微積分a1第8次習(xí)題課題目

1、微積分 A(1)第八次習(xí)題課參（第十二周一不定積xln(x1)dxsin2 x dxxx2 arctan xdxxtan2 xdxarcsindx1微積分 A(1)第八次習(xí)題課參（第十二周一不定積xln(x1)dxsin2 x dxxx2 arctan xdxxtan2 xdxarcsindx1 cos(lnx)dx(arcsin x)2 dx ln(x 1 x2)dx已知f (x)的一個(gè)原函數(shù)為 sin ，求 f (x) f (x)dx 。1xsin與10. 求不定積分。(x 1(x 2x221arcsinxdx02e sin xdxx20esin(lnx)dx112 x1 01101 x2

2、 0 x4 1dx 1cos xdxn01x ln xdxnm0ee10. 設(shè)(0,)上的連續(xù)函數(shù) f(x)滿足 f (x) lnxf (x)dx ，f (x)dx116x xdx 202exdx 02f(coscos xdxn01x ln xdxnm0ee10. 設(shè)(0,)上的連續(xù)函數(shù) f(x)滿足 f (x) lnxf (x)dx ，f (x)dx116x xdx 202exdx 02f(cosx)dx f(sinx)fx在0,12001x設(shè)函數(shù) f (x) (xt) g(t)dt ，其中函數(shù)g(x)在(,)上連續(xù)，且g(1) 52201xxg(t)dt 2，證明 f (x) g(t)dt

3、 tg(t)dt，并計(jì)算f (1)和 f (1)000（積分中值定理的應(yīng)用）設(shè) f (x在ab bbb| f (x|dxmax| f (x)afaa1xn2e xdx 求證： 2n 1f 為連續(xù)函數(shù)，證明 limn1) x f(x)dx f(1n0設(shè) fx在(,x x f(u)(x u)du 00 設(shè) fx在0a上二階可導(dǎo)（a 0，且 f (x 0f(x)dx afaa202設(shè)函數(shù) f (x在0,1上二階可導(dǎo)，且 f (x) 0 x0,1, 證明：f11f (x )dx 2 30fx為0,2nf (xsinnxdx 010.設(shè)函數(shù) f (x在0,1上二階可導(dǎo)，且 f (x) 0 x0,1, 證

4、明：f11f (x )dx 2 30fx為0,2nf (xsinnxdx 010. 設(shè)函數(shù) f(x在0,0 f (x)dx 0，0 f(xcosxdx 0(0,內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)12，使得 f(1 f(201不 等 式 ： 設(shè) f為 a,b 上 的 下 凸 函 數(shù) 則nxk a,b,k (0,1k 1,2,nk 1， knn k f (x nfkkAG f(xlnx為(0,Jesen nxk 0,k 0,1k 1,2,nk 1， knn kkkkk1當(dāng)k n (k 1,2,nAG 不等式 1 設(shè)x,y0,p,q 1,1 1 1，xpyq xy。Holder xk yk 0(k 1,2,n)

5、, pq 1, p q 1，則 11q nknnpk x y x y pqk k3xynn 在（3）中，令x k ,y k ,X x ,Y y 即可pqkXYkk11222 2nnnSchwarzxk yk xk yk k kkMinkowski xk , yk 0(k 1,2,n), p 1，則 111pnnnppx y x y pppkkkkknnnnxk xxynn 在（3）中，令x k ,y k ,X x ,Y y 即可pqkXYkk11222 2nnnSchwarzxk yk xk yk k kkMinkowski xk , yk 0(k 1,2,n), p 1，則 111pnnnp

6、px y x y pppkkkkknnnnxk xy x y p1 x x y p1 y x kkkkkkp11q 1Holderp11q11qnknnnnx x x y py x y p q( q( ppkkkkk11 1nnn x y x y ppq pppkkk111pp p nnn即x yk xk yk 。kkk2（1） Schwarz fgRa,bbbbf(x)g(x)dxf (x) dxg(x) 22aaa11（2） Holder 積分不等式：f,gRa,b，p,q 1，則11bbbf(x)g(x)dx fg(x)aaan等分a,bHolder 不等式411qnknnppqf( )

7、g( f( g( kkkk11q a anknn ap p pf( )g( f( g( kknnnkk11qbbbppqn,Riemannf(x)g(x)dx dxfg(x)。aaa（3） Minkowski 11qnknnppqf( )g( f( g( kkkk11q a anknn ap p pf( )g( f( g( kknnnkk11qbbbppqn,Riemannf(x)g(x)dx dxfg(x)。aaa（3） Minkowski fgRa,bp 1111pf(x)g(x)pdxbbbpppfg(x)aaaHolder（4） Youngf C0,嚴(yán)格單調(diào)增f(00, f 1(xf(x的反函abf (x)dx (x)dx (a,b 00f(ab（Riemann 積分的定義3例.1 f Ca,b0 mf (x M (mM1bb(ba) f (x)dxdxf(b22aa1bb例.2設(shè)函數(shù)f C a,b, f (0) 0。證明f (x)dx (bf(x)2dx222aa abb例.3 f Ca,bf (a) 0f (x)f (x)dx f (x)2dx2aa4ba2b例.4 f (x 0f (x0 xa,b，求證max f (xaxf (x)dxb例.5 設(shè)a,b 0f (xCa,bxf (