電路基礎(chǔ)課件第六章：一階電路（動態(tài)電路的方程及其初始條件、一階電路的零輸入響應(yīng)）

1、第六章：一階電路（動態(tài)電路的方程及其初始條件、一階電路的零輸入響應(yīng)）6.1動態(tài)電路的方程及其初始條件 1.動態(tài)電路含有動態(tài)元件電容和電感的電路稱動態(tài)電路。由于動態(tài)元件是儲能元件，其 VCR 是對時間變量 t 的微分和積分關(guān)系，因此動態(tài)電路的特點是：當(dāng)電路狀態(tài)發(fā)生改變時（換路）需要經(jīng)歷一個變化過程才能達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)。這個變化過程稱為電路的過渡過程。下面看一下電阻電路、電容電路和電感電路在換路時的表現(xiàn)。1）電阻電路圖 6.1 （a）（b）圖6.1（a）所示的電阻電路在 t =0 時合上開關(guān)，電路中的參數(shù)發(fā)生了變化。電流 i 隨時間的變化情況如圖6.1（b）所示，顯然電流從t0時的穩(wěn)定狀態(tài)直接進(jìn)入

2、t0 后的穩(wěn)定狀態(tài)。說明純電阻電路在換路時沒有過渡期。2）電容電路 圖 6.2 （a）（b）圖 6.2 （c） 圖 6.2(a)所示的電容和電阻組成的電路在開關(guān)未動作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)，電流 i 和電容電壓滿足：i=0，uC=0。t=0 時合上開關(guān)，電容充電， 接通電源后很長時間，電容充電完畢，電路達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)，電流 i 和電容電壓滿足：i=0，uC=US 。電流 i 和電容電壓uC 隨時間的變化情況如圖6.2（c）所示，顯然從t0 時的穩(wěn)定狀態(tài)不是直接進(jìn)入t0后新的穩(wěn)定狀態(tài)。說明含電容的電路在換路時需要一個過渡期。 3）電感電路 圖 6.3 （a）（b）圖 6.3 （c）圖 6.3(a

3、)所示的電感和電阻組成的電路在開關(guān)未動作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)，電流i 和電感電壓滿足：i=0，uL=0。t=0 時合上開關(guān)。接通電源很長時間后，電路達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)，電流 i 和電感電壓滿足：i=0，uL=US/R 。電流 i 和電感電壓uL 隨時間的變化情況如圖6.3（c）所示，顯然從t0時的穩(wěn)定狀態(tài)不是直接進(jìn)入t0后新的穩(wěn)定狀態(tài)。說明含電感的電路在換路時需要一個過渡期。從以上分析需要明確的是： 1換路是指電路結(jié)構(gòu)、狀態(tài)發(fā)生變化，即支路接入或斷開或電路參數(shù)變化； 2含有動態(tài)元件的電路換路時存在過渡過程，過渡過程產(chǎn)生的原因是由于儲能元件L、C ，在換路時能量發(fā)生變化，而能量的儲存和釋放需要一定

4、的時間來完成，即： 若 則 3代替電路方向就是研究換路后動態(tài)電路中電壓、電流隨時間的變化過程。2. 動態(tài)電路的方程 分析動態(tài)電路，首先要建立描述電路的方程。動態(tài)電路方程的建立包括兩部分內(nèi)容：一是應(yīng)用基爾霍夫定律，二是應(yīng)用電感和電容的微分或積分的基本特性關(guān)系式。下面通過例題給出詳細(xì)的說明。 圖 6.4圖 6.5 設(shè) RC 電路如圖 6.4 所示，根據(jù) KVL 列出回路方程為：由于電容的 VCR 為： 從以上兩式中消去電流得以電容電壓為變量的電路方程： 若以電流為變量，則有： 對以上方程求導(dǎo)得： 設(shè) RL 電路如圖 6.5 所示的，根據(jù) KVL 列出回路方程為：由于電感的 VCR 為： 以上兩式中

5、消去電感電壓得以電流為變量的電路方程： 若以電感電壓為變量，則有： 對以上方程求導(dǎo)得： 圖 6.6對圖 6.6 所示的 RLC 電路，根據(jù) KVL 和電容、電感的 VCR 可得方程為： 整理以上各式得以電容電壓為變量的二階微分方程：考察上述方程可得以下結(jié)論： （1）描述動態(tài)電路的電路方程為微分方程；（2）動態(tài)電路方程的階數(shù)等于電路中動態(tài)元件的個數(shù)，一般而言，若電路中含有 n 個獨立的動態(tài)元件，那么描述該電路的微分方程是 n 階的，稱為 n 階電路；（3）描述動態(tài)電路的微分方程的一般形式為：描述一階電路的方程是一階線性微分方程 描述二階電路的方程是二階線性微分方程 高階電路的方程是高階微分方程：

6、 方程中的系數(shù)與動態(tài)電路的結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)有關(guān)。3. 電路初始條件的確定求解微分方程時，解答中的常數(shù)需要根據(jù)初始條件來確定。由于電路中常以電容電壓或電感電流作為變量，因此，相應(yīng)的微分方程的初始條件為電容電壓或電感電流的初始值。若把電路發(fā)生換路的時刻記為 t =0 時刻，換路前一瞬間記為0，換路后一瞬間記為0，則初始條件為t=0時u ，i 及其各階導(dǎo)數(shù)的值。 (1)電容電壓和電感電流的初始條件 由于電容電壓和電感電流是時間的連續(xù)函數(shù)（參見第一章），所以上兩式中的積分項為零，從而有： 對應(yīng)于 以上式子稱為換路定律，它表明：1） 換路瞬間，若電容電流保持為有限值，則電容電壓（電荷）在換路前后保持不變，

7、這是電荷守恒定律的體現(xiàn)。2）換路瞬間，若電感電壓保持為有限值，則電感電流（磁鏈）在換路前后保持不變。這是磁鏈?zhǔn)睾愕捏w現(xiàn)。需要明確的是:1）電容電流和電感電壓為有限值是換路定律成立的條件。2）換路定律反映了能量不能躍變的事實。（2）電路初始值的確定根據(jù)換路定律可以由電路的uC(0) 和iL(0) 確定uC（0+）和iL(0+) 時刻的值 , 電路中其他電流和電壓在 t=0+ 時刻的值可以通過 0+ 等效電路求得。求初始值的具體步驟是：1）由換路前 t=0時刻的電路（一般為穩(wěn)定狀態(tài)）求uC (0) 或 iL (0) ；2）由換路定律得uC (0+) 和iL (0+) ；3）畫 t=0+ 時刻的等效

8、電路： 電容用電壓源替代，電感用電流源替代（取 0+ 時刻值，方向與原假定的電容電壓、電感電流方向相同）；4）由 0+ 電路求所需各變量的 0+ 值。例6-1 圖示電路在 t0 時電路處于穩(wěn)態(tài)，求開關(guān)打開瞬間電容電流 iC (0+)例6-1 圖（a）(b)解：(1) 由圖(a) t=0電路求得：uC (0)=8V (2) 由換路定律得：uC (0)=uC (0)=8V (3) 畫出0等效電路如圖 (b) 所示，電容用 8V 電壓源替代，解得： 注意：電容電流在換路瞬間發(fā)生了躍變，即： 例6-2 圖示電路在 t0 時電路處于穩(wěn)態(tài)，t = 0 時閉合開關(guān),求電感電壓 uL (0+) 。 例 6-2

9、 圖（a）解：(1) 首先由圖(a)t=0電路求電感電流，此時電感處于短路狀態(tài)如圖（b）所示，則： 例 6-2 圖（b）例 6-2 圖（c）(2) 由換路定律得： iL (0+) = iL (0)= 2A (3) 畫出 0+ 等效電路如圖 (c) 所示，電感用 2A 電流源替代，解得： 注意： 電感電壓在換路瞬間發(fā)生了躍變，即： 例6-3 圖示電路在t0時處于穩(wěn)態(tài)，t=0時閉合開關(guān),求電感電壓uL(0+)和電容電流iC(0+) 例 6-3 圖（a）解：(1) 把圖(a)t=0 電路中的電感短路，電容開路，如圖（b）所示，則： (2) 畫出0+等效電路如圖(c)所示，電感用電流源替代，電容用電壓

10、源替代解得： 例 6 3 圖(b)例 6 3 圖（c） 注意： 直流穩(wěn)態(tài)時電感相當(dāng)于短路，電容相當(dāng)于斷路。例6-4 求圖示電路在開關(guān)閉合瞬間各支路電流和電感電壓。 例 6-4 圖（a）解：(1) 把圖 (a)t=0 電路中的電感短路，電容開路，如圖（b）所示，則： (2) 畫出0+等效電路如圖(c)所示，電感用電流源替代，電容用電壓源替代解得： 例 6-4 圖(b)例 6-4 圖（c）6.2一階電路的零輸入響應(yīng) 動態(tài)電路的零輸入響應(yīng)是指換路后外加激勵為零，僅由動態(tài)元件初始儲能所產(chǎn)生的電壓和電流。1. RC 電路的零輸入響應(yīng) 圖 6.7圖6.7所示的 RC 電路在開關(guān)閉合前已充電，電容電壓uC

11、(0)= U0，開關(guān)閉合后，根據(jù)KCVL可得： ，由于 ，代入上式得微分方程： 特征方程為 RCp+ 1=0 ， 特征根為： 則方程的通解為： 代入初始值得： A = uC(0+)= U0 ， 放電電流為： 或根據(jù)電容的 VCR 計算： 從以上各式可以得出：1)電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)，如圖 6.8 所示； 圖 6.8圖 6.92)響應(yīng)與初始狀態(tài)成線性關(guān)系，其衰減快慢與 RC 有關(guān)。令= RC ，的量綱為： 稱為一階電路的時間常數(shù)。的大小反映了電路過渡過程時間的長短，即： 大 過渡過程時間長，小 過渡過程時間短，如圖 6.9 所示。表 6.1 給出了電容電壓在=，=2，=3，

12、時刻的值。 表 6.1表中的數(shù)據(jù)表明經(jīng)過一個時間常數(shù)，電容電壓衰減到原來電壓的 36.8% ，因此，工程上認(rèn)為 , 經(jīng)過 35, 過渡過程結(jié)束。3）在放電過程中，電容釋放的能量全部被電阻所消耗，即： 2. RL 電路的零輸入響應(yīng)圖6.10（a）所示的電路為 RL 電路，在開關(guān)動作前電壓和電流已恒定不變，因此電感電流的初值為： 圖 6.10 （a）開關(guān)閉合后的電路如圖6.10（b）所示，根據(jù) KCVL 可得： 把 代入上式得微分方程： 圖6.10（ b ） 特征方程為： Lp+R= 0 ， 特征根 則方程的通解為： 代入初始值得： A= i (0+)= I 0 電感電壓為： 從以上各式可以得出：

13、 (1) 電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)，如圖 6.11 所示； 圖 6.11（2）響應(yīng)與初始狀態(tài)成線性關(guān)系，其衰減快慢與 L/ R 有關(guān)。令 = L / R , 稱為一階 RL 電路時間常數(shù)， 滿足： （3）在過渡過程中，電感釋放的能量被電阻全部消耗，即： 小結(jié)： 1）一階電路的零輸入響應(yīng)是由儲能元件的初值引起的響應(yīng) , 都是由初始值衰減為零的指數(shù)衰減函數(shù)，其一般表達(dá)式可以寫為： 2） 零輸入響應(yīng)的衰減快慢取決于時間常數(shù)，其中RC 電路=RC , RL 電路=L/R R 為與動態(tài)元件相連的一端口電路的等效電阻。 3） 同一電路中所有響應(yīng)具有相同的時間常數(shù)。 4）一階電路的零輸入響

14、應(yīng)和初始值成正比，稱為零輸入線性。 用經(jīng)典法求解一階電路零輸入響應(yīng)的步驟： 1) 根據(jù)基爾霍夫定律和元件特性列出換路后的電路微分方程，該方程為一階線性齊次常微分方程； 2) 由特征方程求出特征根； 3) 根據(jù)初始值確定積分常數(shù)從而得方程的解。例6-5 圖示電路中的電容原本充有 24V 電壓，求開關(guān)閉合后，電容電壓和各支路電流隨時間變化的規(guī)律。 例 6-5 圖（a）解：這是一個求一階RC零輸入響應(yīng)問題，t0 后的等效電路如圖（b）所示，有： 代入得： 分流得 ： 例 6-5 圖（b） 注意：通常為了分析方便，將電路中純電阻部分從電路中分離出來并簡化其等效電路。例6-6 圖示電路原本處于穩(wěn)態(tài)，t=0 時 , 打開開關(guān)，求 t0 后電壓表的電壓隨時間變化的規(guī)律，已知電壓表內(nèi)阻為10k，電壓表量程為50V 。 例 6 6 圖解： 電感電流的初值為： iL(0+) = iL (0) = 1A 開關(guān)打開后為一階 RL 電路的零輸入響應(yīng)問題，因此有： 代入初值和時間常