經(jīng)濟數(shù)學微積分二階常系數(shù)線性微分方程課件

1、經(jīng)濟數(shù)學微積分二階常系數(shù)線性微分方程課件經(jīng)濟數(shù)學微積分二階常系數(shù)線性微分方程課件一、定義二階常系數(shù)齊次線性方程的標準形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標準形式一、定義二階常系數(shù)齊次線性方程的標準形式二階常系數(shù)非齊次線性二、線性微分方程的解的結構1.二階齊次方程解的結構問題:二、線性微分方程的解的結構1.二階齊次方程解的結構問題:例如觀察有例如觀察有2.二階非齊次線性方程的解的結構2.二階非齊次線性方程的解的結構解的疊加原理解的疊加原理都是微分方程的解,是對應齊次方程的解,常數(shù)所求通解為例1都是微分方程的解,是對應齊次方程的解,常數(shù)所求通解為例1三、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-特征方程法將其代入上述

2、方程, 得故有特征方程特征根三、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-特征方程法將其代入上1)有兩個不相等的實根兩個線性無關的特解得齊次方程的通解為特征根為1)有兩個不相等的實根兩個線性無關的特解得齊次方程的通解為特2) 有兩個相等的實根一特解為得齊次方程的通解為特征根為2) 有兩個相等的實根一特解為得齊次方程的通解為特征根為3)有一對共軛復根重新組合得齊次方程的通解為特征根為3)有一對共軛復根重新組合得齊次方程的通解為特征根為定義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.解特征方程為解得故所求通解為例2定義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根解特征方程為解得故所求解特征方程為解得

3、故所求通解為例3解特征方程為解得故所求通解為例3經(jīng)濟數(shù)學微積分二階常系數(shù)線性微分方程課件二階常系數(shù)非齊次線性方程對應齊次方程通解結構常見類型難點：如何求特解？方法：待定系數(shù)法.四、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性方程對應齊次方程通解結構常見類型難點：如設非齊次方程特解為代入原方程整理得1. 型設非齊次方程特解為代入原方程整理得1. 綜上討論綜上討論解對應齊次方程通解特征方程特征根代入方程, 得原方程的通解為例5解對應齊次方程通解特征方程特征根代入方程, 得原方程的通解為解對應齊次方程通解特征方程特征根代入方程, 得原方程的通解為例6解對應齊次方程通解特征方程特征根代入方程, 得

4、原方程的通解為特別地特別地解對應齊次方程通解代入原方程求得原方程通解為例7解對應齊次方程通解代入原方程求得原方程通解為例7解對應齊次方程通解代入原方程求得例8原方程通解為解對應齊次方程通解代入原方程求得例8原方程通解為五、小結1.線性方程解的結構；2.二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應的通解. 五、小結1.線性方程解的結構；2.二階常系數(shù)齊次微分方程求通經(jīng)濟數(shù)學微積分二階常系數(shù)線性微分方程課件( 待定系數(shù)法求特解 )( 待定系數(shù)法求特解 )思考題1.求微分方程 的通解.2.寫出微分方程的待定特解的形式. 3.

5、寫出微分方程的待定特解的形式. 思考題1.求微分方程 思考題解答令則特征根通解思考題解答令則特征根通解思考題解答2.設 的特解為設 的特解為則所求特解為特征根（重根）思考題解答2.設 思考題解答則所求特解為特征根設 的特解為3.原方程可化為設 的特解為思考題解答則所求特解為特征根設 練 習 題 練 習 題 經(jīng)濟數(shù)學微積分二階常系數(shù)線性微分方程課件經(jīng)濟數(shù)學微積分二階常系數(shù)線性微分方程課件 練習題答案練習題答案經(jīng)濟數(shù)學微積分二階常系數(shù)線性微分方程課件也可以引入虛變量，建立一個統(tǒng)一的模型（Gujarati方法）也可以引入虛變量，建立一個統(tǒng)一的模型（Gujarati方法）分段分段 n0未知，但 一般可

6、以選擇不同的n0 ，進行試估計，然后從多次試估計中選擇最優(yōu)者。選擇的標準是使得兩段方程的殘差平方和之和最小。 n0未知，且 將n0看作待估參數(shù)，用最大或然法進行估計。 （2）n0未知 n0未知，但 一般可以選擇不同的n0 ，*二、隨機變參數(shù)模型*二、隨機變參數(shù)模型 參數(shù)在一常數(shù)附近隨機變化 將原模型轉換為具有異方差性的模型，而且已經(jīng)推導出隨機誤差項的方差與解釋變量之間的函數(shù)關系。 參數(shù)在一常數(shù)附近隨機變化 將原模型轉換為具有異方差性的?？梢圆捎媒?jīng)典線性計量經(jīng)濟學模型中介紹的估計方法，例如加權最小二乘法等方法很方便地估計參數(shù)。一種普遍的形式是1968年提出的的變參數(shù) Hildreth-Houck

7、模型 。 可以采用經(jīng)典線性計量經(jīng)濟學模型中介紹的估計方法，例如加權最小 參數(shù)隨某一變量作規(guī)律性變化，同時受隨機因素影響 將原模型轉換為具有異方差性的多元線性模型。 參數(shù)隨某一變量作規(guī)律性變化，同時受隨機因素影響 將原模型 可以采用經(jīng)典線性計量經(jīng)濟學模型中介紹的估計方法，例如加權最小二乘法等方法很方便地估計參數(shù)。 可以采用經(jīng)典線性計量經(jīng)濟學模型中介紹的估計方法，例如加權最 自適應回歸模型 由影響常數(shù)項的變量具有一階自相關性所引起。是實際經(jīng)濟活動中常見的現(xiàn)象。 采用廣義最小二乘法（GLS）估計模型參數(shù) 。 自適應回歸模型 由影響常數(shù)項的變量具有一階自相關性所引起8.2簡單的非線性單方程計量經(jīng)濟學模

8、型 一、非線性單方程計量經(jīng)濟學模型概述 二、非線性普通最小二乘法 三、例題及討論8.2簡單的非線性單方程計量經(jīng)濟學模型 一、非線性單方程計說明非線性計量經(jīng)濟學模型在計量經(jīng)濟學模型中占據(jù)重要的位置 ；已經(jīng)形成內容廣泛的體系，包括變量非線性模型、參數(shù)非線性模型、隨機誤差項違背基本假設的非線性問題等；說明非線性計量經(jīng)濟學模型在計量經(jīng)濟學模型中占據(jù)重要的位置 ；非線性模型理論與方法已經(jīng)形成了一個與線性模型相對應的體系，包括從最小二乘原理出發(fā)的一整套方法和從最大或然原理出發(fā)的一整套方法。本節(jié)僅涉及最基礎的、具有廣泛應用價值的非線性單方程模型的最小二乘估計。非線性模型理論與方法已經(jīng)形成了一個與線性模型相對

9、應的體系，包一、非線性單方程計量經(jīng)濟學模型概述一、非線性單方程計量經(jīng)濟學模型概述 解釋變量非線性問題 現(xiàn)實經(jīng)濟現(xiàn)象中變量之間往往呈現(xiàn)非線性關系 需求量與價格之間的關系 成本與產(chǎn)量的關系 稅收與稅率的關系 基尼系數(shù)與經(jīng)濟發(fā)展水平的關系通過變量置換就可以化為線性模型 解釋變量非線性問題 現(xiàn)實經(jīng)濟現(xiàn)象中變量之間往往呈現(xiàn)非線性 可以化為線性的包含參數(shù)非線性的問題 函數(shù)變換 級數(shù)展開 可以化為線性的包含參數(shù)非線性的問題 函數(shù)變換 級數(shù)展開 不可以化為線性的包含參數(shù)非線性的問題 與上頁的方程比較，哪種形式更合理？直接作為非線性模型更合理。不可以化為線性的包含參數(shù)非線性的問題 與上頁的方程比較，哪二、非線性

10、普通最小二乘法二、非線性普通最小二乘法 普通最小二乘原理 殘差平方和 取極小值的一階條件 如何求解非線性方程？ 普通最小二乘原理 殘差平方和 取極小值的一階條件 如何求 高斯牛頓(Gauss-Newton)迭代法 高斯牛頓迭代法的原理 對原始模型展開臺勞級數(shù)，取一階近似值 高斯牛頓(Gauss-Newton)迭代法 高斯牛頓經(jīng)濟數(shù)學微積分二階常系數(shù)線性微分方程課件 構造并估計線性偽模型構造線性模型估計得到參數(shù)的第1次迭代值迭代 構造并估計線性偽模型構造線性模型估計得到參數(shù)的第高斯牛頓迭代法的步驟高斯牛頓迭代法的步驟 牛頓拉夫森(Newton-Raphson)迭代法 自學，掌握以下2個要點牛頓拉

11、夫森迭代法的原理 對殘差平方和展開臺勞級數(shù)，取二階近似值； 對殘差平方和的近似值求極值； 迭代。 牛頓拉夫森(Newton-Raphson)迭代法 自學與高斯牛頓迭代法的區(qū)別直接對殘差平方和展開臺勞級數(shù)，而不是對其中的原模型展開； 取二階近似值，而不是取一階近似值。與高斯牛頓迭代法的區(qū)別應用中的一個困難如何保證迭代所逼近的是總體極小值（即最小值）而不是局部極小值？需要選擇不同的初值，進行多次迭代求解。 應用中的一個困難如何保證迭代所逼近的是總體極小值（即最小值非線性普通最小二乘法在軟件中的實現(xiàn)給定初值寫出模型估計模型改變初值反復估計非線性普通最小二乘法在軟件中的實現(xiàn)給定初值三、例題與討論三、例

12、題與討論例8.2.1 農民收入影響因素分析模型分析與建模：經(jīng)過反復模擬，剔除從直觀上看可能對農民收入產(chǎn)生影響但實際上并不顯著的變量后，得到如下結論：改革開放以來，影響我國農民收入總量水平的主要因素是從事非農產(chǎn)業(yè)的農村勞動者人數(shù)、農副產(chǎn)品收購價格和農業(yè)生產(chǎn)的發(fā)展規(guī)模。例8.2.1 農民收入影響因素分析模型分析與建模：經(jīng)過反復模用I表示農民純收入總量水平、Q表示農業(yè)生產(chǎn)的發(fā)展規(guī)模、P表示農副產(chǎn)品收購價格、L表示從事非農產(chǎn)業(yè)的農村勞動者人數(shù)。收入采用當年價格；農業(yè)生產(chǎn)的發(fā)展規(guī)模以按可比價格計算的、包括種植業(yè)、林業(yè)、牧業(yè)、副業(yè)和漁業(yè)的農業(yè)總產(chǎn)值指數(shù)為樣本數(shù)據(jù)；農副產(chǎn)品收購價格以價格指數(shù)為樣本數(shù)據(jù)。 用

13、I表示農民純收入總量水平、Q表示農業(yè)生產(chǎn)的發(fā)展規(guī)模、P表示 農民收入及相關變量數(shù)據(jù)年份I（10億元）Q (1978=100)P (1978=100)L（100萬人）197862.45100.0100.031.52197979.30107.5122.131.90198096.50109.0130.835.021981107.65115.3138.536.921982120.80128.4141.538.051983142.40138.4147.843.401984185.85155.4153.758.881985238.70160.7166.967.131986285.52166.1177.67

14、5.221987343.80175.8198.981.301988442.60182.6244.686.111989495.30188.3281.384.981990524.66202.6274.086.741991559.30210.1268.489.061992613.66223.5277.597.651993743.49241.0314.7109.981994979.39261.7440.3119.6419951271.16290.2527.9127.0719961567.33317.5550.1130.2819971721.71333.7525.3135.27 農民收入及相關變量數(shù)據(jù)I

15、（10億元）Q (1978=10 線性化模型估計結果 線性化模型估計結果 非線性模型估計結果（1978-1997） 非線性模型估計結果（1978-1997） 非線性模型估計結果（1980-1997） 非線性模型估計結果（1980-1997） 擬合結果（PIFIS-線性、PIFNIS-非線性） 擬合結果（PIFIS-線性、PIFNIS-非線性） 結構分析LNPI = -4.722 + 0.511*LNPQ + 0.786*LNPP + 0.855*LNNPL + AR(1)=0.825,AR(2)=-0.663PI=0.00158*PQ1.786*PP0.271*NPL0.370結構參數(shù)（彈性）

16、差異很大從經(jīng)濟意義方面分析，哪個更合理？ 結構分析LNPI = -4.722 + 0.511*LNP8.3 二元離散選擇模型 Binary Discrete Choice Model 一、二元離散選擇模型的經(jīng)濟背景 二、二元離散選擇模型 三、二元Probit離散選擇模型及其參數(shù)估計 *四、二元Logit離散選擇模型及其參數(shù)估計 五、一個實例8.3 二元離散選擇模型 Binary Discret說明在經(jīng)典計量經(jīng)濟學模型中，被解釋變量通常被假定為連續(xù)變量。 離散被解釋變量數(shù)據(jù)計量經(jīng)濟學模型（Models with Discrete Dependent Variables）和離散選擇模型(DCM, Discrete Choice Mod