角平分線性質 詳細版課件

1、角平分線的性質（1，2課）復習提問1、角平分線的概念 2、點到直線距離的意義。一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。下列兩圖中，能表示直線l1上一點P到直線l2的距離的是（ ）圖1圖2BPAl1l2PA下列兩圖中，能表示角的平分線上的一點P到角的邊上的距離的是（ ）PM 如右圖,是一個平分角的儀器,其中AB=AD,BC=DC.將點A放在角的頂點,AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線.你能說明它的道理嗎?探究1：ACDBE已知:AOB求作：AOB的平分線（1）以O為圓心，適當長為半徑作

2、弧，交OA于M，交OB于N。（2）分別以M、N為圓心，大于12MN的長為半徑作弧，兩弧在AOB的內部交于點C。（3）作射線OC。射線OC即為所求。A0BMNC做法：AO仔細觀察步驟尺規(guī)作角的平分線ABOAOEBCPD 將AOB對折,在折出一個直角三角形(使第一條折痕為斜邊),然后展開,觀察兩次折疊形成的三條折痕,你能得出什么結論? 可以看一看,第一條折痕是AOB的平分線OC,第二次折疊形成的兩條折痕PD,PE是角的平分線上一點到AOB兩邊的距離,這兩個距離相等.折一折探究2：已知：如圖，OC是的AOB的平分線，點P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分別是D，E。求證：PD=PEC證明： PDO

3、A，PEOB（已知）PDO=PEO=90（垂直的定義）在PDO和PEO中 PD=PE（全等三角形的對應邊相等） PDO= PEO AOC= BOC OP=OP PDO PEO（AAS）問題探究ABODEPC角平分線的性質1： 角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。BADOPEC性質應用所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點在該平分線上；（3）垂直距離。性質的作用： 證明線段相等。性質的書寫格式：OP 是 的平分線PD = PE（在角的平分線上的點 到這個角的兩邊的距離相等。）推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個。1. 如圖，AD平分BAC（已知） = ，( ) 在角的平分線上的點到

4、這個角的兩邊的距離相等。BD CD（）練習：2. 如圖， DCAC，DBAB （已知） = ，( ) 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。BD CD（）3. AD平分BAC, DCAC，DBAB （已知） = ，（ ） DBDC在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。不必再證全等4.ABC中, C=900,AD平分 CAB,且 BC=8,BD=5,求點D到AB的距離是多少？ABCDE5.如圖所示， ABC中，AB=AC，M為BC中點，MDAB于D，MEAC于E。求證：MD=ME。BM是ABC的角平分線,點P在BM上CN是ABC的角平分線,點P在CN上ABCPMNDEF PD=PE

5、PE=PF(角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等).PDPE=PF.即點P到三邊AB、BC、CA的距離相等證明：過點P作PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F例1 已知：如圖ABC的角平分線BM、CN相交于點P. 求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等. 如圖，由 于點 D ， 于點 E，PD= PE ， 可以得到什么結論 ？ OBPEPDOA議一議 到一個角的兩邊的距離相等的點， 在這個角的平分線上。 已知：如圖， ， ，垂足分別是 A、B，PD=PE ， 求證：點P在 的角平分線上。BADOPE 到角的兩邊的距離相等的點 在角的平分線上。 已知：如圖， ， ， 垂足分別是 D、E，P

6、D=PE， 求證：點P在 的角平分線上。證明：作射線OP 點P在 角的平分線上 在 RtPDO 和RtPEO 中，（ HL）（全等三角形的對應角相等） OP = OP （公共邊）PD = PE （ 已 知 ）性質 2BADOPE性質 2的應用書寫格式：OP 是 的平分線PD= PE （到一個角的兩邊的距離相等的點， 在這個角的平分線上）DEOP AB例1、已知:BDAM于點D,CEAN于點E,BD,CE交點F,CF=BF,求證:點F在A的平分線上.學以致用AAAAAAADNEBFMCA例2.如圖，在ABC中，D是BC的中點，DEAB，DFAC，垂足分別是E，F，且BECF。求證：AD是ABC的

7、角平分線。ABCEFD例3.如圖，已知ABC的外角CBD和BCE的平分 線相交于點F，求證：點F在DAE的平分線上 證明：過點F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于MGHM點F在BCE的平分線上， FGAE， FMBCFGFM又點F在CBD的平分線上， FHAD， FMBCFMFHFGFH點F在DAE的平分線上性質 1 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。性質 2 到一個角的兩邊的距離相等的點， 在這個角的平分線上。BADOPECPD = PEOP 是 的平分線OP 是 的平分線PD = PE用途：證線段相等用途：判定一條射線是角平分線(1). 1= 2,DCAC, DEAB _(

8、_)(2). DCAC ,DEAB ,DC=DE_(_ _)ACDEB121= 2DC=DE到角的兩邊的距離相等的點，在角平分線上。角平分線上的點到角的兩邊的距離相等隨練習堂例2 已知：如圖ABC的外角CBD和BCE的平分線相交于點F， 求證：點F在DAE的平分線上證 明：過F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于MGHM點F在BCE的平分線上， FGAE， FMBCFGFM又點F在CBD的平分線上， FHAD， FMBCFMFHFGFH點F在DAE的平分線上利用結論，解決問題練一練 1、如圖，為了促進當地旅游發(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個度假村.要使這個度假村到三條公路的距

9、離相等,應在何處修建?想一想 在確定度假村的位置時,一定要畫出三個角的平分線嗎?你是怎樣思考的?你是如何證明的?變式訓練 直線表示三條相互交叉的公路,現要建一個貨物中轉站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有:( ) A.一處 B. 兩處 C.三處 D.四處分析:由于沒有限制在何處選址,故要求的地址共有四處。1 如圖，DEAB，DFBC，垂足分別是E，F， DE =DF， EDB= 60，則 EBF= 度，BE= 。60BF2 如圖，在ABC中，C=90，DEAB，1=2，且AC=6cm，那么線段BE是ABC的 ，AE+DE=。角的平分線AC應用與拓展1.在ABC中, C=900,AD平分BAC交BC于點D,若BC=8,BD=5,則點D到AB的距離為多少