梯度通俗解釋

1、記得在高中做數(shù)學(xué)題時(shí)，經(jīng)常要求曲線的切線。見到形如:、，二之類的函數(shù)，不 管三七二一直接求導(dǎo)得到，這就是切線的斜率，然后:,-上=:就得到了 :處的切線。上大學(xué)又學(xué)習(xí)了曲面切線和法向量的求法，求偏導(dǎo)是法向量，然后套公式求出切 線。一個(gè)經(jīng)典例子如下：例3 求橢球面x1 + 2y2 + 3z2 = 6 在點(diǎn)(LL1)處的切平面及法線方程.解 F(x,y,z) x2 +2j2 + 3z2-6f乳 s)= S4/6 劃(山)=2,4,6,切平面方程為 2(x-1) + 4(y-l)+6(z-l) = 0,n x+ 2y +3z = 05法線方程為 1 I孩-1, *246(來(lái)自web上某個(gè)幾何應(yīng)用pp

2、t)其中的向量n是F(x,y,z)的偏導(dǎo)數(shù)。然而，這兩者求法看似無(wú)關(guān)啊，二：二中求得的-是切線，然而下面的求偏導(dǎo) 后卻是法向量，為啥都是求導(dǎo)，差別這么大呢？切平面的方程為啥又是與法向量 有關(guān)呢？當(dāng)然這些問(wèn)題的問(wèn)答都可以通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)完成。這里想從更加直白的角度 來(lái)說(shuō)明道理。首先，法向量(梯度)是F(X)(其中X=x0,x1,x2,xn是n維向量)對(duì)各個(gè)分 量求偏導(dǎo)后的結(jié)果，代表了 F(X)在各個(gè)方向的變化率，整個(gè)法向量就是F(X)在 各個(gè)方向上變化率疊加出來(lái)的向量。如對(duì)于一維的F(x)二二，在x上導(dǎo)數(shù)是2x， 意味著在X方向上是以2x的速度變化，比如當(dāng)x=2時(shí)，F(xiàn)(x)變化率為4大于當(dāng) x

3、=1時(shí)(變化率為2)的變化率，法向量的方向只能是x方向，因?yàn)镕(X)是一維。這里的F(X)稱為隱函數(shù)，如我們平時(shí)使用的： = -使用隱函數(shù)就可以表示成 F(x,y)=f(x)-y，這樣其實(shí)F(x,y)是二維的。至于為什么導(dǎo)數(shù)就是變化率，可以 通過(guò)導(dǎo)數(shù)的定義就可以知道了(微小的dx變化引起多大的dy變化)。那么我們明白了，隱函數(shù)F(X)的法向量就是F(X)對(duì)各個(gè)分量的偏導(dǎo)數(shù)的向量。 那么為何二：二中求得的是切線，而不是法向量？其實(shí)我們不能搞混了隱函數(shù)F(X)和：=- o隱函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，它的值根據(jù)X的取值不同而不同。而只是x和y之間滿足的約束關(guān)系，如建立x-y坐標(biāo)，兩者的約束關(guān)系可以通過(guò)圖 形(

4、直線、曲線等)來(lái)表示。比如我們可以用二二來(lái)表示一條拋物線，而且能夠在x-y坐標(biāo)系下畫出來(lái)。而換用隱函數(shù)表示就是F(x,y) = )血=與Sy)說(shuō)明F(x,y)的值究竟將在(x,y)的小范圍能變化多少，這個(gè)變化率決定于x方向 上的微小變換dx和y方向上微小變換dy的線性組合，而他們的系數(shù)就是偏導(dǎo)數(shù)。 將dx和dy換成單位向量i和j就是法向量了。那么梯度也就反映了 F(X)在某 一點(diǎn)的變化率和變換方向。說(shuō)的有點(diǎn)繞口，簡(jiǎn)而言之，對(duì)于一個(gè)隱函數(shù)F(X)，我們想知道在給定X附近F(X) 的變化方向和大小。怎么去刻畫？由于X的各個(gè)方向(x0，x1，x2xn)上變 化速率和方向都不同(比如在x0上以平方級(jí)別

5、變化，在x1上以線性方式變化， 這個(gè)要根據(jù)具體的表達(dá)式了)，而我們想知道他們疊加在一塊是怎么變化的。 我們使用全微分公式(比如上面的；口=.，可以知道他們之間的疊加系數(shù)就是 偏導(dǎo)數(shù)，疊加結(jié)果就是變化率，而方向就是x0，x1，x2相應(yīng)的變化方向i，j， k等線性組合得到的方向?；氐綖槭裁础?二中求得的是切線”的問(wèn)題，其實(shí)這是最終結(jié)論了，是推 導(dǎo)出來(lái)的。第一步我們將： = - -寫成隱函數(shù)(這里的x，y都是實(shí)數(shù)了，上面的 X 是向量)，.=： -：o然后求F對(duì)x的偏導(dǎo)得源:-；=,- 求F對(duì)y的偏導(dǎo)得-1。即梯度是 由于切線和法向量是垂直的，因此切線和法向量?jī)?nèi)積為0。設(shè)切線方向向量為(m,n)，那

6、么-=- 可見，切線斜率是o 回到上面藍(lán)色圖片中的曲面求切平面問(wèn)題，求出某點(diǎn)的法向量后，在該點(diǎn)的切平 面要滿足兩個(gè)條件，一是要過(guò)切點(diǎn)，而是要反映出該點(diǎn)的變化方向(這里不是 該 點(diǎn)F(X)值的變化方向，而是該點(diǎn)自己的變化方向)。然而該點(diǎn)的變化最終要反 映出該點(diǎn)F(X)值的變化，也就是切平面的變化要反映出法向量的變化，而偏導(dǎo) 數(shù)正是反映出了 F(X)值的變化。因此切平面的偏導(dǎo)數(shù)與F(X)的偏導(dǎo)數(shù)是一樣的。 我們從藍(lán)色圖片中看到，切平面正是利用了 F(X)的偏導(dǎo)數(shù)。有上面的全微分公式，我們可以更好地理解極值，為什么常說(shuō)函數(shù)取得極值的時(shí) 候?qū)?shù)為0呢。假設(shè)一維情況，二二二吧，要求極小值，兩邊微分后得 亍二二二土，當(dāng)x=0時(shí)，導(dǎo)數(shù)2x為0，取得極值。否則，如果x為正數(shù)，那么dx只需向左調(diào)整(dx0)，就能使F(x)變小。因此最后調(diào)整結(jié)果是x=0。對(duì)于二維情況，dFOj) = FxQjcdx +與3y)5Gy)和 FJ孫 y)的值在計(jì)算后會(huì)有正負(fù)值，但我們應(yīng)該注意到dx可正可負(fù)，dy婦(咒y)和耳(%, y)也可正可負(fù)，只要,有一個(gè)不為0，那么通過(guò)調(diào)整d