電磁場(chǎng)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)知識(shí)

1、電磁場(chǎng)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)知識(shí)電磁場(chǎng)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)知識(shí)電磁場(chǎng)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)知識(shí)第一章電磁場(chǎng)的數(shù)學(xué)、物理基礎(chǔ)知識(shí)1-1 電磁場(chǎng)及矢量代數(shù) 1-2 正交曲面坐標(biāo)系 1-3 標(biāo)量場(chǎng)及其梯度 1-4 矢量場(chǎng)的通量、散度與高斯散度定理 1-5 矢量場(chǎng)的環(huán)量、旋度與斯托克斯定理 1-6 亥姆赫茲定理 1-7 電磁場(chǎng)麥克斯韋方程組 1-8 矢量場(chǎng)惟一性定理 2021/4/131-1 電磁場(chǎng)及矢量代數(shù)1.1.1矢量及其表示方法1.1.2矢量相加(疊加) 1.1.3矢量的乘積運(yùn)算2021/4/131-1 電磁場(chǎng)及矢量代數(shù) 場(chǎng)的概念: 場(chǎng)是一個(gè)以空間位置(x,y,z)和時(shí)間(t)為自變量的函數(shù)。標(biāo)量場(chǎng)矢量場(chǎng)穩(wěn)恒場(chǎng)均勻場(chǎng)

2、描繪場(chǎng)的函數(shù)為標(biāo)量函數(shù)= (x,y,z,t)描繪場(chǎng)的函數(shù)為矢量函數(shù)A=A(x,y,z,t )不隨時(shí)間變化的場(chǎng) (x,y,z), A(x,y,z )不隨空間變化的場(chǎng) (t) , A(t )只有大小而沒(méi)有方向的量。如電壓、電荷量、電流、面積等在指定的時(shí)刻，空間每一點(diǎn)可以用一個(gè)標(biāo)量唯一地描述，則該標(biāo)量函數(shù)定出標(biāo)量場(chǎng)。例如物理系統(tǒng)中的溫度、壓力、密度等。具有大小和方向特征的量。如電場(chǎng)強(qiáng)度矢量。磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量、作用力矢量、速度矢量等。在指定的時(shí)刻，空間每一點(diǎn)可以用一個(gè)矢量唯一地描述，則該矢量函數(shù)定出矢量場(chǎng)。例如流體空間中的流速分布等。2021/4/131.1.1 矢量及其表示方法 矢量的定義及表示：幾何表

3、示：有向線段代數(shù)表示：基于坐標(biāo)系的參數(shù)表示 矢量的代數(shù)運(yùn)算(四則運(yùn)算)：幾何方法及其意義代數(shù)方法及其運(yùn)算規(guī)則(與坐標(biāo)系相關(guān))2021/4/131.1.1 矢量及其表示方法矢量：表示既有大小也有方向的量，如 或 標(biāo)量：只有大小的量，如 矢量幾何圖示如右：矢量代數(shù)：矢量間的四則運(yùn)算，即加減法、乘法。2021/4/131.1.1 矢量及其表示方法一個(gè)由大小和方向共同確定的物理量叫做矢量。 ， zxyAO單位矢量模等于1的矢量叫做單位矢量。（1.1.1）矢量表示法在三維空間中，矢量可表示為一根有方向的線段。該線段的長(zhǎng)度 代表該矢量的模，該線段的方向 代表該矢量的方向。2021/4/13在直角坐標(biāo)系中矢

4、量的表示例如：2021/4/13一個(gè)矢量經(jīng)平移后所得到的新矢量及原矢量相等。在直角坐標(biāo)系下，兩個(gè)相等的矢量必有相等的坐標(biāo)分量。負(fù)矢量及原矢量大小相等，方向相反的矢量。2021/4/131.1.2 矢量相加(幾何表示 )， 圖1-1兩矢量相加ABA+BABA+B( a ) 平行四邊形法則 ( b ) 首尾相接法則 兩矢量A和B相加定義為一個(gè)新矢量A+B 圖1-2 兩矢量相減- BBAA-B交換律 A+B = B+A結(jié)合律 ABC=A(BC)=(AB) CA和B相減為新矢量A B 2021/4/131.1.2 矢量相加(代數(shù)表示)， 直角坐標(biāo)系中的矢量及運(yùn)算AxAyAzAyzx圖 1-3 直角坐標(biāo)

5、中的A及其各分矢量若則2021/4/131.1.2 矢量相加(代數(shù)表示)矢量加法滿足交換律和結(jié)合律，矢量減法不滿足交換律。矢量乘法圖1-4 f 與A 相乘A A( 0) A( 0) 標(biāo)量與矢量A的乘積用A表示，它是A的倍。 若則2021/4/13兩個(gè)矢量的標(biāo)量積（點(diǎn)積）定義為這兩個(gè)矢量的模以及這兩個(gè)矢量 之間夾角的余弦三者的乘積。兩個(gè)矢量的矢量積（叉積）的模等于這兩個(gè)矢量的模以及這兩個(gè)矢量之間夾角的正弦三者的乘積，而方向垂直于兩矢量所構(gòu)成的平面，其指向按“右手法則”來(lái)確定。（1.1.26）1.1.3矢量的乘積運(yùn)算2021/4/131.1.3矢量的乘積運(yùn)算 AB=ABcosAB=BA(A+B)C

6、=AC+BC(A B) =(A) B= A(B)若A B，則AB=0(5)A自身的點(diǎn)積，即 =0，AA=A21.矢量的標(biāo)量積 dot product/scalar product Acos2021/4/13例如， 直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式： exey=eyez= exez=0exex=eyey=ezez=1 直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)積運(yùn)算 由單位矢量的正交性得2021/4/132.矢量的矢量積 cross product C= AB=ABsinec ec為垂直于A、B平面的單位矢量，A、B、C服從右手螺旋法則。 (a) 矢量積的圖示； (b) 右手螺旋2021/4/13 矢量積又稱(chēng)為叉積(C

7、ross Product)，如果兩個(gè)不為零的矢量的叉積等于零， 則這兩個(gè)矢量必然相互平行，或者說(shuō)，兩個(gè)相互平行矢量的叉積一定等于零。 矢量的叉積不服從交換律， 但服從分配律， 即AB=-BA A(B+C)=AB+AC A、B相平行（ = 0或180)時(shí)，AB=0，反之亦然；A自身的叉積為零，AA=0。 2021/4/13 直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式： exey=ez eyez=ex, ezex=ey exex=eyey=ezez= 0 在直角坐標(biāo)系中，矢量的叉積還可以表示為 =ex(AyBz-AzBy)+ey(AzBx-AxBz)+ez(AxBy-AyBx)2021/4/132.矢量的

8、矢量積 cross product ABBA AB = BA C (A+B)=C A +C B (AB) =(A)B= A(B) 若A/B，則AB=02021/4/13標(biāo)量積滿足交換律和分配律，矢量積只滿足分配律。若兩個(gè)矢量垂直，即它們之間的夾角為90o，則它們的標(biāo)量積等于零，而矢量積最大，等于這兩個(gè)矢量的模的乘積；若兩個(gè)矢量平行，即它們之間的夾角為零，則矢量積等于零，而標(biāo)量積最大，等于這兩個(gè)矢量的模的乘積。反過(guò)來(lái)說(shuō)也是對(duì)的。若兩個(gè)非零矢量的標(biāo)量積等于零，則這兩個(gè)矢量必相互垂直；若兩個(gè)非零矢量矢量積等于零，則這兩個(gè)矢量必相互平行。2021/4/13 3.矢量的混合積轉(zhuǎn)換性 C ( AB ) =

9、 A ( BC ) = B ( CA ) C ( AB)=|C| |AB|cos三個(gè)矢量共面的條件 C ( AB ) =0 Cx Cy Cz C ( AB ) = Ax Ay Az Bx By Bz坐標(biāo)表示式2021/4/13（1）矢量混合積的幾何意義：關(guān)于混合積的說(shuō)明：2021/4/13bc a baS=|a b|hc2021/4/13hac a bb其混合積 (abc) = 0三矢 a, b, c共面因此，2021/4/13定理1三個(gè)不共面的矢量的混合積的絕對(duì)值等于以為棱的平行六面體的體積, 并且當(dāng)構(gòu)成右手系時(shí)混合積為正數(shù);當(dāng)構(gòu)成左手系時(shí)混合積為負(fù)數(shù), 也就是有定理2證明:先證明必要性 “

10、”，即已知三個(gè)矢量共面，求證因?yàn)?，所?021/4/13證畢.再證明充分性 “”，即已知求證:三個(gè)矢量共面.由及定義,得即而又所以, 矢量垂直,首先,若即結(jié)論顯然成立.以下設(shè)所以證畢.2021/4/13定理3證明:三個(gè)矢量共面時(shí),結(jié)論顯然成立. 以下設(shè)它們不共面. 的絕對(duì)值都等于以為棱的平行六面體的體積,即它們的絕對(duì)值相等.又因?yàn)榫哂邢嗤淖笥沂窒?(因?yàn)檩啌Q不改變左右手系)即它們的符號(hào)也相同. 證畢.只證明第一組. 第二組可以類(lèi)似考慮.2021/4/13推論1例1設(shè)三向量滿足證明:由兩邊及所以,2021/4/13矢量混合積在直角坐標(biāo)系下的分量表示設(shè)直角坐標(biāo)系定理4證明:2021/4/13所以

11、,推論2三個(gè)矢量共面的充要條件為2021/4/13例2.已知四面體ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)A(0, 0, 0), B(6, 0, 6),C(4, 3, 0), D(2, -1, 3), 求它的體積.ABCD解:它的體積等于以為棱的平行六面體體積的六分之一所以2021/4/13解2021/4/13式中正負(fù)號(hào)的選擇必須和行列式的符號(hào)一致.2021/4/13解例42021/4/13例5求矢量對(duì)的分解式.(也即將表示成的線性組合)解:所以可設(shè)上式兩邊同時(shí)點(diǎn)乘得則得同理可以得到2021/4/13向量的數(shù)量積向量的向量積向量的混合積（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（結(jié)果是一個(gè)向量）（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（注意共線、共面的條件）小

12、結(jié)2021/4/13例6證明:證畢.2021/4/13 4.矢量的三重積 A (BC） A(BC） （AB）C 不滿足結(jié)合律 A(BC）=（ AC) B ( AB) C 2021/4/13 矢量代數(shù)運(yùn)算式均為矢量垂直于所在平面并及 成右手螺旋關(guān)系。2021/4/13矢量代數(shù)運(yùn)算式2021/4/13位置矢量及距離矢量位置矢量由坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)引向空間某一點(diǎn)的有方向線段，稱(chēng)為該點(diǎn)的位置矢量或矢徑。設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，則 其模設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，則 其模圖 位置矢量及相對(duì)位置矢量2021/4/13相對(duì)位置矢量及模其中，P 點(diǎn)的位置矢量為圖 位置矢量與相對(duì)位置矢量r P (x,y,z)RrP (x,y,z)R

13、oyzx習(xí)題1-72021/4/13 標(biāo)量體元 矢量面元 矢量線元矢量積分運(yùn)算矢量線積分矢量面積分標(biāo)量體積分2021/4/131-2 正交曲面坐標(biāo)系矢量線元 把長(zhǎng)度元及坐標(biāo)元之比定義為拉梅(Lame)系數(shù) 2021/4/13 直角坐標(biāo)系 2021/4/13 直角坐標(biāo)系 2021/4/132021/4/13 圓柱坐標(biāo)系空間任一點(diǎn)P的位置可以用圓柱坐標(biāo)系中的三個(gè)變量(, , z)來(lái)表示， 如下圖示。 其中，是位置矢量OP在xy面上的投影， 是從+x軸到位置矢量OP在xy面上的投影之間的夾角，z是OP在z軸上的投影。由圖可以看出，圓柱坐標(biāo)及直角坐標(biāo)之間的關(guān)系為x=cos y=sinz=z 如同直角坐

14、標(biāo)系一樣， 圓柱坐標(biāo)系也具有三個(gè)相互垂直的坐標(biāo)面， 2021/4/13圓柱坐標(biāo)系一點(diǎn)的投影 圓柱坐標(biāo)系三個(gè)互相垂直的坐標(biāo)2021/4/13 圓柱坐標(biāo)系2021/4/13 圓柱坐標(biāo)系2021/4/13 圓柱坐標(biāo)系2021/4/132021/4/13 2021/4/13 球坐標(biāo)系在球坐標(biāo)系中， 空間一點(diǎn)P 唯一地用三個(gè)坐標(biāo)變量(r,)來(lái)表示，如圖示.位置矢量r又稱(chēng)為矢徑(Radius Vector)， r是其大小，是位置矢量r及z軸的夾角，是從+x軸到位置矢量r在xy面上的投影OM之間的夾角。球坐標(biāo)及直角坐標(biāo)之間的關(guān)系為 x=rsincos y=rsinsin z=rcos 同樣， 球坐標(biāo)也有三個(gè)

15、坐標(biāo)面坐標(biāo)面 表示一個(gè)半徑為r的球面， r的變化范圍為0 r 。 2021/4/13坐標(biāo)面=常數(shù) 表示一個(gè)以原點(diǎn)為頂點(diǎn)、z軸為軸線的圓錐面，的變化范圍0。坐標(biāo)面表示一個(gè)以z軸為界的半平面，的變化范圍為 0 0 (有正源) h1。2021/4/13解：（1）由圓柱坐標(biāo)散度式（1-28）可知2021/4/13解：（2）設(shè)圓柱側(cè)面為S1，上下底面分別為S2、S3，由通量式（1-24）可知由于矢量F只有半徑方向的分量，即矢量垂直于圓柱側(cè)面S1，平行于上下底面S2、S3，因此上式中只有第一項(xiàng)存在，故其矢量積分可以簡(jiǎn)化為標(biāo)量積分，即2021/4/13對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法設(shè)曲面 ：z = z (x, y

16、)(1)(2)(3)(4)z = z (x, y)單值，即及 z 軸平行的直線及的交點(diǎn)只有一個(gè)；z = z (x, y)在Dxy 上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；f (x,y,z) 在光滑曲面上連續(xù)；則2021/4/13同理：2021/4/13例：zxy0h問(wèn)題：1 能否投影到xoy面上? dS = ?解：把1 投影到y(tǒng)oz面上，則R12021/4/13zxy0h1R關(guān)于yoz面對(duì)稱(chēng)，被積函數(shù)是x的偶函數(shù).2021/4/13zxy0h解：把1 投影到y(tǒng)oz面上，則R12021/4/13zxy0h1R2021/4/13散度的意義 在矢量場(chǎng)中，若 A= 0，稱(chēng)之為有源場(chǎng)， 稱(chēng)為 ( 通量 ) 源密度；若矢量場(chǎng)中

17、處處 A=0 ，稱(chēng)之為無(wú)源場(chǎng)。矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)；散度代表矢量場(chǎng)的通量源的分布特性。 (無(wú)源） (正源) (負(fù)源)圖0.3.3 通量的物理意義 2021/4/13上式稱(chēng)為散度定理, 也稱(chēng)為高斯公式。1 .4 .4 矢量場(chǎng)高斯散度定理 The divergence theorem既然矢量的散度代表的是其通量的體密度, 因此直觀地可知, 矢量場(chǎng)散度的體積分等于該矢量穿過(guò)包圍該體積的封閉面的總通量, 即 散度定理： 通量元密度 2021/4/131 .4 .4 矢量場(chǎng)高斯散度定理 The divergence theorem從數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為高斯定理建立了面積分和體積分的關(guān)系。

18、從物理角度可以理解為高斯定理建立了區(qū)域 V 中的場(chǎng)和包圍區(qū)域 V 的閉合面 S 上的場(chǎng)之間的關(guān)系。如果已知區(qū)域 V 中的場(chǎng)，根據(jù)高斯定理即可求出邊界 S 上的場(chǎng)，反之亦然。散度定理的物理意義：矢量函數(shù)的面積分與體積分的相互轉(zhuǎn)換。矢量場(chǎng)散度的體積分=該矢量穿過(guò)包圍該體積的封閉曲面的總通量2021/4/13 1-5 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度環(huán)量 矢量A沿某封閉曲線的線積分, 定義為A沿該曲線的環(huán)量(或旋渦量), 記為 矢量場(chǎng)的環(huán)量是一個(gè)標(biāo)量，用來(lái)描述一個(gè)矢量場(chǎng)的旋渦特性。大小和正負(fù)取決于矢量場(chǎng)的分布以及該閉合曲線積分的環(huán)繞方向。可見(jiàn)，若在閉合有向曲線 l 上，矢量場(chǎng) A 的方向處處及線元 dl 的方向保

19、持一致，則環(huán)量 0；若處處相反，則 0 ?？梢?jiàn)，環(huán)量可以用來(lái)描述矢量場(chǎng)的旋渦特性。圖1.4.1 環(huán)流的計(jì)算2021/4/13水流沿平行于水管軸線方向流動(dòng)，= 0，無(wú)渦旋運(yùn)動(dòng)。例：流速場(chǎng)流速場(chǎng)流體做渦旋運(yùn)動(dòng)， 0，有產(chǎn)生渦旋的源。2021/4/13矢量場(chǎng)的旋度(curl)引出：研究閉合曲線內(nèi)每一點(diǎn)處的環(huán)流。 過(guò)點(diǎn) P 作一微小曲面 S，它的邊界曲線記為L(zhǎng)，面的法線方向及曲線繞向符合右手定則。當(dāng) S 點(diǎn) P 時(shí)，存在極限1. 環(huán)流密度環(huán)流密度環(huán)流密度是單位面積上的環(huán)量。2021/4/132.旋度：旋度是一個(gè)矢量。若以符號(hào) rot A 表示矢量 A 的旋度，則其方向是使矢量 A 具有最大環(huán)量強(qiáng)度的方

20、向，其大小等于對(duì)該矢量方向的最大環(huán)量強(qiáng)度，即式中 rot 是英文字母 rotation 的縮寫(xiě)，en 為S的法線方向，S 為閉合曲線 l 包圍的面積。矢量場(chǎng)的旋度(curl)它及環(huán)量密度的關(guān)系為 S 的法線方向2021/4/13矢量的旋度：在矢量場(chǎng)A中，圍繞P點(diǎn)做一閉合回路c，所圍面積為S，其法線方向單位矢量為n；A的旋度是矢量，其大小為S0時(shí)環(huán)流面密度的最大值，其方向?yàn)槭弓h(huán)流面密度取最大值時(shí)面元的法線方向，即 2021/4/13物理意義：矢量的旋度是環(huán)流面密度的最大值，及面元的取向無(wú)關(guān)。 計(jì)算公式 ：2021/4/13旋度的物理意義矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。某點(diǎn)旋度的大小是該點(diǎn)

21、環(huán)量密度的最大值，其方向是最大環(huán)量密度的方向。在矢量場(chǎng)中，若 A=J 0 稱(chēng)之為旋度場(chǎng)（或渦旋場(chǎng)），J 稱(chēng)為旋度源（或渦旋源）。若矢量場(chǎng)處處 A= 0 ，稱(chēng)之為無(wú)旋場(chǎng)。它描述A在該點(diǎn)處的旋渦源強(qiáng)度。2021/4/13旋度的展開(kāi)式 P14廣義正交曲面坐標(biāo)系中旋度的展開(kāi)式為直角坐標(biāo)系中拉梅系數(shù)均為1，故2021/4/13矢量函數(shù)A在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的旋度表達(dá)式分別為2021/4/13一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度是一個(gè)矢量函數(shù)，它描述了空間各點(diǎn)標(biāo)量位的最大變化率及其方向；一個(gè)矢量函數(shù)的散度是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，它描述了空間各點(diǎn)場(chǎng)矢量及通量源之間的關(guān)系；一個(gè)矢量函數(shù)的旋度是一個(gè)矢量函數(shù)，它描述了空間各點(diǎn)場(chǎng)矢量與

22、旋渦源之間的關(guān)系。只有當(dāng)場(chǎng)函數(shù)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，梯度、散度、旋度的定義才是有意義的。在某些場(chǎng)量不連續(xù)的交界面上，就不可能定義梯度、散度和旋度。3、 梯度、散度、旋度的比較 ：2021/4/13 如果矢量場(chǎng)所在的全部空間中，場(chǎng)的旋度處處為零，則這種場(chǎng)中不可能存在旋渦源，因而稱(chēng)之為無(wú)旋場(chǎng)（或保守場(chǎng)）；如果矢量場(chǎng)所在的全部空間中，場(chǎng)的散度處處為零，則這種場(chǎng)中不可能存在通量源，因而稱(chēng)之為無(wú)源場(chǎng)（或管形場(chǎng)）；在旋度公式中，矢量場(chǎng)的場(chǎng)分量Ax、Ay、Az分別只對(duì)及其垂直方向的坐標(biāo)變量求偏導(dǎo)數(shù)，所以矢量場(chǎng)的旋度描述的是場(chǎng)分量在與其垂直的方向上的變化規(guī)律；在散度公式中，矢量場(chǎng)的場(chǎng)分量Ax、Ay、Az分別

23、只對(duì)x、y、z求偏導(dǎo)數(shù)，所以矢量場(chǎng)的散度描述的是場(chǎng)分量沿著各自方向上的變化規(guī)律。 3、 梯度、散度、旋度的比較 ：2021/4/131 .5 .3 斯托克斯定理 The Stokess theorem矢量函數(shù)的線積分與面積分的相互轉(zhuǎn)化。斯托克斯定理下 頁(yè)上 頁(yè) 在電磁場(chǎng)理論中，高斯定理 和 斯托克斯定理 是兩個(gè)非常重要的公式。返 回2021/4/13場(chǎng)的旋度和散度形象說(shuō)明根據(jù)散度或旋度的定義式可知，它們都是在曲面或體積趨于零，即縮小到一點(diǎn)時(shí)定義的。矢量對(duì)一閉合曲面的通量（或所包圍區(qū)域散度的體積分）等于零，并不能說(shuō)該區(qū)域每點(diǎn)無(wú)源。 2021/4/13場(chǎng)的旋度和散度形象說(shuō)明場(chǎng)的旋度和散度用水流來(lái)作

24、比較最形象，旋度就是考察水中是否存在漩渦，在電磁場(chǎng)中就是看電場(chǎng)線或磁感線是否閉合，磁感線是閉合的就是說(shuō)它是有旋場(chǎng)，散度可以認(rèn)為是看水在何處有源頭何處有匯聚，在電磁場(chǎng)中就是看是否某處有發(fā)射場(chǎng)線或收回場(chǎng)線。2021/4/13 1-6 矢量場(chǎng)中的常用定理矢量場(chǎng)的分類(lèi)梯度場(chǎng)、散度場(chǎng)和旋度場(chǎng)的關(guān)系定理矢量場(chǎng)的積分定理矢量場(chǎng)唯一性定理亥姆霍茲定理2021/4/131.6.1 矢量場(chǎng)的分類(lèi)根據(jù)矢量場(chǎng)的散度和旋度值是否為零進(jìn)行分類(lèi)：1) 調(diào)和場(chǎng) 若矢量場(chǎng)F在某區(qū)域V內(nèi)，處處有：F=0和F=0 則在該區(qū)域V內(nèi)，場(chǎng)F為調(diào)和場(chǎng)。 注意：工程實(shí)際中不存在在整個(gè)空間內(nèi)旋度和散度處處均為零的矢量場(chǎng)。調(diào)和場(chǎng)，有源無(wú)旋場(chǎng)，無(wú)

25、源有旋場(chǎng)，有源有旋場(chǎng)2021/4/13 標(biāo)量場(chǎng)的梯度為無(wú)旋場(chǎng); 矢量場(chǎng)的旋度為無(wú)源(散)場(chǎng); 無(wú)旋場(chǎng)必可表示為標(biāo)量場(chǎng)的梯度； 如 ，則必存在某一標(biāo)量場(chǎng)，使 得 。 無(wú)源場(chǎng)必可表示為另一矢量場(chǎng)的旋度； 如 ，則必存在某一矢量場(chǎng) ，使 得 。1.6.2 梯度場(chǎng)、散度場(chǎng)和旋度場(chǎng)的關(guān)系定理2021/4/13 如果一個(gè)矢量場(chǎng)B為另一個(gè)矢量場(chǎng) 的旋度，即 ，則任意選擇 的值，矢量場(chǎng) 的值不受影響。 這說(shuō)明不論 是有源場(chǎng)，還是無(wú)源場(chǎng)，或 取任何值，對(duì) 的渦旋性皆無(wú)影響。即矢量場(chǎng)的散度和旋度是彼此獨(dú)立的，不能相互代替。因此，對(duì)于一個(gè)矢量場(chǎng)只有同時(shí)研究它的散度和旋度才能準(zhǔn)確的把握?qǐng)龅淖兓?guī)律。 2021/4/1

26、3(1)高斯(散度)定理1.6.3 矢量場(chǎng)的積分定理此定理揭示了矢量場(chǎng)的“表里”關(guān)系。(2) 斯托克斯定理 此定理揭示了矢量場(chǎng)的“邊面”關(guān)系。2021/4/13 設(shè)有矢量場(chǎng) ，在以S為界面的區(qū)域V內(nèi)，它的散度和旋度及其S面上的法向分量均已知, 1.6.4 矢量場(chǎng)唯一性定理 已知散度和旋度代表產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源，可見(jiàn)惟一性定理表明，矢量場(chǎng)被其源及邊界條件共同決定的。2021/4/131.6.5 亥姆霍茲定理1) 場(chǎng)及源，源與散度、旋度 矢量場(chǎng)是由場(chǎng)源激發(fā)出來(lái)的,應(yīng)把源看作是產(chǎn)生場(chǎng)的起因；矢量場(chǎng)的散度對(duì)應(yīng)于一個(gè)激發(fā)通量的源；矢量場(chǎng)的旋度對(duì)應(yīng)于一個(gè)激發(fā)渦旋量(環(huán)流量)的源。 進(jìn)一步說(shuō),用場(chǎng)的散度 可唯一

27、確場(chǎng)中任一點(diǎn)的通量源密度，用場(chǎng)的旋度 可唯一確定場(chǎng) 中任一點(diǎn)的環(huán)量源密度。2021/4/13 假如在有限空間內(nèi),一個(gè)場(chǎng)矢量的散度和旋度處處已給定,邊界條件也已確定,那么,這個(gè)矢量場(chǎng)就是給定的了.進(jìn)而這個(gè)矢量場(chǎng)還可用無(wú)旋場(chǎng),一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度 ;無(wú)散場(chǎng),一個(gè)矢量函數(shù)的旋度 之和來(lái)表示,即2) 定理2021/4/13說(shuō)明: 無(wú)旋場(chǎng) 應(yīng)存在如下關(guān)系: 無(wú)散場(chǎng) 應(yīng)存在如下關(guān)系:2021/4/13 研究一個(gè)矢量場(chǎng)時(shí)一定要從散度和旋度兩個(gè)方面進(jìn)行。 既要導(dǎo)出矢量場(chǎng)散度應(yīng)滿足的關(guān)系，又要導(dǎo)出矢量場(chǎng)旋度應(yīng)滿足的關(guān)系，這種關(guān)系決定了場(chǎng)的基本性質(zhì),故又稱(chēng)為微分形式的基本方程。 也可用矢量沿閉合面的通量和矢量沿閉合路徑的環(huán)流去研究，從而得到積分形式的基本方程。 3) 定理的意義2021/4/131-7 麥克斯韋方程組電荷守恒定律法拉弟電磁感應(yīng)定律修正的安培環(huán)路定律電場(chǎng)高斯定律磁場(chǎng)高斯定律2021/4/131-7 麥克斯韋方程組電荷守恒定律法拉弟電磁感應(yīng)定律修正的安培環(huán)路定律電場(chǎng)高斯定律磁場(chǎng)高斯定律積分形式微分形式