對一道高考題的多視角探究-兼談數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí)

1、對一道高考題的多視角探究兼談數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí) 新疆八師148團(tuán)中學(xué) 陳永霞 2022年高考數(shù)學(xué)全國卷理科立體幾何試題第二問與往年不同，具體表現(xiàn)為二面角的其中一個半平面的位置不確定，故無法計算該半平面的法向量，因此著力于確定該半平面的位置是本文要探究的問題. 1.問題呈現(xiàn) 如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD,BAD=ABC=90O,E是PD中點(diǎn)， （1）證明直線CE/平面PAB; （2）點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45o，求二面角MABD的余弦值. 2.問題難點(diǎn) 求二面角的平面角的余弦值，常用的方法是向量法和幾何法，然而

2、本題中不管用哪種方法，都要直面一個關(guān)鍵問題-確定二面角的一個未知半平面的位置，具體表現(xiàn)為用數(shù)量刻畫點(diǎn)M在棱PC上的位置.如何刻畫呢？這就取決于如何解讀點(diǎn)M在棱PC上這一已知條件. 3.問題探究 3.1由M、P、C三點(diǎn)共線可設(shè)=，0,1 視角一：利用向量共線設(shè)倍數(shù)并設(shè)未知點(diǎn)M的坐標(biāo) 解法一（2）由AD是兩垂直平面PAD和ABCD的交線，ABAD可知， AB平面PAD,故如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-, 令A(yù)D=2,則P（0,1,）,C（1,1,0）,B（1,0,0），設(shè)M（） 故=（-1）又底面ABCD的法向量可取=（0,0,1） =，整理得2=(-1)2+2 又=，即（,-1,-）=(,0,-),

3、得=,=1,=- 聯(lián)立得=1-，故M（1-，1，），故=（-，1，） 又=（1,0,0），設(shè)平面BMA的法向量為，則,=（0，-，1） cos=，即所求二面角MABD的余弦值為. 視角賞析：章建躍教授講過，與學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)相適應(yīng)的教學(xué)才是好數(shù)學(xué)教學(xué).本題中，將M設(shè)為（）正是學(xué)生通常會首選的方法. 視角二：利用向量共線設(shè)倍數(shù)和三角形回路 解法二（2）由AD是兩垂直平面PAD和ABCD的交線,ABAD可知， AB平面PAD,故如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-,設(shè)=,0,1 , 令A(yù)D=2,則P（0,1,）,C（1,1,0）,B（1,0,0）, 故=（1,0,-）,=（,0,-）,=（-1,1,）, 得=+

4、=（-1,1, -）, 又底面ABCD的法向量可取=（0,0,1） =,解得=1-, 從而得=（-，1，）,又=（1,0,0）,設(shè)平面BMA的法向量為， 則,得=（0, -,1） cos=，即所求二面角MABD的余弦值為. 解后賞析：上述二者不同點(diǎn)是視角一引入的中間量較多，但視角一更符合學(xué)生的原生態(tài)感官；相同點(diǎn)是都利用了向量共線設(shè)倍數(shù).如果說將已知條件點(diǎn)M在棱PC上轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系=,0,1，體現(xiàn)了邏輯推理數(shù)學(xué)素養(yǎng)，那么，作輔助線構(gòu)造線面角求M點(diǎn)坐標(biāo)則更是邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)素養(yǎng)的鮮活體現(xiàn). 3.2由點(diǎn)M在棱PC上可知點(diǎn)M在底面的投影點(diǎn)位于棱PC在底面的投影線段上 視角三：作輔助線構(gòu)造線面角求

5、點(diǎn)M的坐標(biāo) 解法（3）取AD中點(diǎn)O,連接PO,CO,過M向底面引垂線，垂足為M且垂足M線段CO, 連接BM,則MBM=450，故MM=BM， AD是兩垂直平面PAD和ABCD的交線，POAD PO平面ABCD，且四邊形ABCO是正方形， 故如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-, 令A(yù)D=2，有P（0,0,）,C（1,0,0）,B（1,-1,0），A（0,-1,0）， 在RTPOC中，由OC=1，PO=知PCO=60O 再令MM= k，則CM=k，OM=1-k，BM= k，解得k=， 從而知M（1-，0，）=（-，1，）,又=（-1,0,0）， 設(shè)平面BMA的法向量為，則=（0，-，1） 又底面ABCD的

6、法向量可取=（0,0,1） cos=，即所求二面角MABD的余弦值為. 解后賞析：若未能把三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為向量間的倍數(shù)關(guān)系，亦可在平面內(nèi)作輔助線找出點(diǎn)M在底面的投影，從而確定出直線BM與底面ABCD所成角，挖掘推理出載體內(nèi)部的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求得M點(diǎn)坐標(biāo). 視角四：作輔助線構(gòu)造線面角和二面角的平面角 解法四（2）取AD中點(diǎn)O,連接PO,CO,過M向底面引垂線， 垂足為M,連接BM,則MBM=450，故MM=BM， 令A(yù)D=2，則OC=1，PO=,得PCO=60O再令MM= k，則CM=k, 又BM=k，解得k=，作MNAD，連接MN, 則MNAB,由三垂線定理可知，MNAB，M N M是二面角的平面角. 在RTM N M中，由M M=和N M=1可知tanM N M=， cosM N M=，即所求二面角MABD的余弦值為. 解后反思：視角四只需確定M點(diǎn)距離底面的高度，即可通過正切值求得余弦值，優(yōu)化了解題結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)了直觀想象、邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng). 綜上所述，學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成是一個長期的過程，要求教師在課堂上有意識加強(qiáng)培養(yǎng)，在平時舉一反三，進(jìn)行多視角探究和變式