(shū)）：零矩陣、維行向量（行陣）、維列向量（列陣）、階方陣、主對(duì)角元素、對(duì)角陣、單位陣、上（下）三角陣、對(duì)稱陣。2. 矩陣的運(yùn)算1）加法、數(shù)乘（見(jiàn)書(shū)）2）矩陣的乘法 矩陣乘法滿足結(jié)合律、分配律： 且：矩陣乘法不滿足交換律。3） 方陣的乘冪i）

3、， （可逆） 可對(duì)角化時(shí)，ii） ， 但 ，4) 矩陣的轉(zhuǎn)置（見(jiàn)書(shū)） 為對(duì)稱陣時(shí)，5) 方陣的行列式（見(jiàn)書(shū)）3. 矩陣的可逆性和逆陣1) 的伴隨矩陣 ，2）可逆（非奇異）（滿秩）3）特殊矩陣的逆i) ii) 分塊矩陣 此處均為可逆方陣，它們的階數(shù)可以不同。4. 逆陣的運(yùn)算法則， ， 即對(duì)陣，伴隨，轉(zhuǎn)置，求逆運(yùn)算可以交換次序。5. 矩陣的分塊（cf 書(shū)P50-51）已知 ， 三、線性方程組1. 線性方程組解的基本定理 1）元非齊次線性方程組有解 ，有唯一解， ，有無(wú)窮多解。 ，無(wú)解。2）元齊次線性方程組有非零解2. 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系1）若齊次線性方程組的解具有性質(zhì)：a) 線性無(wú)關(guān)；b)

4、的任何解向量都是線性組合則稱向量組為的基本解系。2）的基礎(chǔ)解系不唯一，但不同的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)相等，都等于：未知量的個(gè)數(shù)，。3）的所有解向量組成的集合為該方程的解空間（cf P148 使的的全體： 的核 ），：解空間的維數(shù)。3. 齊次線性方程組的通解的結(jié)構(gòu)設(shè)是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，則的通解為：，為任意常數(shù)。4. 非齊次線性方程組1）稱為非齊次線性方程組對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組2）非齊次線性方程組解的性質(zhì) i) 若是的解是的解 ii) 若是的解，是的解，則是的解。5. 非齊次線性方程組的通解的結(jié)構(gòu)設(shè)：非齊次線性方程組的任一特解，是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，則的通解為：，為任意常數(shù)。

5、四、向量1. 線性表示與線性組合設(shè)和是維向量，若存在常數(shù)，使 則稱可由向量線性表示，也稱是向量的一個(gè)線性組合。2. 線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)設(shè)是維向量，如存在不全為零的數(shù)，使 則稱線性相關(guān)，否則稱線性無(wú)關(guān)。只有一個(gè)向量的向量組線性相關(guān)（零向量）3. 有關(guān)線性相關(guān)的一些結(jié)論 1）向量組線性相關(guān)其中至少有一個(gè)向量可以由其余向量線性表示。 2）設(shè)線性無(wú)關(guān)，線性相關(guān)，則可由線性表示，且表示式唯一。 3）線性無(wú)關(guān)向量組的任意部分組必線性無(wú)關(guān)。 4）若一個(gè)向量組有一部分組線性相關(guān)，則該向量組線性相關(guān)。 5）設(shè)，則線性相關(guān)的行列式 6) 設(shè)，若，則必線性相關(guān)。 7）設(shè)中的每一個(gè)向量都可由線性表示， i) 若，則線

6、性相關(guān)。 ii) 若線性無(wú)關(guān)，則 8）若維向量 ，線性無(wú)關(guān)，將加長(zhǎng)成維向量，則也線性無(wú)關(guān)。反之，若線性相關(guān)，則也線性相關(guān)。9）包含0（零向量）的向量組必線性相關(guān)。4. 求線性表示的方法 1）解線性方程組 2）作初等行變換：將向量按列寫成矩陣，通過(guò)初等行變換化作簡(jiǎn)化的行階梯形，則非主元所在列的向量可由主元所在列向量線性表示。5. 極大線性無(wú)關(guān)組與秩 1） 若向量組中有個(gè)向量線性無(wú)關(guān)，且其余向量都可由它們線性表示，則稱為向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。 2）向量組的極大線性無(wú)關(guān)組可以不唯一，但不同的極大線性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)相同，稱為向量組的秩，記為。 3）線性無(wú)關(guān)的向量組的極大線性無(wú)關(guān)組就是它自身

7、。 4）若向量組只含零向量，則，即沒(méi)有極大線性無(wú)關(guān)組。6. 向量組的等價(jià) 1）設(shè)兩個(gè)向量組，若中的每個(gè)向量都可由中的向量線性表示，則稱可由線性表示。若，可相互表示，則稱向量組與等價(jià)。 2）向量組與其極大線性無(wú)關(guān)組等價(jià)。 3）同一向量組的不同極大線性無(wú)關(guān)組彼此等價(jià)。4）若可由線性表示，則，若與等價(jià)，則。 五、相似矩陣及二次型1. 向量的內(nèi)積與長(zhǎng)度 1）對(duì)維向量， 稱為與的內(nèi)積，記為。內(nèi)積性質(zhì)： i) ii) iii）iv) 當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， v) 2) 向量的長(zhǎng)度 定義：為向量的長(zhǎng)度，也稱向量的范數(shù)，記作。 向量的長(zhǎng)度的性質(zhì)： i) 非負(fù)性：當(dāng)時(shí)，； ii) 齊次性： iii) 三角不等式：。時(shí)

8、，稱為單位向量。對(duì)任意向量，為單位向量，此過(guò)程稱為單位化。2. 向量的正交與正交向量組1）若，則稱向量與正交，記為。零向量與任何向量正交。由兩兩正交的非零向量組成的向量組稱為正交向量組。由單位向量組成的正交向量組稱為規(guī)范正交向量組。為一正交向量組，則必線性無(wú)關(guān)，反之，結(jié)論不成立。向量組正交化：由任一線性無(wú)關(guān)組構(gòu)造出與之等價(jià)的正交向量組的過(guò)程稱為正交化。Schmidt正交化過(guò)程： 令 則為正交向量組，與等價(jià)。若令，則向量組是與等價(jià)的規(guī)范正交組。3. 正交矩陣若階矩陣滿足，則稱為正交矩陣。若為正交陣（此時(shí)）也是正交陣，且，且若和都是正交陣也是正交陣。 為正交陣。若為正交陣，則線性變換稱為正交變換

9、即正交變換保持線段長(zhǎng)度不變。為正交矩陣的行（列）向量組為規(guī)范向量組。由階線性無(wú)關(guān)的為向量經(jīng)正交化、單位化得等價(jià)向量組，則矩陣是正交矩陣。4. 特征值與特征向量1）若非零向量使，則稱數(shù)是的特征值，稱為對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量。 稱為的特征多項(xiàng)式 稱為的特征方程。2）特征值與特征向量的求法 i）對(duì)元素為已知的數(shù)字矩陣，求特征值就是求特征方程（的次方程）的根。時(shí)，方程易解。時(shí)，盡量避免直接將展開(kāi)成的多項(xiàng)式，可先對(duì)行列式化簡(jiǎn)。此處技巧較多，要通過(guò)練習(xí)善于總結(jié)。 ii）對(duì)未知元素的抽象矩陣，如無(wú)法討論的根，則可利用定義求特征值，即求存在非零向量使的數(shù)。如以為一個(gè)特征值，則有矩陣特征值 此處為常數(shù)，：正整數(shù)

10、。涉及，時(shí) 需設(shè)可逆，為的矩陣多項(xiàng)式。 iii) 對(duì)每個(gè)特征值，齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系是屬于 的線性無(wú)關(guān)的特征向量，而屬于的全體特征向量為 不全為0.3) 特征值與特征向量的性質(zhì) i) 矩陣的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)。實(shí)對(duì)稱矩陣的不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量正交。 ii) 設(shè)階矩陣的個(gè)（重算作個(gè)）特征值，則a) ，稱為矩陣的跡。b) 5. 相似矩陣1）對(duì)階矩陣，若存在可逆矩陣，使，則稱相似于，也稱經(jīng)相似變化為。稱為相似變換的矩陣。相似滿足： eq oac(,1) 自反性 相似于 eq oac(,2) 傳遞性 相似于，相似于相似于 eq oac(,3) 對(duì)稱性 相似于相似于2）兩個(gè)矩陣相

11、似，則它們的特征多項(xiàng)式相同，行列式相同，秩相同。 若相似于相似于 相似于， 對(duì)任意 相似于，對(duì)任意多項(xiàng)式 相似于，如，可逆 相似于，如，可逆3）若矩陣與對(duì)角矩陣相似，則稱可以相似對(duì)角化。 eq oac(,1) 矩陣可相似對(duì)角化的條件階矩陣可相似對(duì)角化 有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 每一個(gè)重特征值所對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)都等于該特征值的重?cái)?shù) 每一個(gè)重特征值 的重?cái)?shù)。特別，i) 若的個(gè)特征值互異可相似對(duì)角化 ii) 若是實(shí)對(duì)稱矩陣可相似對(duì)角化。 eq oac(,2) 判別矩陣可否相似對(duì)角化的一般步驟： i) 驗(yàn)證是否成立，若是必可對(duì)角化 ii) 若，則求的根，若全為單根必可對(duì)角化iii) 若，有

12、重根，則對(duì)于每一個(gè)重根，求矩陣的秩，若等于的重?cái)?shù)，對(duì)每一個(gè)重根都成立必可對(duì)角化。否則，不能對(duì)角化。 eq oac(,3) 矩陣相似對(duì)角化的方法對(duì)于可相似對(duì)角化的階矩陣，相似變換的矩陣和對(duì)角矩陣可按如下步驟求得：i) 求的一切相異實(shí)根ii) 對(duì)每一個(gè)，求線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。這個(gè)基礎(chǔ)解系共有個(gè)解向量（若不足個(gè)，則不能相似對(duì)角化）。iii) 以這個(gè)解向量作列向量，得到可逆矩陣，則，為對(duì)角陣，其主對(duì)角線上的第個(gè)元素是矩陣的第列所對(duì)應(yīng)的特征值（重特征值出現(xiàn)次）。 eq oac(,4) 對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣，用上述方法實(shí)現(xiàn)對(duì)角化，還可進(jìn)一步要求相似變化矩陣為正交矩陣，即。即實(shí)對(duì)稱矩陣不但一定能相似對(duì)角化，而

13、且一定能正交相似對(duì)角化。4）通過(guò)對(duì)角化求矩陣的冪 若可逆矩陣，使 為對(duì)角矩陣 為正整數(shù) 為多項(xiàng)式。6. 二次型1) 二次多項(xiàng)式稱為的二次型。其矩陣表示為 ， ，為對(duì)稱矩陣。對(duì)稱矩陣稱為二次型的矩陣，的秩稱為的秩。：對(duì)任意非零階矩陣 是二次型，但僅當(dāng)為對(duì)稱矩陣是才是二次型的矩陣，若不是對(duì)稱矩陣，則是二次型的矩陣。標(biāo)準(zhǔn)形：只含平方項(xiàng)的二次型稱為標(biāo)準(zhǔn)形，標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣是對(duì)角陣。規(guī)范形：諸平方項(xiàng)系數(shù)只能是，或的標(biāo)準(zhǔn)形稱為規(guī)范形，規(guī)范形的矩陣是主對(duì)角線元素只能是，或的對(duì)角陣。正（負(fù)）慣性指數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)形中正（負(fù)）的系數(shù)的個(gè)數(shù)稱為二次型或其矩陣的正（負(fù)）慣性指數(shù)。2) 二次型標(biāo)準(zhǔn)化的方法 eq oac(,1)

14、配方法 i) 對(duì)有完全平方項(xiàng)的二次型，每一次配方都應(yīng)將某個(gè)變量的平方項(xiàng)以及涉及這一變量的所有混合項(xiàng)配成完全平方，使得這個(gè)完全平方式的外面不再出現(xiàn)這個(gè)變量。然后對(duì)剩下的不是完全平方再照此處理，直到全部配成完全平方為止。iii) 如果所給的二次型全由混合項(xiàng)組成而沒(méi)有平方項(xiàng)，例如： ，則需先做類似于 的線性變換，使變換后的二次型有平方項(xiàng)，再按照i)方法處理。 eq oac(,2) 正交變換法找到正交變換，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟： i) 寫出二次型的矩陣，求的所有相異的根（為的階數(shù)） ii) 對(duì)每一個(gè)（）求線性方程組的基礎(chǔ)解系。 如某個(gè)基礎(chǔ)解系只含一個(gè)解向量，則將其單位化。 如某個(gè)基礎(chǔ)解系含多于一個(gè)解

15、向量，則將其規(guī)范正交化。 如此必定得到共個(gè)兩兩正交的單位向量。 iii) 以所得個(gè)向量為列向量得到矩陣，為正交矩陣。正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 為對(duì)角陣，其主對(duì)角線上第個(gè)（）元素是的第個(gè)列向量所對(duì)應(yīng)的特征值（重特征值出現(xiàn)次）。經(jīng)正交變換得到標(biāo)準(zhǔn)型后，還可以再做線性變換將標(biāo)準(zhǔn)形化為規(guī)范形，但這一變換已不再是正交變換。即經(jīng)正交變換，二次型一定可以化為標(biāo)準(zhǔn)形，但未必是規(guī)范形。7. 合同矩陣1）矩陣合同于矩陣：若存在可逆矩陣，使。記作與“相似”相同，合同也具有： eq oac(,1) 自反性 eq oac(,2) 傳遞性 ， eq oac(,3) 對(duì)稱性 2）通過(guò)線性變換 二次型成為另一個(gè)二次型：若 為

16、正交矩陣，則 則 所以二次型經(jīng)正交變換所得的二次型，其矩陣與矩陣即合同又相似，且為正交相似。3）同階的實(shí)對(duì)稱矩陣，合同，的秩相同，且正（負(fù)）慣性指數(shù)相同。若兩個(gè)元二次型的矩陣相同，則它們的規(guī)范形相同。8. 慣性定理，正交二次型1）對(duì)給定的二次型，標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一，但不同標(biāo)準(zhǔn)形的正慣性指數(shù)相同，負(fù)慣性指數(shù)也相同（慣性定理）2）若二次型對(duì)成立，則稱為正（負(fù)）定二次型。稱的矩陣為正（負(fù)）定矩陣。此處，的矩陣為對(duì)稱矩陣。正定的正慣性指數(shù)矩陣的階數(shù)的全部特征值與單位矩陣合同存在可逆矩陣，使的全部順序主子式 六、線性空間與線性變換1. 線性空間、線性子空間1）線性空間的定義：非空集合，：實(shí)數(shù)域若對(duì)任意的兩個(gè)

17、元素，總有唯一的一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，稱為與的和，記作（加法運(yùn)算）. 又對(duì)任一數(shù)，任意元素，總有唯一的一個(gè)元素，稱為與的積，記作：（乘法運(yùn)算）這兩種運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算規(guī)律： eq oac(,1) （加法交換律） eq oac(,2) （加法結(jié)合律） eq oac(,3) 在中存在零元素，對(duì)任何，都有（零元） eq oac(,4) 對(duì)任何，都有的負(fù)元素，使，記作：（負(fù)元） eq oac(,5) （幺元） eq oac(,6) （數(shù)乘結(jié)合律） eq oac(,7) （分配律，對(duì)數(shù)） eq oac(,8) （分配律，對(duì)元素）則，就稱為（實(shí)數(shù)域上的）線性空間（向量空間），中的元素稱為向量。2）線性空間的

18、性質(zhì)： eq oac(,1) 零元素是唯一的 eq oac(,2) 任一元素的父元素是唯一的 eq oac(,3) ， eq oac(,4) 若或 eq oac(,5) 對(duì)中任意兩個(gè)元素，方程有唯一解 3）設(shè)是線性空間的非空子集，若關(guān)于的線性運(yùn)算也構(gòu)成線性空間，則稱是的子空間. 4）設(shè)是線性空間的非空子集，則是的子空間關(guān)于的線性運(yùn)算封閉：即對(duì)任意的，有2. 維數(shù)，基與坐標(biāo)1）在線性空間中，若存在個(gè)元素，滿足 eq oac(,1) 線性無(wú)關(guān) eq oac(,2) 中任一元素都可以由線性表示則稱為線性空間的一個(gè)基，稱為的維數(shù)，記作：只含有一個(gè)零元素的線性空間沒(méi)有基，規(guī)定它的維數(shù)是.線性空間的含有個(gè)向量時(shí)，稱為維（有限維）線性空間。如果在中可以找到任意多個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，則稱為無(wú)限維線性空間。2）設(shè)是線性空間的一個(gè)基，對(duì)任一元素，總有且僅有一組有序數(shù)，使，則有序數(shù)組稱為元素在基下的坐標(biāo)，記作： 3）設(shè)和是兩個(gè)線性空間，若在它們的元素之間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，且這個(gè)關(guān)系保持線性組合的對(duì)應(yīng)，則稱和是同構(gòu)的。 任何維線性空間都與同構(gòu)。 維數(shù)相等的線性空間都同構(gòu)。 線性空間的結(jié)構(gòu)完全由其維數(shù)決定。3. 基變換與坐標(biāo)變換設(shè)和是線性空間中的兩個(gè)基，基由基線性表示的表示式 稱為從基到基的變換公式，階方陣叫過(guò)渡矩陣。的