差分方程實(shí)驗(yàn)精品課件

1、差分方程實(shí)驗(yàn)第1頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三4.2 日常生活中的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題銀行存款與利率 假如你在銀行開設(shè)了一個(gè)1000元的存款賬戶，銀行的年利率為7%. 用an表示n年后你賬戶上的存款額，那么下面的數(shù)列就是你每年的存款額： a0, a1, a2, a3, , an, 設(shè)r為年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型是： a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3, 第2頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三家庭教育基金 從1994年開始，我國(guó)逐步實(shí)行了大學(xué)收費(fèi)制度. 為了保障子女將來(lái)的教育費(fèi)用，小張夫婦從他們的

2、兒子出生時(shí)開始，每年向銀行存入x元作為家庭教育基金. 若銀行的年利率為r，試寫出第n年后教育基金總額的表達(dá)式. 預(yù)計(jì)當(dāng)子女18歲入大學(xué)時(shí)所需的費(fèi)用為30000元，按年利率10%計(jì)算，小張夫婦每年應(yīng)向銀行存入多少元? 設(shè)n年后教育基金總額為an，每年向銀行存入x元，依據(jù)復(fù)利率計(jì)算公式，得到家庭教育基金的數(shù)學(xué)模型為： a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3,第3頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三抵押貸款 小李夫婦要購(gòu)買二居室住房一套，共需10萬(wàn)元. 他們已經(jīng)籌集4萬(wàn)元，另外6萬(wàn)元申請(qǐng)抵押貸款. 若貸款月利率為1%，還貸期限為25年，問(wèn)小李夫婦每月要還多

3、少錢？ 設(shè)貸款額為a0，每月還貸額為x，月利率為r，第n個(gè)月后的欠款額為an，則 a0=60000, a1=(1+r)a0-x, a2=(1+r)a1-x, an=(1+r)an-1-x, n=1,2,3,第4頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三分期付款 小王看到一則廣告：商場(chǎng)對(duì)電腦實(shí)行分期付款銷售. 一臺(tái)售價(jià)8000元的電腦，可分36個(gè)月付款，每月付300元即可. 同時(shí)他收到了銀行提供消費(fèi)貸款的消息：10000元以下的貸款，可在三年內(nèi)還清，年利率為15%. 那么，他買電腦應(yīng)該向銀行貸款，還是直接向商店分期付款？ 經(jīng)過(guò)分析可知，分期付款與抵押貸款模型相同. 設(shè)第n個(gè)月后的欠

4、款額為an，則 a0=8000, an+1=(1+r)an-300, n=0,1,2,3, 貸款模型 a0=8000, an+1=(1+0.15/12)an-x, n=0,1,2,3,第5頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三一階線性差分方程 在上述模型中，給出了an+1與an之間的遞推公式. 將它們寫成統(tǒng)一的形式： a0=c, an+1=an+b, n=0,1,2,3,稱此類遞推關(guān)系為一階線性差分方程. 當(dāng)b=0時(shí)稱為齊次差分方程，否則稱為非齊次差分方程. 定義1 對(duì)任意數(shù)列A=a1,a2,an,，其差分算子定義如下： a1=a2-a1, a2=a3-a2, an=an+1

5、-an, 定義2 對(duì)數(shù)列A=a1,a2,an,，其一階差分的差分稱為二階差分, 記為2A=(A). 即： 2an= an+1- an=(an+2-an+1)-(an+1-an)=an+2-2an+1+an 一般地，可以定義n階差分.第6頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三 例1 用計(jì)算機(jī)計(jì)算存款模型的各階差分.(*首先計(jì)算20年內(nèi)的存款清單*) r=0.07;a0=1000;an_:=(1+r) an-1; money1=Tablen,an,n,0,20; TableFormJoin年份, 存款額,money1(*其次計(jì)算各階差分*) dan_:=an+1-an;d2an_

6、:=dan+1-dan; d3an_:=d2an+1-d2an; diff=Tablen,an,dan,d2an,d3an,n,0,9; TableFormJoinN,An,Dan,D2an,D3an,diff dif1=Transposediff;TableFormdif13/dif12,dif14/dif13, dif15/dif14第7頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三差分方程 an=b的解 由 an+1-an=b, n=0,1,2, 得 an-a0=n b. 如果a0=c, 則有 an=n b+c. 一般地, 差分方程 k an=b 的解是: an=ck nk+c

7、k-1nk-1+c1n+c0, 其中 ck=b/k!. 驗(yàn)證如下：an_:=c4n4+c3n3+c2n2+c1n+c0;dan_:=an+1-an;d2an_:=dan+1-dan; d3an_:=d2an+1-d2an;d4an_:=d3an+1-d3an;d3an/Simplifyd4an/Simplify第8頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三差分方程 an+1= an+b的解 定理1 一階線性差分方程 an+1= an+b 的通解是： 定理2 對(duì)一階線性差分方程 an+1= an+b, 若 | |1, 則 an逐漸遠(yuǎn)離平衡解 b/(1- ) (發(fā)散型不動(dòng)點(diǎn)).第9頁(yè)

8、，共29頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三家庭教育基金模型 由 a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3, 得通解: 將 a0=x, =1+r, b=x 代入, 得 c =x(1+r)/r, 因此方程的特解是: 將 a18=30000,r=0.1 代入計(jì)算出 x=586.41.第10頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三購(gòu)房抵押貸款模型 由 a0=60000, an+1=(1+r)an-x, n=0,1,2,3,將 =1+r, b=-x 代入得到方程的特解: 若在第N個(gè)月還清貸款，令 aN=0, 得: 將 a0=60000, r =0.01,

9、 N=25*12=300 代入計(jì)算出 x=631.93.第11頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三分期付款模型 若小王采取分期付款方式，每月要付300元. 如果采用貸款方式，類似于上一模型，將 a0=8000, r =0.15/12,N=36 代入計(jì)算出 x=277.32. 比較兩種支付方式，他應(yīng)該選擇消費(fèi)貸款方式。第12頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三4.3 Fibonacci 數(shù)列問(wèn)題 13世紀(jì)意大利著名數(shù)學(xué)家Fibonacci在他的著作算盤書中記載著這樣一個(gè)有趣的問(wèn)題： 一對(duì)剛出生的幼兔經(jīng)過(guò)一個(gè)月可長(zhǎng)成成兔，成兔再經(jīng)過(guò)一個(gè)月后可以繁殖出一對(duì)幼兔

10、. 若不計(jì)兔子的死亡數(shù)，問(wèn)一年之后共有多少對(duì)兔子？月份 0 1 2 3 4 5 6 7 幼兔 1 0 1 1 2 3 5 8 成兔 0 1 1 2 3 5 8 13 總數(shù) 1 1 2 3 5 8 13 21 第13頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三 將兔群總數(shù)記為 fn, n=0,1,2,，經(jīng)過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)列fn滿足下列遞推關(guān)系： f0 = f1 =1, fn+2 = fn+1 + fn , n=0,1,2, 這個(gè)數(shù)列稱為Fibonacci數(shù)列. Fibonacci數(shù)列是一個(gè)十分有趣的數(shù)列，在自然科學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用. Fibonacci數(shù)列的一些實(shí)例.

11、1. 蜜蜂的家譜 2. 鋼琴音階的排列 3. 樹的分枝 4. 楊輝三角形第14頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三觀察Fibonacci數(shù)列(*計(jì)算Fibonacci數(shù)列的前20項(xiàng)，并作圖*) F0=F1=1; Fn_:=Fn-1+Fn-2; fib=TableFi,i,0,20 tu1=ListPlotfib,PlotStyle-PointSize0.018; (*取對(duì)數(shù)后再觀察，可以發(fā)現(xiàn)圖像近似一條直線.*) lgf=Logfib; tu2=ListPlotlgf,PlotStyle-PointSize0.018;(*使用線性函數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合*) fx_=Fitlgf

12、,1,x,x tu3=Plotfx,x,0,21,PlotStyle-RGBColor0,0,1; Showtu3,tu2 通過(guò)計(jì)算可知， fn0.465577 e 0.478438n.第15頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三Fibonacci 數(shù)列的通項(xiàng)公式 Fibonacci 數(shù)列滿足遞推關(guān)系 fn+2 = fn+1 + fn，稱為二階線性差分方程. 通過(guò)前面的計(jì)算，可以猜測(cè) fn 具有指數(shù)形式. 不妨設(shè) fn =n, 代入差分方程，得 2- -1=0. 其解記為1, 2.得到差分方程的通解為: fn =C11n+C22n. r=Solvex2-x-1=0,x; a=

13、x/.r1;b=x/.r2; F1n_:=c1 an+c2 bn; cc=SolveF10=1,F11=1,c1,c2/Simplify F1n/.cc1/Simplify第16頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三生成函數(shù) 對(duì)給定數(shù)列a0,a1, an,，以an為系數(shù)構(gòu)造一個(gè)形式冪級(jí)數(shù)： G(x)= a0+ a1x+ a2x2+an xn+稱為數(shù)列an的生成函數(shù)(也稱為母函數(shù)). 例1. 有限數(shù)列 的生成函數(shù)是 G(x)=(1+x)n. 例2. 無(wú)窮數(shù)列 的生成函數(shù)是 G(x)=ex. 例3. 以G(x)= 為生成函數(shù)的數(shù)列是an=2n-1.第17頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，

14、5月20日，4點(diǎn)45分，星期三Fibonacci 數(shù)列的生成函數(shù) 設(shè)Fibonacci 數(shù)列的生成函數(shù)是: F(x)= f0+ f1x+ f2x2+fn xn+, 其中 fn+2 = fn+1 + fn . 由 ，得 . 從而得 . 再由 f0=f1=1, 得: 第18頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三4.5 分叉與混沌Logistic 方程 在受環(huán)境制約的情況下，生物種群的增長(zhǎng)變化行為比較復(fù)雜. 例如在池塘內(nèi)，環(huán)境可供1000條魚生存.在魚的數(shù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于此數(shù)時(shí)，魚群的增長(zhǎng)接近于指數(shù)增長(zhǎng). 但當(dāng)魚的數(shù)量接近生存限時(shí)，由于生態(tài)環(huán)境逐漸惡化，魚群的增長(zhǎng)逐漸變慢，幾乎停止增長(zhǎng).

15、 如果魚群數(shù)量超過(guò)了生存限，由于環(huán)境不堪重負(fù)，魚群會(huì)出現(xiàn)負(fù)增長(zhǎng). 這種現(xiàn)象可以用logistic方程進(jìn)行刻畫. pn+1-pn=k pn(N-pn)第19頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三 例1 池塘中魚的數(shù)量滿足差分方程 pn+1-pn=0.001 pn(1000-pn)選擇不同的初值，觀察魚群數(shù)量的變化趨勢(shì). px_:=2x-0.001x2; picta_:=Moduledata1,data1=NestListp,a,30; ListPlotdata1,PlotStyle-RGBColor0,0,1,PointSize0.018 pict0; pict1; pict5

16、00; pict1000; pict1500;第20頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三 例2 學(xué)校有兩名同學(xué)在星期一返校時(shí)患了流感，假設(shè)流感的傳染率為0.002，問(wèn)兩周之后全校400名學(xué)生中會(huì)有多少人感染過(guò)流感？ 記 an 為到第n 天時(shí)感染過(guò)流感的學(xué)生人數(shù). 假定流感患者的增加速度與流感患者同尚未感染流感的接觸次數(shù)an(400-an)成正比. 因此，an滿足logistic方程 an+1-an=0.002 an(400-an) p1x_:=x+0.002x(400-x); pict1a_:=Moduledata1,data1=NestListp1,a,14; ListP

17、lotdata1,PlotStyle-RGBColor0,0,1,PointSize0.018 pict12;第21頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三Logistic 方程的迭代 logistic方程是非線性方程，其標(biāo)準(zhǔn)形式為: an+1=r an(1-an),下面通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察迭代數(shù)列的收斂性. logisticr_,a_,n_:= Modulep,data,tu1,tu2,px_:=r x(1-x); data=NestListp,a,n; tu1=ListPlotdata,PlotStyle-PointSize0.018, DisplayFunction-Identi

18、ty; tu2=ListPlotdata,PlotJoined-True, PlotStyle-RGBColor0,0,1, DisplayFunction-Identity; Showtu1,tu2, DisplayFunction-$DisplayFunction;第22頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三 (* 初值 r=0.7, a0=0.2 *) logistic0.7,0.2,30; 容易看出，迭代數(shù)列單調(diào)收斂于0. (* 初值 r=2.9, a0=0.2 *) logistic2.9,0.2,30; 迭代數(shù)列上下振蕩，趨向于不動(dòng)點(diǎn)(r-1)/r. (* 初值

19、r=3.4, a0=0.2 *) logistic3.4,0.2,30; 經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的調(diào)整，迭代數(shù)列開始接近在0.42和0.82之間振蕩. 這類振蕩稱為2-循環(huán).第23頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三 (* 初值 r=3.55, a0=0.2 *) logistic3.55,0.2,30; 出現(xiàn)了周期為4的振蕩，稱為4-循環(huán). 通過(guò)以上的觀察可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)參數(shù) r 變化時(shí)，相應(yīng)的迭代數(shù)列從收斂到唯一的不動(dòng)點(diǎn)(1-循環(huán))到2-循環(huán)再到4-循環(huán)，這樣的分裂行為稱為分叉(bifurcation). (* 初值 r=3.7, a0=0.2 *) logistic3.7,0.2,

20、30; 此時(shí)沒(méi)有穩(wěn)定的周期性. 迭代數(shù)列在區(qū)間(0,1)內(nèi)振蕩，而且表現(xiàn)出對(duì)初始條件非常敏感的依賴性，這種狀態(tài)稱為混沌(chaos).第24頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三Feigenbaum 圖 設(shè) f(x) 是定義在實(shí)數(shù)域上的實(shí)值函數(shù)，如果存在 x*，使得 f(x*)=x*，則稱 x*為 f(x) 不動(dòng)點(diǎn). 如果所有附近的點(diǎn)在迭代過(guò)程中都趨于某個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則稱該不動(dòng)點(diǎn)為吸引點(diǎn)，或稱為穩(wěn)定點(diǎn)；如果所有附近的點(diǎn)在迭代過(guò)程中都遠(yuǎn)離它而去，則稱該項(xiàng)點(diǎn)為排斥點(diǎn)(不穩(wěn)定點(diǎn)). 如果 f(a1)=a2, f(a2)=a3, , f(ak)=a1,并且 aj a1, j=2,3, ,

21、 k, 則a1, a2, , ak 構(gòu)成一個(gè)k-循環(huán). a1稱為k-周期點(diǎn)，a1, a2, , ak 稱為一個(gè)k-周期軌道. 為了觀察 r 對(duì)迭代格式 an+1=r an(1- an) 的影響，將區(qū)間(0,4以步長(zhǎng)r 離散化. 對(duì)每個(gè)離散的 r 值進(jìn)行迭代，忽略前50個(gè)迭代值，把點(diǎn)(r, a51),(r, a52), , (r, a100)顯示在坐標(biāo)平面上. 這樣形成的圖形稱為Feigenbaum圖, 它反映了混沌與分叉的基本特性.第25頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三 Feign_,x0_:= Moduleplist=,a,i,temp,pilist=, Fora=1,a=n,a+,temp=x0;plist=; Fori=1,i=50,i+,temp=4*a*temp(1-temp)/n; Fori=51,i RGBColor1,0,0,PointSize0.008, DisplayFunction-Identity; Showpilist,DisplayFunction-$DisplayFunction; Feig500,0.2;第26頁(yè)，共2