大學(xué)文科數(shù)學(xué)32 矩陣及其運算課件

1、2 矩陣及其運算 一、矩陣的概念二、矩陣的加法與數(shù)乘矩陣三、矩陣的乘法四、矩陣乘法的幾何意義五、矩陣的逆六、nn 線性方程組的解文 科 數(shù) 學(xué) 引例1. 某航空公司在A,B,C,D四城市之間開辟了若干航線，如圖所示的是四城市間的航班圖，如果從A到B有航班，則用帶箭頭的線連接A與B。 四城市間的航班圖情況常用以下表格來表示一、矩陣的概念0010100101010110DCBADCBA 到站 發(fā)站1表示有航班，0表示沒有航班文 科 數(shù) 學(xué)0010100101010110DCBADCBA 到站 發(fā)站該表可用如下簡單的矩形陣列（表）表示文 科 數(shù) 學(xué) 引例2. 假設(shè)某班前四號學(xué)生，期中考試四門課程的考

2、試成績?nèi)缦卤?68081909088819292788610078898091VB物理數(shù)學(xué)英語4321 上述兩例說明：一組數(shù)據(jù)可按它們的所屬種類，用矩形陣列（表）簡明的表示出來，這種矩形陣列就稱為矩陣。文 科 數(shù) 學(xué) 由 mn 個數(shù) aij (i=1,m; j=1, ,n) 排成的 m 行 n 列的矩形陣列（表）簡記為 定義1稱為 m 行 n 列矩陣或 mn 矩陣，其中 aij 叫做矩陣 A 的第 i 行第 j 列元素。文 科 數(shù) 學(xué) 幾種特殊矩陣 .行數(shù)與列數(shù)都等于 n 的矩陣，稱為 n 階方陣（Square Matrix）， aii (i=1, n) 稱為主對角元素； .只有一行的矩陣(a

3、1, a2,an)稱為行矩陣（Row Matrix）或 n 維行向量； 只有一列的矩陣文 科 數(shù) 學(xué) 如果將一個矩陣的每一列看成一個列向量，則一個 mn 矩陣可認(rèn)為是由有順序的 n 個 m 維列向量所組成。 幾種特殊矩陣 只有一列的矩陣稱為列矩陣（Column Matrix）或 n 維列向量，它也可記為文 科 數(shù) 學(xué) 幾種特殊矩陣 .元素全為零的矩陣稱為零矩陣，mn 零矩陣記為 Omn 或 O。 .對于矩陣 A(aij)，將 A 中各元素都變號得到的矩陣稱為負(fù)矩陣，記為A，即文 科 數(shù) 學(xué) 下圖標(biāo)出了a, b 兩省各三個城市、c 省兩個城市彼此之間的通路。由該圖提供的信息，在 a 省和b 省之

4、間，城市直接通路情況可用下列矩陣（通路矩陣）表示： 練習(xí)其中數(shù)字1和0表示相應(yīng)城市間的直接通路數(shù)。寫出 b省與 c 省、a 省與 c 省的通路矩陣。文 科 數(shù) 學(xué)二、矩陣的加法和數(shù)乘矩陣 矩陣之所以有用，不僅僅在于將一組數(shù)排成矩陣表本身，而主要在于我們可以對矩陣施行一些有實際意義的運算，從而使矩陣這個工具發(fā)揮更大的作用。矩陣相等 對于矩陣 A 和 B，當(dāng)其行數(shù)、列數(shù)都相同，且所有對應(yīng)位置上的元素都相等時，稱矩陣 A 與 B 是相等的，記作AB文 科 數(shù) 學(xué)例如則 A 為2. 數(shù)乘運算 用數(shù)乘 mn 矩陣 A(aij) 的每個元素所得的 mn 矩陣，稱為與矩陣 A 的數(shù)量乘積（數(shù)乘運算），記作A

5、(aij) 定義3文 科 數(shù) 學(xué) 由于矩陣的數(shù)乘最終歸結(jié)為數(shù)的乘法，因此，利用數(shù)的加法、乘法適合的運算律，易知數(shù)乘矩陣滿足以下運算律（,為常數(shù)） 矩陣的加法與數(shù)乘運算統(tǒng)稱為矩陣的線性運算。文 科 數(shù) 學(xué) 假設(shè)某班前兩號學(xué)生，期中考試與期末考試三門課程的考試成績，可分別表示為如下成績矩陣 例習(xí)若期中和期末成績，分別占總評成績的40和60，試用矩陣的運算，計算該兩名學(xué)生每門課程的總評成績。文 科 數(shù) 學(xué) 引例：某公司經(jīng)營甲、乙兩家服裝廠，每個廠生產(chǎn)襯衣和外衣。已知各廠用一卷布能生產(chǎn)出的襯衣和外衣的數(shù)量如下表：甲乙襯衣2030外衣1510設(shè) x1, x2 分別表示甲、乙兩廠所用的布卷數(shù)，求兩個廠生產(chǎn)

6、的襯衣和外衣的總量表。解：由題意，兩廠生產(chǎn)的襯衣、外衣總量表為生產(chǎn)總量襯衣20 x1+30 x2外衣15x1+10 x2三、矩陣的乘法文 科 數(shù) 學(xué) 設(shè)矩陣 A(aij)ms，B(bij)sn，則以cijai1b1jai2b2jaisbsj為元素的矩陣 C(cij) mn 稱為 A 與 B 的乘積，記為ABC 定義4文 科 數(shù) 學(xué) 矩陣乘法運算的特點（ABC） .只有當(dāng) A 的列數(shù)與 B 的行數(shù)相同時，乘積 AB 才有意義； .乘積矩陣 AB 的行數(shù)為 A 的行數(shù)，列數(shù)為 B 的列數(shù)； .矩陣 AB 的第 i 行第 j 列元素 cij，恰是 A 的第 i 行與 B 的第 j 列的對應(yīng)元素的乘積

7、之和。 注意：矩陣的乘法與數(shù)的乘法相比有明顯的不同，它不是對應(yīng)元素相乘，而是 A 的行與 B 的列的對應(yīng)元素相乘再相加。因此，普通數(shù)的乘法的運算律不一定都適用于矩陣的乘法。文 科 數(shù) 學(xué) 例如不存在文 科 數(shù) 學(xué) (1). 設(shè) A 是 32 矩陣，B 是22 矩陣，問AB，BA 是否都有意義？ (2). 設(shè) A 是 23 矩陣，B 是32 矩陣，問 AB，BA 是否都有意義？并對有意義的矩陣，指出它們的行數(shù)和列數(shù)。 (3). 設(shè) 思考計算 AB，BA和 BC。文 科 數(shù) 學(xué)由上述思考題可以看出 (1). 矩陣乘法一般不滿足交換律，即 ABBA； (2). 兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣； (3

8、). 矩陣乘法一般不滿足消去律，即 BABC，且 BO，但可能 AC。文 科 數(shù) 學(xué) 矩陣乘法滿足的運算規(guī)律（為常數(shù)） .結(jié)合律： .分配律： .矩陣乘法與數(shù)乘還滿足以下運算律：文 科 數(shù) 學(xué) 設(shè) 練習(xí)驗證：文 科 數(shù) 學(xué) 計算下列矩陣的乘積 例1 結(jié)論：任何矩陣與其同型的單位矩陣相乘，此矩陣保持不變。文 科 數(shù) 學(xué) 計算下列矩陣的乘積 例2矩陣乘法不滿足交換律！矩陣乘法不滿足消去律！文 科 數(shù) 學(xué)說明以下矩陣是何變換 從幾何上看：在矩陣 A 的作用下，V 以原點為中心順時針旋轉(zhuǎn)了900；因此，矩陣 A 表示的是以原點為中心順時針旋轉(zhuǎn)900的變換。 練習(xí)文 科 數(shù) 學(xué)設(shè) 從幾何上看：在矩陣 A

9、2 的作用下，V1 向 y 軸正向壓縮了0.5倍，V2 向 y 軸負(fù)向壓縮了0.5倍；因此，矩陣 A2 表示的是向 y 軸方向（負(fù)向或正向）壓縮0.5倍的變換。 例2文 科 數(shù) 學(xué)討論以下矩陣是何變換（, 0） 矩陣 A1 表示的是向 y 軸方向（負(fù)向或正向）壓縮倍的變換； 矩陣 A2 表示的是向 x 軸方向（負(fù)向或正向）壓縮倍的變換； 矩陣 A3 表示的是向 x 軸方向（負(fù)向或正向）壓縮倍、 y 軸方向（負(fù)向或正向）壓縮倍的變換。 練習(xí)文 科 數(shù) 學(xué) 矩陣變換的性質(zhì) 由矩陣的線性運算性質(zhì)，對于平面上的任意向量 U, V 及任意實數(shù),，有稱滿足上述性質(zhì)的變換為平面向量的線性變換，即矩陣表示的是

10、線性變換。 一般而言：任意一個 mn 矩陣 A 乘以一個 n1 列向量 X，得到一個 m1 列向量 AX，可以看作是 A 將向量 X 變換成了向量 AX，稱向量 AX 為向量 X 的像，而向量 X 是向量 AX 的一個原像。矩陣的幾何意義文 科 數(shù) 學(xué) 線性方程組的矩陣表示 利用矩陣乘法和矩陣相等的含義，對含 m 個方程，n 個未知量的線性方程組（簡稱 mn 線性方程組）令文 科 數(shù) 學(xué)則線性方程組可表示為矩陣形式系數(shù)矩陣未知列向量右端項列向量 求解線性方程組的本質(zhì)：對給定的變換 A，從已知像向量 B，尋找原像向量 X。文 科 數(shù) 學(xué) 設(shè) A, B 是兩個2階方陣，由于矩陣乘法滿足結(jié)合律，則對

11、任一向量 U( u1, u2 )T，有即對任一向量 U，先作變換 B，得一向量 BU，再接著對此向量作變換 A，得一向量 A(BU)；與對向量 U 直接作變換 AB，得一向量 (AB)U，其結(jié)果是相同的，因此，乘積矩陣 AB 表示的是先經(jīng) B，再經(jīng) A 的接連的線性變換。 2.矩陣乘法的幾何意義矩陣乘法的幾何意義文 科 數(shù) 學(xué)設(shè) 對 V 先作變換 A2 再作變換 A1表示：先將 V 向 y 軸負(fù)向壓縮0.5倍，再以原點為心逆時針旋轉(zhuǎn)900；與對 V 直接作乘積變換 A1A2，所得結(jié)果完全一致。 例3文 科 數(shù) 學(xué) 如果將例3中的變換改為先對 V 作變換 A1，再作變換 A2，問所得結(jié)果與例3是

12、否一致？所得結(jié)果不一致。 說明：接連施行一些變換，所得結(jié)果與變換的次序有關(guān)，不能隨意變更。 原因在于：矩陣乘法不滿足交換律。 思考文 科 數(shù) 學(xué)五、矩陣的逆 1.逆矩陣的概念和性質(zhì) 在數(shù)的運算中，若數(shù) a0，則有其中 a-11/a 為 a 的倒數(shù)，也可稱 a-1 為 a 對乘法運算的逆元素。 在矩陣的運算中，對矩陣方程AXB（A 是方陣），當(dāng) X 有解時，是否能表示成XA-1B如果可以，A-1 是何含義？概念的引入：能否推廣到矩陣：文 科 數(shù) 學(xué) 定義5 對 n 階方陣 A，如果存在 n 階方陣 B，使得則稱 A 是可逆矩陣，并稱 B 是 A 的逆（矩陣）。 易見：當(dāng) A 可逆時，其逆 B 也

13、可逆，且 A 是 B 的逆。 若將矩陣 A 看作是線性變換，則他的逆 B 可看作是它的逆變換（還原）；反之，A 也可看作是 B 的逆變換。 若 A, B 互逆，則先作變換 B，再作變換 A，或先作 A，再作 B，相當(dāng)于作了一個恒等變換 I。文 科 數(shù) 學(xué)設(shè) 變換 A 將任意向量 V 向 y 軸負(fù)向壓縮0.5倍，得向量 WAU，而變換 B 又將向量 W 向 y 軸正向拉伸2倍，從而回到了原向量 UBW；反之，結(jié)果完全一致，所以變換 A, B 互為逆變換。 此外：從矩陣乘法上看，因為所以矩陣 A, B 確實互為逆矩陣。 例1文 科 數(shù) 學(xué) 問題：如果 A 可逆，其逆是否唯一？ 若 B1, B2 都

14、是 A 的逆，則AB1B1AIAB2B2A故B1IB1=(B2A)B1B2(AB1)B2I=B2所以，可逆矩陣 A 的逆是唯一的。 將矩陣 A 的逆記為 A-1，即AA-1A-1AI 由矩陣可逆的定義知：單位矩陣 I 可逆，且其逆就是自身，即 I1I。文 科 數(shù) 學(xué) 若 A, B 是可逆矩陣，證明 AB 也可逆，且(AB)1B1A1并從變換的角度說明上式的準(zhǔn)確性。 從變換的角度：先作變換 B、變換 A，之后再作變換 A 的逆變換 A1、變換 B 的逆變換 B1，從而又回到了原向量；反之，所得結(jié)果完全一致，相當(dāng)于作了一個恒等變換。 練習(xí)文 科 數(shù) 學(xué) 解：對任意2階方陣所以矩陣 A 不存在逆矩陣

15、，即不可逆。 結(jié)論：并非任意非零方陣都有逆矩陣，因此在矩陣運算中，不能施行乘法運算的逆運算除法。 問題：對任意非零方陣，其逆是否一定存在？問矩陣 是否存在逆矩陣? 例2文 科 數(shù) 學(xué) 從線性變換角度：對于變換 A，有其中 k 為任意實數(shù)，這說明變換 A 將向量 (1, k)T，都變?yōu)榱讼蛄?(1, 0)T。 顯然：不可能存在一個矩陣 B，可將向量 (1, 0)T同時變回到向量 (1, 1)T， (1, 2)T，因此變換 A 不存在逆變換，即矩陣 A 不存在逆矩陣。問矩陣 是否存在逆矩陣? 例2文 科 數(shù) 學(xué) 證明矩陣不是可逆矩陣，并說明它可將無窮多個向量變?yōu)橥粋€向量。 練習(xí)文 科 數(shù) 學(xué)2.

16、逆矩陣的判別法則及其求法為此，要解如下兩個線性方程組解：設(shè)要求 ABI，即問 是否可逆，如可逆，求出 A1? 例1文 科 數(shù) 學(xué)相應(yīng)的增廣矩陣為利用高斯消元法，可將上述矩陣分別化為所以解為文 科 數(shù) 學(xué)從而求得矩陣 B 為 易于驗證：ABBAI，因此矩陣 A 可逆，且 A1B所以解為文 科 數(shù) 學(xué) 分析：上述兩個方程組具有相同的系數(shù)矩陣 A，為了簡化計算，可將兩個增廣矩陣合并為即將單位矩陣 I 放在矩陣 A 的右邊，然后對此矩陣( A | I ) 做行初等變換，當(dāng) A 被化成單位矩陣 I 時，其中的 I 化成的 B 就是 A1。文 科 數(shù) 學(xué)由此可知：矩陣 A 可逆，且該結(jié)果與例1完全一致。文

17、 科 數(shù) 學(xué)r后一個矩陣左邊的第二行全為零，故不可能化為單位矩陣，所以矩陣 A 不可逆。 由上述討論可以看出：對矩陣 ( A | I ) ，若用高斯消元法，能將其中的 A 化為 I，則其中的 I 化成的即為 A1；若 A 化不成 I，則 A不可逆。解：對矩陣 ( A | I ) 做行初等變換問 是否可逆，如可逆，求出 A1? 例2文 科 數(shù) 學(xué)問以下矩陣是否可逆，如可逆，求出其逆? 例3解：對矩陣 ( A | I ) 做行初等變換文 科 數(shù) 學(xué)文 科 數(shù) 學(xué)文 科 數(shù) 學(xué)文 科 數(shù) 學(xué)求下列矩陣的逆矩陣 例習(xí)文 科 數(shù) 學(xué) 設(shè) n 階方陣 A 可逆，則線性方程組AXB有唯一解XA1B 證：存在

18、性，將 XA1B 代入方程組左端，則A(A1B)(AA1)BIBB顯然 XA1B 是方程組的解。 唯一性，設(shè)方程組還有一解 X1，使得 AX1B，則兩邊同時左乘 A1，有A1(AX1)(A1A)X1IX1X1A1BX六、nn 線性方程組的解 定理文 科 數(shù) 學(xué)則方程組的矩陣形式為 由前面的例1知：A 可逆，且所以方程組的解為 XA1B，即解：令利用逆矩陣，求解線性方程組 例1文 科 數(shù) 學(xué)利用逆矩陣，求解線性方程組 例習(xí)文 科 數(shù) 學(xué)利用逆矩陣，求解線性方程組 例習(xí)文 科 數(shù) 學(xué) 總結(jié)：前面曾指出，解方程組的問題就是對給定的線性變換 A，從已知像向量 B，尋找原像向量 X；若系數(shù)矩陣 A 可逆

19、，即線性變換 A 存在逆變換 A1，則像向量 B 在 A1 作用下，就可得到原像向量 X；由于 A1 唯一，所以原像向量也唯一，即此時方程組有唯一解。 問題：如果系數(shù)矩陣 A 不可逆，方程組的解會出現(xiàn)什么情況？文 科 數(shù) 學(xué) 由前面的練習(xí)知：系數(shù)矩陣 不可逆。 (1).無解。方程組的第二行為矛盾組，在幾何上：直線空集空集 (2).無窮多解。在幾何上：直線任意點直線結(jié)論：系數(shù)矩陣不可逆時，線性方程組的解不一定。 判斷下列線性方程組解的情況，并從幾何上加以說明。 思考文 科 數(shù) 學(xué) 某城市有三個企業(yè)：一個煤礦，一個發(fā)電廠和一條地方鐵路。已知開采一元錢煤，煤礦需支付0.25元電費驅(qū)動它的設(shè)備和照明，還需支付0.25元的運輸費；生產(chǎn)一元錢電力，發(fā)電廠需支付0.6