第8周講課提綱視頻2rolle定理

1、二、1：設(shè)函數(shù) f (x) 滿足：（1）在閉區(qū)間a, b 上連續(xù)；（2）在開區(qū)間(a,b) 內(nèi)可導(dǎo)；（3） f (a) f (b) ，則存在 (a,b) ，使得 f ( ) 0 Note：條件是充分條件，但！Note：幾何意義！證明：當(dāng)函數(shù) f (x) 恒等于常數(shù)時，任取 (a,b) ，都有 f ( ) 0 當(dāng)函數(shù) f (x) 不恒為常數(shù)時，因為 f (x) 在閉區(qū)間a, b 上連續(xù)，所以 f (x) 在閉區(qū)間a, b 上存在最大值和最小值又因為 f (a) f (b) ，所以最大值與最小值中至少有一個不在端點取到，不妨假設(shè)最大值點 (a,b) ，這時它也是極大值點又 f (x) 在點 (a,

2、b) 可導(dǎo)，所以 f ( ) 0 推論：設(shè)函數(shù) f (x) 可導(dǎo)，則方程 f (x) 0 的兩個不同實根之間至少存在方程 f (x) 0 的一個實根2廣義：設(shè)函數(shù) f (x) 滿足：（1）在開區(qū)間(a,b) 內(nèi)可導(dǎo)；（2） lim f (x) lim f (x) ，xaxb則存在 (a,b) ，使得 f ( ) 0 證明：設(shè) lim f (x) lim f (x) A ，不妨設(shè)存在點 x0 (a,b) ，使得 f (x0 ) A xaxb根據(jù)極限的保號性質(zhì)及連續(xù)函數(shù)的介值定理，存在 x1 (a, x0 ) ， x2 (x0 ,b) ，使得f (x ) f (x ) 1 f (x ) A 120

3、2又因為函數(shù) f (x) 在閉區(qū)間x1 , x2 上可導(dǎo)，所以存在 (a,b) ，使得 f ( ) 0 Note：廣義可以推廣到無窮區(qū)間例 1：證明 x5 x 1 0 最多只有一個實根1 ，若 f (x) 0 有兩個不同實根，則 f (x) 5x4 1 0 至證：反證法記 f (少有一個實根1 / 3dnx 1 在(1, 1) 內(nèi)具有n 個不同零點n 例 2：證明 Legendre 多項式 L (x) 2nndx（Legendre，AdrienMarie，17521833，法國數(shù)學(xué)家；與 Lagrange，LapLace 并稱為法國的三 L；也稱為法國的 Euler） 1)n (x 1)n ，

4、則 x 1 與 x 1 均是方程 f (x) 0 的n 重實根證：記 f (，存在11 (1,1) ，使得根據(jù)f (11) 0 所以方程 f (x) 0 有三個不同實根，其中 x 1 與 x 1 是 n 1重實根，存在21 (1,11 ) ， 22 (11 ,1) ，使得根據(jù)f (21 ) 0 ， f (22 ) 0 所以方程 f (x) 0 有四個不同實根，其中 x 1 與 x 1 是 n 2 重實根依次下去，可知方程 f (n1) (x) 0 具有n 1 個不同實根：1, n1,1, n1,2 , , n1,n1, 1可知，存在1 (1,n1,1) ， k (n1,k1,n1,k ) (k

5、 2, 3, n 1) ，所以由n (n1,n1,1) ，使得f (n) (k ) 0 (k 1, 2, n) dnx 1 在(1, 1) 內(nèi)具有n 個不同零點2n 即多項式 L (x) nndx例 3：已知函數(shù) f (x) 在a, b 上具有二階導(dǎo)數(shù)， f (a) f (b) 0 ，證明：（1） (a, b) ，使得 f ( ) f ( ) 0 ；（2）當(dāng) f (a) f (b) 0 時， , (a, b) ，使得f ( ) 0 ；() 0 證：（1）令 g(x) f (x)ex ，則函數(shù) g(x) 在a, b 上可導(dǎo)，且 g(a) g(b) 0 ，所以 (a, b) ，使得g( ) f ( ) f ( )e 0 所以 f ( ) f ( ) 0 （2） 當(dāng) f (a) f (b) 0 時，由 f (a) f (b) 0 可知，存在c (a,b) ，使得 f (c) 0 2 / 3，可知 (a, b) ，使得 f ( ) 0 對函數(shù) f (x) 連續(xù)兩次運用對函數(shù) g(x