專題70 瓜豆原理中動點軌跡圓或圓弧型最值問題(解析版)

1、專題70 瓜豆原理中動點軌跡圓或圓弧型最值問題【專題說明】動點的軌跡為定圓時，可利用：“一定點與圓上的動點距離最大值為定點到圓心的距離與半徑之和，最小值為定點到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解。確定動點軌跡為圓或者圓弧型的方法:動點到定點的距離不變，則點的軌跡是圓或者圓弧。當(dāng)某條邊與該邊所對的角是定值時，該角的頂點的軌跡是圓，具體運(yùn)用如下; = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 見直角，找斜邊，想直徑，定外心，現(xiàn)圓形 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 見定角，找對邊，想周角，轉(zhuǎn)心角，現(xiàn)圓形【知識精講】如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點考慮：當(dāng)點P

2、在圓O上運(yùn)動時，Q點軌跡是？【分析】觀察動圖可知點Q軌跡是個圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關(guān)系？考慮到Q點始終為AP中點，連接AO，取AO中點M，則M點即為Q點軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時刻，均有AMQAOP，QM:PO=AQ:AP=1:2【小結(jié)】確定Q點軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點共線，由Q為AP中點可得：AM=1/2AOQ點軌跡相當(dāng)于是P點軌跡成比例縮放根據(jù)動點之間的相對位置關(guān)系分析圓心的相對位置關(guān)系；根據(jù)動點之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，作AQAP且AQ=AP考慮：當(dāng)點P在圓O上運(yùn)

3、動時，Q點軌跡是？ 【分析】Q點軌跡是個圓，可理解為將AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90得AQ，故Q點軌跡與P點軌跡都是圓接下來確定圓心與半徑考慮APAQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AMAO；考慮AP=AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO即可確定圓M位置，任意時刻均有APOAQM如圖，APQ是直角三角形，PAQ=90且AP=2AQ，當(dāng)P在圓O運(yùn)動時，Q點軌跡是？【分析】考慮APAQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AMAO；考慮AP:AQ=2:1，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AO:AM=2:1即可確定圓M位置，任意時刻均有APOAQM，且相似比為2【模型總結(jié)】為了便于區(qū)分動點P、Q，可稱點P

4、為“主動點”，點Q為“從動點”此類問題的必要條件：兩個定量主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（PAQ是定值）；主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）【結(jié)論】（1）主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：PAQ=OAM；（2）主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比按以上兩點即可確定從動點軌跡圓，Q與P的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+伸縮古人云：種瓜得瓜，種豆得豆“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”【精典例題】1、如圖，在中，點O是AB的三等分點，半圓O與AC相切，M，N分別是BC與半圓弧上的動點，則MN的最小值

5、和最大值之和是（ ）A5B6C7D8【答案】B【詳解】如圖，設(shè)O與AC相切于點D，連接OD，作垂足為P交O于F，此時垂線段OP最短，PF最小值為，點O是AB的三等分點，O與AC相切于點D，MN最小值為，如圖，當(dāng)N在AB邊上時，M與B重合時，MN經(jīng)過圓心，經(jīng)過圓心的弦最長，MN最大值，,MN長的最大值與最小值的和是6故選B2、如圖，在矩形紙片ABCD中，點E是AB的中點，點F是AD邊上的一個動點，將沿EF所在直線翻折，得到，則的長的最小值是AB3CD【答案】D【詳解】以點E為圓心，AE長度為半徑作圓，連接CE，當(dāng)點在線段CE上時，的長取最小值，如圖所示，根據(jù)折疊可知：在中，的最小值故選D3、如圖

6、，在RtABC中，ABC90，ACB30，BC23 ，ADC與ABC關(guān)于AC對稱，點E、F分別是邊DC、BC上的任意一點，且DECF，BE、DF相交于點P，則CP的最小值為( )A1B3C32【答案】D【詳解】連接AD，因為ACB30，所以BCD60，因為CBCD，所以CBD是等邊三角形，所以BDDC.因為DECF，EDBFCD60，所以EDBFCD，所以EBDFDC，因為FDCBDF60，所以EBDBDF60，所以BPD120，所以點P在以A為圓心，AD為半徑的弧BD上，直角ABC中，ACB30，BC23，所以AB2，AC4，所以AP2.當(dāng)點A，P，C在一條直線上時，CP有最小值，CP的最小

7、值是ACAP422.故選D.4、如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點，F(xiàn)是線段BC上的動點，將EBF沿EF所在直線折疊得到EB F，連接B D，則B D的最小值是_【答案】.【詳解】如圖所示點B在以E為圓心EA為半徑的圓上運(yùn)動，當(dāng)D、B、E共線時，BD的值最小，根據(jù)折疊的性質(zhì)，EBFEBF，B=EBF，EB=EBE是AB邊的中點，AB=4，AE=EB=2AD=6，DE2，BD=22故答案為225、如圖，中，是內(nèi)部的一個動點，且滿足，則線段長的最小值為_.【答案】2：【詳解】PAB+PBA=90APB=90點P在以AB為直徑的弧上（P在ABC內(nèi)）設(shè)以AB為直徑的圓心為點O

8、，如圖接OC，交O于點P，此時的PC最短AB=6，OB=3BC=4PC=5-3=26、如圖，點在半圓上，半徑，點在弧上移動，連接，作，垂足為，連接，點在移動的過程中，的最小值是_【答案】【詳解】如圖，設(shè)AD的中點為點E，則由題意得，點H的運(yùn)動軌跡在以點E為圓心，EA為半徑的圓上由點與圓的位置關(guān)系得：連接BE，與圓E交于點H，則此時取得最小值，連接BDAB為半圓O的直徑故答案為：7、如圖，過拋物線上一點A作軸的平行線，交拋物線于另一點B，交軸于點C，已知點A的橫坐標(biāo)為（1）求拋物線的對稱軸和點B的坐標(biāo)；（2）在AB上任取一點P，連結(jié)OP，作點C關(guān)于直線OP的對稱點D；連結(jié)BD，求BD的最小值；當(dāng)點D落在拋物線的對稱軸上，且在軸上方時，求直線PD的函數(shù)表達(dá)式【答案】(1)x=4；B（10，5）（2）y=x+【詳解】（1）由題意A（2，5），對稱軸x=4，A、B關(guān)于對稱軸對稱，B（10，5）（2）如圖1中，由題意點D在以O(shè)為圓心OC為半