聚合物加工流變學(xué)：第3章 聚合物流動(dòng)方程

1、3 聚合物流動(dòng)方程3.1 基本物理量 3.2 流動(dòng)場的連續(xù)性方程 3.3 運(yùn)動(dòng)方程 3.4 流動(dòng)場的能量守恒方程 3.5 本構(gòu)方程初步 3 聚合物流動(dòng)方程3.1 基本物理量3.1.1張量初步認(rèn)識(shí)（1）標(biāo)量、矢量、張量在選定了測量單位以后，僅由數(shù)值大小所決定的(說明其性質(zhì)的)物理量叫數(shù)量或標(biāo)量(scalar) 例如，溫度、質(zhì)量、時(shí)間、電壓、電阻、密度、靜止流體中一點(diǎn)的壓強(qiáng)等均為標(biāo)量。3 聚合物流動(dòng)方程 既有方向又有大小的量稱為矢量。即在選定了測量單位后，既需要知道測得的數(shù)值，又要知道在空間的一定方向，才能說明其性質(zhì)的物理量叫矢量（vector）例如速度、位移和溫度梯度等都為矢量。 矢量的表示方法

2、： ai=a=axi+ayj+azk 在一點(diǎn)處不同方向上具有不同量值的物理量稱為張量。 例如應(yīng)力、應(yīng)變均是張量。 3 聚合物流動(dòng)方程張量的表示方法： 3 聚合物流動(dòng)方程（2）幾個(gè)特殊的張量單位張量的表達(dá)式：1）單位張量ij稱為克朗內(nèi)克符號(hào)，定義為：3 聚合物流動(dòng)方程2）對(duì)稱張量二階張量的下標(biāo)i和j互換后所代表分量不變，稱為二階對(duì)稱張量。即3）反對(duì)稱張量3 聚合物流動(dòng)方程二階反對(duì)稱張量的分量滿足：對(duì)角線各元素為零，從而只有三個(gè)獨(dú)立分量，有（2）張量的代數(shù)計(jì)算3 聚合物流動(dòng)方程1）張量相等2）張量的加減3）張量與標(biāo)量的乘（除）4）向量和張量的乘積5）張量與張量的張量乘積（單點(diǎn)積）6）張量與張量的標(biāo)

3、量乘積（雙點(diǎn)積）3 聚合物流動(dòng)方程(3)哈密爾頓算子：具有微分和矢量雙重運(yùn)算的算子。 (4)拉普拉斯算子：(5)梯度：是標(biāo)量場不均勻的量度，記為grad梯度的計(jì)算法則：3 聚合物流動(dòng)方程(6)散度：是矢量場中任一點(diǎn)通過所包圍界面的通量，并除以此微元體積。記為div v,為一標(biāo)量。散度的計(jì)算法則：3 聚合物流動(dòng)方程對(duì)于速度場散度：div vi=0,稱為無源場，具有不可壓縮特性。常用的速度散度經(jīng)常寫成：3 聚合物流動(dòng)方程3.2流動(dòng)場的連續(xù)性方程 連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒原理在流體運(yùn)動(dòng)中的表現(xiàn)形式。是質(zhì)量不滅定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 在直角坐標(biāo)系中取一個(gè)邊長為dx、dy、dz的無限小的體積單元，稱為控制體。

4、3.2.1 方程的推導(dǎo)3 聚合物流動(dòng)方程 設(shè)流場中任一點(diǎn)（x,y,z）,在t時(shí)刻的速度為vi，其三個(gè)速度分量分別為vx，vy，vz。流體密度為。 單位時(shí)間內(nèi)從x,y,z方向進(jìn)入體積元的質(zhì)量流量分別為: 單位時(shí)間內(nèi)從x,y,z方向流出體積元的質(zhì)量流量分別為:單位時(shí)間內(nèi)質(zhì)量的累積量=進(jìn)入量-流出量 3 聚合物流動(dòng)方程 微元體積在單位時(shí)間內(nèi)的質(zhì)量累積量（增量）等于單位時(shí)間內(nèi)凈流入該體積內(nèi)的流體質(zhì)量。 3 聚合物流動(dòng)方程輸出的質(zhì)量流率-輸入的質(zhì)量流率+累積的質(zhì)量流率=0連續(xù)性方程的向量表示： 連續(xù)性方程的全微分形式：密度是時(shí)間t和空間x,y,z的函數(shù)，即=（t,x,y,z），則根據(jù)全微分定義可得：3

5、聚合物流動(dòng)方程全導(dǎo)數(shù)形式的連續(xù)性方程:3 聚合物流動(dòng)方程 由時(shí)間變化而引起的質(zhì)量變化，是由于長的不穩(wěn)定性引起的質(zhì)量變化，是局部項(xiàng)； 由空間位置改變而引起的質(zhì)量變化，是由場的不均勻性而引起的質(zhì)量變化，是遷移項(xiàng)。3.2.2 方程的討論3 聚合物流動(dòng)方程隨體導(dǎo)數(shù) 是一種“全微-偏微分關(guān)系算符 ”，又稱（實(shí)質(zhì)微分算符） 表示方法：任意物理量F的隨體導(dǎo)數(shù)為： 3 聚合物流動(dòng)方程 隨體導(dǎo)數(shù)是指物理量隨著流體質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間的變化一起運(yùn)動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的變化率。 隨體導(dǎo)數(shù)由兩部分組成，其一是物理量的局部變化（第一項(xiàng)，稱為局部導(dǎo)數(shù)或當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)），即該量在空間一個(gè)固定點(diǎn)上隨時(shí)間的變化，由流動(dòng)的不穩(wěn)定性引起的。第二項(xiàng)（稱為對(duì)流

6、導(dǎo)數(shù)遷移導(dǎo)數(shù)）是物理量的對(duì)流變化，即該量由于流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，從一點(diǎn)轉(zhuǎn)移到另一點(diǎn)時(shí)發(fā)生的變化，是由場的不均勻性引起的。隨體導(dǎo)數(shù)也曾被稱為拉格朗日導(dǎo) 數(shù)。3 聚合物流動(dòng)方程 連續(xù)性方程在流變學(xué)適用于：理想流體(無粘度的假想流體)、實(shí)際流體(牛頓型的或非牛頓型的，可壓縮的或不可壓縮的)，適用于定常流動(dòng)(即流動(dòng)場內(nèi)各運(yùn)動(dòng)參數(shù)與時(shí)間無關(guān)的運(yùn)動(dòng))，也適用于不定常流動(dòng)的短一瞬間。 3 聚合物流動(dòng)方程3.3 運(yùn)動(dòng)方程3.3.1 動(dòng)量與力動(dòng)量守恒原理要求流體系統(tǒng)的變化率等于該系統(tǒng)上的全部作用力，表達(dá)成： 公式的物理意義為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量變化率等于質(zhì)點(diǎn)所受的外力和。3 聚合物流動(dòng)方程隨體導(dǎo)數(shù)形式：(1) 質(zhì)量力3.3.

7、2 應(yīng)力張量 應(yīng)力通常定義為材料內(nèi)部單位面積上的響應(yīng)力。單位為Pa或MPa。 流體運(yùn)動(dòng)中作用外力分為質(zhì)量力和表面力。 作用于流體質(zhì)量上的非接觸力，于流體內(nèi)部每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上。3 聚合物流動(dòng)方程設(shè)單位質(zhì)量力mg作用于控制體的流體上，則各軸線方向的質(zhì)量力: 3 聚合物流動(dòng)方程作用于各軸線方向的凈表面力：（2）表面力 為流體通過接觸面而施加在另一部分流體上的作用力。表現(xiàn)為粘性流動(dòng)阻力，用應(yīng)力張量ij表示。3 聚合物流動(dòng)方程 表面應(yīng)力的定義：以法線n為方向，包圍點(diǎn)M的面元S上的表面力F,其極限就是M點(diǎn)處的表面應(yīng)力（n) 表面應(yīng)力可以分解為法向應(yīng)力和切向應(yīng)力。因?yàn)檫^一點(diǎn)的作用面可以任意方向選取，于是一點(diǎn)出的表

8、面應(yīng)力的大小與方向也就隨之改變。3 聚合物流動(dòng)方程 過M點(diǎn)取微小曲面S,其法線方向?yàn)閚，所受作用應(yīng)力為，當(dāng)過M點(diǎn)另取一個(gè)不同方位的微小曲面S時(shí)，設(shè)其法線方向?yàn)閚，則所受作用應(yīng)力就為， 3 聚合物流動(dòng)方程 物體受力后任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)需要由九個(gè)分量組成的一個(gè)應(yīng)力張量來描述，如下圖所示。3 聚合物流動(dòng)方程 當(dāng)物體處于平衡狀態(tài)時(shí)，即不發(fā)生旋轉(zhuǎn)，根據(jù)切應(yīng)力互等定律。在上述九個(gè)分量中，只有六個(gè)是獨(dú)立的，可表示為：即此時(shí)應(yīng)力張量是對(duì)稱張量。 3 聚合物流動(dòng)方程3.3.3運(yùn)動(dòng)方程（1）推導(dǎo)控制體的質(zhì)量：各軸線方向的動(dòng)量變化率： 3 聚合物流動(dòng)方程各軸線方向分量的動(dòng)量方程： 用張量表示上述方程，則有： 3 聚合

9、物流動(dòng)方程（2）運(yùn)動(dòng)方程的討論與F=ma相比，動(dòng)量方程是從單位體積推導(dǎo)出來的。 動(dòng)量守恒方程是任何流體流動(dòng)（包括高聚物流動(dòng)）的動(dòng)量守恒方程。 3 聚合物流動(dòng)方程（3）運(yùn)動(dòng)方程的展開對(duì)于粘性流動(dòng)，一點(diǎn)處的應(yīng)力張量：即：粘性流動(dòng)與理想流動(dòng)在表面方向有偏離。 3 聚合物流動(dòng)方程實(shí)用得剪切流動(dòng)得粘性流體動(dòng)量方程： 展開得此動(dòng)量方程在直角坐標(biāo)系種的展開式：x方向：3 聚合物流動(dòng)方程y方向：z方向：（4）運(yùn)動(dòng)方程的物理意義和應(yīng)用3 聚合物流動(dòng)方程 流變學(xué)動(dòng)量方程表述為微元控制體單位體積流體上的局部增長率與通過微元控制體的單位體積流體的動(dòng)量輸出量之和，等于控制體上單位體積流體的質(zhì)量力和表面力之和。-單位體積

10、的質(zhì)量稱之為慣性力項(xiàng)，反映單位時(shí)間流體的動(dòng)量的增量。3 聚合物流動(dòng)方程是靜壓力項(xiàng)，反映靜壓力對(duì)動(dòng)量的貢獻(xiàn)； 是黏性力項(xiàng)，反映流體的粘性對(duì)動(dòng)量的貢獻(xiàn)； g是重力項(xiàng)，反映重力對(duì)動(dòng)量的貢獻(xiàn)。運(yùn)動(dòng)方程的物理意義可以看作：慣性力=靜壓力粘性力重力3 聚合物流動(dòng)方程3.4 能量方程 能量方程（energy equation）是能量守恒原理在流體運(yùn)動(dòng)中的表現(xiàn)形式。3.4.1 流動(dòng)場的能量方程的推導(dǎo) 總能量變化率單位體積的流動(dòng)能量E1熱能凈流量E2應(yīng)力做功E3（1）單位體積的流動(dòng)能量E1單位時(shí)間內(nèi)從x方向進(jìn)入控制體的能量為：3 聚合物流動(dòng)方程單位時(shí)間內(nèi)從x方向流出控制體的能量為：沿x軸方向的流入的凈流動(dòng)能量：

11、沿y軸，z軸方向流入的凈能量分別為： 3 聚合物流動(dòng)方程單位時(shí)間單位體積的總流動(dòng)能量：（2）熱能凈流量E2 設(shè)沿著x軸，y軸，z軸方向在單位時(shí)間、單位面積流入的熱流密度（即熱通量）為qx, qy,qz沿x軸流出的熱通量為： 沿x軸方向的凈熱能量為： 3 聚合物流動(dòng)方程同理，沿y軸，z軸方向的凈熱能量分別為：單位時(shí)間單位體積吸取的凈熱能量為：（3）應(yīng)力做功E3 控制體受到應(yīng)力張量各個(gè)分量的作用在單位時(shí)間內(nèi)做功，等于應(yīng)力分量乘以沿應(yīng)力作用方向上速度變化率。 3 聚合物流動(dòng)方程流體控制體所做功： 3 聚合物流動(dòng)方程流動(dòng)場的能量方程的張量表達(dá)式： 三個(gè)部分組成：單位體積的質(zhì)量力的流動(dòng)功率、熱通量矢量、

12、表面力的功率（粘性流體的發(fā)熱）。 3.4.2 實(shí)用的能量方程（全微分形式的能量方程）EUK單位體積能量變化率： 3 聚合物流動(dòng)方程單位質(zhì)量流體的動(dòng)能的變化率：（1）能量變化率用隨體導(dǎo)數(shù)的算符運(yùn)算：整理得能量變化率陳述的能量方程：3 聚合物流動(dòng)方程（2）能量變化率 內(nèi)能變化率陳述的能量方程: 3 聚合物流動(dòng)方程（3）能量變化率 內(nèi)能U是溫度T和體積V的函數(shù)，其微分形式： 熱力學(xué)第二定律 dU=dQ-dW=TdS-pdV對(duì)體積求導(dǎo)： 3 聚合物流動(dòng)方程剪切流動(dòng)得實(shí)用能量方程： 3 聚合物流動(dòng)方程單位時(shí)間內(nèi)流體大的質(zhì)點(diǎn)攜帶的溫度變化而引起的熱量變化量； 空間位置的溫差引起熱傳導(dǎo)產(chǎn)生的熱量變化； 溫度

13、變化引起的膨脹或壓縮能量的變化；對(duì)高聚物熔體和高彈性體，視為不可壓縮。剪切應(yīng)力作用于流體時(shí)粘性摩擦產(chǎn)生熱效應(yīng)引起溫度的變化。3 聚合物流動(dòng)方程3.4.2 傅立葉熱傳導(dǎo)方程 流體是不可壓縮的，且流體粘度很低，能量方程簡化為： 若擴(kuò)散系數(shù)（導(dǎo)溫系數(shù)）為：導(dǎo)熱系數(shù)，W/(mK);Cv：比定容熱容，J/(kgK);: 密度，kg/m3。3 聚合物流動(dòng)方程導(dǎo)熱通量：傅立葉熱傳導(dǎo)方程： 例題：不可壓縮粘彈性流體在穩(wěn)態(tài)簡單剪切流場中的輸運(yùn)方程。 輸運(yùn)過程的基本方程應(yīng)用在解決具體問題時(shí)，由于問題的特殊性，許多情況下方程可以簡化，使之易于求解?？疾觳豢蓧嚎s的粘彈性流體在穩(wěn)態(tài)簡單剪切流場中的流動(dòng)。 流體的速度分量只有v1分量不等于零；v1的