高數(shù)函數(shù)項級數(shù)

1、高數(shù)函數(shù)項級數(shù)第1頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四1. 函數(shù)項級數(shù)的定義設(shè)有一函數(shù)序列為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù)項級數(shù).一、函數(shù)項級數(shù)第2頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四函數(shù)項級數(shù) 可以利用常數(shù)項級數(shù)的知識來處理函數(shù)項級數(shù)第3頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四2. 函數(shù)項級數(shù)的斂散性的收斂點(diǎn) .的發(fā)散點(diǎn) .第4頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四它的收斂域, 記為 D .它的發(fā)散域 .第5頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四3. 函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù).第6頁

2、，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四函數(shù)項級數(shù)的前 n 項之和為其部分和：不論級數(shù)在點(diǎn)處是否收斂, 均可寫出其部分和！如果級數(shù)在點(diǎn)處收斂, 則有第7頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四4. 函數(shù)項級數(shù)斂散性判別可以適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用常數(shù)項級數(shù)的斂散性判別法, 判別函數(shù)項級數(shù)的斂散性.特別注意比較判別法的應(yīng)用.思考：一致收斂？第8頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四并求其收斂域.即原級數(shù)在整個實(shí)數(shù)域上是絕對收斂的.所求收斂域?yàn)榻饫?第9頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四的斂散性, 并求其收斂域.這是等比級數(shù).故該級數(shù)

3、的收斂域?yàn)? 要打開思路!解例2第10頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四形如：的級數(shù)稱為冪級數(shù), 其中, 稱為冪級數(shù)的系數(shù).1. 冪級數(shù)的定義二. 冪級數(shù)及其斂散性第11頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四冪級數(shù)的一般形式：第12頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四當(dāng)冪級數(shù)收斂時, 由可知, 不論“和函數(shù)”多么復(fù)雜, 我們可以用多項式來近似它. 當(dāng) n 的值充分大時, 這種代替可達(dá)到相當(dāng)?shù)木?第13頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四由此可聯(lián)想到什么？2. 冪級數(shù)的斂散性分析：則由收斂的必要條件 , 有

4、而有極限的量必有界 , 故第14頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四它是收斂的, 結(jié)論:第15頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四（）收斂圖示:第16頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四（）發(fā)散若在外部一點(diǎn)收斂, 會怎么樣？推出第17頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四則由上面的分析可知, 所有滿足這與假設(shè)矛盾. 該矛盾說明: 當(dāng)原級數(shù)發(fā)散 .第18頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四由以上的分析發(fā)現(xiàn)：既有收斂點(diǎn), 又有發(fā)散點(diǎn), 則從坐標(biāo)原點(diǎn)開始沿數(shù)軸往右(左)走, 最初只可能遇到它的

5、收斂點(diǎn) ,然后就會只遇到它的發(fā)散點(diǎn), 這兩部分的分界是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的, 冪級數(shù)在分界點(diǎn)處可能收斂, 也可能發(fā)散.第19頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四（）收發(fā)冪級數(shù)在一個以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的對稱區(qū)間內(nèi)收斂, 在此區(qū)間外發(fā)散 , 在區(qū)間端點(diǎn)處冪級數(shù)可能收斂 , 也可能發(fā)散 .當(dāng)冪級數(shù)僅在第20頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四 現(xiàn)在請你回想并歸納一下剛才進(jìn)行的分析工作, 給出你的結(jié)論.第21頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四阿貝爾定理第22頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四冪級數(shù)斂散性定理都存在一

6、個非負(fù)第23頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四阿貝爾(1802 1829)挪威數(shù)學(xué)家, 近代數(shù)學(xué)發(fā)展的先驅(qū)者. 他在22歲時就解決了用根式解5 次方程的不可能性問題 , 他還研究了更廣的一 并稱之為阿貝爾群. 在級數(shù)研究中, 他得 到了一些判斂準(zhǔn)則及冪級數(shù)求和定理. 論的奠基人之一, 他的一系列工作為橢圓函數(shù)研究開拓了道路. 數(shù)學(xué)家們工作150年. 類代數(shù)方程, 他是橢圓函數(shù)C. 埃爾米特曾說: 阿貝爾留下的思想可供 后人發(fā)現(xiàn)這是一類交換群,第24頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四冪級數(shù)的收斂半徑我們稱上述定理中的非負(fù)數(shù) R 為冪級數(shù)的收斂半徑.

7、 如何求收斂半徑？第25頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四求收斂半徑的定理能證明嗎? 有點(diǎn)像達(dá)朗貝爾判別法？第26頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四由達(dá)朗貝爾判別法：討論要證第27頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四第28頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四第29頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四故此時冪級數(shù)發(fā)散, 僅當(dāng)?shù)?0頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四例3解綜上所述, 得:第31頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四誰的收斂半徑

8、？例4解第32頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四由交錯級數(shù)判別法, 可知此時級數(shù)收斂.第33頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四例5解第34頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四由級數(shù)收斂的必要條件, 可知綜上所述, 第35頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四這是一個缺項的冪級數(shù), 不能直接運(yùn)用求冪級數(shù)收斂半徑的計算公式. 今后遇到這類級數(shù)應(yīng)該按照函數(shù)項級數(shù)一般情形處理, 通常采用達(dá)朗貝爾判別法.例6解第36頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四根值求法：P288，定理5第37頁，共52

9、頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四 冪級數(shù)的運(yùn)算 冪級數(shù)的四則運(yùn)算 冪級數(shù)的解析運(yùn)算三. 冪級數(shù)的運(yùn)算第38頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四冪級數(shù)的四則運(yùn)算設(shè)有兩個冪級數(shù)：則有以下運(yùn)算規(guī)則第39頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四1. 加、減法第40頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四2. 乘 法 ( 對角線法 )第41頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四第42頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四就是說： 在兩個冪級數(shù)的公共收斂區(qū)間上可以像多項式那樣進(jìn)行加、減、乘的運(yùn)

10、算.除法運(yùn)算：P289第43頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四由收斂的必要條件知原級數(shù)發(fā)散.例7解第44頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四3. 冪級數(shù)的導(dǎo)數(shù)若則當(dāng)時,有：若原級數(shù)在收斂區(qū)間端點(diǎn)還收斂,則求導(dǎo)后的級數(shù)在端點(diǎn)可能變得發(fā)散.例如：第45頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四4. 冪級數(shù)的積分若則當(dāng)時,有若級數(shù)在逐項積分后所得級數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)還收斂,則等式在端點(diǎn)仍成立.冪級數(shù)在作微分積分運(yùn)算后其收斂半徑不變,但收斂區(qū)間可能改變.第46頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四書例：求和函數(shù)P291，例7P

11、291，例8第47頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四作業(yè)：P293，1（3）（5），2（1），4（3）思考：P293，5第48頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四內(nèi)容小結(jié)1. 求冪級數(shù)收斂域的方法1) 對標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)先求收斂半徑 , 再討論端點(diǎn)的收斂性 .2) 對非標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)(缺項或通項為復(fù)合式)求收斂半徑時直接用比值法或根值法,2. 冪級數(shù)的性質(zhì)兩個冪級數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進(jìn)行加、減與也可通過換元化為標(biāo)準(zhǔn)型再求 .乘法運(yùn)算. 第49頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星期四2) 在收斂區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)的和函數(shù)連續(xù);3) 冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)和求積分.思考與練習(xí) 1. 已知處條件收斂 , 問該級數(shù)收斂半徑是多少 ?答:根據(jù)Abel 定理可知, 級數(shù)在收斂 ,時發(fā)散 .故收斂半徑為第50頁，共52頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)47分，星