線性代數(shù)國(guó)際商學(xué)院主席團(tuán)2例題

1、線性代數(shù)例題精選-2x3 x4 2,2x x 4,34例 1 求解線性方： x 2x 4,34x3 7x4 9.【分析】方的增廣矩陣，對(duì)其施以初等行變換，將其化為行階梯形矩陣，若判別方有解，再繼續(xù)施以初等行變換，將其化為簡(jiǎn)化行階梯形矩陣?！窘狻糠降脑鰪V矩陣為 2112 1121 ，A 9 第一步，對(duì)其施以初等行變換：第 1 行與第 2 行互換位置，新第 1 行乘以(-2)加到第 2 行，新第 1 行乘以(-4)加到第 3 行，新第 1 行乘以(-3)加到第 4 行，有 10234 131 ，A 3 334第二步，繼續(xù)對(duì)其施以初等行變換：第 2 行乘以(-3)加到第 3 行，第 2 行乘以 1

2、加到第 4 行，將矩陣化為 112 ，A 6 09 003第三步，繼續(xù)對(duì)其施以初等行變換：第 2 行與第 3 行互換位置，新第 2 行乘以(-1)，新第 2行乘以(-3)加到第 3 行，將矩陣化為 112 ，A 24 09 003第三步，繼續(xù)對(duì)其施以初等行變換：第 3 行乘以(1/8)，新第 3 行乘以(-3)，將矩陣化為行階梯形矩陣， 112 ，A 3 000001/21線性代數(shù)例題精選-22014-4第四步，觀察行階梯形矩陣，倒數(shù)第一個(gè)非零行(第 3 行)，沒(méi)有出現(xiàn)主元在最后 1 列的情形，即方有解。且非零行的主元都為 1，只需將其所在列的其他元素化為 0，就可化為簡(jiǎn)化行階梯形矩陣。繼續(xù)對(duì)

3、其施以初等行變換：第 3 行乘以(-3)加到第 2 行，第 3 行乘以(-1)加到第 1 行，第 2 行乘以(-1)加到第 1 行，將矩陣化為簡(jiǎn)化行階梯形矩陣， 1 011 004 3 0100為0010A ， 03 00簡(jiǎn)化行階梯形矩陣所對(duì)應(yīng)的同解方x3x 4, 3, 3,x1x23x4x4 (稱(chēng)為主變?cè)?保留在等號(hào)左邊，含其余未把主元“1”所對(duì)應(yīng)的未的項(xiàng)都移到等號(hào)右邊，方為x4 x3 ,x13 x ,x233,4從上式可以看出， x3 取任一值，都可以求出相應(yīng) x1, x2 的值，進(jìn)而得到方的一個(gè)解，因此，原方有無(wú)窮多個(gè)解。注 利用矩陣的初等行變換，化增廣矩陣為行階梯形矩陣的順序是由上至下

4、的，觀察行階梯形矩陣，可判別方是否無(wú)解，在有解的情形下，繼續(xù)對(duì)矩陣施以初等行變換，將其化為簡(jiǎn)化行階梯形矩陣的順序是由下至上的，最后寫(xiě)出簡(jiǎn)化行階梯形矩陣所對(duì)應(yīng)的同解方。評(píng) 在簡(jiǎn)化行階梯形矩陣中，非零行的個(gè)數(shù) 3 小于未的個(gè)數(shù) 4，即主變?cè)獋€(gè)數(shù) 3 小于未個(gè)數(shù) 4，線性方矩陣所對(duì)應(yīng)的同解方必有未，因此線性方有無(wú)窮多個(gè)解。從簡(jiǎn)化行階梯形可以得到其一般解。：例 2. 求解線性方3x44x 0, 0, 0, 0.x336x47xx34x46x3【分析】【解】方的系數(shù)矩陣，將其化為行階梯形矩陣，判別方的系數(shù)矩陣，可否有非零解。方2 1213 ，A 第一步，對(duì)其施以初等行變換：第 1 行乘以(-2)加到第

5、2 行，第 1 行乘以(-3)加到第 3 行，第2/21線性代數(shù)例題精選-22014-41 行乘以(-1)加到第 4 行，有2224 1 0111232 A ， 0 02 4 第二步，繼續(xù)對(duì)其施以初等行變換：第 2 行乘以(-1)，新第 2 行乘以(-1)加到第 3 行，新第 2行乘以(-2)加到第 4 行，將其化為行階梯形矩陣，有2 200 1 011003 2 A ， 0 00 0 方非零行數(shù) r 2 4 n (未個(gè)數(shù))，依推論 1，有非零解，第三步，繼續(xù)對(duì)其施以初等行變換：第 2 行乘以(-1)加到第 1 行，將其化為簡(jiǎn)化行階梯形矩陣，有4 200 1 00100：1 2 A ， 0 0

6、0 0 寫(xiě)出簡(jiǎn)化行階梯形矩陣所對(duì)應(yīng)的同解方x4 0,x 0,4把主元“1”所對(duì)應(yīng)的未x1, x2 (稱(chēng)為主變?cè)?保留在等號(hào)左邊，含其余未等號(hào)右邊，得方的一般解為的項(xiàng)都移到x4 ,x ,4其中 x3 , x4 是未知量。例3試a為何值時(shí)，線性方有非零解，并求出其一般解，3 x4 0,(1 a)2x (2x 0,14 3x 3x (3 a)x 3x 0,1234x3 (4 a)x4 0.【解】方的系數(shù)矩陣，對(duì)其施以初等行變換，將矩陣化為3/21線性代數(shù)例題精選-22014-41 a1 a12 a34123 a4121a0010a01 0 2a234A ， 3a0 a 34 a 4a(1)當(dāng)a 0

7、時(shí)，上式后一矩陣非零行個(gè)數(shù)r 1 4 (未其一般解為個(gè)數(shù))，所以方有非零解，x4 ，x4 為其中未知量。(2)當(dāng)a 0 時(shí)，繼續(xù)對(duì)其施以初等行變換化，將矩陣化為 a 100 0 01000010234A ，0 1 由題設(shè)，原方有非零解，則上式后一矩陣非零行個(gè)數(shù) r 應(yīng)滿(mǎn)足 r 4 n (未個(gè)數(shù))，因此 a 10 ，此時(shí)方有非零解，上式后一矩陣所對(duì)應(yīng)的同解方為2x1 x2 0,3x x 0,134x x 0,14x2 2x1,其一般解為 x3 3x1 , 其中 x1 為未知量。x 4x , 41例4 當(dāng)a, b為何值時(shí)，線性方無(wú)解？有唯一解？有無(wú)窮多解？并在有無(wú)窮多解時(shí)求其一般解，x33x 1,

8、 3, a 1. 2x(a 3)x1232x(a 1)xbx123【解】方的系數(shù)行列式為13 1221a 3a 11220a 1a 101b 2 (a 1)(b 1) ，Ab(1)當(dāng) a 1 且b 1時(shí)，依法則，方有唯一解。(2)當(dāng) a 1 時(shí)，方的增廣矩陣，對(duì)其施以初等行變換，將其化為行階梯形矩陣， 111231 111 01 100A 2 0，31 22 0b 2 2b4/21線性代數(shù)例題精選-22014-4(i)當(dāng)b 2 時(shí)，行階梯形矩陣主元出現(xiàn)在最后一列，所以方無(wú)解。(ii)當(dāng)b 2 時(shí)，繼續(xù)對(duì)矩陣施以初等行變換，將其化為簡(jiǎn)化行階梯形矩陣， 111011 10 100010A 01 0

9、1 ， 00 00 00有無(wú)窮多個(gè)解，其一般解簡(jiǎn)化行階梯形矩陣非零行個(gè)數(shù) r 2 3 n (未個(gè)數(shù))，方x1 x2 ,其中 x2 為為未知量。x 1, 3(3)當(dāng)b 1時(shí)，方 1的增廣矩陣，對(duì)其施以初等行變換，將其化為行階梯形矩陣，111 111a 11001 A 2 01 ，a 333 2a 1a 1 0a 1(i)當(dāng)a 0 時(shí)，行階梯形矩陣主元出現(xiàn)在最后一行，所以方無(wú)解。(ii)當(dāng)a 0 時(shí)，繼續(xù)對(duì)其施以初等行變換，將其化為簡(jiǎn)化行階梯形矩陣， 111111 10 01001 0A 01 01 ， 00 00 00有無(wú)窮多個(gè)解，其一般解簡(jiǎn)化行階梯形矩陣非零行個(gè)數(shù) r 2 3 n (未個(gè)數(shù))，

10、方x1 0,其中 x 為x 1 x ,3為未知量。 23例 5 在向量空間 K 3 中，設(shè) 2 1 a 1 2 , 1 , 1 ， b ， 12310 4 c 5試問(wèn)當(dāng) a, b, c 滿(mǎn)足什么條件時(shí)， (1) 能由1,2 ,3 線性表示，且表示式唯一；(2) 不能由1,2 ,3 線性表示；(3) 能由1,2 ,3 線性表示；但表示式不唯一，并寫(xiě)出一般表達(dá)式。x33 的增廣矩陣，對(duì)其施以初等行變換，將其【解】(1)線性方化為行階梯形矩陣：5/21線性代數(shù)例題精選-22014-4 a2 151 141 2c 4b1a 40001( ) 2b 0(2 a)(5b c) 2 ab ，1 2 310c

11、 05b c有唯一解，即 能由1,2 ,3 唯一線性表示。當(dāng) a 4 (無(wú)論b, c 取何值)時(shí)，方當(dāng)a 4 時(shí)， 2c 4b 100010( ) 0，5b c1 2 3 03b c 1(i)當(dāng)3b c 1 0 時(shí)，行階梯形矩陣出現(xiàn)主元在最后一列的情形，方無(wú)解，即 不能由1,2 ,3 線性表示。(ii)當(dāng)3b c 1 0 ，即c 3b 1 時(shí)，行階梯形矩陣非零行的行數(shù) r 2 3 n ，方有無(wú)窮多個(gè)解，即 能由1,2 ,3 線性表示，但表示式不唯一，繼續(xù)對(duì)其施以初等行變換化為簡(jiǎn)化行階梯形矩陣： 21 b 100010( ) 01 2b ，1 2 3 00 x2 1 b 2x1,未知量 x1 k

12、 (k K ) ，則表示式可寫(xiě)為方的一般解為若令x 1 2b,3 k1 (1 b 2k )2 (1 2b)3, b, k K 。例 6 設(shè)向量組 I，II 及以向量組 I 與 II 中的向量組建的向量組(I, II) ，(I), r(II) r(I, II) r(I) r證明 maxr(II) 。(I) 0 ，則向量組I 只含零向量，所以 r(I, II) r【證】 如果 r(II) ，結(jié)論成立。如果 r(II) 0 ，則向量組II 只含零向量，所以 r(I, II) r(I) ，結(jié)論成立。0 ，不妨設(shè), ,i ， , , i 分別是如果 r(I) r1 0 且 r(II) r2iiii12r

13、112r2向量組 I，II 的極大無(wú)關(guān)組，則向量組(I, II) 中每個(gè)向量必可由向量組 , ,i , , , iiiii12r112r2線性表示，所以(I, II) 的極大無(wú)關(guān)組也可由 , ,i , , , i 線性表示，依定iiii12r112r26/21線性代數(shù)例題精選-22014-4理 2，r(I, II) r1 r2 r(I) r(II) ，(I, II) r ， , , i 為(I, II) 一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，則作為(I, II) 中向量，又設(shè) r3ii12r3 , ,i 可由 , , i 線性表示，又 , ,i 線性無(wú)關(guān)，所以定理2，r1 r3 ，iiiiii12r112r312r

14、1同理 r2 r3 ，即maxrank(I), r(II) r(I, II) 。 1 11例7 設(shè)數(shù)域 K 上的向量組(I) 0 , 1, 1 和向量組(II) 123 2 3 a 2 212 2 , 1 , ，1123 a 3 a 6 a 4 試問(wèn)當(dāng) a 為何值時(shí)，向量組(I)與向量組(II)等價(jià)；當(dāng) a 為何值時(shí)，向量組(I)與向量組(II)不等價(jià)?！痉治觥?容易驗(yàn)證向量組 1, 2 , 3 線性無(wú)關(guān)，所以 r(1, 2 , 3) 3 ，可以表示向量組a 為何值時(shí)， r(1,2 ,3 ) 3 ，此時(shí)K 3 中任一向量，從而只需(1,2 ,3 ) (1, 2 , 3) ，否則向量組(I)與向

15、量組(II)不等價(jià)?！窘狻?(1)由題設(shè)，以1,2 ,3 為列組成矩陣，對(duì)其施以初等行變換，將其化為行階梯形矩陣， 11131 11101( ) 0 0 ，111 2 3 2a 2 0a 1當(dāng) a 1 時(shí)，r(1,2 ,3 ) 3 ，向量組(I)線性無(wú)關(guān)，可視為 3 維向量組 K 的一個(gè)極大3無(wú)關(guān)組，因此向量組(II)可由(I)線性表示。又12a 321a 621a 412a 321a 6002123 6 0 ，即 r( , , ) 3 (無(wú)論 a 取何值)，向量組(II)線性無(wú)關(guān)，也可視為 3 維向量組 K 3 的一123個(gè)極大無(wú)關(guān)組，因此(I)可由(II)線性表示，從而向量組(I)與向量組

16、(II)等價(jià)。(2)當(dāng) a 1 時(shí)，r(1,2 ,3 ) 2 ，又 r(1, 2 , 3) 3 ，所以向量組(I)與向量組(II)7/21線性代數(shù)例題精選-22014-4不等價(jià)。注 事實(shí)上，秩相等的向量組未必等價(jià)，但是如果等秩的向量組同為極大無(wú)關(guān)組，當(dāng)然等價(jià)。 1 1 a 例 8 確定常數(shù)a ，使向量組 1 , a , 1 可由向量組 123 a 1 1 2 2 1 1 , a , a 線性表示，但向量組 , , 不能由向量組 , , 線 123123123 a 4a 性表示?！痉治觥?如果 a 的取值可使向量組之一的秩為 3，則該向量組可視為向量組 K 3 的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，當(dāng)然可表示任一向

17、量，于是可判別兩個(gè)向量組中哪個(gè)向量組可由另一個(gè)向量組線性表示。如果如果 a 的取值并沒(méi)使向量組之一秩為 3，則以 6 個(gè)向量為列組成矩陣，對(duì)其施以初等行變換，而行變換不改變列向量的線性相關(guān)性，再施判別?！窘狻?由題設(shè)， 11a1a 11a 10a( ) 11 0 ，1 a1 2 3 a1 0(a 2)(a 1) 2 a 42 122 1( ) 1 0a 2a 2 ，aa1 2 3 a 00a 4 (1)當(dāng) a 1 且 a 2 且 a 4 時(shí)， r(1, 2 , 3) 3 ，二向量組都可(1,2 ,3 ) r以視為向量組 K 3 的極大無(wú)關(guān)組，所以二向量組可互為表示，不合題意。(2)當(dāng) a 2

18、時(shí)，2 2 002 11 1( ) 011,( ) 0 ，101 2 31 2 3 0 000r(1,2 ,3) 2, r(1, 2 , 3) 2 ， 1122 111 0120 1a1a11010 ) 1 00 ，( 1aa4aa00001 2 31 2 3 a 01 顯然向量組 1, 2 , 3 不能由向量組1,2 ,3 線性表示，且向量組1,2 ,3 也不能由向量組 1, 2 , 3 線性表示，不合題意。8/21線性代數(shù)例題精選-22014-4(3)當(dāng) a 4 時(shí)，2 102 114 1( ) 011,( ) 0 ，101 2 31 2 3 01 00r(1,2 ,3 ) 3, r(1,

19、 2 , 3) 2 ，向量組1,2 ,3 可視為向量組 K 的極大無(wú)關(guān)3組，所以向量組 1, 2 , 3 可由向量組1,2 ,3 線性表示，但向量組1,2 ,3 不能由向量組 1, 2 , 3 線性表示，不合題意。(4)當(dāng) a 1 時(shí)，2 102 11 11( ) 000 ,( ) 0 ，111 2 31 2 3 00 00r(1,2 ,3) 1, r(1, 2 , 3 ) 3 ，向量組 1, 2 , 3 可視為向量組 K 的極大無(wú)關(guān)組，所3以向量組1,2 ,3 可由向量組 1, 2 , 3 線性表示，但向量組 1, 2 , 3 不能由向量組1,2 ,3 線)，合題意。故 a 1 為所求。性表

20、示(否則，二向量組等價(jià)，秩相等。例 9 設(shè)數(shù)域 K 上的含n( 2) 個(gè)方程的線性方： 0,(1 a)n2x (2 a)x 2x 0,12nnx1 nx2 (n a)xn 0,試a 為何值時(shí)，方【分析】 依據(jù)對(duì) a 值的有非零解，并用基礎(chǔ)解系表示其通解。，確認(rèn)系數(shù)矩陣的秩，進(jìn)而判斷方是否有非零解。【解】方的系數(shù)矩陣，對(duì)其施以初等行變換，1 a1 a12 an121a01 0 2a2nA ， a n a na(1)當(dāng)a 0 時(shí)， 1 01 0 100A ， 0 0 r( A) 1 n ，則方有非零解，此時(shí)同解方為9/21線性代數(shù)例題精選-22014-4xn ，其中 x2 , x3 , xn 為未

21、，其基礎(chǔ)解系可取為 1 1 1 1 0 0 1 0 ，2 1， ，n1 0 ， 0 0 1從而方的通解為X k11 k22 kn1n1, k1, kn1 K 。(2)當(dāng)a 0 時(shí)，對(duì)其施以初等行變換化為 a n(n 1)0 0A 22n100 ， 1 n(n 1)當(dāng) a 時(shí)， r( A) n 1 n ，方有非零解，此時(shí)同解方為2 x2 2x1, x 3x ,31 xn nx1 ,其中 x1 為未，因此原方的一個(gè)基礎(chǔ)解系可取為 1 2 ， n 則方的通解為X k , k K 。n(n 1)(3)當(dāng) a 0 且a 時(shí)，方僅有零解。2評(píng) 本例的系數(shù)矩陣含有未知參數(shù)，所以在施以初等行變換時(shí)，并沒(méi)有將矩

22、陣直接化為行階梯形矩陣，而是通過(guò)對(duì)未知參數(shù) a 的，來(lái)確定系數(shù)矩陣的秩，進(jìn)而確定方例10 設(shè) A (aij ) 是 m n 矩陣， r( A) r(1 r n) ，以 A 為系數(shù)矩陣的組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為的通解。線性方程10/21線性代數(shù)例題精選-22014-4 b1,nr b11 b12 b b b 21 ， 22 ， ， 2,nr ，nr12 b b b n1 n 2 n,nr 設(shè)矩陣 B 是以 ， ， ， 為行向量組的(n r) n 的矩陣，12試求以 B 為系數(shù)矩陣的nr 線性方的一個(gè)基礎(chǔ)解系?！痉治觥咳?A 的行向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，即為以 B 為系數(shù)矩陣的線性方個(gè)基礎(chǔ)解系。的一【解

23、】由題設(shè)，矩陣 B 的行向量組的秩為 n r ，以 B 為系數(shù)矩陣的線性方的基礎(chǔ)解系應(yīng)含n (n r) r 個(gè)解向量，由于1，2， ，nr 是以 A 為系數(shù)矩陣的的一個(gè)基礎(chǔ)解系，所以線性方 a11b1 j a12b2 j a1nbnj 0, ab a b a b 0,21 1 j22 2 j2n njj 1, 2, n r ，am1b1 j am 2b2 j amnbnj 0,由此可知，矩陣 A 的行向量是方b11 y1 b21 y2 bn1 yn 0,b y b y b y 0,12 122 2n 2 nb1,nr y1 b2,nr y2 bn,nr yn 0,解向量，取 A 的行向量組的一

24、個(gè)極大無(wú)關(guān)組，因 r( A) r ，則極大無(wú)關(guān)組中應(yīng)含 r 個(gè)向量，則這 r 個(gè)向量即為以 B 為系數(shù)矩陣的線性方的一個(gè)基礎(chǔ)解系。例11 已知4階矩陣 A (1234 ) ，其中1,2 ,3,4 為 A 的列向量，2 ,3,4 線性無(wú)關(guān)，且1 22 3 ， 1 2 3 4 ，x33 x44 的通解。的通解，需求其一特解及導(dǎo)出組的一基礎(chǔ)解系，可利用求線性方【分析】求非線性方1,2 ,3,4 的線性相關(guān)性及 可由1,2 ,3,4 線性表示來(lái)求解。x44 O ，將1 22 3 代入，【解】 導(dǎo)出組x3 )3 x44 O ，x1 x3 x4 0 ，即得導(dǎo)出組的一般解(2因?yàn)? ,3,4 線性無(wú)關(guān)，所以

25、11/21線性代數(shù)例題精選-22014-41x2 2x1, 2 未x1 1 ，得導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系 ，x x ,令311x 0,4011 為由題設(shè)， ，即x x 的一特解，1123403 34 41 x33 x44 的通解為 X 0 k, (k K ) ( K 為方線性方所屬的數(shù)域)。評(píng) 本例利用1,2 ,3,4 的線性相關(guān)性求出導(dǎo)出組解系，利用 可由1,2 ,3,4 線性表示求出x44 O 的基礎(chǔ)x33 x44 的一個(gè)特解。 1 1x x 0,34x3 2x4 0,已知 是該方例 12 設(shè)線性方的 1 x 4x 1, 134一個(gè)解，試求(1)該方的全部解，并用對(duì)應(yīng)的方的基礎(chǔ)解系表示全部解；

26、滿(mǎn)足 x2 x3 的全部解。(2)該方【分析】 將 代入方，可找到 與 的一個(gè)關(guān)系式，再 與 的取值，確定系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩是否相等，進(jìn)而判別方 1 1解的情形。【解】 (1)將 代入方，得 ，方的增廣矩陣 A ，對(duì)其施以初等 1 1行變換，將其化為行階梯形矩陣，11 1 10 00121A 2，2 12(2 1)2 112(1)當(dāng) ( A) r( A) 3 4 (未時(shí)，設(shè)系數(shù)矩陣為 A ， r的個(gè)數(shù))，方有無(wú)窮多個(gè)解，繼續(xù)對(duì)矩陣施以初等行變換，將其化為簡(jiǎn)化行階梯形矩陣，12/21線性代數(shù)例題精選-22014-4 10 01000111 21 2 A 01 2 ， 01 2 x1 x4

27、 ,0 1 2 11 ，一特解 x , 令 0 ，得方的一般解為 xx方未 1 2 244022110 x x3422 2 x1 x4 , 11 2 ，得導(dǎo)出組一基礎(chǔ)解系 ，x x , 令x其導(dǎo)出組為未 12442x12 x342該方的全部解為 X 0 k, (k K ) ( K 為方1所屬的數(shù)域)。當(dāng) 時(shí)，此時(shí)矩陣變?yōu)? 10 1 2 101 2 30110A 01 ， 00 r( A) 2 4 (未因?yàn)?r( A)的個(gè)數(shù))，方有無(wú)窮多個(gè)解， 11 301 2 0101 210A 0，10 01 x方的一般解為,x 0, x 0 ，代入得方42令未一特34x ,4 1 2 100 x, x

28、1 0 ，其導(dǎo)出組為 解43,，得 x 0 2 令未分別取1 4 x ,413/21線性代數(shù)例題精選-22014-4 11 3 2 , ，導(dǎo)出組的一基礎(chǔ)解系為121002方的全部解為 X 1 k11 k22 ,(k1, k2 K ) 。 2 0 1 2 11(2)當(dāng) 時(shí)，方有無(wú)窮多個(gè)解，其通解為 X k k , 1 2 10202111其中滿(mǎn)足 x2 x3 ，即 2 k 2 k ，k ，代入通解得2 2 10 1 2 1 0 1X k 。 1 22 10 0 1 0212當(dāng) 時(shí)，方有無(wú)窮多個(gè)解，其通解為 1 2 11 3 2 100 k k ，X k k 1 2 11 12 210021其中滿(mǎn)

29、足 x2 x3 ，即1 3k1 2k2 k1 ，k2 2 2k1 ，代入通解得 1 2 1 113 3 2 0 10011 k ( 2k ) k, (k K )X1 0 1 111201 1 4 02( K 為方所屬的數(shù)域)。 1, 1, 有 3 個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，例已知非線性方3 bx 1,a34(1)證明方系數(shù)矩陣 A 的秩 r(A)=2；(2) 求 a, b 的值及方的通解。1143 0 ，所以 r(A)2，又設(shè)方【證】(1)方系數(shù)矩陣 A 知，的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量為1,2 ,3 ，則 1 1 2 , 2 1 3 是其導(dǎo)出組 AX=O 的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，14/21線性代數(shù)例題精選-22

30、014-4故 AX=O 的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)2，即 4-r(A)2，從而 r(A)4-2=2，因此 r(A)=2?！窘狻?2) 對(duì) AX=b 的增廣矩陣施以初等行變換11 1 11315111111(Ab) 4 ，1 04 2a a 5因方有解，r(A)=r(Ab)=2，所以 a=2，b=-3。于是 r(A)=r(Ab)=23，此時(shí)方窮多解，增廣矩陣施以初等行變換化為行最簡(jiǎn)形有無(wú)24 10102 (Ab) 03 ，1050 002 3x ,得一特解為 ，45x4 ,為其對(duì)應(yīng)的同解方00 2 4 5x ,1 , ，得一基礎(chǔ)解系為4其導(dǎo)出組為12x ,10401故方的全部解為 2 2 4 5

31、31k k k k ，其中 k1, k2 為任意常數(shù)。1 2 1 12 21000102x3 1， 0 -3例14 已知 = 1 ， = 2 是線性方4x 1， 的兩個(gè)解， 123 0 2 axbxcx d， 的全部解。123求此方【解】由12知，線性方AX=b有無(wú)窮多解，故其導(dǎo)出組AX=O的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)3-r(A)1，r(A) 2。又由系數(shù)矩陣A的前兩行不成比例知 r(A)2，從而r(A)=2。故其導(dǎo)出組AX=O的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)為3-2=1，取基礎(chǔ)解系為3 1 ，12 2 0 3則方程的一般解為 X 1 k 1(k為任意常數(shù))。 0 2 15/21線性代數(shù)例題精選-2201

32、4-4x3 0,x3 0,x bx cx 0,1232x b2 x (c 1)x 0,例 15 設(shè)線性方(I)和 (II)1x x ax 0,23123同解，求 a, b, c 的值?！窘狻恳蚍?II)的方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)，故(II)必有無(wú)窮多個(gè)解，由(I)與()同解知 (I)必有無(wú)窮多個(gè)解，(I)的系數(shù)矩陣 A 的秩 r( A) 3 （未知量個(gè)數(shù)），對(duì) A 施以初等行變換化為階梯形矩陣 13 120101A 235 01 1a 0a 21 101因 r( A) 3 ，所以 a 2 ，從而有 A 011 ，故秩 r( A) 2 。 000 1 x 0,x解得(I)的一個(gè)基礎(chǔ)解系為 1 ，1

33、3(I)同解的方為與方x x ,0 23 1 1所以(I)的全部解為 k 1 ， k 為任意常數(shù)， 1 1 ，它也是()的解，代人方取(I)的一個(gè)解()應(yīng)滿(mǎn)足方程，故3 1 b c ,0b ,1b ,0有解得或 2 b c 1 0,c ,2c 12，(1)當(dāng)b 1, c 2 時(shí)，對(duì)()的系數(shù)矩陣 B 施以初等行變換化為階梯形矩陣 1112 101B 2 3 011x1 x3 0,x與方(II)同解的方為顯然此時(shí)方(II)與方(I)同解。 x ,0 23(2)當(dāng)b 0, c 1時(shí)，對(duì)()的系數(shù)矩陣 B 施以初等行變換化為梯形矩陣 11 11000B 000秩 r(B) 1，從而()的基礎(chǔ)解系由3

34、 r(B) 2 個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量組成，故此時(shí)方16/21線性代數(shù)例題精選-22014-4(II)與方(I)不同解。綜上所述 a 2, b 1, c 2 。 11 a 例 16 設(shè) A 0 10 , b 1 ，已知線性方AX=b 存在兩個(gè)不同的解， 1 1 1(1)求，a；(2)求方 AX=b 的通解?！窘狻?1) 已知 AX=b 有 2 個(gè)不同的解，所以 r( A) r( A, b) 3 ，即| A | 0 ，10 110 ( 1)2 ( 1) 0,| A |11知=1 或=-1。當(dāng)=1 時(shí)， r( A) 1 r( A, b) 2 ，此時(shí) Ax b 無(wú)解，所以 1 ，代入由r( A) r(

35、A, b) ， a 2 。 13210 12 12 1101( A, b) 01 0 1 102 110000原方等價(jià)為x 32 x133xx1 x3 ,122 ，x 即，所以21 ,xxx x2233所以 AX=b 的通解為 3 21 X k 0 1 ，k 為任意常數(shù)。 2 1 017/21線性代數(shù)例題精選-22014-4 1 0a1000a100 1 0 1例 17 設(shè)矩陣 A ，及列向量 ， 0 aa 1 0 0 A(1)計(jì)算行列式；AX 有無(wú)窮多解，并求其通解。(2)當(dāng)實(shí)數(shù)a 為何值時(shí)，方【解】(1) | A | 1 (1)5 a a3 1 a 4 。(2)當(dāng)a 1 及a 1 時(shí)， |

36、 A | 0 ，此時(shí) AX 無(wú)解或有無(wú)窮多解。當(dāng) a 1 時(shí)， 1 01 12 1100011000110100001011 101 01A 0 0 10 0 0 00 r( A) r( A) 3 4 (方個(gè)數(shù))，所以 AX 有無(wú)窮多解，其通解為未 1 2 1 k ， k 為任意常數(shù)。X 1 0 01當(dāng) a 1 時(shí)，1 100111 0 11 10 01 10001 1010000101 010A ,0 00 0 0 10 0r( A) r( A) 3 4 (方個(gè)數(shù))，所以 AX 有無(wú)窮多解，其通解為未1 0 k1 ， k 為任意常數(shù)。X1 0 1 0 例18 設(shè) * 是非線性方的一個(gè)解向量，

37、 , ,是其導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，12nr證明(1) , , ,*線性無(wú)關(guān)；nr 12(2) , , , * *的 n r 1個(gè)線性無(wú)關(guān)的解；是該非方nr 1218/21線性代數(shù)例題精選-22014-4可表示為這 n r 1個(gè)解的線性組合，而且組合系數(shù)之和為1。(3)該非方的任一【分析】 (1)依據(jù) * 是非線性方的一個(gè)解向量，顯然不能由導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系 , ,線性表示，進(jìn)而證明 , ,*,線性無(wú)關(guān)。(2)顯然nrnr 1212 , , , * *是該非線性方的解，由(1)的結(jié)論，可證該組線性nr 12無(wú)關(guān)。(3)依據(jù)非線性方解的結(jié)構(gòu)求證?！咀C】 (1)設(shè)k k k k O ，則必有 k 0

38、，否則 * 可由*nr nr 01 12 20 , ,線性表示，這與 * 是非的一個(gè)解向量。將 k 0 代入上線性方nr120式，得 k11 k22 knrnr O ，又因?yàn)?,2 ,nr 是基礎(chǔ)解系，線性無(wú)關(guān)，所以k k k 0 ，即 k k k k 0 ，所以 , , ,*線性無(wú)關(guān)。12nr 012nr12nr (2)由題設(shè)，顯然 , , , * *是非線性方的解，設(shè)nr 12l l ( ) l ( * ) l *) O ，(nr nr 01122 l l l O ，由(1)知， , , ,即(l l l)*線性無(wú)nr nr nrnr 011 12 212關(guān)，所以l 0 l1 l 2 l nr 0,即 l0 l1 l 2 l nr 0 ， l l 0,l12nr 從而 , , , * *線性無(wú)關(guān)。nr 12(3)設(shè) X 為該線性方的任一解，則 X 可表示為X t t t*，1 12 2nr nr t ( ) t (