高中數(shù)學(xué) 直線的點斜式方程

1、高中數(shù)學(xué)課件 直線的點斜式方程第1頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四1.理解直線方程的點斜式、斜截式的形式特點和適用范圍.2.熟練求出直線的點斜式和斜截式方程.第2頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四1.直線的點斜式方程(1)已知直線(斜率存在)過兩點P(x,y),P0(x0,y0),則直線的斜率_.(2)已知直線過點P0(x0,y0),且斜率為k,則直線方程是_.(3)過定點P(x0,y0),與x軸平行的直線的方程為_;與y軸平行的直線的方程為_.y-y0=k(x-x0)y=y0 x=x0第3頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四2

2、.直線的斜截式方程(1)已知直線l的斜率為k,且與y軸的交點為(0,b),則該直線的斜截式方程為_.(2)b是直線l在y軸上的_.3.兩直線平行與垂直的條件對于直線l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,l1l2k1=k2,且_;l1l2_.y=kx+b截距b1b2k1k2=-1第4頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四1.“判一判”理清知識的疑惑點(正確的打“”,錯誤的打“”).(1)任何一條直線都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示.()(2)斜截式y(tǒng)=kx+b可以表示斜率存在的直線.()(3)直線y=2x-1在y軸上的截距為1.()(4)斜率為0的直線不能用直

3、線的點斜式表示.()第5頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四提示：(1)錯誤.垂直于x軸的直線斜率不存在,故不能用點斜式方程表示.(2)正確.直線的斜截式y(tǒng)=kx+b中的幾何要素為斜率k與縱截距b,故斜截式y(tǒng)=kx+b適用于斜率存在的直線.(3)錯誤.直線y=2x-1在y軸上的截距為-1,而不是1.(4)錯誤.斜率為0,故斜率存在,故該直線能用點斜式表示.答案：(1)(2)(3)(4)第6頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四2.“練一練”嘗試知識的應(yīng)用點(請把正確的答案寫在橫線上).(1)直線l的點斜式方程是y-2=3(x+1),則該直線的斜率為.(2)

4、已知直線l的傾斜角為60,在y軸上的截距為-2,則該直線l的斜截式方程為.(3)直線l的點斜式方程是y- =2(x-1),則直線l的縱截距為.(4)過點(1,2)且與 平行的直線方程為_第7頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四【解析】(1)由直線的點斜式方程y-y0=k(x-x0)可知，直線l的斜率為k=3答案：3(2)直線l的傾斜角為60，所以直線的斜率k= ，又直線l在y軸上的截距為-2，所以直線l的斜截式方程為y= x-2答案：y= x-2第8頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四(3)根據(jù)直線l的點斜式方程是y- =2(x-1)，令x=0，得y=

5、-2，故該直線的縱截距為 -2答案： -2(4)設(shè)所求直線的方程為y=kx+b，則k=- ，把點(1,2)代入得2=- +b，所以b= ，故所求直線方程為 答案：第9頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四一、直線的點斜式方程探究1：觀察下面圖象并結(jié)合直線的點斜式方程,思考下列問題第10頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四(1)直線l過點P0(x0,y0),且斜率為k,那么直線上的點P(x,y)應(yīng)滿足什么條件?提示：直線l過點P0(x0,y0),且斜率為k,當(dāng)xx0時,由斜率公式得,直線l上的點P(x,y)滿足 所以點P(x,y)滿足y-y0=k(x-x0)

6、.當(dāng)x=x0,y=y0時也滿足y-y0=k(x-x0),故P(x,y)滿足y-y0=k(x-x0).第11頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四(2)直線l的點斜式方程能否寫成 ?提示：不能,直線l上的點都滿足y-y0=k(x-x0),而直線 不包含點P0(x0,y0).第12頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四(3)直線的點斜式方程能否表示坐標(biāo)平面上的所有直線?提示：不能.直線的點斜式方程的兩要素為斜率k與點P0(x0,y0),故只有斜率存在的直線才能用點斜式表示.探究提示：考慮斜率的取值.第13頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四探

7、究2：根據(jù)直線的點斜式方程y-y0=k(x-x0)及有關(guān)提示填空：(1)過點P0(x0,y0),平行于x軸的直線方程為.(2)過點P0(x0,y0),平行于y軸的直線方程為.提示：直線平行于x軸,其斜率為0,由直線的點斜式方程y-y0=k(x-x0),可知y=y0;平行于y軸的直線斜率不存在,故不能用直線的點斜式表示.因為這時,直線上的點的橫坐標(biāo)都等于P0(x0,y0)的橫坐標(biāo)x0,所以該直線的方程是：x=x0.答案：(1)y=y0(2)x=x0第14頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四【探究提升】直線的點斜式方程及其適用范圍(1)直線的點斜式方程y-y0=k(x-x0),

8、幾何要素：斜率k,定點P0(x0,y0).(2)適用范圍：斜率存在的直線.第15頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四二、直線的斜截式方程探究1：斜率為k,與y軸的交點為(0,b)的直線方程是什么?提示：根據(jù)直線的點斜式方程y-y0=k(x-x0),可得該直線的方程為y-b=k(x-0),化簡得y=kx+b,即直線的斜截式方程.第16頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四探究2：根據(jù)直線的斜截式方程y=kx+b,思考下列問題：(1)觀察直線方程y=kx+b,它的形式具有什么特點?提示：直線方程y=kx+b,左端y的系數(shù)恒為1,右端x的系數(shù)k和常數(shù)b均有明顯的

9、幾何意義,k是直線的斜率,b是直線在y軸上的截距.(2)能否將直線的斜截式方程y=kx+b寫成點斜式?它與直線的點斜式方程有何關(guān)系?提示：能,方程y=kx+b,可寫成y-b=k(x-0).直線方程的斜截式是點斜式的一種特殊情況第17頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四【探究提升】1.直線的點斜式與斜截式方程的關(guān)系(1)直線的斜截式方程是點斜式方程的特殊情況,即過定點P(0,b),它們都不能表示斜率不存在的直線.(2)在直線方程的各種形式中,點斜式是最基本的形式,它是推導(dǎo)其他形式的基礎(chǔ).(3)點斜式與斜截式是兩種常見的直線方程的形式,點斜式的形式不唯一,而斜截式的形式是唯一的

10、.第18頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四2.直線方程的斜截式與一次函數(shù)解析式的區(qū)別與聯(lián)系(1)斜截式方程中,k0時,y=kx+b即為一次函數(shù),k=0時,y=b不是一次函數(shù).(2)一次函數(shù)y=kx+b(k0)一定可以看成一條直線的斜截式方程.第19頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四【拓展延伸】直線y=kx+b在坐標(biāo)平面上的位置分布(1)當(dāng)k=0,b=0時,直線為x軸.(2)當(dāng)k=0,b0時,直線平行于x軸.(3)當(dāng)k0,b0時,直線過第一、二、三象限.(4)當(dāng)k0,b0時,直線過第一、三、四象限.(5)當(dāng)k0時,直線過第一、二、四象限.(6)當(dāng)k0,

11、b0時,直線過第二、三、四象限.第20頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四類型 一 直線的點斜式方程嘗試完成下列題目,體會利用點斜式求直線方程的步驟,能根據(jù)題目中的條件寫出直線的點斜式方程.1.過點(1,0),斜率為2的直線的點斜式方程為.2.直線l過點P(-2,3)且與x軸,y軸分別交于A,B兩點,若P恰為線段AB的中點,求直線l的點斜式方程.第21頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四【解題指南】1.由斜率和定點的坐標(biāo),根據(jù)直線的點斜式寫出直線的方程.2.先設(shè)出直線的斜率,再根據(jù)直線過定點寫出直線的點斜式方程,根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出直線的斜率,從而得出直

12、線的方程.第22頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四【解析】1.根據(jù)直線方程的點斜式，得直線的方程為y-0=2(x-1)答案：y-0=2(x-1)第23頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四2.設(shè)直線l的斜率為k，因為直線l過點(-2，3)，所以直線l的方程為y-3=kx-(-2)，令x=0，得y=2k+3；令y=0得所以A，B兩點的坐標(biāo)分別為A( -2,0)，B(0，2k+3).因為AB的中點為(-2，3)，所以 解得 ，所以直線l的方程為y-3= (x+2).第24頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四【技法點撥】求直線的點斜式方程的

13、三個步驟(1)確定直線要經(jīng)過的定點(x0,y0).(2)求出直線的斜率k.(3)由點斜式寫出直線的方程.第25頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四【變式訓(xùn)練】已知直線l過點A(2,-3).(1)若直線l與過點(-4,4)和(-3,2)的直線l平行,求其方程.(2)若直線l與過點(-4,4)和(-3,2)的直線l垂直,求其方程.【解題指南】根據(jù)已知條件求出直線斜率,代入點斜式方程求解.第26頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四【解析】(1)由斜率公式得因為l與l平行，所以kl=-2由直線的點斜式方程得y+3=-2(x-2).即y=-2x+1.(2)因為直線

14、l的斜率為k=-2，l與l垂直，所以kl= ，由直線的點斜式方程得y+3= (x-2).即y= x-4.第27頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四類型 二 直線的斜截式方程 試著解答下列題目,體會利用斜截式求直線方程的策略，能根據(jù)題目中的條件寫出直線的斜截式方程1.直線y=-2x-1的斜率與縱截距分別為( )A.-2，-1 B.2，-1C.-2，1 D.2，12.傾斜角為30，且過點(0,2)的直線的斜截式方程為_.3.直線l的方程是y= x+1，直線l的傾斜角比直線l的傾斜角小30，且直線l過點(3,4)，求直線l的方程第28頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51

15、分，星期四【解題指南】1.根據(jù)直線的斜截式得出直線的斜率與縱截距.2.由直線的傾斜角及點(0,2)得出直線的斜率及在y軸上的截距.3.先設(shè)出直線的斜截式方程,根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系求出直線的斜率,從而得出直線的方程.第29頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四【解析】1.選A.由直線的斜截式方程可知，直線y=-2x-1的斜率與縱截距分別為-2，-12.由題意知斜率k=tan 30=又直線過點(0,2)，所以直線在y軸上的截距為2,所以直線的斜截式方程為答案：第30頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四3.已知直線y= x+1的斜率為kl= ，所以直線l的傾斜

16、角為60，所以直線l的傾斜角為30，設(shè)直線l的斜截式方程為y=kx+b，則k=tan 30=又直線l過點(3,4),所以4= 3+b,所以b=4- ，所以直線l的方程為第31頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四【互動探究】若題3中的“直線l的傾斜角比直線l的傾斜角小30”改為“直線l與直線l的夾角為30”，求直線l的方程第32頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四【解析】已知直線y= x+1的斜率為kl= ，所以直線l的傾斜角為60，因此直線l的傾斜角為30或90.當(dāng)直線l的傾斜角為30時，直線l的斜率kl= ，所以直線l的方程為y-4= (x-3)，即y

17、= 當(dāng)直線l的傾斜角為90時，直線l的斜率不存在，又直線l過點(3,4)，所以直線l的方程為x=3所以直線l的方程為y= x- +4或x=3第33頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四【技法點撥】直線的斜截式方程的求解策略(1)求直線的斜截式方程只要分別求出直線的斜率和在y軸上的截距，代入方程即可(2)當(dāng)斜率和截距未知時，可結(jié)合已知條件，先求出斜率和截距，再寫出直線的斜截式方程(3)根據(jù)直線的方程判斷直線的位置關(guān)系，通常把直線轉(zhuǎn)化成斜截式的形式，利用斜率和截距的幾何意義作出判斷提醒：在利用直線的點斜式或斜截式求解直線方程時，注意直線的斜率是否存在第34頁，共51頁，2022年

18、，5月20日，8點51分，星期四類型 三 兩條直線的平行與垂直的應(yīng)用 通過完成下列題目,體會兩條直線的位置關(guān)系，并能根據(jù)兩條直線的位置關(guān)系解決有關(guān)問題1.已知直線l： 與直線l： 平行，且直線l： 與y軸的交點為(0,1)，則a=_,b=_.2.已知直線l與直線y=- x+1垂直，且與直線y=3x+5在y軸上的截距相同，求直線l的方程.第35頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四【解題指南】1根據(jù)兩直線的位置關(guān)系，得出所求直線的斜率，進(jìn)而可用所求直線與y軸的交點，得出直線在y軸上的截距，列方程組求解2.由兩直線垂直知兩直線的斜率之積等于-1，可求得l的斜率；根據(jù)與直線y=3x

19、+5在y軸上的截距相同，求出l的縱截距，從而得出直線l的方程.第36頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四【解析】1.由直線 與直線 平行，且直線l與y軸的交點為(0,1)，答案： 22.直線l與y=- x+1垂直，所以l的斜率為2;與直線y=3x+5在y軸上的截距相同，所以l的縱截距為5，所以直線l的方程為y=2x+5.第37頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四【技法點撥】判斷兩條直線位置關(guān)系的方法總結(jié)直線l1：y=k1x+b1,直線l2：y=k2x+b2.(1)若k1k2,則兩直線相交.(2)若k1=k2,則兩直線平行或重合,當(dāng)b1b2時,兩直線平行;

20、當(dāng)b1=b2時,兩直線重合.(3)特別地,當(dāng)k1k2=-1時,兩直線垂直.(4)對于斜率不存在的情況,應(yīng)單獨考慮.第38頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四【變式訓(xùn)練】當(dāng)a為何值時,直線l1：y=(2a-1)x-5與直線l2：y=4x+8垂直.【解析】由題意知,k1=2a-1,k2=4,因為l1l2,所以4(2a-1)=-1,解得a= ,所以當(dāng)a= 時,直線l1：y=(2a-1)x-5與直線l2：y=4x+8垂直.第39頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四拓展類型 平行直線系與垂直直線系嘗試完成下列題目,體會兩種直線系的區(qū)別與聯(lián)系,并能根據(jù)兩種直線系解決

21、有關(guān)問題.1.過點A(2,-3),且與直線y=-2x+5平行的直線l的方程為;與直線y=-2x+5垂直的直線l的方程為.2.直線l：y=kx+b與直線l：2x-y-4=0垂直,且直線l不過第三象限,試確定k,b的值.第40頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四【解題指南】根據(jù)兩直線的位置關(guān)系,得出所求直線的斜率,進(jìn)而可設(shè)出所求直線的斜截式方程,利用待定系數(shù)法求出直線在y軸上的截距.第41頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四【解析】1.已知直線為y=-2x+5,由l與其平行,則可設(shè)直線l的方程為y=-2x+b,又l過點A(2,-3),有-3=-22+b,所以

22、b=1,所以直線l的方程為y=-2x+1.由l與直線y=-2x+5垂直,則可設(shè)直線l的方程為y= x+c,又l過點A(2,-3),有-3= 2+c,所以c=-4,所以直線l的方程為y= x-4.答案：y=-2x+1y= x-4第42頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四2.由2x-y-4=0,得y=2x-4,因為ll,所以直線l的方程可設(shè)為y=- x+b,又直線l不過第三象限,所以b0.所以k=- ,b0.第43頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四【技法點撥】求與已知直線平行或垂直的直線的方法若已知直線l：y=kx+b與直線l平行的直線系方程可設(shè)為：y=kx+b;與直線l垂直的直線系方程可設(shè)為：y= +b(k0).若直線l的斜率不存在時與直線l平行的直線系方程可設(shè)為：x=b;與直線l垂直的直線系方程可設(shè)為：y=b.然后根據(jù)題中所給條件求出所設(shè)方程中的縱截距b.第44頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四1.過點(1,3)且斜率不存在的直線方程為()A.x=1 B.x=3C.y=1 D.y=3【解析】選A.過點(1,3)且斜率不存在的直線上的點的橫坐標(biāo)為1,故直線方程為x=1.第45頁，共51頁，2022年，5月20日，8點51分，星期四2.過點(2,0),且傾斜角是135的直線方程為()