熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理-第四版-汪志誠(chéng)-課后答案

1、1.1試求理想氣體的體脹系數(shù),壓強(qiáng)系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)。解：已知理想氣體的物態(tài)方程為,（1）由此易得,（2,（2）p,（3）ppppp.（4）dp.（1）dp.（1）ppdp.p得的體脹系數(shù)及等溫壓縮系數(shù)，根據(jù)下述積分求得：dp如果,，試求物態(tài)方程。p解：以,p為自變量，物質(zhì)的物態(tài)方程為,p,其全微分為全式除以，有p根據(jù)體脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)的定義，可將上式改寫為dp.（2）ppdp.（4）dp.（3）若,，式（3）可表為p選擇圖示的積分路線，從(,p)積分到,p，再積分到（,p積由最終變到，有p,p即或p.（5）.p式（5）就是由所給,求得的物態(tài)方程。確定常量p實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。1.3在和1p下，測(cè)得

2、一銅塊的體脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)分別為n.K和p和.T問(wèn)：（a）壓強(qiáng)要增加多少p才能使銅塊的體積維持不變？（b）若壓強(qiáng)增加n100p，銅塊的體積改變多少？na）根據(jù)1.2題式（2），有dp.（1）和壓強(qiáng)差間的關(guān)系。如果系統(tǒng)的體積不變，dp與的關(guān)系為dp.（2）在和可以看作常量的情形下，將式（2）積分可得pp.（3）將式（2）積分得到式（3）首先意味著，經(jīng)準(zhǔn)靜態(tài)等容過(guò)程后，系統(tǒng)在初態(tài)和終態(tài)的壓強(qiáng)差和溫度差滿足式（3）。但是應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)，只要初態(tài),和終態(tài),是平衡態(tài)，兩態(tài)間的壓強(qiáng)差和溫度差就滿足式（3）。這是因?yàn)?，平衡狀態(tài)的狀態(tài)參量給定后，狀態(tài)函數(shù)就具有確定值，與系統(tǒng)到達(dá)該狀態(tài)的歷史無(wú)關(guān)。本題討論的銅塊加

3、熱的實(shí)際過(guò)程一般不會(huì)是準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程。在加熱過(guò)程中，銅塊各處的溫度可以不等，銅塊與熱源可以存在溫差等等，但是只要銅塊的初態(tài)和終態(tài)是平衡態(tài)，兩態(tài)的壓強(qiáng)和溫度差就滿足式（3）。將所給數(shù)據(jù)代入，可得ppp.n因此，將銅塊由加熱到，要使銅塊體積保持不變，壓強(qiáng)要增強(qiáng)p（b）1.2題式（4）可改寫為npp.（4）將所給數(shù)據(jù)代入，有.因此，將銅塊由加熱至，壓強(qiáng)由p增加p，銅塊體積將增加原體nn積的倍。1.4簡(jiǎn)單固體和液體的體脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)數(shù)值都很小，在一定溫度范圍內(nèi)可以把和看作常量.試證明簡(jiǎn)單固體和液體的物態(tài)方程可近似為(,p),p.解:以,p為狀態(tài)參量，物質(zhì)的物態(tài)方程為,p.根據(jù)習(xí)題1.2式（2），有d

4、p.（1）將上式沿習(xí)題1.2圖所示的路線求線積分，在和可以看作常量的情形下，有pp,（2）或,p,pepp.（3）考慮到和的數(shù)值很小，將指數(shù)函數(shù)展開，準(zhǔn)確到和的線性項(xiàng)，有,p,ppp.（4）如果取p，即有,p,p.（5）1.5描述金屬絲的幾何參量是長(zhǎng)度L，力學(xué)參量是張力，物態(tài)方程是J,L,實(shí)驗(yàn)通常在1p下進(jìn)行，其體積變化可以忽略。線脹系數(shù)定義為L(zhǎng)LLJ等溫楊氏模量定義為JJL其中是金屬絲的截面積，一般來(lái)說(shuō)，和是T的函數(shù)，對(duì)J僅有微弱的依賴關(guān)系，如果溫度變化范圍不大，可以看作常量，假設(shè)金屬絲兩端固定。試證明，當(dāng)溫度由降至?xí)r，其張力的增加為解：由物態(tài)方程JJ,L,（1）知偏導(dǎo)數(shù)間存在以下關(guān)系：（2

5、）JLJL所以，有LJLLJLLL.（3）積分得J.（4）與1.3題類似，上述結(jié)果不限于保持金屬絲長(zhǎng)度不變的準(zhǔn)靜態(tài)冷卻過(guò)程，只要金屬絲的初態(tài)是平衡態(tài)，兩態(tài)的張力差JJL,JL,就滿足式（41.6一理想彈性線的物態(tài)方程為L(zhǎng)LJ,LL.LLLLLJ,（1）Lb其中L.LLLLLJ,（1）Lb證明：（a）等溫?fù)P氏模量為L(zhǎng)L在張力為零時(shí)，.其中A是彈性線的截面面積。（b）線脹系數(shù)為L(zhǎng)L,L其中.（c）上述物態(tài)方程適用于橡皮帶，設(shè)bK,m,K，試計(jì)算當(dāng)L分別為和時(shí)的J,值，并畫出J,對(duì)L的曲線.L解:（a）根據(jù)題設(shè)，理想彈性物質(zhì)的物態(tài)方程為L(zhǎng)LLL由此可得等溫楊氏模量為.（2）LLLLJLLLLLL張力

6、為零時(shí)，LL,.（b）線脹系數(shù)的定義為L(zhǎng)LLLJ由鏈?zhǔn)疥P(guān)系知,（3）,（3）JLLJLLLLLbLLLLJLLLLb,LLLLLJL,所以LLLLLLLLLLLLL（c）根據(jù)題給的數(shù)據(jù)，J,對(duì)（L的曲線分別如圖1-2（a），b），（L所示。.（4）1.7抽成真空的小匣帶有活門，打開活門讓氣體沖入，當(dāng)壓強(qiáng)達(dá)到外界壓強(qiáng)p時(shí)將活門關(guān)上，試證明：小匣內(nèi)的空氣在沒(méi)有與外界交換熱量之前，它的內(nèi)能與原來(lái)在大氣中的內(nèi)能之差為p，其中是它原來(lái)在大氣中的體積，若氣體是理想氣體，求它的溫度與體積。解：將沖入小匣的氣體看作系統(tǒng)。系統(tǒng)沖入小匣后的內(nèi)能與其原來(lái)在大氣中的內(nèi)能由式（1.5.3）W（1）過(guò)程中外界對(duì)系統(tǒng)所做的

7、功可以分為W和W兩部分來(lái)考慮。一方面，大氣將系統(tǒng)壓入小匣，使其在大氣中的體積由變?yōu)榱?。由于小匣很小，在將氣體壓入小匣的過(guò)程中大氣壓強(qiáng)p可以認(rèn)為沒(méi)有變化，即過(guò)程是等壓的（但不是準(zhǔn)靜Wpp.另一方面，小匣既抽為真空，系統(tǒng)在沖入小匣的過(guò)程中不受外界阻力，與外界也就沒(méi)有功交換，則因此式（1）可表為Wp.如果氣體是理想氣體，根據(jù)式（1.3.11）和（1.7.10），有p,（3）（4）式中是系統(tǒng)所含物質(zhì)的量。代入式（2）即有.（5）活門是在系統(tǒng)的壓強(qiáng)達(dá)到pp，其物態(tài)方程為與式（3）比較，知p.（6）.（7）1.8滿足nC的過(guò)程稱為多方過(guò)程，其中常數(shù)名為多方指數(shù)。試證p.（1）nn,p.（2）nn解：根據(jù)式

8、（1.6.1nn對(duì)于理想氣體，內(nèi)能U只是溫度T的函數(shù)，n所以nn將多方過(guò)程的過(guò)程方程式nC與理想氣體的物態(tài)方程聯(lián)立，消去壓強(qiáng)p可得將上式微分，有所以。C（常量）（3）。n(n.（4）nn,（5）n其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。1.9試證明：理想氣體在某一過(guò)程中的熱容量Cn如果是常數(shù)，該過(guò)程一定是多方過(guò)程，多方指數(shù)CCpCC。假設(shè)氣體的定壓熱容量和定容熱容量是常量。解：根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有對(duì)于準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程有對(duì)理想氣體有氣體在過(guò)程中吸收的熱量為因此式（1）可表為W.（1）W,C,C,n.（3）.（4）n用理想氣體的物態(tài)方程除上式，并注意CC,可得pnp將理想氣體的物態(tài)方程全式求微分，有

9、dpp式（3）與式（4）聯(lián)立，消去，有（5）pndpnp令CCpCC，可將式（5）表為（6）p如果C,C和C都是常量，將上式積分即得pn。nC（常量）（7）。式（7）表明，過(guò)程是多方過(guò)程。1.10聲波在氣體中的傳播速度為假設(shè)氣體是理想氣體，其定壓和定容熱容量是常量，試證明氣體單位質(zhì)量的內(nèi)能和焓可由聲速及給出：,-1其中,為常量。解：根據(jù)式（1.8.9），聲速的平方為p（1）其中v是單位質(zhì)量的氣體體積。理想氣體的物態(tài)方程可表為m,m式中m是氣體的質(zhì)量，m是氣體的摩爾質(zhì)量。對(duì)于單位質(zhì)量的氣體，有pm,（2）m.m.（3）hh.（5）以,1.7.10）（1.7.12）知mm,mm.（4）將式（3）代

10、入，即有uu,式（5）表明，如果氣體可以看作理想氣體，測(cè)定氣體中的聲速和即可確定氣體的比內(nèi)能和比焓。1.11大氣溫度隨高度降低的主要原因是在對(duì)流層中的低處與高處之間空氣不斷發(fā)生對(duì)流，由于氣壓隨高度而降低，空氣上升時(shí)膨脹，下降時(shí)收縮，空氣的導(dǎo)熱率很小，膨脹和收縮的過(guò)程可以認(rèn)為是絕熱過(guò)程，試計(jì)算大氣溫度隨高度的變化率，并給出數(shù)值結(jié)果。dz解：取p和pdz分別表示在豎直高度為和處的大氣壓強(qiáng)。二者之關(guān)等于兩個(gè)高度之間由大氣重量產(chǎn)生的壓強(qiáng)，即ppdzgdz,（1）式中是高度為處的大氣密度，g是重力加速度。將pdz展開，有pdzpdpdz,dz代入式（1），得ddzpg.（2）pp),（3）pp).（4）

11、以m表大氣的平均摩爾質(zhì)量。在高度為處，大氣的摩爾體積為m，則物態(tài)方程為m）是豎直高度為處的溫度。代入式（2，消去得）dmgdz由式（1.8.6）易得氣體在絕熱過(guò)程中溫度隨壓強(qiáng)的變化率為ppp.（5）pp.（6）()ddddzpdz大氣的為m,g，代入式（6）得ddz.（7）式（7）表明，每升高1km，溫度降低10K。這結(jié)果是粗略的。由于各種沒(méi)有考慮的因素，實(shí)際每升高1km，大氣溫度降低6K左右。F（2F（2）p中和的關(guān)系，該關(guān)系式中要用到一個(gè)函數(shù)F，其表達(dá)式為解：根據(jù)式（1.8.1C（1）用物態(tài)方程除上式，第一項(xiàng)用除，第二項(xiàng)用除，可得利用式（1.7.8）和（1.7.9），,pp,（3）將上式積

12、分，如果是溫度的函數(shù)，定義F,（4）可得，F(xiàn)()C（常量）（5），或。F（常量）。（6）式（6）給出當(dāng)是溫度的函數(shù)時(shí)，理想氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程中T和V的關(guān)系。1.13利用上題的結(jié)果證明：當(dāng)為溫度的函數(shù)時(shí)，理想氣體卡諾循環(huán)的效率仍為.解：在是溫度的函數(shù)的情形下，1.9就理想氣體卡諾循環(huán)得到的式（1.9.4）（1.9.6）仍然成立，即仍有,（1）,（2）,（2）.（3）.（3）根據(jù)1.13題式（61.9F()F(),（4）F()F(),（5）從這兩個(gè)方程消去F()和F()，得,（6）故W,（7）所以在是溫度的函數(shù)的情形下，理想氣體卡諾循環(huán)的效率仍為.（8）W1.14試根據(jù)熱力學(xué)第二定律證明兩條絕熱

13、線不能相交。解：假設(shè)在p圖中兩條絕熱線交于點(diǎn)，如圖所示。設(shè)想一等溫線與兩條絕熱線分別交于點(diǎn)和i（1）中，系統(tǒng)在等溫過(guò)程中從外界i（1）吸取熱量W循環(huán)過(guò)程完成后，系統(tǒng)回到原來(lái)的狀態(tài)。根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有W。這樣一來(lái)，系統(tǒng)在上述循環(huán)過(guò)程中就從單一熱源吸熱并將之完全轉(zhuǎn)變?yōu)楣α?，這違背了熱力學(xué)第二定律的開爾文說(shuō)法，是不可能的。因此兩條絕熱線不可能相交。1.15熱機(jī)在循環(huán)中與多個(gè)熱源交換熱量，在熱機(jī)從其中吸收熱量的熱為，試根據(jù)克氏不等式證明，熱機(jī)的效率不超過(guò).解：根據(jù)克勞修斯不等式（式（1.13.4），有ii式中是熱機(jī)從溫度為的熱源吸取的熱量（吸熱為正，放熱為負(fù)）。將iiii熱量重新定義，可將式（1）

14、改寫為jjj（2）,jj式中,jjjjj正。將式（2）改寫為j.（3）jj量的熱源中，熱源的最低溫度為，必有jjj,故由式（3）得jj.（4）則式（4）可表為定義為熱機(jī)在過(guò)程中吸取的總熱量，則式（4）可表為jj,（5）.W根據(jù)熱力學(xué)第一定律，熱機(jī)在循環(huán)過(guò)程中所做的功為W.熱機(jī)的效率為.（6）（7）1.16升至。假設(shè)是常數(shù)，試證明前者的熵增加值為后者的倍。解：根據(jù)式（1.15.8Cp.p在等壓過(guò)程中溫度由升到時(shí)，熵增加值為p.pp根據(jù)式（1.15.8C.在等容過(guò)程中溫度由升到時(shí)，熵增加值為（1）（2）（3）.（4）所以C.pCp（5）1.17溫度為的1kg水與溫度為的恒溫?zé)嵩唇佑|后，水溫達(dá)到。試

15、分別求水和熱源的熵變以及整個(gè)系統(tǒng)的總熵變。欲使參與過(guò)程的整個(gè)系統(tǒng)的熵保持不變，應(yīng)如何使水溫從升至？已知水的比熱容為gK.解：的水與溫度為的恒溫?zé)嵩唇佑|后水溫升為，這一過(guò)程是不可逆過(guò)程。為求水、熱源和整個(gè)系統(tǒng)的熵變，可以設(shè)想一個(gè)可逆過(guò)程，它使水和熱源分別產(chǎn)生原來(lái)不可逆過(guò)程中的同樣變化，通過(guò)設(shè)想的可逆過(guò)程來(lái)求不可逆過(guò)程前后的熵變。為求水的熵變，設(shè)想有一系列彼此溫差為無(wú)窮小的熱源，其溫度分布在與之間。令水依次從這些熱源吸熱,使水溫由升至。在這可逆過(guò)程中,水的熵變?yōu)閙cmc.（1）p水從升溫至所吸收的總熱量為mcp為求熱源的熵變，可令熱源向溫度為的另一熱源放出熱量。在這可逆過(guò)程中，熱源的熵變?yōu)镵.（2

16、）由于熱源的變化相同，式（2）給出的熵變也就是原來(lái)的不可逆過(guò)程中熱源的熵變。則整個(gè)系統(tǒng)的總熵變?yōu)镵.（3）總水熱源為使水溫從升至而參與過(guò)程的整個(gè)系統(tǒng)的熵保持不變，應(yīng)令水與溫度分布在與之間的一系列熱源吸熱。水的熵變?nèi)杂墒剑?）給出。這一系列熱源的熵變之和為mcpK.（4）參與過(guò)程的整個(gè)系統(tǒng)的總熵變?yōu)榭偹疅嵩矗?）1.1810A的電流通過(guò)一個(gè)的電阻器，歷時(shí)1s。（a）若電阻器保持為室溫，試求電阻器的熵增加值。（b10g，比熱容為gK,問(wèn)電阻器的熵增加值為多少？p解：（a）以,p為電阻器的狀態(tài)參量。設(shè)想過(guò)程是在大氣壓下進(jìn)行的，如果電阻器的溫度也保持為室溫不變，則電阻器的熵作為狀態(tài)函數(shù)也就保持不變。（

17、b）如果電阻器被絕熱殼包裝起來(lái)，電流產(chǎn)生的焦耳熱將全部被電阻器吸收而使其溫度由升為，所以有i故mci,pimcimcip電阻器的熵變可參照1.17例二的方法求出，為mcpimcpiK.1.19均勻桿的溫度一端為后的熵增。解：以L表示桿的長(zhǎng)度。桿的初始狀態(tài)是l端溫度為，lL端溫度為L(zhǎng)，溫度梯度為L(zhǎng)（設(shè)）。這是一個(gè)非平衡狀態(tài)。通過(guò)均勻桿中的熱LL我們將桿分為長(zhǎng)度為的許多小段，如圖所示。位于l到l的小段，初溫為l.（1）這小段由初溫變到終溫后的熵增加值為,（2）L,（2）Llppl其中是均勻桿單位長(zhǎng)度的定壓熱容量。p根據(jù)熵的可加性，整個(gè)均勻桿的熵增加值為llLLpLLlllLLLpLLLp.p（3）

18、式中CL是桿的定壓熱容量。pp1.20一物質(zhì)固態(tài)的摩爾熱量為C，液態(tài)的摩爾熱容量為.假設(shè)C和l都可看作常量.在某一壓強(qiáng)下，該物質(zhì)的熔點(diǎn)為，相變潛熱為.求在l溫度為.假設(shè)過(guò)冷液體的摩爾熱容量亦為.l解:我們用熵函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算.以,p為狀態(tài)參量.在討論固定壓強(qiáng)下過(guò)冷液體與固體的熵差時(shí)不必考慮壓強(qiáng)參量的變化.以a態(tài)表示溫度為的固態(tài)，b態(tài)表示在熔點(diǎn)的固態(tài).b,a兩態(tài)的摩爾熵差為（略去摩爾熵的下標(biāo)m不寫）m.（1）以c態(tài)表示在熔點(diǎn)的液相，c，b兩態(tài)的摩爾熵差為.（2）以d態(tài)表示溫度為的過(guò)冷液態(tài)，d，c兩態(tài)的摩爾熵差為.（3）.（3）ll熵是態(tài)函數(shù)，d，c兩態(tài)的摩爾熵差CCl.（4）l1.21物體的

19、初溫，高于熱源的溫度，有一熱機(jī)在此物體與熱源之間工作，直到將物體的溫度降低到為止，若熱機(jī)從物體吸取的熱量為，試根據(jù)熵增加原理證明，此熱機(jī)所能輸出的最大功為W()其中是物體的熵減少量。解：以,和分別表示物體、熱機(jī)和熱源在過(guò)程前后的熵變。由b熵的相加性知，整個(gè)系統(tǒng)的熵變?yōu)?b由于整個(gè)系統(tǒng)與外界是絕熱的，熵增加原理要求（1）b以,分別表示物體在開始和終結(jié)狀態(tài)的熵，則物體的熵變?yōu)?（2）熱機(jī)經(jīng)歷的是循環(huán)過(guò)程，經(jīng)循環(huán)過(guò)程后熱機(jī)回到初始狀態(tài)，熵變?yōu)榱?，即?）b以表示熱機(jī)從物體吸取的熱量，表示熱機(jī)在熱源放出的熱量，W表示熱機(jī)對(duì)外所做的功。根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有W,所以熱源的熵變?yōu)?（4.（4）W將式（2）

20、（4）代入式（1），即有W（5）上式取等號(hào)時(shí)，熱機(jī)輸出的功最大，故W.（6）式（6）相應(yīng)于所經(jīng)歷的過(guò)程是可逆過(guò)程。1.22i機(jī)在這兩個(gè)物體間工作，使其中一個(gè)物體的溫度降低到為止。假設(shè)物體維持在定壓下，并且不發(fā)生相變。試根據(jù)熵增加原理證明，此過(guò)程所需的最小功為CCpii解：制冷機(jī)在具有相同的初始溫度的兩個(gè)物體之間工作，將熱量從物i體2送到物體1,使物體2的溫度降至表示物體1的終態(tài)溫度，p表示物體的定壓熱容量，則物體1吸取的熱量為物體2放出的熱量為（1）pipi經(jīng)多次循環(huán)后，制冷機(jī)接受外界的功為（2）W（3）pi由此可知，對(duì)于給定的和，愈低所需外界的功愈小。i用,和分別表示過(guò)程終了后物體1，物體2

21、和制冷機(jī)的熵變。由熵的相加性和熵增加原理知，整個(gè)系統(tǒng)的熵變?yōu)轱@然（4）pp,i,i因此熵增加原理要求（pi或（6）i對(duì)于給定的和，最低的為ii,i代入（3）式即有CCi（7）pi式（7）相應(yīng)于所經(jīng)歷的整個(gè)過(guò)程是可逆過(guò)程。1.23簡(jiǎn)單系統(tǒng)有兩個(gè)獨(dú)立參量。如果以,為獨(dú)立參量，可以以縱坐標(biāo)表示溫度，橫坐標(biāo)表示熵，構(gòu)成圖。圖中的一點(diǎn)與系統(tǒng)的一個(gè)平衡態(tài)相對(duì)應(yīng)，一條曲線與一個(gè)可逆過(guò)程相對(duì)應(yīng)。試在圖中畫出可逆卡諾循環(huán)過(guò)程的曲線，并利用圖求可逆卡諾循環(huán)的效率。解：可逆卡諾循環(huán)包含兩個(gè)可逆等溫過(guò)程和兩個(gè)可逆絕熱過(guò)程。在圖上，等溫線是平行于T軸的直線?？赡娼^熱過(guò)程是等熵過(guò)程，因此在圖上絕熱線是平行于S軸的直線。圖

22、1-5在圖上畫出了可逆卡諾循環(huán)的四條直線。（一）等溫膨脹過(guò)程工作物質(zhì)經(jīng)等溫膨脹過(guò)程（溫度為）由狀態(tài)到達(dá)狀態(tài)。由于工作物質(zhì)在過(guò)程中吸收熱量，熵由升為。吸收的熱量為,（1）等于直線下方的面積。.（4）工作物質(zhì)由狀態(tài)經(jīng)絕熱膨脹過(guò)程到達(dá)狀態(tài)。過(guò)程中工作物質(zhì)內(nèi)能減少并對(duì)外做功，其溫度由下降為，熵保持為不變。（三）等溫壓縮過(guò)程工作物質(zhì)由狀態(tài)經(jīng)等溫壓縮過(guò)程（溫度為）到達(dá)狀態(tài)。工作物質(zhì)在過(guò)程中放出熱量，熵由變?yōu)椋懦龅臒崃繛?（2）等于直線下方的面積。（四）絕熱壓縮過(guò)程升為為不變。在循環(huán)過(guò)程中工作物質(zhì)所做的功為W,（3）W等于矩形所包圍的面積。可逆卡諾熱機(jī)的效率為W上面的討論顯示，應(yīng)用圖計(jì)算（可逆）卡諾循環(huán)的

23、效率是非常方便的。實(shí)際上圖的應(yīng)用不限于卡諾循環(huán)。根據(jù)式（1.14.4）dQ,（5）系統(tǒng)在可逆過(guò)程中吸收的熱量由積分（6）中工作物質(zhì)吸收的熱量等于面積ABCEF，在過(guò)程中工作物質(zhì)放出的熱量等于面積ADCEF所包的面積。由此可見（可逆）循環(huán)過(guò)程的熱功轉(zhuǎn)換效率可以直接從圖中的面積讀出。在熱工計(jì)算中圖被廣泛使用。補(bǔ)充題11mol理想氣體，在的恒溫下體積發(fā)生膨脹，其壓強(qiáng)由20pn準(zhǔn)靜態(tài)地降到1p，求氣體所作的功和所吸取的熱量。n解：將氣體的膨脹過(guò)程近似看作準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程。根據(jù)式（1.4.2等溫過(guò)程中氣體體積由膨脹到，外界對(duì)氣體所做的功為WpdVp.p氣體所做的功是上式的負(fù)值，將題給數(shù)據(jù)代入，得Wpp在等溫過(guò)

24、程中理想氣體的內(nèi)能不變，即根據(jù)熱力學(xué)第一定律（式（1.5.3為WJ.補(bǔ)充題2在下，壓強(qiáng)在0至1000p之間，測(cè)得水的體積為npp如果保持溫度不變，將1mol的水從1p加壓至1000p，求外界所作的功。nn解：將題中給出的體積與壓強(qiáng)關(guān)系記為bp,（1）由此易得bdp.（2）保持溫度不變，將1mol的水由1p加壓至1000p，外界所做的功為nnWWpppbdpbp.dW.（2）在上述計(jì)算中我們已將過(guò)程近擬看作準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程。dW.（2）補(bǔ)充題3承前1.6L壓縮為L(zhǎng)，試計(jì)算外界所作的功。解：在準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程中彈性體長(zhǎng)度有dL的改變時(shí)，外界所做的功是dW.（1）將物態(tài)方程代入上式，有LLLL在等溫過(guò)程中L是常

25、量，所以在準(zhǔn)靜態(tài)等溫過(guò)程中將彈性體長(zhǎng)度由L壓縮為L(zhǎng)時(shí)，外界所做的功為WWLLLLLLLLLLLLLLL（3）.值得注意，不論將彈性體拉長(zhǎng)還是壓縮，外界作用力都與位移同向，外界所做的功都是正值。補(bǔ)充題4在和1p下，空氣的密度為m,空氣的定壓比熱容nK,。今有的空氣，試計(jì)算：p（i）若維持體積不變，將空氣由加熱至所需的熱量。（ii）若維持壓強(qiáng)不變，將空氣由加熱至所需的熱量。（iii1p緩慢地加熱至n所需的熱量。解：（a）由題給空氣密度可以算得空氣的質(zhì)量m為m定容比熱容可由所給定壓比熱容算出pK.維持體積不變，將空氣由加熱至所需熱量為m（b）維持壓強(qiáng)不變，將空氣由加熱至所需熱量為pmpp（c）若容器

26、有裂縫，在加熱過(guò)程中氣體將從裂縫漏出，使容器內(nèi)空氣質(zhì)量發(fā)生變化。根據(jù)理想氣體的物態(tài)方程m,mm為空氣的平均摩爾質(zhì)量，在壓強(qiáng)和體積不變的情形下，容器內(nèi)氣體的質(zhì)量與溫度成反比。以m,表示氣體在初態(tài)的質(zhì)量和溫度，m表示溫度為時(shí)氣體的質(zhì)量，有m,所以在過(guò)程（c）中所需的熱量為mmm將所給數(shù)據(jù)代入，得ppm.p補(bǔ)充題5熱泵的作用是通過(guò)一個(gè)循環(huán)過(guò)程將熱量從溫度較低的物體傳送到溫度較高的物體上去。如果以逆卡諾循環(huán)作為熱泵的循環(huán)過(guò)程，熱泵的效率可以定義為傳送到高溫物體的熱量與外界所做的功的比值。試求熱泵的效率。如果將功直接轉(zhuǎn)化為熱量而令高溫物體吸收，則“效率”為何？解：根據(jù)卡諾定理，通過(guò)逆卡諾循環(huán)從溫度為的低

27、溫?zé)嵩次崃?，將熱量送到溫度為的高溫?zé)嵩慈ィ饨绫仨氉龉.因此如果以逆卡諾循環(huán)作為熱泵的過(guò)程，其效率為.（1）W式中第三步用了的結(jié)果（式（1.12.7）和（1.12.8）。由式（1）知，效率恒大于1。如果與相差不大，可以相當(dāng)高。不過(guò)由于設(shè)備的價(jià)格和運(yùn)轉(zhuǎn)的實(shí)際效率，這種方法實(shí)際上很少使用。1。補(bǔ)充題6根據(jù)熵增加原理證明第二定律的開氏表述：從單一熱源吸取熱量使之完全變成有用的功而不引起其它變化是不可能的。解：如果熱力學(xué)第二定律的開爾文表述不成立，就可以令一熱機(jī)在循環(huán)過(guò)程中從溫度為的單一熱源吸取熱量，將之全部轉(zhuǎn)化為機(jī)械功而輸出。熱機(jī)與熱源合起來(lái)構(gòu)成一個(gè)絕熱系統(tǒng)。在循環(huán)過(guò)程中，熱源的熵變?yōu)椋鵁釞C(jī)

28、的熵不變，這樣絕熱系統(tǒng)的熵就減少了，這違背了熵增加原理，是不可能的。.（2）2.1已知在體積保持不變時(shí)，一氣體的壓強(qiáng)正比于其熱力學(xué)溫度.試證明在溫度保質(zhì)不變時(shí)，該氣體的熵隨體積而增加.解：根據(jù)題設(shè)，氣體的壓強(qiáng)可表為p,（1）式中是體積的函數(shù).由自由能的全微分得麥?zhǔn)详P(guān)系p將式（1）代入，有.（3）p).（2）p,（).（2）p,（3）p（4）隨體積而增加.2.2設(shè)一物質(zhì)的物態(tài)方程具有以下形式：p,試證明其內(nèi)能與體積無(wú)關(guān).解：根據(jù)題設(shè)，物質(zhì)的物態(tài)方程具有以下形式：p,（1）故有p但根據(jù)式（2.2.7），有p所以1只是溫度的函數(shù).()()b.p解：焓的全微分為.（1）令，得（2）（2）p內(nèi)能的全微分

29、為.（3）令，得（4）p.（2）pp.（2）pp（3）p解：對(duì)復(fù)合函數(shù),p（1）求偏導(dǎo)數(shù)，有如果，即有p式（2）也可以用雅可比行列式證明：p,p,p,p,.（2）.（2）p2.5試證明一個(gè)均勻物體的在準(zhǔn)靜態(tài)等壓過(guò)程中熵隨體積的增減取決于等壓下溫度隨體積的增減.pp描述等壓下溫度隨體積的變化率.為求出這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，對(duì)復(fù)合函數(shù).（2）p,p,p,（1）.（2）求偏導(dǎo)數(shù)，有Cppppp因?yàn)镃p，所以的正負(fù)取決于pp式（2）也可以用雅可經(jīng)行列式證明：,ppp,pp,p（2）（2）2.6試證明在相同的壓強(qiáng)降落下，氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱膨脹中的溫度降落大于在節(jié)流過(guò)程中的溫度降落.解：氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱膨脹過(guò)

30、程和節(jié)流過(guò)程中的溫度降落分別由偏導(dǎo)數(shù)pp和描述.熵函數(shù),ppdp.p.（1）.（1）pdp.ppp最后一步用了麥?zhǔn)详P(guān)系式（2.2.4）和式（2.2.8）.焓,p的全微分為在節(jié)流過(guò)程中，故有.（2）.（2）ppp最后一步用了式（2.2.10）和式（1.6.6）.將式（1）和式（2）相減，得pp（3）pCpp（3）.（4）溫度降落.這兩個(gè)過(guò)程都被用來(lái)冷卻和液化氣體.由于絕熱膨脹過(guò)程中使用的膨脹機(jī)有移動(dòng)的部分，低溫下移動(dòng)部分的潤(rùn)滑技術(shù)是十分困難的問(wèn)題，實(shí)際上節(jié)流過(guò)程更為常用.但是用節(jié)流過(guò)程降溫，氣體的初溫必須低于反轉(zhuǎn)溫度.卡皮查（1934年）將絕熱膨脹和節(jié)流過(guò)程結(jié)合起來(lái)，先用絕熱膨脹過(guò)程使氦降溫到反

31、轉(zhuǎn)溫度以下，再用節(jié)流過(guò)程將氦液化.2.7實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，一氣體的壓強(qiáng)p與體積V的乘積以及內(nèi)能U都只是溫度的函數(shù)，即),).試根據(jù)熱力學(xué)理論，討論該氣體的物態(tài)方程可能具有什么形式.解：根據(jù)題設(shè)，氣體具有下述特性：),（1）).（2）由式（2.2.7）和式（2），有p而由式（1）可得p將式（4）代入式（3），有.（5）,.（5）或積分得,或,（6）式中C是常量.因此，如果氣體具有式（1），（2）所表達(dá)的特性，由熱力學(xué)6.確定常量C需要進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.2.8證明,ppp并由此導(dǎo)出p,pppp.（1）dp.pp根據(jù)以上兩式證明，理想氣體的定容熱容量和定壓熱容呈只是溫度T的函數(shù).解：式（2.2.5）給出以T

32、，V為狀態(tài)參量，將上式求對(duì)V的偏導(dǎo)數(shù)，有,（2）,（2）其中第二步交換了偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)次序，第三步應(yīng)用了麥?zhǔn)详P(guān)系（2.2.3）.由理想氣體的物態(tài)方程知，在V不變時(shí)，p是T的線性函數(shù)，即所以所以T的函數(shù).2）積分，得.（3）.（3）pC.（C.（4）.（5）pp熱容量都可根據(jù)物態(tài)方程計(jì)算出來(lái).同理，式（2.2.8）給出pp以,p為狀態(tài)參量，將上式再求對(duì)p的偏導(dǎo)數(shù)，有ppppp其中第二步交換了求偏導(dǎo)數(shù)的次序，第三步應(yīng)用了麥?zhǔn)详P(guān)系（2.2.4）.由理想氣體的物態(tài)方程知，在p不變時(shí)是的線性函數(shù)，即p所以Cpp這意味著理想氣體的定壓熱容量也只是溫度T的函數(shù).5）積分，得dp.ppp式（6）表明，只要測(cè)得系

33、統(tǒng)在壓強(qiáng)為p時(shí)的定壓熱容量，任意壓強(qiáng)下的定壓,（1）,（1）2.9證明范氏氣體的定容熱容量只是溫度T的函數(shù)，與比體積無(wú)關(guān).解：根據(jù)習(xí)題2.8式（2）Cp范氏方程（式（1.3.12pnb.（2）,（3）C(,),（3）C(,)C(,),（2）只是T的函數(shù)，與比體積無(wú)關(guān).不僅如此，根據(jù)2.8題式（3）p我們知道，時(shí)范氏氣體趨于理想氣體.令上式的，式中的C(,)就是理想氣體的熱容量.由此可知，范氏氣體和理想氣體的定容熱容量是相同的.與溫度不呈線性關(guān)系.根據(jù)2.8題式（5）Cp這意味著范氏氣體的定壓熱容量是,p的函數(shù).2.10證明理想氣體的摩爾自由能可以表為m,mm,mmm,mmmm解：式（2.4.1

34、3）和（2.4.14）給出了理想氣體的摩爾吉布斯函數(shù)作為其自然變量,p的函數(shù)的積分表達(dá)式.本題要求出理想氣體的摩爾自由能作為其自然變量,的函數(shù)的積分表達(dá)式.1.18.3），m摩爾自由能為F,（1）mmm其中和是摩爾內(nèi)能和摩爾熵.根據(jù)式（1.7.4）和（1.15.2mm的摩爾內(nèi)能和摩爾熵為m,m,（2）m,（3）mmm所以m,m,mmm.（4）m利用分部積分公式,令,m,可將式（4）右方頭兩項(xiàng)合并而將式（4）改寫為Fm,mmmm.（5）2.11求范氏氣體的特性函數(shù)F，并導(dǎo)出其他的熱力學(xué)函數(shù).m解：考慮1mol的范氏氣體.根據(jù)自由能全微分的表達(dá)式（2.1.3），摩爾自由能的全微分為故,（1）mmm

35、Fmpbmmm,（2）積分得F,mmmb).（3）m由于式（2）左方是偏導(dǎo)數(shù)，其積分可以含有溫度的任意函數(shù).我們利用時(shí)范氏氣體趨于理想氣體的極限條件定出函數(shù).根據(jù)習(xí)題2.11式（4m,m,mmm.（4）m將式（3）在時(shí)的極限與式（4）加以比較，知m,m,mm.（5）m所以范氏氣體的摩爾自由能為bmm,m,mmmm.（6）m式（6）的F,是特性函數(shù)mm范氏氣體的摩爾熵為mFm,mmbm.（7）摩爾內(nèi)能為Fmmm,m.（8）mm2.12一彈簧在恒溫下的恢復(fù)力與其伸長(zhǎng)成正比，即，比例系數(shù)是溫度的函數(shù).今忽略彈簧的熱膨脹，試證明彈簧的自由能F，熵和內(nèi)能的表達(dá)式分別為F,F,.解：在準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程中，對(duì)彈簧

36、施加的外力與彈簧的恢復(fù)力大小相等，方向相反.當(dāng)彈簧的長(zhǎng)度有的改變時(shí)，外力所做的功為dW.（1）根據(jù)式（1.14.7.（2）.彈簧的自由能定義為.F,其全微分為.將胡克定律代入，有,（3）因此F在固定溫度下將上式積分，得F,FF,（4）FF.（5）F.（6）彈簧的熵為彈簧的內(nèi)能為dA在力學(xué)中通常將彈簧的勢(shì)能記為,沒(méi)有考慮是溫度的函數(shù).根據(jù)熱力學(xué)，是自由能.是在等溫過(guò)程中外界所做的功，（b）試證明它的膨脹系數(shù)（b）試證明它的膨脹系數(shù)是負(fù)的.力而被拉伸時(shí)，具有晶形結(jié)構(gòu).這一事實(shí)表明，橡皮帶具有大的分子鏈.（a）試討論橡皮帶在等溫過(guò)程中被拉伸時(shí)，它的熵是增加還是減少；LL解：（a）熵是系統(tǒng)無(wú)序程度的量

37、度.橡皮帶經(jīng)等溫拉伸過(guò)程后由無(wú)定形結(jié)J（1J（1）（3）.（2）LL.（4）J（5）L（b）由橡皮帶自由能的全微分可得麥?zhǔn)详P(guān)系J綜合式（1）和式（2），知JL由橡皮帶的物態(tài)方程FJ,L,知偏導(dǎo)數(shù)間存在鏈?zhǔn)疥P(guān)系JLLLJJ即LJLL在溫度不變時(shí)橡皮帶隨張力而伸長(zhǎng)說(shuō)明LJ綜合式（3）-（5）知LJ所以橡皮帶的膨脹系數(shù)是負(fù)的，即LLLJ2.14假設(shè)太陽(yáng)是黑體，根據(jù)下列數(shù)據(jù)求太陽(yáng)表面的溫度；單位時(shí)間內(nèi)投射到地球大氣層外單位面積上的太陽(yáng)輻射能量為m（該值稱為m，太陽(yáng)與地球的平均距離為m.解：以表示太陽(yáng)的半徑.頂點(diǎn)在球心的立體角d在太陽(yáng)表面所張的面積為d.假設(shè)太陽(yáng)是黑體，根據(jù)斯特藩-玻耳茲曼定律（式（2.

38、6.8），單位時(shí)間內(nèi)在立體角d內(nèi)輻射的太陽(yáng)輻射能量為d.（1）單位時(shí)間內(nèi)，在以太陽(yáng)為中心，太陽(yáng)與地球的平均距離為半徑的球面上接受到的在立體角d內(nèi)輻射的太陽(yáng)輻射能量為令兩式相等，即得d.（3）將,和的數(shù)值代入，得K.2.15計(jì)算熱輻射在等溫過(guò)程中體積由變到時(shí)所吸收的熱量.解：根據(jù)式（1.14.3.（1）式（2.6.4）給出了熱輻射的熵函數(shù)表達(dá)式.（2）.（3）p,（1）2.16試討論以平衡輻射為工作物質(zhì)的卡諾循環(huán)，計(jì)算其效率.解：根據(jù)式（2.6.1）和（2.6.3因此對(duì)于平衡輻射等溫過(guò)程也是等壓過(guò)程.式（2.6.5）給出了平衡輻射在可逆絕熱過(guò)程（等熵過(guò)程）中溫度T與體積V的關(guān)系C(常量).（2）

39、將式（1）與式（2）聯(lián)立，消去溫度T，可得平衡輻射在可逆絕熱過(guò)程中壓強(qiáng)p與體積的關(guān)系C（常量）.（3）下圖是平衡輻射可逆卡諾循環(huán)的p圖，其中等溫線和絕熱線的方程分別為式（1）和式（3）.下圖是相應(yīng)的圖.計(jì)算效率時(shí)應(yīng)用圖更為方便.在由狀態(tài)等溫（溫度為）膨脹至狀態(tài)的過(guò)程中，平衡輻射吸收的熱量為.（4）在由狀態(tài)等溫（溫度為）壓縮為狀態(tài)的過(guò)程中，平衡輻射放出的熱量為.（5）循環(huán)過(guò)程的效率為.（6）2.17如圖所示，電介質(zhì)的介電常量與溫度有關(guān).試求電路為閉E路時(shí)電介質(zhì)的熱容量與充電后再令電路斷開后的熱容量之差.CC.（CC.（3）,（4）EW,（1）式中是電場(chǎng)強(qiáng)度，是介質(zhì)的體積.本題不考慮介質(zhì)體積的改變

40、，可看作常量.與簡(jiǎn)單系統(tǒng)W比較，在變換pE,（2）下，簡(jiǎn)單系統(tǒng)的熱力學(xué)關(guān)系同樣適用于電介質(zhì).式（2.2.11）給出ppp在代換（2）下，有EE式中C是電場(chǎng)強(qiáng)度不變時(shí)介質(zhì)的熱容量，C是電位移不變時(shí)介質(zhì)的熱容量.EC也就是電路為閉路時(shí)介質(zhì)的熱容量.充電后再令電路斷開，電容器兩極有恒定的電荷，因而介質(zhì)中的電位移恒定，所以C也就是充電后再令電路斷開時(shí)介質(zhì)的熱容量.電介質(zhì)的介電常量與溫度有關(guān)，所以EEE,（5）d代入式（4），有EEd.（6）CCCCMCC.（3）p（4）M（5）CCMMMM解：當(dāng)磁介質(zhì)的磁化強(qiáng)度有dM的改變時(shí)，外界所做的功是W,（1）式中H是電場(chǎng)強(qiáng)度，V是介質(zhì)的體積.不考慮介質(zhì)體積的改

41、變，V可看作常量.與簡(jiǎn)單系統(tǒng)W比較，在變換p（2）下，簡(jiǎn)單系統(tǒng)的熱力學(xué)關(guān)系同樣適用于磁介質(zhì).式（2.2.11）給出pp在代換（2）下，有MM式中C是磁場(chǎng)強(qiáng)度不變時(shí)介質(zhì)的熱容量，C是磁化強(qiáng)度不變時(shí)介質(zhì)的熱容量.M考慮到MMM（5）式解出M,代入(4)式,得MM2.19已知順磁物質(zhì)遵從居里定律：M).若維物質(zhì)的溫度不變，使磁場(chǎng)由0增至H，求磁化熱.（2）解：式（1.14.3）給出，系統(tǒng)在可逆等溫過(guò)程中吸收的熱量.（2）程中的熵增加值滿足.（1）在可逆等溫過(guò)程中磁介質(zhì)的熵隨磁場(chǎng)的變化率為（式（2.7.7）m如果磁介質(zhì)遵從居里定律m,（3）易知（4）所以.（5）在可逆等溫過(guò)程中磁場(chǎng)由0增至H時(shí)，磁介質(zhì)

42、的熵變?yōu)?（6）.（7）（b）M.2.20已知超導(dǎo)體的磁感強(qiáng)度(M)，求證：（a）C與M無(wú)關(guān)，只是T的函數(shù)，其中C是磁化強(qiáng)度M保持不變時(shí)的MM熱容量.M（c）M.解：先對(duì)超導(dǎo)體的基本電磁學(xué)性質(zhì)作一粗淺的介紹.1911年昂尼斯（Onnes）發(fā)現(xiàn)水銀的電阻在4.2K左右突然降低為零，如Ee.（1）圖所示.Ee.（1）材料稱為超導(dǎo)體.電阻突然消失的溫度稱為超導(dǎo)體的臨界溫度.開始人們將超導(dǎo)體單純地理解為具有無(wú)窮電導(dǎo)率的導(dǎo)體.在導(dǎo)體中電流密度與電場(chǎng)強(qiáng)e度E滿足歐姆定律J如果電導(dǎo)率，導(dǎo)體內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度將為零.根據(jù)法拉第定律，有E因此對(duì)于具有無(wú)窮電導(dǎo)率的導(dǎo)體，恒有,（2）（3）下圖（a）顯示具有無(wú)窮電導(dǎo)率的導(dǎo)

43、體的特性，如果先將樣品降溫到臨界溫度以下，使之轉(zhuǎn)變?yōu)榫哂袩o(wú)窮電導(dǎo)率的導(dǎo)體，然后加上磁場(chǎng)，根據(jù)式（3）樣品內(nèi)的B不發(fā)生變化，即仍有但如果先加上磁場(chǎng)，然后再降溫到臨界溫度以下，根據(jù)式（3）樣品內(nèi)的B也不應(yīng)發(fā)生變化，即這樣一來(lái)，樣品的狀態(tài)就與其經(jīng)歷的歷史有關(guān)，不是熱力學(xué)平衡狀態(tài)了.但是應(yīng)用熱力學(xué)理論對(duì)超導(dǎo)體進(jìn)行分析，其結(jié)果與實(shí)驗(yàn)是符合的.這種情況促JE,（JE,（7）1933年邁斯納（Meissner）將一圓柱形樣品放置在垂置于其軸線的磁場(chǎng)中，降低到臨界溫度以下，使樣品轉(zhuǎn)變?yōu)槌瑢?dǎo)體，發(fā)現(xiàn)磁通量完全被排斥于樣品之外，即超導(dǎo)體中的恒為零：M（4）這一性質(zhì)稱為完全抗磁性.上圖（b）畫出了具有完全抗磁性的樣

44、品在先冷卻后加上磁場(chǎng)和先加上磁場(chǎng)后冷卻的狀態(tài)變化，顯示具有完全抗磁性的超導(dǎo)體，其狀態(tài)與歷史無(wú)關(guān).1953年弗倫敦（F.London）和赫倫敦（H.London）兄弟二人提出了一個(gè)唯象理論，從統(tǒng)一的觀點(diǎn)概括了零電阻和邁斯納效應(yīng)，相當(dāng)成功地預(yù)言了超導(dǎo)體的一些電磁學(xué)性質(zhì).他們認(rèn)為，與一般導(dǎo)體遵從歐姆定律不同，由于零電阻效應(yīng)，超導(dǎo)體中電場(chǎng)對(duì)電荷的作用將使超導(dǎo)電子加速.根據(jù)牛頓定律，有m,（5）式中m和q分別是超導(dǎo)電子的質(zhì)量和電荷，是其加速度.以表示超導(dǎo)電子的密度，超導(dǎo)電流密度J為Jq.（6）綜合式（5）和式（6），有其中m.（8）nq將式（7）代入法拉第定律（2），有J,J,或JB（9）式（9）意味著

45、(J)B不隨時(shí)間變化，如果在某一時(shí)刻，有(J)B,（10）則在任何時(shí)刻式（10）都將成立.倫敦假設(shè)超導(dǎo)體滿足式（10）.下面證明，在恒定電磁場(chǎng)的情形下，根據(jù)電磁學(xué)的基本規(guī)律和式（10）可以得到邁斯納效應(yīng).在恒定電磁場(chǎng)情形下，超導(dǎo)體內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度顯然等于零，否則J將無(wú)限增長(zhǎng)，因此安培定律給出BJ.（11）對(duì)上式取旋度，有B,（12）BB,（12）其中最后一步用了式（10）.由于(B)(B)B.而B，因此式（12）給出BB（13）式（13）要求超導(dǎo)體中B從表面隨濃度很快地減少.為簡(jiǎn)單起見，我們討論一維情形.式（13）的一維解是B.（14）式（14）表明超導(dǎo)體中B隨深度按指數(shù)衰減.如果，可以得到.這樣

46、倫敦理論不僅說(shuō)明了邁斯納效應(yīng)，而且預(yù)言磁屏蔽需要一個(gè)有限的厚度，磁場(chǎng)的穿透濃度是的量級(jí).實(shí)驗(yàn)證實(shí)了這一預(yù)言.綜上所述，倫敦理論用式（7）和式（10）JB,（15）JB來(lái)概括零電阻和邁斯納效應(yīng)，以式（15）作為決定超導(dǎo)體電磁性質(zhì)的基本方程.邁斯納效應(yīng)的實(shí)質(zhì)是，磁場(chǎng)中的超導(dǎo)體會(huì)在表面產(chǎn)生適當(dāng)?shù)某瑢?dǎo)電流分布，使超導(dǎo)體內(nèi)部B由于零電阻，這超導(dǎo)電流是永久電流，不會(huì)衰減.在外磁場(chǎng)改變時(shí)，表面超導(dǎo)電流才會(huì)相應(yīng)地改變.倫敦理論是一個(gè)唯象理論.1957Bardeen，Cooper，Schriffer）發(fā)展了超導(dǎo)的微觀理論，闡明了低溫超導(dǎo)的微觀機(jī)制，并對(duì)超導(dǎo)體的宏觀特性給予統(tǒng)計(jì)的解釋.下面回到本題的求解.由式（3

47、）知，在超導(dǎo)體內(nèi)部恒有M,（16）這是超導(dǎo)體獨(dú)特的磁物態(tài)方程.通常的磁物態(tài)方程,M,對(duì)超導(dǎo)體約化為式（16）.根據(jù)式（16），有（17）.（19）Mp,M,（20）MM（a）考慮單位體積的超導(dǎo)體.式（2.7.2）給出準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程中的微功為W.（18）與簡(jiǎn)單系統(tǒng)的微功W比較知在代換p,M下，簡(jiǎn)單系統(tǒng)得到的熱力學(xué)關(guān)系同樣適用于超導(dǎo)體.2.9題式（2）給出Cp超導(dǎo)體相應(yīng)的熱力學(xué)關(guān)系為CM最后一步用了式（17）.由式（19）可知，C與M無(wú)關(guān)，只是T的函數(shù).M（b）相應(yīng)于簡(jiǎn)單系統(tǒng)的（2.2.7）式p超導(dǎo)體有dMdMMM以,M為自變量，內(nèi)能的全微分為MdM.M積分得超導(dǎo)體內(nèi)能的積分表達(dá)式為.（21）.（21

48、）MM第一項(xiàng)是不存在磁場(chǎng)時(shí)超導(dǎo)體的內(nèi)能，第二項(xiàng)代表外磁場(chǎng)使超導(dǎo)體表面感生超導(dǎo)電流的能量.第二項(xiàng)是負(fù)的，這是式（16）的結(jié)果，因此處在外磁場(chǎng)中超導(dǎo)體的內(nèi)能低于無(wú)磁場(chǎng)時(shí)的內(nèi)能.（c）相應(yīng)于簡(jiǎn)單系統(tǒng)的（2.4.5）式,超導(dǎo)體有dMdMMpK.第二步用了式（17）.這意味著，處在外磁場(chǎng)中超導(dǎo)體表面的感生超導(dǎo)電流對(duì)熵（無(wú)序度）沒(méi)有貢獻(xiàn).補(bǔ)充題1溫度維持為，壓強(qiáng)在0至p之間，測(cè)得水的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)n如下：p若在的恒溫下將水從p加壓至p，求水的熵增加值和從外界吸收的nn熱量.解：將題給的記為pbp.（1）bp.（1）p由吉布斯函數(shù)的全微分得麥?zhǔn)详P(guān)系.（2）.（2）pp因此水在過(guò)程中的熵增加值為ppdppdpppp

49、p.pppbpdppbb（3）將pp,pp代入，得nnnK.根據(jù)式（1.14.4程.補(bǔ)充題2試證明范氏氣體的摩爾定壓熱容量與摩爾定容熱容量之差為,mp,mCb.mm解：根據(jù)式（2.2.11），有.（1）pp,mC,mpmm由范氏方程ppbmm易得p,mbp,mb.（2）bmmmpm但mmpmpm所以mmppmb,（3）bmmmm代入式（1），得,mbp,mCmm.（4）.（1）.（3）LL拉長(zhǎng)至L時(shí)所吸收的熱量和內(nèi)能的變化.解：式（2.4.4）給出，以,為自變量的簡(jiǎn)單系統(tǒng)，熵的全微分為p對(duì)于本題的情形，作代換L,p,（2）即有JL將理想彈性體等溫可逆地由L拉長(zhǎng)至L時(shí)所吸收的熱量為L(zhǎng).（4L.（

50、4）LL由LLJLL可得,（5）b,（5）bLLLLLL代入式（4）可得LLLLLLLLLLLLL,（6）L過(guò)程中外界所做的功為,（7）WLLLLLLWL.（8）.（1）L.（2）L其中.LL故彈性體內(nèi)能的改變?yōu)檠a(bǔ)充題4承上題.試求該彈性體在可逆絕熱過(guò)程中溫度隨長(zhǎng)度的變化率.解：上題式（3）已給出JL在可逆絕熱過(guò)程中，故有JLL將習(xí)題2.15式（5）求得的J代入，可得LL.（3）LLL.（3）LLLLLLLLL補(bǔ)充題5實(shí)驗(yàn)測(cè)得順磁介質(zhì)的磁化率.特性函數(shù)M,，并導(dǎo)出內(nèi)能和熵.解：在磁介質(zhì)的體積變化可以忽略時(shí)，單位體積磁介質(zhì)的磁化功為（式（2.7.2）其自由能的全微分為W.（1）dM.dM.將代入

51、，可將上式表為M在固定溫度下將上式對(duì)M積分，得（2）,M（3）,M,MMMMd（4）單位體積的內(nèi)能為Md.（5）3.1證明下列平衡判據(jù)（假設(shè)S0）；（a）在,不變的情形下，穩(wěn)定平衡態(tài)的最小.（b）在,p不變的情形下，穩(wěn)定平衡態(tài)的最小.（c）在,p不變的情形下，穩(wěn)定平衡態(tài)的最小.（d）在F,不變的情形下，穩(wěn)定平衡態(tài)的最小.（e）在,p不變的情形下，穩(wěn)定平衡態(tài)的最小.（f）在,不變的情形下，穩(wěn)定平衡態(tài)的最小.（g）在F,不變的情形下，穩(wěn)定平衡態(tài)的最小.解：為了判定在給定的外加約束條件下系統(tǒng)的某狀態(tài)是否為穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，設(shè)想系統(tǒng)圍繞該狀態(tài)發(fā)生各種可能的自發(fā)虛變動(dòng).由于不存在自發(fā)的可逆變動(dòng)，根據(jù)熱力學(xué)

52、第二定律的數(shù)學(xué)表述（式（1.16.4有W,（1）式中和是虛變動(dòng)前后系統(tǒng)內(nèi)能和熵的改變，W是虛變動(dòng)中外界所做的功，是虛變動(dòng)中與系統(tǒng)交換熱量的熱源溫度.由于虛變動(dòng)只涉及無(wú)窮小的變化，也等于系統(tǒng)的溫度.下面根據(jù)式（1）就各種外加約束條件導(dǎo)出相應(yīng)的平衡判據(jù).（a）在,不變的情形下，有W根據(jù)式（1（2）如果系統(tǒng)達(dá)到了為極小的狀態(tài)，它的內(nèi)能不可能再減少，系統(tǒng)就不可能自發(fā)發(fā)生任何宏觀的變化而處在穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，因此，在,不變的情形下，穩(wěn)定平衡態(tài)的最小.（b）在,p不變的情形下，有WpdV,根據(jù)式（1p或（3）如果系統(tǒng)達(dá)到了為極小的狀態(tài)，它的焓不可能再減少，系統(tǒng)就不可能自發(fā)發(fā)生任何宏觀的變化而處在穩(wěn)定的平衡狀

53、態(tài)，因此，在,p不變的情形下，穩(wěn)定平衡態(tài)的最小.（c）根據(jù)焓的定義和式（1）知在虛變動(dòng)中必有ppW.在H和p不變的的情形下，有pWp,在虛變動(dòng)中必有（4）如果系統(tǒng)達(dá)到了生任何宏觀的變化而處在穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，因此，在,p不變的情形下，穩(wěn)定平衡態(tài)的最大.（d）由自由能的定義F和式（1）知在虛變動(dòng)中必有FW.在F和不變的情形下，有FW故在虛變動(dòng)中必有（5）由于不可能自發(fā)發(fā)生任何宏觀的變化而處在穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，因此，在F,不變的情形下，穩(wěn)定平衡態(tài)的最小.（e）根據(jù)吉布斯函數(shù)的定義和式（1）知在虛變動(dòng)中必有ppW.在,p不變的情形下，有pWp,故在虛變動(dòng)中必有（6）由于不可能自發(fā)發(fā)生任何宏觀的變化而處在

54、穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，因此，在,p不變的情形下，穩(wěn)定的平衡態(tài)的最小.（f）在,不變的情形下，根據(jù)式（1）知在虛變動(dòng)中心有W上式表明，在,不變的情形下系統(tǒng)發(fā)生任何的宏觀變化時(shí)，外界必做功，即系統(tǒng)的體積必縮小.如果系統(tǒng)已經(jīng)達(dá)到了小，系統(tǒng)就不可能自發(fā)發(fā)生任何宏觀的變化而處在穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，因此，在,不變的情形下，穩(wěn)定平衡態(tài)的最小.（g）根據(jù)自由能的定義F和式（1）知在虛變動(dòng)中必有FW.在F,不變的情形下，有F必有W（8）上式表明，在F,不變的情形下，系統(tǒng)發(fā)生任何宏觀的變化時(shí)，外界必做功，即系統(tǒng)的體積必縮小.如果系統(tǒng)已經(jīng)達(dá)到了小，系統(tǒng)就不可能自發(fā)發(fā)生任何宏觀的變化而處在穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，因此，在F,不變的情形

55、下，穩(wěn)定平衡態(tài)的最小.3.2試由式（3.1.12）導(dǎo)出式（3.1.13）解：式（3.1.12）為（1）.（2）,（3）,但由熱力學(xué)基本方程可得ppppp（4）p以,為自變量，有CpCp,ppp（5）（6）ppp.將式（5）（7）代入式（4），即得（7）p（8）這就是式（3.1.13）.3.3試由C及p證明Cp及p解：式（2.2.12）給出CCp.（1）穩(wěn)定性條件（3.1.14）給出p（2）其中第二個(gè)不等式也可表為（3）p故式（1）右方不可能取負(fù)值.由此可知第二步用了式（2）的第一式.根據(jù)式（2.2.14），有CC（4）pp.p.pp;.,p,.,.p,p因?yàn)镃恒正，且C，故CCppp第二步用了

56、式（2）的第二式.3.4求證：,p解：（a）由自由能的全微分（式（3.2.9）dn及偏導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)次序的可交換性，易得這是開系的一個(gè)麥?zhǔn)详P(guān)系.（b）類似地，由吉布斯函數(shù)的全微分（式（3.2.2）dn可得,p（5）（6）（1）（2）（3）（4）.,.,.（1）,3.5求證：,F是以,為自變量的特性函數(shù)，求F對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)（,F,但由自由能的全微分dn可得,（2）代入式（1），即有.（3）,，體脹系數(shù)pCp和等溫壓縮系數(shù)pp均趨于無(wú)窮，試加以說(shuō)明.數(shù)數(shù)也趨于無(wú)窮.如果在平衡壓強(qiáng)下，令兩相系統(tǒng)準(zhǔn)靜態(tài)地從外界吸取熱量，物質(zhì)將從比熵較低的相準(zhǔn)靜態(tài)地轉(zhuǎn)移到比熵較高的相，過(guò)程中溫度保持為平衡溫度不變.兩相系統(tǒng)吸取熱

57、量而溫度不變表明它的（定壓）熱容量趨于無(wú)窮.在上述過(guò)p程中兩相系統(tǒng)的體積也將發(fā)生變化而溫度保持不變，說(shuō)明兩相系統(tǒng)的體脹系p積變化說(shuō)明，兩相系統(tǒng)的等溫壓縮系數(shù)積變化說(shuō)明，兩相系統(tǒng)的等溫壓縮系數(shù)也趨于無(wú)窮.pL.dp到比容較低的相，使兩相系統(tǒng)的體積發(fā)生改變.無(wú)窮小的壓強(qiáng)導(dǎo)致有限的體3.7試證明在相變中物質(zhì)摩爾內(nèi)能的變化為pm如果一相是氣相，可看作理想氣體，另一相是凝聚相，試將公式化簡(jiǎn).解：發(fā)生相變物質(zhì)由一相轉(zhuǎn)變到另一相時(shí)，其摩爾內(nèi)能、摩爾焓和mm摩爾體積的改變滿足mp.（1）mmm平衡相變是在確定的溫度和壓強(qiáng)下發(fā)生的，相變中摩爾焓的變化等于物質(zhì)在相變過(guò)程中吸收的熱量，即相變潛熱L：克拉珀龍方程（式

58、（3.4.6）給出L.m,（3）,（3）L.（5）dp.（6）L.（7）Lm即L.（4）mdp將式（2）和式（4）代入（1），即有pm如果一相是氣體，可以看作理想氣體，另一相是凝聚相，其摩爾體積遠(yuǎn)小于氣相的摩爾體積，則克拉珀龍方程簡(jiǎn)化為dp式（5）簡(jiǎn)化為m3.8在三相點(diǎn)附近，固態(tài)氨的蒸氣壓（單位為Pa）方程為p.液態(tài)氨的蒸氣壓力方程為p.試求氨三相點(diǎn)的溫度和壓強(qiáng)，氨的汽化熱、升華熱及在三相點(diǎn)的熔解熱.解：固態(tài)氨的蒸氣壓方程是固相與氣相的兩相平衡曲線，液態(tài)氨的蒸氣壓方程是液相與氣想的兩相平衡曲線.三相點(diǎn)的溫度可由兩條相平衡曲線的交點(diǎn)確定：,（1）由此解出將代入所給蒸氣壓方程，可得將所給蒸氣壓方程

59、與式（3.4.8）K.ppL（2）比較，可以求得LL氨在三相點(diǎn)的熔解熱L等于LLL溶升汽3.9以表示在維持相與相兩相平衡的條件下相物質(zhì)升高1K所吸收的熱量，稱為相的兩相平衡摩爾熱容量，試證明：pLmmm.p如果相是蒸氣，可看作理想氣體，相是凝聚相，上式可簡(jiǎn)化為L(zhǎng),p并說(shuō)明為什么飽和蒸氣的熱容量有可能是負(fù)的.1.14.4），在維持相與物質(zhì)溫度升高1K所吸收的熱量為相ppm式（2.2.8）和（2.2.4）給出dpmm.（1）ppm,pmm.pp（2）.（3）mdppp將克拉珀龍方程代入，可將式（3）表為m.（4）m.（4）ppLmm.（5）如果相是氣相，可看作理想氣體，相是凝聚相，.（5）mm中略

60、去，且令，式（4）可簡(jiǎn)化為mmLpC是飽和蒸氣的熱容量.由式（5）可知，當(dāng)p3.10試證明，相變潛熱隨溫度的變化率為L(zhǎng)時(shí)，C是負(fù)的.mCCmCCmppppmm如果相是氣相，相是凝聚相，試證明上式可簡(jiǎn)化為.pp解:物質(zhì)在平衡相變中由相轉(zhuǎn)變?yōu)榈扔趦上嗄栰手睿篖.（1）mmmpppmppppdpdpmmm.（2）,p,pdpmmdp.ppp所以CCppmmp將式中的dp用克拉珀龍方程（3.4.6）代入，可得（3）mCCmCCpmmpppm,（4）如果如果相是氣相，相是凝聚相，略去和m，并利用，可pmm將式（4）簡(jiǎn)化為.（5）pp.（1）3.11.（1）假設(shè)溫度的變化范圍不大，定壓熱容量可以看作常