西安交通大學(xué)線性代數(shù)期末考試試題(附標(biāo)準(zhǔn)答案)

1、共共4頁(yè)第2頁(yè)共共4頁(yè)第 頁(yè)1-123(1)矩陣1-123(1)矩陣A=130101-1-1_1-4-3-2求V的基與維數(shù).線性空間V=bIbGF4方程組Ax二b有解設(shè)TgL(R3)，T在R3的基a=(-1,1,a=(1,0,-1)t,a=(0,1,1下的矩123(1陣為A=1.-10，求T在基0二(1,0,0)T,0=(0,1,0)T,0二(0,0,1)T下的1)矩陣.八、（10分）設(shè)a,a，,a是n維列向量組，矩陣12nataataata11121nataataata21222nataataata-n1n2nnA二試證明a,a,a線性無(wú)關(guān)的充要條件是對(duì)任意n維列向量b，方程組AX=b12n

2、均有解。西安交通大學(xué)本科生課程考試試題標(biāo)準(zhǔn)答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)課程名稱：線性代數(shù)與幾何（A）課時(shí)：48考試時(shí)間：2010年1月15日一.單選題(5分一.單選題(5分x3=15分)1.B2.A3二.填空題(5分x3=15分)1.42.3.C203.k(3,2,l,0)t+(2,2,2,2)t,k為任意常數(shù)三.(12分)a=(1,1,1)t,a=(1,1,1)t12取點(diǎn)P(0,0,4)el，點(diǎn)P(0,0,0)el,PP=(0,0,4)112212混合積a,a,pp=8豐0，故i,i異面1212“12l與l的距離d二企J化1二旦二2邁12IIa1xa22屈公垂線l的方向向量l(0,1,-1)含l,l的平面

3、方程為2(x0)+1(y-0)+1(z-4)=0含l,l的平面方程為122(x-0)-1(y-0)-1(z+0)=0故公垂線l的方程為：J2x-y-z+4=02x+y+z=0._k11jk3_11k2-四.(12分)A=1k11210k1(1k)011kj-200(k+2)(1k)3(k1)_當(dāng)九H-2且k豐1時(shí),r(A)=r(A)=3方程組有唯一解當(dāng)kH-2時(shí),r(A)=2,r(A)=3方程組無(wú)解TOC o 1-5 h z1112_當(dāng)k=1時(shí),At0000,r(A)=(A)=13方程組有無(wú)窮多解，取一個(gè)0000特解n=(2,0,0)t,易得導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為:g=(1,1,0)T,g=(

4、-1,0,1)t,1b10一五.記A=ba1,D=11114故結(jié)構(gòu)式通解為x故結(jié)構(gòu)式通解為x=n+cg+cg,cc為任意常數(shù)112212，有P-1AP=PTAP=D，k=0,k=1,k=41230+1+4=1+a+1,，故a=3,b=1.0 x1x4=1Al=(b1)2對(duì)k=0，解(0IA)x=0,得屬于k的特征向量(1,0,1)T；11對(duì)k=1，解(1/A)x=0,得屬于k的特征向量(1,1,1)t；對(duì)X3=4，解(41-A)x二0,得屬于入3的特征向量(1,1將上述3個(gè)特征向量再正交化，單位化，得正交矩陣1_21_2苫丄拆1壽再1V2O丄一2-P六、(12分)由題知(A-1)X=A2-1=

5、(A-1)(A+1),_001_A-1二010可逆100201_故X二(A-1)-1(A-1)(A+1)二A+1二030102七、(12分)1.W的基與維數(shù)為A的列向量組的極大無(wú)關(guān)組和秩記A=aaaa，可計(jì)算出A的極大無(wú)關(guān)組為a,a,a，TOC o 1-5 h z1234123故w的基為a,a,a，維數(shù)為31232.基a,a,a到P,P,P的過(guò)渡矩陣記為P123123100-110010=1010011-11即PTOC o 1-5 h z-11-2則T在P,P,P下的矩陣為PAP-1=220123302八.(10分)記D=a,a，a12nn由a,a線性無(wú)關(guān)知IDIh0而|A|=1DtD|=|D|2主0，即A可逆，故對(duì)任意n維列向量b，方程組AX=b均有解X=A-1b。u