內(nèi)蒙古大學電路分析基礎(chǔ)課件09阻抗和導納

1、第九章 阻抗和導納9-1 變換方法的概念 B9-2 復數(shù)(自學)9-3 相量 C9-4 相量的線性性質(zhì)和微分性質(zhì) B9-5 基爾霍夫定律的相量形式 A9-6 三種基本電路元件VCR的相量形式 A9-7 VCR相量形式的統(tǒng)一 阻抗和導納的引入 A9-8 正弦穩(wěn)態(tài)電路與電阻電路分析方法的類比 相量模型的引入 A9-9 正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路的分析 B9-10 相量模型的網(wǎng)孔分析法和節(jié)點分析法 B9-11 相量模型的等效 B9-12 有效值 有效值相量 B9-13 兩類特殊問題 相量圖法 B 計劃學時：819-1 變換方法的概念變換方法的基本思路如圖9-1所示，可分為三個步驟：1、把原來的問題變換為一個較

2、容易處理的問題。2、在變換域中求解問題。3、把變換域中求得的解答反變換為原來問題的解答。圖9-1中，三個實線箭頭依次表明了這三個步驟圖9-1 變換方法的思路原來的問題原來問題的變換域中較變換域中問直接求解變換求解反變換29-3 相量1、正弦穩(wěn)態(tài)的概念正弦穩(wěn)態(tài)：正弦激勵下電路的穩(wěn)定狀態(tài)稱為正弦穩(wěn)態(tài)。正弦穩(wěn)態(tài)電路：在正弦激勵的動態(tài)電路中，若各電壓、電流均為 與激勵同頻率的正弦波，則該電路稱為正弦穩(wěn)態(tài)電路。 2、相量的概念回顧歐拉恒等式：正弦函數(shù)就可用復數(shù)表示為：3可寫作：設(shè)正弦電壓為： 是一與時間無關(guān)的復值常數(shù)，其模 為u(t)的振幅，輻角 為u(t)的初相。其中：稱為電壓振幅相量。 為電流振幅相

3、量。同理，可以定義4如： 電壓振幅相量 ，電流振幅相量 為方便，本章把振幅相量簡稱為相量。 這是因為在正弦交流電路中，激勵與響應(yīng)，電壓與電流均為同頻率的正弦波，一般為已知條件，所以相量中未包含。為什么相量只包含振幅和初相，而未包含頻率呢？相量：能夠表征正弦時間函數(shù)的復值常數(shù)就叫做相量。5需要說明的是：相量只能表征或代表正弦波，并不等于正弦波 以電壓為例： 和u(t)之間可用 表示而非等于。即 u(t) ，則：相量圖：相量在復平面上的圖示稱為相量圖。注意：輻角 (t+)與角速度（角頻率）的關(guān)系是導數(shù)關(guān)系o+1+j6 例9-2 若 i1(t)=5cos(314t+60)A, i2(t)=-10si

4、n(314t+60)A, i3(t)=-4cos(314t+60)A. 試寫出代表這三個正弦電流的各 相量，并繪相量圖。解：（1）故得代表電流i1的相量為：7（2）故得代表電流i2的相量為（3）故得代表電流i3的相量為8這三個電流的相量圖如圖9-9所示。+1+j5 6060150-1204 -12010 150 圖9-9 例9-29 也可以根據(jù)所給相量直接寫出。相量提供了振幅及初相的數(shù)據(jù)，故得 同理，得:由于采用余弦函數(shù)表示正弦波，故例9- 已知 試出它們所代表的正弦電壓。=2f=250=100(rad/S)解:109-4 相量的線性性質(zhì)和微分性質(zhì)1、線性性質(zhì)： 表示若干個同頻率正弦量（可帶有

5、實系數(shù)）線性組合的相量等于表示各個正弦量的相量的同一線性組合。即： f1(t), f2(t)設(shè)1和2為兩個實數(shù)，則正弦量1f1(t)+ 2f2(t)可用相量表示為：如設(shè)正弦量為：112、微分性質(zhì)：若 為給定正弦量Amcos(t+)的相量， 則 為該正弦量的導數(shù)的相量。亦即： (a)取實部和求導數(shù)的運算（ ）是可交換的； (b)復值函數(shù) 對t的導數(shù)等于該函數(shù)與j的乘積結(jié)論：任意個角頻率相同的正弦量以及任意個這種正弦量的任意階導數(shù)的代數(shù)和，仍為一個同頻率的正弦量。這一結(jié)論稱為正弦穩(wěn)態(tài)電路的主定理。這一定理包含兩個內(nèi)容:129-5 基爾霍夫定律的相量形式回顧KCL：在任一時刻，流出電路節(jié)點的電流的代

6、數(shù)和為零。設(shè)：線性非時變電路在單一頻率的激勵下（正弦電源可以有多個，但頻率必須相同）進入穩(wěn)態(tài)時，各處的電壓，電流都將為同頻率的正弦波。因此，在所有時刻，對任一節(jié)點，KCL可表示為：其中： 為流出該節(jié)點的第k條支路正弦電流ik的振幅相量。13根據(jù)線性性質(zhì)，可得式中， 為第k條支路的電流振幅相量上式中， 為第K 條支路的電壓振幅相量同理，在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，沿任一回路，KVL可表示為：總結(jié)：在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，基爾霍夫定律可直接用電流振幅相量和電壓振幅相量寫出。14例9-6 圖9-11所示為電路中一個節(jié)點，已知：i1(t)=10cos(t+60)A, i2(t)=5sin(t)A, 求： i3(t)。

7、寫出已知電流i1和i2的相量，即：設(shè) 未知電流i3的相量為 則由KCL可得i3i1i2解：15由此可得最后，根據(jù)所得相量 寫出相對應(yīng)的正弦電流i3 ，即 i3(t)=6.2cos(t+36.2)A相量圖及波形圖分別如圖8-10(a)、(b)所示P14。16其中：各電壓均為同頻率的正弦波，以相量表示后得解 uac=uab+ubc例9-7 已知: uab= - 10cos(t+60)V, ubc=8sin(t+120)V 求: uac17Uabm3012030+1+joUbcmUacm 圖9-13 例9-7因此 uac=5.04cos(t-67.5)V.相量圖如圖9-13所示故得189-6 三種基

8、本電路元件VCR的相量形式 我們知道，在關(guān)聯(lián)參考方向下，線性非時變電阻，電容和電感元件的VCR分別為： 在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，這些元件的電壓，電流都是同頻率的正弦波。為了用相量進行正弦穩(wěn)態(tài)分析，我們將導出三種元件的相量形式。191、電阻元件VCR的相量形式如右圖所示電阻元件電路中，電壓，電流為關(guān)聯(lián)參考方向。上式即為電阻元件VCR的相量形式若：其中：根據(jù)歐姆定律：U=Rii(t)+正弦穩(wěn)態(tài)電路-u(t)20上式中電壓、電流的振幅關(guān)系和相位關(guān)系分別為： Um=RIm 和 u=i前者表明：電壓振幅和電流振幅同直流電路中一樣，符合 歐姆定律。 其相量圖如右圖所示。后者表明：電壓與電流是同相的。o+1+j其

9、時域波形圖如圖8-13（c）所示 P1721例9-8 4電阻兩端的電壓為 u=8cos(314t - 60)，求i。 （1）用時域關(guān)系式解（2）用相量關(guān)系式解 （a）寫出已知正弦量的相量解:22（b）利用相量關(guān)系式進行計算（c）根據(jù)算得的相量寫出對應(yīng)的正弦量 i=2cos(314t-60)A232、電容元件VCR的相量形式右圖電容元件電路中，電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向。i(t)+正弦穩(wěn)態(tài)電路-u(t)若：將上兩式代入：24上式就是電容VCR的相量形式。=25 Imi=jCUmu=CUm（u+90） （其中用到了j=ej90=90這一關(guān)系） 電壓與電流振幅之間的關(guān)系和相位關(guān)系分別為：Im=CUm

10、i=u+90前者表明：電壓、電流振幅不僅與C有關(guān)，且與有關(guān)。 若C一定，且Um為定值時: 增大，則Im增大，電流容易通過; 減小，則Im減小，電流不易通過; =0， Im=0，電容相當于開路。 （直流情況 ）上式可改寫為：26后者表明：電流超前電壓90Im=CUm i=u+90其相量圖和時域波形圖如P19圖8-14（b）、（c）所示Uc=Umax時, Ic=0; Ic= Icmax 時，Uc=0.273、電感元件VCR的相量形式 因為電感元件的VCR與電容的 VCR存在對偶關(guān)系。 所以將 換成 ，將 換成 ，將C換成L，就可得到電感VCR的相量形式：電壓、電流振幅之間的關(guān)系和相位之間的關(guān)系分別

11、為： Um=LIm u=i+9028Um=LIm u=i+90前者表明：電壓、電流振幅的關(guān)系不僅與L有關(guān)且與有關(guān)， 當L、Im一定時：增大， Um增大（阻抗大） 減小， Um減?。ㄗ杩剐。?（直流情況）=0， Um=0（電感相當于短路）后者表明：電流滯后電壓90。其相量圖和時域波形圖如P20圖8-15（b）、（c）所示UL最大時, IL=0 ; IL最大時, UL=0 .29例9-9 流過0.5F電容的電流為 試求電容的電壓u(t)，并繪相量圖。解 （a）寫出已知正弦量的相量（b）利用相量關(guān)系式進行運算30（c）根據(jù)算得的相量寫出對應(yīng)的正弦量相量圖如下圖所示，表明了電流超前電壓角9030120

12、+1+jImUmo 31例9-10 4H電感 兩段電壓為u(t)=8cos(t-50)V, =100rad/s, 求流過電感的電流i(t)。解 （a）寫出已知正弦量的相量（b）利用相量關(guān)系解（c）32例9-11 電路如圖9-19(a)所示，已知: u(t)=120cos(1000t+90) VR=15, L=30mH, C=83.3F, 求i(t)。解: 用相量法解對電阻元件（a）(b) 求各元件的電流相量CRu(t)ic iR iL+-圖9-19(a)i(t)33對電容元件對電感元件由KCL34（c）寫出i(t)相量圖如右圖所示。0+1+j(已知)由圖可見電流i相位超前電壓u 37CRu(t

13、)ic iR iL+-圖9-19(a)i(t)359-7 VCR相量形式的統(tǒng)一 阻抗和導納的引入1）定義：元件在正弦穩(wěn)態(tài)時，電壓相量與電流相量之比定義為該元件的阻抗（impedance）。記為Z，即 單位為：歐姆（）電阻的阻抗：ZR=R VCR:1、阻抗電容的阻抗： VCR:電感的阻抗：ZL=jL VCR:36上式中：R=Re(Z)稱為阻抗的電阻分量 X=Im(Z)稱為阻抗的電抗分量 （容抗）（感抗）阻抗是一個復數(shù)，它可表示成： 稱為阻抗的模 Z 稱為阻抗的幅角37 R和X的單位也為若：則：38a)、阻抗Z是j的函數(shù)，稱阻抗函數(shù)；同樣R(), X()， 及 Z() 均為的函數(shù)。2)、阻抗的性質(zhì)

14、39若 Z 0 ，即u i ，即電壓超前電流，網(wǎng)絡(luò)呈電感性。若 Z=/2時，電壓超前電流/2 ，網(wǎng)絡(luò)呈純電感性。若 Z= -/2時，電流超前電壓/2 ，網(wǎng)絡(luò)呈純電容性。b)、阻抗能反映無源單口網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì)若 Z 0 ，即u 0X()可確定單口網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì)：X()0,呈感性X()=0,呈阻性X()0時呈容性； Y=0時呈阻性； Y 0。 則: B() 0呈容性; B() =0呈阻性; B() 0呈感性.449-8 正弦穩(wěn)態(tài)電路與電阻電路分析方法的類比 相量模型的引入 我們以前所用的電路模型如下圖，是一種時域模型，記為N。它反映電流與電壓時間函數(shù)之間的關(guān)系。uc-+uL R L+-us(t)uR-+i

15、(t)C45 相量模型具有與原時域模型完全相同的拓撲結(jié)構(gòu)和參考方向，不同的是： 1）用阻抗或?qū)Ъ{代替原來的元件參數(shù) 電容看作具有1/jC值的阻抗 電感看作具有jL值的阻抗 電阻看作具有R值的阻抗2）用電壓、電流相量代替原來的電壓、電流時間函數(shù)。如右圖所示，記為N.稱為相量模型R1/jCjL-+-+46例9-12 RLC串聯(lián)電路如圖9-21(a)所示，已知電源電壓 。試求穩(wěn)態(tài)電流i(t) 解 （a）寫出已知正弦量的相量(a) 原電路模型N (b) 相量模型Nuc-+uL R L+-us(t)uR-+i(t)C （b）作出原電路的相量模型如圖9-21（b）所示R1/jCjL-+-+47 由電路的相

16、量模型, 得出串聯(lián)電路的阻抗為:R1/jCjL-+-+48由相量模型可知:49根據(jù)所求得相量，寫出相應(yīng)的正弦時間函數(shù)。50例9-13 接續(xù)上例，若R=2, L=2H, C=0.25F , us=10cos(2t)V。 求: 電流以及各元件的電壓。解: （a）（b）Z = ZR+ZL+ZC = (2+j4-j2) = (2+j2) = 2.83452-j2j4-+-+得相量模型如右圖所示。由相量模型可求得: 51 i(t)=3.53cos(2t-45) A uL(t)=14.1cos(2t+45)V uR(t)=7.06cos(2t-45）V uC(t)=7.06cos(2t-135)V根據(jù)求得

17、的各相量寫出相應(yīng)的正弦波：52Ucdm45UbcmImUabmUsm+1+jo (b)45UcdmUsmImUabm+1+jo45135 (c)圖各電壓及電流的相量圖如圖9-23（b）（c）所示。思考題：從上圖是否可以判斷出R、L、C 的電壓對應(yīng)的相量？539-9 正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路的分析2）基本元件的阻抗和導納 Z Y R R G=1/R C 1/ jC jC L jL 1/ jL 1、正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路分析中常用的公式1）Z = 1/Y 或 Y = 1/Z543)串聯(lián)公式的相量形式： 并聯(lián)公式的相量形式： 兩個元件并聯(lián)時：552、用相量法分析混聯(lián)電路的步驟 求正弦穩(wěn)態(tài)電路的響應(yīng)時，可以完全拋棄

18、列寫微分方程的步驟而直接寫出相量的代數(shù)方程，求出響應(yīng)的相量，最后寫出響應(yīng)的時域表達式。2）根據(jù)KCL、KVL的相量形式、歐姆定律及其它有關(guān) 公式的相量形式，列出電路的相量代數(shù)方程，并依 照復數(shù)的運算法則求解。相量法的一般步驟：1）將電路的時域模型變換為相量模型，將已知正弦波 變換為相量。3) 將所求響應(yīng)的相量變換為時域中的正弦函數(shù)。56例9-15 電路如圖9-29(a)所示 us(t) = 40cos(3000t)V 求：i(t) , ic(t) , iL(t)解 ：作相量模型如圖9-29（b）所示。其中：C-+-+1.5K1Kbaus(t)iL(t)iC(t)i(t)uL(t)1/3H1/6

19、FC-+-+1.5K1Kba圖9-29(a)圖9-29（b）寫出已知正弦量的相量57根據(jù)相量模型進行計算輸入阻抗C-+-+1.5K1Kba58利用分流關(guān)系可得：電流C-+-+1.5K1Kba59由算得的各個相量寫出對應(yīng)的正弦量： i(t)=16cos(3000t - 36.9)mA iC(t)=11.3cos(3000t + 98.1)mA iL(t)=25.3cos(3000t - 55.3)mA電流相量圖如圖9-30所示。55.398.1ILmIcmImUsm+1+jo 圖9-30 例9-15609-10 相量模型的網(wǎng)孔分析法和節(jié)點分析法例9-16 電路如圖9-34（a）所示. 其中r=2

20、 已知解 作相量模型如圖9-34(b)所示。求解 i1(t)和i2(t)。10V+- j23 j4+-(b)+- 4mH+-(a)61用網(wǎng)孔分析法，電路相量方程為：由(b)式可得（c）（a）(b)10V+- j23 j4+-(b)62 (c) 2 +(a) 得即代入(c)得故得63例9-17 電路相量模型如下圖所示.試列出節(jié)點電壓相量方程.解 節(jié)點1:即64(a),(b) 即為所示電路的節(jié)點電壓相量方程。節(jié)點2:(b)即65例9-18單口網(wǎng)絡(luò)如右圖所示試求: 輸入阻抗及輸入導納.1SIemIem1S1SjSUm+_a 111FiEiEa 1解 作相量模型如下圖所示，各無源元件用導納表示。66由

21、（a）（b)兩式得(a)(b)設(shè)想端鈕上外接電壓源 ，令5個元件的連接點為a1SIemIem1S1SjSUm+_a 則節(jié)點方程為:67輸入導納:輸入阻抗:681、無源單口網(wǎng)絡(luò)的等效無源單口網(wǎng)絡(luò)如圖9-39(a)其VCR為：則：Y = ReY +jImY = G + jB9-11 相量模型的等效輸入阻抗或等效阻抗為: Z= ReZ + jImZ = R+jX可等效為圖9-39(b)N0-+9-39(a)-+jXR9-39(b)-+GjB9-39(c)可等效為圖9-39（c）若用導納表示：69 設(shè): Z=R+jX ZY的變換公式則:注意： Z 、 Y互為倒數(shù)，但R 和G 、 X 和B不是互為倒數(shù).