經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分二階常系數(shù)線性微分方程課件

1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分二階常系數(shù)線性微分方程課件經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分二階常系數(shù)線性微分方程課件一、定義二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式一、定義二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)非齊次線性二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)1.二階齊次方程解的結(jié)構(gòu)問(wèn)題:二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)1.二階齊次方程解的結(jié)構(gòu)問(wèn)題:例如觀察有例如觀察有2.二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu)2.二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu)解的疊加原理解的疊加原理都是微分方程的解,是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,常數(shù)所求通解為例1都是微分方程的解,是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,常數(shù)所求通解為例1三、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-特征方程法將其代入上述

2、方程, 得故有特征方程特征根三、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-特征方程法將其代入上1)有兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解得齊次方程的通解為特征根為1)有兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解得齊次方程的通解為特2) 有兩個(gè)相等的實(shí)根一特解為得齊次方程的通解為特征根為2) 有兩個(gè)相等的實(shí)根一特解為得齊次方程的通解為特征根為3)有一對(duì)共軛復(fù)根重新組合得齊次方程的通解為特征根為3)有一對(duì)共軛復(fù)根重新組合得齊次方程的通解為特征根為定義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.解特征方程為解得故所求通解為例2定義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根解特征方程為解得故所求解特征方程為解得

3、故所求通解為例3解特征方程為解得故所求通解為例3經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分二階常系數(shù)線性微分方程課件二階常系數(shù)非齊次線性方程對(duì)應(yīng)齊次方程通解結(jié)構(gòu)常見(jiàn)類型難點(diǎn)：如何求特解？方法：待定系數(shù)法.四、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性方程對(duì)應(yīng)齊次方程通解結(jié)構(gòu)常見(jiàn)類型難點(diǎn)：如設(shè)非齊次方程特解為代入原方程整理得1. 型設(shè)非齊次方程特解為代入原方程整理得1. 綜上討論綜上討論解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入方程, 得原方程的通解為例5解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入方程, 得原方程的通解為解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入方程, 得原方程的通解為例6解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入方程, 得

4、原方程的通解為特別地特別地解對(duì)應(yīng)齊次方程通解代入原方程求得原方程通解為例7解對(duì)應(yīng)齊次方程通解代入原方程求得原方程通解為例7解對(duì)應(yīng)齊次方程通解代入原方程求得例8原方程通解為解對(duì)應(yīng)齊次方程通解代入原方程求得例8原方程通解為五、小結(jié)1.線性方程解的結(jié)構(gòu)；2.二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解. 五、小結(jié)1.線性方程解的結(jié)構(gòu)；2.二階常系數(shù)齊次微分方程求通經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分二階常系數(shù)線性微分方程課件( 待定系數(shù)法求特解 )( 待定系數(shù)法求特解 )思考題1.求微分方程 的通解.2.寫出微分方程的待定特解的形式. 3.

5、寫出微分方程的待定特解的形式. 思考題1.求微分方程 思考題解答令則特征根通解思考題解答令則特征根通解思考題解答2.設(shè) 的特解為設(shè) 的特解為則所求特解為特征根（重根）思考題解答2.設(shè) 思考題解答則所求特解為特征根設(shè) 的特解為3.原方程可化為設(shè) 的特解為思考題解答則所求特解為特征根設(shè) 練 習(xí) 題 練 習(xí) 題 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分二階常系數(shù)線性微分方程課件經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分二階常系數(shù)線性微分方程課件 練習(xí)題答案練習(xí)題答案經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分二階常系數(shù)線性微分方程課件也可以引入虛變量，建立一個(gè)統(tǒng)一的模型（Gujarati方法）也可以引入虛變量，建立一個(gè)統(tǒng)一的模型（Gujarati方法）分段分段 n0未知，但 一般可

6、以選擇不同的n0 ，進(jìn)行試估計(jì)，然后從多次試估計(jì)中選擇最優(yōu)者。選擇的標(biāo)準(zhǔn)是使得兩段方程的殘差平方和之和最小。 n0未知，且 將n0看作待估參數(shù)，用最大或然法進(jìn)行估計(jì)。 （2）n0未知 n0未知，但 一般可以選擇不同的n0 ，*二、隨機(jī)變參數(shù)模型*二、隨機(jī)變參數(shù)模型 參數(shù)在一常數(shù)附近隨機(jī)變化 將原模型轉(zhuǎn)換為具有異方差性的模型，而且已經(jīng)推導(dǎo)出隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差與解釋變量之間的函數(shù)關(guān)系。 參數(shù)在一常數(shù)附近隨機(jī)變化 將原模型轉(zhuǎn)換為具有異方差性的?？梢圆捎媒?jīng)典線性計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型中介紹的估計(jì)方法，例如加權(quán)最小二乘法等方法很方便地估計(jì)參數(shù)。一種普遍的形式是1968年提出的的變參數(shù) Hildreth-Houck

7、模型 。 可以采用經(jīng)典線性計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型中介紹的估計(jì)方法，例如加權(quán)最小 參數(shù)隨某一變量作規(guī)律性變化，同時(shí)受隨機(jī)因素影響 將原模型轉(zhuǎn)換為具有異方差性的多元線性模型。 參數(shù)隨某一變量作規(guī)律性變化，同時(shí)受隨機(jī)因素影響 將原模型 可以采用經(jīng)典線性計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型中介紹的估計(jì)方法，例如加權(quán)最小二乘法等方法很方便地估計(jì)參數(shù)。 可以采用經(jīng)典線性計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型中介紹的估計(jì)方法，例如加權(quán)最 自適應(yīng)回歸模型 由影響常數(shù)項(xiàng)的變量具有一階自相關(guān)性所引起。是實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中常見(jiàn)的現(xiàn)象。 采用廣義最小二乘法（GLS）估計(jì)模型參數(shù) 。 自適應(yīng)回歸模型 由影響常數(shù)項(xiàng)的變量具有一階自相關(guān)性所引起8.2簡(jiǎn)單的非線性單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模

8、型 一、非線性單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型概述 二、非線性普通最小二乘法 三、例題及討論8.2簡(jiǎn)單的非線性單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型 一、非線性單方程計(jì)說(shuō)明非線性計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型中占據(jù)重要的位置 ；已經(jīng)形成內(nèi)容廣泛的體系，包括變量非線性模型、參數(shù)非線性模型、隨機(jī)誤差項(xiàng)違背基本假設(shè)的非線性問(wèn)題等；說(shuō)明非線性計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型中占據(jù)重要的位置 ；非線性模型理論與方法已經(jīng)形成了一個(gè)與線性模型相對(duì)應(yīng)的體系，包括從最小二乘原理出發(fā)的一整套方法和從最大或然原理出發(fā)的一整套方法。本節(jié)僅涉及最基礎(chǔ)的、具有廣泛應(yīng)用價(jià)值的非線性單方程模型的最小二乘估計(jì)。非線性模型理論與方法已經(jīng)形成了一個(gè)與線性模型相對(duì)

9、應(yīng)的體系，包一、非線性單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型概述一、非線性單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型概述 解釋變量非線性問(wèn)題 現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中變量之間往往呈現(xiàn)非線性關(guān)系 需求量與價(jià)格之間的關(guān)系 成本與產(chǎn)量的關(guān)系 稅收與稅率的關(guān)系 基尼系數(shù)與經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平的關(guān)系通過(guò)變量置換就可以化為線性模型 解釋變量非線性問(wèn)題 現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中變量之間往往呈現(xiàn)非線性 可以化為線性的包含參數(shù)非線性的問(wèn)題 函數(shù)變換 級(jí)數(shù)展開(kāi) 可以化為線性的包含參數(shù)非線性的問(wèn)題 函數(shù)變換 級(jí)數(shù)展開(kāi) 不可以化為線性的包含參數(shù)非線性的問(wèn)題 與上頁(yè)的方程比較，哪種形式更合理？直接作為非線性模型更合理。不可以化為線性的包含參數(shù)非線性的問(wèn)題 與上頁(yè)的方程比較，哪二、非線性

10、普通最小二乘法二、非線性普通最小二乘法 普通最小二乘原理 殘差平方和 取極小值的一階條件 如何求解非線性方程？ 普通最小二乘原理 殘差平方和 取極小值的一階條件 如何求 高斯牛頓(Gauss-Newton)迭代法 高斯牛頓迭代法的原理 對(duì)原始模型展開(kāi)臺(tái)勞級(jí)數(shù)，取一階近似值 高斯牛頓(Gauss-Newton)迭代法 高斯牛頓經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分二階常系數(shù)線性微分方程課件 構(gòu)造并估計(jì)線性偽模型構(gòu)造線性模型估計(jì)得到參數(shù)的第1次迭代值迭代 構(gòu)造并估計(jì)線性偽模型構(gòu)造線性模型估計(jì)得到參數(shù)的第高斯牛頓迭代法的步驟高斯牛頓迭代法的步驟 牛頓拉夫森(Newton-Raphson)迭代法 自學(xué)，掌握以下2個(gè)要點(diǎn)牛頓拉

11、夫森迭代法的原理 對(duì)殘差平方和展開(kāi)臺(tái)勞級(jí)數(shù)，取二階近似值； 對(duì)殘差平方和的近似值求極值； 迭代。 牛頓拉夫森(Newton-Raphson)迭代法 自學(xué)與高斯牛頓迭代法的區(qū)別直接對(duì)殘差平方和展開(kāi)臺(tái)勞級(jí)數(shù)，而不是對(duì)其中的原模型展開(kāi)； 取二階近似值，而不是取一階近似值。與高斯牛頓迭代法的區(qū)別應(yīng)用中的一個(gè)困難如何保證迭代所逼近的是總體極小值（即最小值）而不是局部極小值？需要選擇不同的初值，進(jìn)行多次迭代求解。 應(yīng)用中的一個(gè)困難如何保證迭代所逼近的是總體極小值（即最小值非線性普通最小二乘法在軟件中的實(shí)現(xiàn)給定初值寫出模型估計(jì)模型改變初值反復(fù)估計(jì)非線性普通最小二乘法在軟件中的實(shí)現(xiàn)給定初值三、例題與討論三、例

12、題與討論例8.2.1 農(nóng)民收入影響因素分析模型分析與建模：經(jīng)過(guò)反復(fù)模擬，剔除從直觀上看可能對(duì)農(nóng)民收入產(chǎn)生影響但實(shí)際上并不顯著的變量后，得到如下結(jié)論：改革開(kāi)放以來(lái)，影響我國(guó)農(nóng)民收入總量水平的主要因素是從事非農(nóng)產(chǎn)業(yè)的農(nóng)村勞動(dòng)者人數(shù)、農(nóng)副產(chǎn)品收購(gòu)價(jià)格和農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的發(fā)展規(guī)模。例8.2.1 農(nóng)民收入影響因素分析模型分析與建模：經(jīng)過(guò)反復(fù)模用I表示農(nóng)民純收入總量水平、Q表示農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的發(fā)展規(guī)模、P表示農(nóng)副產(chǎn)品收購(gòu)價(jià)格、L表示從事非農(nóng)產(chǎn)業(yè)的農(nóng)村勞動(dòng)者人數(shù)。收入采用當(dāng)年價(jià)格；農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的發(fā)展規(guī)模以按可比價(jià)格計(jì)算的、包括種植業(yè)、林業(yè)、牧業(yè)、副業(yè)和漁業(yè)的農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值指數(shù)為樣本數(shù)據(jù)；農(nóng)副產(chǎn)品收購(gòu)價(jià)格以價(jià)格指數(shù)為樣本數(shù)據(jù)。 用

13、I表示農(nóng)民純收入總量水平、Q表示農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的發(fā)展規(guī)模、P表示 農(nóng)民收入及相關(guān)變量數(shù)據(jù)年份I（10億元）Q (1978=100)P (1978=100)L（100萬(wàn)人）197862.45100.0100.031.52197979.30107.5122.131.90198096.50109.0130.835.021981107.65115.3138.536.921982120.80128.4141.538.051983142.40138.4147.843.401984185.85155.4153.758.881985238.70160.7166.967.131986285.52166.1177.67

14、5.221987343.80175.8198.981.301988442.60182.6244.686.111989495.30188.3281.384.981990524.66202.6274.086.741991559.30210.1268.489.061992613.66223.5277.597.651993743.49241.0314.7109.981994979.39261.7440.3119.6419951271.16290.2527.9127.0719961567.33317.5550.1130.2819971721.71333.7525.3135.27 農(nóng)民收入及相關(guān)變量數(shù)據(jù)I

15、（10億元）Q (1978=10 線性化模型估計(jì)結(jié)果 線性化模型估計(jì)結(jié)果 非線性模型估計(jì)結(jié)果（1978-1997） 非線性模型估計(jì)結(jié)果（1978-1997） 非線性模型估計(jì)結(jié)果（1980-1997） 非線性模型估計(jì)結(jié)果（1980-1997） 擬合結(jié)果（PIFIS-線性、PIFNIS-非線性） 擬合結(jié)果（PIFIS-線性、PIFNIS-非線性） 結(jié)構(gòu)分析LNPI = -4.722 + 0.511*LNPQ + 0.786*LNPP + 0.855*LNNPL + AR(1)=0.825,AR(2)=-0.663PI=0.00158*PQ1.786*PP0.271*NPL0.370結(jié)構(gòu)參數(shù)（彈性）

16、差異很大從經(jīng)濟(jì)意義方面分析，哪個(gè)更合理？ 結(jié)構(gòu)分析LNPI = -4.722 + 0.511*LNP8.3 二元離散選擇模型 Binary Discrete Choice Model 一、二元離散選擇模型的經(jīng)濟(jì)背景 二、二元離散選擇模型 三、二元Probit離散選擇模型及其參數(shù)估計(jì) *四、二元Logit離散選擇模型及其參數(shù)估計(jì) 五、一個(gè)實(shí)例8.3 二元離散選擇模型 Binary Discret說(shuō)明在經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型中，被解釋變量通常被假定為連續(xù)變量。 離散被解釋變量數(shù)據(jù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型（Models with Discrete Dependent Variables）和離散選擇模型(DCM, Discrete Choice Mod