2022版高考數學一輪復習第4章平面向量4.2平面向量基本定理及坐標表示學案理

1、2021版高考數學一輪復習第4章平面向量4.2平面向量基本定理及坐標表示學案理PAGE PAGE 324.2平面向量基本定理及坐標表示 知識梳理1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數1，2，使a1e12e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解2平面向量的坐標運算設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|eq r(xoal(2,1)yoal(2,1)，|ab|eq

2、r(x2x12y2y12).3平面向量共線的坐標表示設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1y2x2y10.診斷自測1概念思辨(1)平面內的任何兩個向量都可以作為一組基底()(2)平面向量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內的任何一個向量都可被這組基底唯一表示()(3)設a，b是平面內的一組基底，若實數1，1，2，2滿足1a1b2a2b，則12，1(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件可表示成eq f(x1,x2)eq f(y1,y2).()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A4P119T11)已知|eq o(OA,sup16()|1，|eq o(

3、OB,sup16()|eq r(3)，eq o(OA,sup16()eq o(OB,sup16()，點C在線段AB上，AOC30.設eq o(OC,sup16()meq o(OA,sup16()neq o(OB,sup16()(m，nR)，則eq f(m,n)等于()A.eq f(1,3) B3 C.eq f(r(3),3) D.eq r(3)答案B解析依題意，以O為原點，OA、OB分別為x，y軸建立平面直角坐標系，則A(1,0)，B(0，eq r(3)，設C(x，y)，由eq o(OC,sup16()meq o(OA,sup16()neq o(OB,sup16()得xm，yeq r(3)n，

4、又AOC30，知eq f(y,x)eq f(r(3),3)，故eq f(m,n)3，選B.(2)(必修A4P101A組T5)已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb與a2b共線，則eq f(m,n)_.答案eq f(1,2)解析解法一：由已知條件可得manb(2m,3m)(n,2n)(2mn,3m2n)，a2b(2,3)(2,4)(4，1)manb與a2b共線，eq f(2mn,4)eq f(3m2n,1)，即n2m12m8n，eq f(m,n)eq f(1,2).解法二：注意到向量a(2,3)，b(1,2)不共線，因此可以將其視為基底，因而manb與a2b共線的本質是對應的坐標(系數)

5、成比例，于是有eq f(m,1)eq f(n,2)eq f(m,n)eq f(1,2).3小題熱身(1)已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若為實數，(ab)c，則()A.eq f(1,4) B.eq f(1,2) C1 D2答案B解析ab(1，2)，由(ab)c，得(1)4320，eq f(1,2).故選B.(2)(2014福建高考)在下列向量組中，可以把向量a(3,2)表示出來的是()Ae1(0,0)，e2(1,2)Be1(1,2)，e2(5，2)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2(2,3)答案B解析設ak1e1k2e2，A選項，(3,2)(k2,2k2)

6、，eq blcrc (avs4alco1(k23，,2k22，)無解B選項，(3,2)(k15k2,2k12k2)，eq blcrc (avs4alco1(k15k23，,2k12k22，)解之得eq blcrc (avs4alco1(k12，,k21.)故B中的e1，e2可把a表示出來同理，C，D選項同A選項，無解故選B.題型1平面向量基本定理及應用eq o(sup7(),sdo5(典例)(2015北京高考)在ABC中，點M，N滿足eq o(AM,sup16()2eq o(MC,sup16()，eq o(BN,sup16()eq o(NC,sup16().若eq o(MN,sup16()xe

7、q o(AB,sup16()yeq o(AC,sup16()，則x_，y_.用向量三角形法則表示出eq o(MN,sup16().答案eq f(1,2)eq f(1,6)解析由eq o(AM,sup16()2eq o(MC,sup16()知M為AC上靠近C的三等分點，由eq o(BN,sup16()eq o(NC,sup16()，知N為BC的中點，作出草圖如下：則有eq o(AN,sup16()eq f(1,2)(eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()，所以eq o(MN,sup16()eq f(1,2)(eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()eq

8、f(2,3)eq o(AC,sup16()eq f(1,2)eq o(AB,sup16()eq f(1,6)eq o(AC,sup16()，又因為eq o(MN,sup16()xeq o(AB,sup16()yeq o(AC,sup16()，所以xeq f(1,2)，yeq f(1,6).方法技巧應用平面向量基本定理的關鍵點1平面向量基本定理中的基底必須是兩個不共線的向量2選定基底后，通過向量的加、減、數乘以及向量平行的充要條件，把相關向量用這一組基底表示出來3強調幾何性質在向量運算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質，如平行、相似等沖關針對訓練設D，E分別是ABC的邊AB，BC

9、上的點，ADeq f(1,2)AB，BEeq f(2,3)BC.若eq o(DE,sup16()1eq o(AB,sup16()2eq o(AC,sup16()(1，2為實數)，則12的值為_答案eq f(1,2)解析eq o(DE,sup16()eq o(DB,sup16()eq o(BE,sup16()eq f(1,2)eq o(AB,sup16()eq f(2,3)eq o(BC,sup16()eq f(1,2)eq o(AB,sup16()eq f(2,3)(eq o(AC,sup16()eq o(AB,sup16()eq f(1,6)eq o(AB,sup16()eq f(2,3)e

10、q o(AC,sup16()，eq o(DE,sup16()1eq o(AB,sup16()2eq o(AC,sup16()，1eq f(1,6)，2eq f(2,3)，故12eq f(1,2).題型2平面向量共線的坐標表示及應用角度1求點的坐標eq o(sup7(),sdo5(典例)已知A(2,3)，B(4，3)，點P在線段AB的延長線上，且|AP|eq f(3,2)|BP|，則點P的坐標為_方程組法答案(8，15)解析設P(x，y)，由點P在線段AB的延長線上，且eq o(AP,sup16()eq f(3,2)eq o(BP,sup16()，得(x2，y3)eq f(3,2)(x4，y3)

11、，即eq blcrc (avs4alco1(x2f(3,2)x4，,y3f(3,2)y3.)解得eq blcrc (avs4alco1(x8，,y15.)所以點P的坐標為(8，15)角度2研究點共線問題eq o(sup7(),sdo5(典例)(2018佛山調研)設eq o(OA,sup16()(1，2)，eq o(OB,sup16()(a，1)，eq o(OC,sup16()(b,0)，a0，b0，O為坐標原點，若A，B，C三點共線，則eq f(1,a)eq f(2,b)的最小值是()A2 B4 C6 D8用到均值不等式、向量問題實數化答案D解析由題意可得，eq o(OA,sup16()(1，

12、2)，eq o(OB,sup16()(a，1)，eq o(OC,sup16()(b,0)，所以eq o(AB,sup16()eq o(OB,sup16()eq o(OA,sup16()(a1,1)，eq o(AC,sup16()eq o(OC,sup16()eq o(OA,sup16()(b1，2)又A，B，C三點共線，eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()，即(a1)21(b1)0，2ab又a0，b0，eq f(1,a)eq f(2,b)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(2,b)(2ab)4eq blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)f

13、(4a,b)448，當且僅當eq f(b,a)eq f(4a,b)時，取“”故選D.方法技巧1利用兩向量共線求點的坐標利用向量共線的坐標表示構造所求點的坐標的方程組，解方程組即可注意方程思想的應用如角度1典例2研究點(向量)共線問題兩平面向量共線的充要條件有兩種形式(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件是x1y2x2y10.如角度2典例(2)若ab(b0)，則ab.沖關針對訓練1(2017許昌二模)已知ABC的三個頂點的坐標為A(0，1)，B(1,0)，C(0，2)，O為坐標原點，動點M滿足|eq o(CM,sup16()|1，則|eq o(OA,sup16()eq o(

14、OB,sup16()eq o(OM,sup16()|的最大值是()A.eq r(2)1 B.eq r(7)1 C.eq r(2)1 D.eq r(7)1答案A解析設點M的坐標是(x，y)，C(0，2)，且|eq o(CM,sup16()|1，eq r(x2y22)1，則x2(y2)21，即動點M的軌跡是以C為圓心、1為半徑的圓A(0,1)，B(1,0)，eq o(OA,sup16()eq o(OB,sup16()eq o(OM,sup16()(x1，y1)，則|eq o(OA,sup16()eq o(OB,sup16()eq o(OM,sup16()|eq r(x12y12)，幾何意義表示：點

15、M(x，y)與點N(1，1)之間的距離，即圓C上的點與點N(1，1)的距離點N(1，1)在圓C外部，|eq o(OA,sup16()eq o(OB,sup16()eq o(OM,sup16()|的最大值是|NC|1eq r(012212)1eq r(2)1，故選A.2(2018湖北武昌調考)已知點P(1,2)，線段PQ的中點M的坐標為(1，1)若向量eq o(PQ,sup16()與向量a(，1)共線，則_.答案eq f(2,3)解析點P(1,2)，線段PQ的中點M的坐標為(1，1)，向量eq o(PQ,sup16()2eq o(PM,sup16()2(11，12)(4，6)又eq o(PQ,s

16、up16()與向量a(，1)共線，4160，即eq f(2,3).1(2016全國卷)已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，則m()A8 B6 C6 D8答案D解析由題可得ab(4，m2)，又(ab)b，432(m2)0，m8.故選D.2(2018福州一中模擬)已知ABC和點M滿足eq o(MA,sup16()eq o(MB,sup16()eq o(MC,sup16()0.若存在實數m使得eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()meq o(AM,sup16()成立，則m()A2 B3 C4 D5答案B解析由eq o(MA,sup16()eq o(MB,sup16

17、()eq o(MC,sup16()0，知點M為ABC的重心，設點D為邊BC的中點，則eq o(AM,sup16()eq f(2,3)eq o(AD,sup16()eq f(2,3)eq f(1,2)(eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()eq f(1,3)(eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()，所以eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()3eq o(AM,sup16()，故m3，故選B.3(2017福建四地六校聯考)已知A(1,0)，B(4,0)，C(3,4)，O為坐標原點，且eq o(OD,sup16()eq f(1,2)(e

18、q o(OA,sup16()eq o(OB,sup16()eq o(CB,sup16()，則|eq o(BD,sup16()|等于_答案2eq r(2)解析由eq o(OD,sup16()eq f(1,2)(eq o(OA,sup16()eq o(OB,sup16()eq o(CB,sup16()eq f(1,2)(eq o(OA,sup16()eq o(OC,sup16()，知點D是線段AC的中點，故D(2,2)，所以eq o(BD,sup16()(2,2)，故|eq o(BD,sup16()|eq r(2222)2eq r(2).4(2017湘中名校聯考)已知在ABC中，ABAC6，BAC

19、120，D是BC邊上靠近點B的四等分點，F是AC邊的中點，若點G是ABC的重心，則eq o(GD,sup16()eq o(AF,sup16()_.答案eq f(21,4)解析連接AD，AG，如圖依題意，有eq o(AD,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(BD,sup16()eq o(AB,sup16()eq f(1,4)eq o(BC,sup16()eq o(AB,sup16()eq f(1,4)(eq o(AC,sup16()eq o(AB,sup16()eq f(3,4)eq o(AB,sup16()eq f(1,4)eq o(AC,sup16()，eq o(AF,su

20、p16()eq f(1,2)eq o(AC,sup16()，eq o(GD,sup16()eq o(AD,sup16()eq o(AG,sup16()eq o(AD,sup16()eq f(2,3)eq f(1,2)(eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()eq f(3,4)eq o(AB,sup16()eq f(1,4)eq o(AC,sup16()eq f(1,3)eq o(AB,sup16()eq f(1,3)eq o(AC,sup16()eq f(5,12)eq o(AB,sup16()eq f(1,12)eq o(AC,sup16()，故eq o(GD,sup16

21、()eq o(AF,sup16()eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,12)o(AB,sup16()f(1,12)o(AC,sup16()eq f(1,2)eq o(AC,sup16()eq f(5,24)eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()eq f(1,24)eq o(AC,sup16()2eq f(5,24)66eq f(1,2)eq f(1,24)62eq f(15,4)eq f(3,2)eq f(21,4).基礎送分 提速狂刷練一、選擇題1已知向量a，b不共線，ckab(kR)，dab.如果cd，那么()Ak1且c與d同向 Bk1且c與d反向Ck1

22、且c與d同向 Dk1且c與d反向答案D解析cd，(kab)(ab)，存在使kab(ab)，eq blcrc (avs4alco1(k，,1)eq blcrc (avs4alco1(k1，,1.)cab，c與d反向故選D.2(2018襄樊一模)已知eq o(OA,sup16()(1，3)，eq o(OB,sup16()(2，1)，eq o(OC,sup16()(k1，k2)，若A，B，C三點不能構成三角形，則實數k應滿足的條件是()Ak2 Bkeq f(1,2) Ck1 Dk1答案C解析若點A，B，C不能構成三角形，則向量eq o(AB,sup16()與eq o(AC,sup16()共線因為eq

23、 o(AB,sup16()eq o(OB,sup16()eq o(OA,sup16()(2，1)(1，3)(1,2)，eq o(AC,sup16()eq o(OC,sup16()eq o(OA,sup16()(k1，k2)(1，3)(k，k1)所以1(k1)2k0，解得k1，故選C.3(2018懷化一模)設向量a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)，若表示向量4a,4b2c,2(ac)，d的有向線段首尾相連能構成四邊形，則向量A(2,6) B(2,6)C(2，6) D(2，6)答案D解析設d(x，y)，由題意知4a(4，12)，4b2c(6,20)，2(ac)(4，2)，又4a4b2c2(a

24、c)d0，所以(4，12)(6,20)(4，2)(x，y)(0,0)，解得x2，4(2017河南高三質檢)在ABC中，BAC60，AB5，AC4，D是AB上一點，且eq o(AB,sup16()eq o(CD,sup16()5，則|eq o(BD,sup16()|等于()A6 B4 C2 D1答案C解析設eq o(AD,sup16()eq o(AB,sup16()，eq o(CD,sup16()eq o(AD,sup16()eq o(AC,sup16()，eq o(AB,sup16()eq o(CD,sup16()eq o(AB,sup16()(eq o(AD,sup16()eq o(AC,s

25、up16()eq o(AB,sup16()2eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()5，可得2515，eq f(3,5)，|eq o(BD,sup16()|eq f(2,5)|eq o(AB,sup16()|2，故選C.5在平面直角坐標系中，O為坐標原點，設向量eq o(OA,sup16()a，eq o(OB,sup16()b，其中a(3,1)，b(1,3)若eq o(OC,sup16()ab，且01，則C點所有可能的位置區(qū)域用陰影表示正確的是()答案A解析由題意知eq o(OC,sup16()(3，3)，取特殊值，0，0，知所求區(qū)域包含原點，排除B；取0，1，知所求區(qū)域包

26、含(1,3)，排除C，D，故選A.6(2018茂名檢測)已知向量a(3，2)，b(x，y1)且ab，若x，y均為正數，則eq f(3,x)eq f(2,y)的最小值是()A24 B8 C.eq f(8,3) D.eq f(5,3)答案B解析ab，2x3(y1)0，即2x3y3，又x，y0，eq f(3,x)eq f(2,y)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,x)f(2,y)eq f(1,3)(2x3y)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(6f(9y,x)f(4x,y)6)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(122r(f(9y,x)

27、f(4x,y)8，當且僅當2x3yeq f(3,2)時，等號成立eq f(3,x)eq f(2,y)的最小值是8.故選B.7(2017濟南二模)如圖所示，兩個非共線向量eq o(OA,sup16()、eq o(OB,sup16()的夾角為，N為OB中點，M為OA上靠近A的三等分點，點C在直線MN上，且eq o(OC,sup16()xeq o(OA,sup16()yeq o(OB,sup16()(x，yR)，則x2y2的最小值為()A.eq f(4,25) B.eq f(2,5) C.eq f(4,9) D.eq f(2,3)答案A解析因為點C，M，N共線，則eq o(OC,sup16()eq

28、o(OM,sup16()eq o(ON,sup16()eq f(2,3)eq o(OA,sup16()eq f(1,2)eq o(OB,sup16()，1，由eq o(OC,sup16()xeq o(OA,sup16()yeq o(OB,sup16()，xeq f(2,3)，yeq f(1,2)eq f(1,2)(1)，x2y2eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)2eq f(1,4)(1)2eq f(25,36)2eq f(,2)eq f(1,4)，設g()eq f(25,36)2eq f(,2)eq f(1,4)，由二次函數的性質可知：當eq f(9,25)時，g()取最小

29、值，最小值為geq blc(rc)(avs4alco1(f(9,25)eq f(4,25)，所以x2y2的最小值為eq f(4,25)，故選A.8(2017河南中原名校聯考)如圖所示，矩形ABCD的對角線相交于點O，E為AO的中點，若eq o(DE,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(AD,sup16()(，為實數)，則22()A.eq f(5,8) B.eq f(1,4) C1 D.eq f(5,16)答案A解析eq o(DE,sup16()eq f(1,2)eq o(DA,sup16()eq f(1,2)eq o(DO,sup16()eq f(1,2)eq o(DA,su

30、p16()eq f(1,4)eq o(DB,sup16()eq f(1,2)eq o(DA,sup16()eq f(1,4)(eq o(DA,sup16()eq o(AB,sup16()eq f(1,4)eq o(AB,sup16()eq f(3,4)eq o(AD,sup16()，所以eq f(1,4)，eq f(3,4)，故22eq f(5,8).故選A.9(2018安徽十校聯考)已知A，B，C三點不共線，且eq o(AD,sup16()eq f(1,3)eq o(AB,sup16()2eq o(AC,sup16()，則eq f(SABD,SACD)()A.eq f(2,3) B.eq f

31、(3,2) C6 D.eq f(1,6)答案C解析如圖，取eq o(AM,sup16()eq f(1,3)eq o(AB,sup16()，eq o(AN,sup16()2eq o(AC,sup16()，以AM，AN為鄰邊作平行四邊形AMDN，此時eq o(AD,sup16()eq f(1,3)eq o(AB,sup16()2eq o(AC,sup16().由圖可知SABD3SAMD，SACDeq f(1,2)SAND，而SAMDSAND，eq f(SABD,SACD)6.故選C.10如圖所示，在四邊形ABCD中，ABBCCD1，且B90，BCD135，記向量eq o(AB,sup16()a，e

32、q o(AC,sup16()b，則eq o(AD,sup16()()A.eq r(2)aeq blc(rc)(avs4alco1(1f(r(2),2)bBeq r(2)aeq blc(rc)(avs4alco1(1f(r(2),2)bCeq r(2)aeq blc(rc)(avs4alco1(1f(r(2),2)bD.eq r(2)aeq blc(rc)(avs4alco1(1f(r(2),2)b答案B解析根據題意可得ABC為等腰直角三角形，由BCD135，得ACD1354590.以B為原點，AB所在直線為x軸，BC所在直線為y軸建立如圖所示的直角坐標系，并作DEy軸于點E，則CDE也為等腰直

33、角三角形由CD1，得CEEDeq f(r(2),2)，則A(1,0)，B(0,0)，C(0,1)，Deq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，1f(r(2),2)，eq o(AB,sup16()(1,0)，eq o(AC,sup16()(1,1)，eq o(AD,sup16()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)1，1f(r(2),2).令eq o(AD,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()，則有eq blcrc (avs4alco1(f(r(2),2)1，,1f(r(2),2)，)得eq blcrc (avs4

34、alco1(r(2)，,1f(r(2),2)，)eq o(AD,sup16()eq r(2)aeq blc(rc)(avs4alco1(1f(r(2),2)b.故選B.二、填空題11在梯形ABCD中，ABCD，且DC2AB，三個頂點A(1，2)，B(2,1)，C(4,2)，則點D的坐標為_答案(2,4)解析在梯形ABCD中，DC2AB，ABCD，eq o(DC,sup16()2eq o(AB,sup16().設點D的坐標為(x，y)，則eq o(DC,sup16()(4x,2y)，eq o(AB,sup16()(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，eq blcrc

35、 (avs4alco1(4x2，,2y2，)解得eq blcrc (avs4alco1(x2，,y4，)故點D的坐標為(2,4)12在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設向量p(ac，b)，q(ba，ca)，若pq，則角C的大小為_答案60解析由pq，得(ac)(ca)b(ba)，整理，得b2a2c2ab.由余弦定理，得cosCeq f(a2b2c2,2ab)eq f(1,2).又0C180，C60.13(2017太原三模)在ABC中，AB3，AC2，BAC60，點P是ABC內一點(含邊界)，若eq o(AP,sup16()eq f(2,3)eq o(AB,sup16()eq o

36、(AC,sup16()，則|eq o(AP,sup16()|的最大值為_答案eq f(2r(13),3)解析以A為原點，以AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的坐標系，AB3，AC2，BAC60，A(0,0)，B(3,0)，C(1，eq r(3)，設點P為(x，y)，0 x3，0yeq r(3)，eq o(AP,sup16()eq f(2,3)eq o(AB,sup16()eq o(AC,sup16()，(x，y)eq f(2,3)(3,0)(1，eq r(3)(2，eq r(3)，eq blcrc (avs4alco1(x2，,yr(3)yeq r(3)(x2)，直線BC的方程為yeq f(r

37、(3),2)(x3)，聯立，解得eq blcrc (avs4alco1(xf(7,3)，,yf(r(3),3)，)此時|eq o(AP,sup16()|最大，|AP|eq r(f(49,9)f(1,3)eq f(2r(13),3).14(2018江西南昌一模)已知三角形ABC中，ABAC，BC4，BAC120，eq o(BE,sup16()3eq o(EC,sup16()，若點P是BC邊上的動點，則eq o(AP,sup16()eq o(AE,sup16()的取值范圍是_答案eq blcrc(avs4alco1(f(2,3)，f(10,3)解析因為ABAC，BC4，BAC120，所以ABC30

38、，ABeq f(4r(3),3).因為eq o(BE,sup16()3eq o(EC,sup16()，所以eq o(BE,sup16()eq f(3,4)eq o(BC,sup16().設eq o(BP,sup16()teq o(BC,sup16()，則0t1，所以eq o(AP,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(BP,sup16()eq o(AB,sup16()teq o(BC,sup16()，又eq o(AE,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(BE,sup16()eq o(AB,sup16()eq f(3,4)eq o(BC,sup16()，所以eq

39、 o(AP,sup16()eq o(AE,sup16()(eq o(AB,sup16()teq o(BC,sup16()eq blc(rc)(avs4alco1(o(AB,sup16()f(3,4)o(BC,sup16()eq o(AB,sup16()2teq o(BC,sup16()eq o(AB,sup16()eq f(3,4)eq o(BC,sup16()eq o(AB,sup16()eq f(3,4)teq o(BC,sup16()2eq f(16,3)t4eq f(4r(3),3)cos150eq f(3,4)4eq f(4r(3),3)cos150eq f(3,4)t424teq f(2,3)，因為0t1，所以eq f(2,3)4teq f(2,3)eq f(10,3)，即eq o(AP,sup16()eq o(AE,sup16()的取值范圍是eq blcrc(avs4alco1(f(2,3)，f(10,3).三、解答題15給定兩個長度為1的平面向量eq o(OA,sup16()和eq o(OB,sup16()，它們的夾角為eq f(2,3).如圖所示，點C