數(shù)值計(jì)算方法習(xí)題

1、下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似數(shù)，試指岀它們有幾位有效數(shù)字以及它們的絕對(duì)誤差限、相對(duì)誤差限。(1)兀二1皿1；(2)；(3)；(4)；(5)疋二仆W(6)璋二0.10 x12；(7)右二654300；(1)廠ixio45,:1x104；(2)2,3丄:,-1；(3)4,-X1024IxlO-3，;(4)5,IxlO-32,xlO；(5)1,丄,14;(6)2,”，IxlO-1(7)6,IxlO-4,丄:O,x*的相對(duì)誤差為6,求f(x)=lnx的誤差限。解：求1nx的誤差極限就是求f(x)=lnx的誤差限，有故即已知x*的相對(duì)誤差滿足下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似值，試指出它們有幾位有

2、效數(shù)字，并給出其誤差限與相對(duì)誤差限。解：直接根據(jù)定義得有5位有效數(shù)字，其誤差限相對(duì)誤差限有 位有效數(shù)字，有 #位有效數(shù)字，有 位有效數(shù)字，有 位有效數(shù)字，下列公式如何才比較準(zhǔn)確？1)2)解：要使計(jì)算較準(zhǔn)確，主要是避免兩相近數(shù)相減，故應(yīng)變換所給公式。2)1)近似數(shù)x*=0.0310,是位有(3位)有效數(shù)字。13.計(jì)算取13.計(jì)算取)式計(jì)算誤差最小。四個(gè)選項(xiàng)：習(xí)題二已知乳6=1=2丁=4,求九）的二次值多項(xiàng)式。（x）=-1X2+1令心=0內(nèi)7求產(chǎn)的一次插值多項(xiàng)式，并估計(jì)插值誤差。解：珂=1+0】-1）工；，&介于x和0,1決定的區(qū)間內(nèi)；辰尾，當(dāng)（叮）時(shí)。給出函數(shù)的數(shù)表，分別用線性插值與二次插值求池

3、呻幼1的近似值，并估計(jì)截?cái)嗾`差。0.54667，0.000470；0.54714，0.0000290.40.50.60.70.8sinx0.389420.479430.564640.644220.71736設(shè)，試?yán)美窭嗜沼囗?xiàng)定理寫出以-1丄2為節(jié)點(diǎn)的三次插值多項(xiàng)式。十-（JC4-1）工（兀-1（片一2）=Zx34-X3-H已知，求/霞現(xiàn)及兀鞏2】,于的值。1，0根據(jù)如下函數(shù)值表求四次牛頓插值多項(xiàng)式，并用其計(jì)算八昵）和畑的近似值。氏1用25那跖，/（1.813）沁2.982S1X1.6151.6341.7021.8281.921F(x)2.414502.464592.652713.03035

4、3.34066已知函數(shù)y=/W的如下函數(shù)值表，解答下列問題（1）試列出相應(yīng)的差分表；（2）分別寫出牛頓向前插值公式和牛頓向后插值公式。X0.00.10.20.30.40.5f(x)1.001.321.682.082.523.00解：向前插值公式巴=哄M=口曲+0.302+1.00向后插值公式EO）=ES-X）=山時(shí)-0-50；+3.002忙宕下表為概率積分的數(shù)據(jù)表，試問：1）翊2時(shí),積分卩=?2）工為何值時(shí)，積分P=0.5？0.495552B04769359X0.460.470.480.49P0.4846550.49374520.50274980.5116683利用弘）_珀1在叮2婦45各點(diǎn)的

5、數(shù)據(jù)（取五位有效數(shù)字），求方程班話U在03和0.4之間的根的近似值。0.3376489依據(jù)表10中數(shù)據(jù)，求三次埃爾米特插值多項(xiàng)式。4-3xx01y01y-3911.依據(jù)數(shù)表11中數(shù)據(jù)，利用基函數(shù)方法，構(gòu)造四次埃爾米特插值X012Y0-23y0112.在上給出的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表，用分段線性插值求滬的近似值，要使截?cái)嗾`差不超過，問函數(shù)表的步長h應(yīng)怎樣選??？0.0003S將區(qū)間岡閔分成n等分，求蝕）在岡閔上的分段三次埃爾米特插值多項(xiàng)式，并估計(jì)截?cái)嗾`差。區(qū)佝訃躋的數(shù)值表14、給定用線性插值與二次插值計(jì)算ln054的近似值并估計(jì)誤差限解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并應(yīng)

6、用誤差估計(jì)。線性插值時(shí)，用0.5及0.6兩點(diǎn)，用Newton插值誤差限，因，故三點(diǎn)，作二次Newton插值二次插值時(shí)，用0.5，0.6，0.7誤差限 、 、，故的等距在-4WxW4上給出節(jié)點(diǎn)函數(shù)表，若用二次插值法求的近似值，要使誤差不超過多少?，函數(shù)表的步長h應(yīng)取解：用誤差估計(jì)式，16、若，求解：由均差與導(dǎo)數(shù)關(guān)系于是17、若互異，求的值，這里pWn+l解：，由均差對(duì)稱性可知當(dāng)而當(dāng)P=n+1時(shí)于是得18、求證解：只要按差分定義直接展開得19、已知的函數(shù)表求出三次Newton均差插值多項(xiàng)式，計(jì)算f(023)的近似值并用均差的余項(xiàng)表達(dá)式估計(jì)誤差.解：根據(jù)給定函數(shù)表構(gòu)造均差表當(dāng)n=3時(shí)得Newton均

7、差插值多項(xiàng)式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-02)+017400 x(x-02)(x-03)由此可得f(0.23)N3(0.23)=0.23203由余項(xiàng)表達(dá)式可得由于20、給定f(x)二cosx的函數(shù)表用Newton等距插值公式計(jì)算cos0.048及cos0.566的近似值并估計(jì)誤差.解：計(jì)算插公式，用n=4得Newton前誤差估計(jì)其中計(jì)算時(shí)用Newton后插公式（5.18）誤差估計(jì)得這里仍未0.56521.求一個(gè)次數(shù)不高于四次的多項(xiàng)式p(x),使它滿足解：這種題目可以有很多方法去做，但應(yīng)以簡單為宜。此處可先造使它滿足，顯然，再令p(x)=x2(2-x)+Ax2(xT)2由p(2)=l求出A=，于是22.令稱為第二類Chebyshev多項(xiàng)式，試求的表達(dá)式，并證明是-1,1上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式序列.解：因23、用最小二乘法求一個(gè)形如的經(jīng)驗(yàn)公式，使它擬合下列數(shù)據(jù)，并計(jì)算均方誤差.，即解：本題給出擬合曲線，故法方程系數(shù)法方程為解得最小二乘擬合曲線為均方程為1)滿足條件插值多項(xiàng)式