高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)大全完美打印版

1、高等教學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)大會(huì)完美打印板Coca-cola standardization office ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-高等數(shù)學(xué)基本知識(shí)點(diǎn)一、函數(shù)與極限1、集合的概念一般地我們把研窕對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合（簡(jiǎn)稱集）。集合具有確定性（給定集合的元素必 須是確定的）和互異性（給定集合中的元素是互不相同的）.比如“身材較高的人”不能構(gòu)成集合，因?yàn)樗脑夭皇谴_ 定的。我們通常用大字拉丁字母A、B、C、表示集合，用小寫(xiě)拉丁字母a、b c表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就說(shuō)a屬于A.記作：aA.否則就說(shuō)a不屬于A,記作：a A。（D、全體非負(fù)整數(shù)

2、組成的集合叫做非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）。記作N（2）、所有正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集。記作V或（3）、全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)條。記作Z。（力、全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集。記作必（5）、全體實(shí)數(shù)組成的集合叫做實(shí)數(shù)集。記作R。集合的表示方法（1）、列舉法：把集合的元素一一列舉出來(lái)，并用“ ） ”括起來(lái)表示集合（2）、描述法：用集合所有元素的共同特征來(lái)表示集合。集合間的基本關(guān)系（1）.子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A、B,如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，我們就說(shuō)A、B有包含關(guān) 系，稱集合A為集合B的子集，記作A B （或B A） 。相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A

3、的子集，此時(shí)集合A中的元素與集合B中的元素完全一樣， 因此集合A與集合B相等，記作A=B。（3）、其子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一個(gè)元素屬于B但不屬于A,我們稱集合A是集合B的真子集。（力、空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集。記作 ，并規(guī)定，空集是任何集合的子集。（5）、由上述集合之間的基本關(guān)系，可以得到下面的結(jié)論：、任何一個(gè)集合是它本身的子集。即A A、對(duì)于集合A、B、C,如果A是B的子集，B是C的子集，則A是C的子集。、我們可以把相等的集合叫做“等集”，這樣的話子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本運(yùn)算（D、并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合稱為A與

4、B的并集c記作AUBc （在求并集 時(shí)，它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次。）即 AUB= x xEA,或xB。（2）、交集：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合稱為A與B的交集記作AAB.即 AAB= x xA, MxB。、補(bǔ)集：全集：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問(wèn)題中所涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集。通常記作U。補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合A,由全集C中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集C的補(bǔ)集。簡(jiǎn)稱為 集合A的補(bǔ)集，記作CuA。即 CvA= x|xU,且 x A）。集合中元素的個(gè)數(shù)（1）、有限集：我們把含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集，含有無(wú)限個(gè)元素的

5、集合叫做無(wú)限集。、用card來(lái)表示有限集中元素的個(gè)數(shù)。例如A= a,b,c,則card（A）=30、一般地，對(duì)任意兩個(gè)集合A、B,有card （A） +card （B） =card （A U B） -card （A A B）我的問(wèn)題：1、學(xué)校里開(kāi)運(yùn)動(dòng)會(huì)，設(shè)4=x x是參加一百米跑的同學(xué)），B=心民是參加二百米跑的同學(xué) , C=是參加四百米跑的同學(xué)。學(xué)校規(guī)定，每個(gè)參加上述比賽的同學(xué)最多只能參加兩項(xiàng)，請(qǐng)你用集合的運(yùn)算說(shuō)明這項(xiàng)規(guī)定，并解釋以下 集合運(yùn)算的含義。、AUB：、ADBo2、在平面直角坐標(biāo)系中,集合C=(x,y)|尸0表示直線y=，從這個(gè)角度看,集合D= (x, y) |方程組：2工- 產(chǎn)l

6、,x+4y=5表示什么集合C、D之間有什么關(guān)系請(qǐng)分別用集合語(yǔ)言和幾何語(yǔ)言說(shuō)明這種關(guān)系。3、已知集合A二x 1WxW3, B=x (x-1) (x-a)=0)o試判斷B是不是A的子集是否存在實(shí)數(shù)a使A=B成立4、對(duì)于有限集合A、B、C,能不能找出這三個(gè)集合中元素個(gè)數(shù)與交集、并集元素個(gè)數(shù)之間的關(guān)系呢5、無(wú)限集合4=(1, 2, 3, 4,，n, B= 2, 4, 6, 8,，2n,你能設(shè)計(jì)一種比較這兩個(gè)集合中元 素個(gè)數(shù)多少的方法嗎2、常量與變量(1).變量的定義：我們?cè)谟^察某一現(xiàn)象的過(guò)程時(shí)，常常會(huì)遇到各種不同的量，其中有的量在過(guò)程中不起變化，我們把 其稱之為常量：有的量在過(guò)程中是變化的，也就是可以

7、取不同的數(shù)值，我們則把其稱之為變量,注：在過(guò)程中還有一種 量，它雖然是變化的，但是它的變化相對(duì)于所研究的對(duì)象是極其微小的，我們則把它看作常生。(2)、變量的表示：如果變量的變化是連續(xù)的，則常用區(qū)間來(lái)表示其變化范圍。在數(shù)軸上來(lái)說(shuō)，區(qū)間是指介于某兩點(diǎn)之 間的線段上點(diǎn)的全體。區(qū)間的名稱區(qū)間的滿足的不等式區(qū)間的記號(hào)區(qū)間在數(shù)軸上的表示閉區(qū)間aWxWba, blJ2X開(kāi)區(qū)間axb(a, b)i abX半開(kāi)區(qū)間aVxWb 或 aWxVb(a, b或a, b)i1*X0b 4iabX以上我們所述的都是有限區(qū)間,除此之外，還有無(wú)限區(qū)間：a, +8)：表示不小于a的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：aWxV+8：(-8, b

8、)：表示小于b的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：-ooxb;(-8,表示全體實(shí)數(shù)，也可記為：-80 ,滿足不等式lx-a I i5-緒：不論又為何值,y總為正數(shù)；b):當(dāng) x=0 時(shí)，y=l.對(duì)數(shù)函數(shù)y=iogax(a09 2 1)1al 一一 /:當(dāng)al時(shí),在區(qū)間(0,1)的值為負(fù);在區(qū) 間(一,+8)的值為正：在定義域內(nèi)單調(diào)增.器函數(shù) =為任意實(shí)數(shù)1這里只面 J = aI產(chǎn)XO 1出部分函數(shù)圖形的一部 分。令 a=m./na）:當(dāng)m為偶數(shù)n為奇數(shù)時(shí),y是偶函數(shù)； b）:當(dāng)m.n都是奇數(shù)時(shí),y是奇函數(shù)；c）:當(dāng)m奇n偶時(shí),y在（-8, 0）無(wú)意義.三角函數(shù)沙41nx （正弦函數(shù)） 這里只寫(xiě)出r正弦函數(shù)

9、1-七一工y = sin. x天7 一底、/2北*a）：正弦函數(shù)是以27為周期的周期函數(shù) b）：正弦函數(shù)是奇函數(shù)且卜-1反三角函數(shù)y = arcsinN （反正弦函數(shù)） 這里只寫(xiě)出了反正弦函數(shù)_*4 r1）廣1a）：由于此函數(shù)為多值函數(shù)，因此我們此函數(shù) 值限制在一/2,7/2上，并稱其為反正弦 函數(shù)的主值.、初等函數(shù)：由基木初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的有理運(yùn)算及有限次的函數(shù)更合所產(chǎn)生并且能用一個(gè)解析式表出的函數(shù)稱為初等函數(shù).例題：y = 2+山（彳彈是初等函數(shù)。7、雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)（Dx雙曲函數(shù)：在應(yīng)用中我們經(jīng)常遇到的雙曲函數(shù)是：（用表格來(lái)描述）函數(shù)的名 稱函數(shù)的表達(dá)式函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)雙

10、曲正弦0 e shx=2JZ巾y=shx/4a）：其定義定為：（-8,+8）：b）：是奇函數(shù)：c）：在定義域內(nèi)是玳調(diào)增雙曲余弦?，十婷 ckx=2a）：其定義域?yàn)椋海?8,+8）：b）：是偶函數(shù)：c）：其圖像過(guò)點(diǎn)（0,1）:雙曲正切而=-十0T1小1 _ ,Xy=thx -1a）：其定義域?yàn)椋海?8,+8）：b）：是奇函數(shù)：c）：其圖形夾在水平直線廣1及尸-1之間：在定域內(nèi)單調(diào)增：我們?cè)賮?lái)看一下雙曲函數(shù)與三角函數(shù)的區(qū)別:雙曲函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)ff/fO = 0,cb0= 1,第0 = 0sin 0 = 0cqs 0 = 1, tan 0 = 0shX與thx是奇函數(shù)，chx是偶函數(shù)sin

11、x與tanx是奇函數(shù)，cosx是偶函數(shù)或,一 sx = isin 2 x + cos2 = 1它們都不是周期函數(shù)都是周期函數(shù)雙曲函數(shù)也有和差公式: y） = shxchychxshy y） = chxchy s雨 shy、而土加y圾原土y）=:thxthy、反雙曲函數(shù)：雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù).a）：反雙曲正弦函數(shù)+1）其定義域?yàn)?（_8,+8）：b）：反雙曲余弦函數(shù)即加二1na+夜口）其定義域?yàn)椋嚎?+8）：C）：反雙曲正切函數(shù)arthTiC）：反雙曲正切函數(shù)arthTi 二 lh21 + al-x其定義域?yàn)椋?、數(shù)列的極限我們先來(lái)回憶一下初等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的數(shù)列的概念。（1）、數(shù)列：若按

12、照一定的法則，有第一個(gè)數(shù)船,第二個(gè)數(shù)條，依次排列下去，使得任何一個(gè)正整數(shù)n對(duì)應(yīng)著一個(gè) 確定的數(shù)為，那末，我們稱這列有次序的數(shù)小，比，為數(shù)列.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)。第n項(xiàng)a“叫做數(shù) 列的一般項(xiàng)或通項(xiàng).注：我們也可以把數(shù)列亂看作門變/為E整數(shù)n的函數(shù)，即：心=/（用）,它的定義域是全體正整數(shù)（2）、極限：極限的概念是求實(shí)際問(wèn)題的精確解答而產(chǎn)生的。例：我們可通過(guò)作圓的內(nèi)接正多邊形，近似求出圓的面積。設(shè)有一例，首先作圓內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為加：再作圓的內(nèi)接正十二邊形，其面積記為生：再作例的內(nèi)接正 二十四邊形，其面積記為出：依次循下去（一般把內(nèi)接正6X2一邊形的面積記為AJ可得一系列內(nèi)接正

13、多邊形的面積：心, Ac. A，An,，它們就構(gòu)成一列有序數(shù)列。我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)，An也無(wú)限接近某一 確定的數(shù)值（圓的面積）,這個(gè)確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上被稱為數(shù)列而，生,h,An,當(dāng)n-8（讀作、趨近于無(wú)窮大）的 極限。注：上面這個(gè)例子就是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元三世紀(jì)）的割忸術(shù)。（3）、數(shù)列的極限：一股地，對(duì)于數(shù)列五來(lái)說(shuō)，若存在任意給定的正數(shù) （不論其多么?。?，總存在正 整數(shù)N,使得對(duì)于nN時(shí)的一切五期不等式卜國(guó)一以都成立，那末就稱常數(shù)a是數(shù)列的極限，或者稱數(shù)列期收斂 于a.記作：蚓或覆7。TOO）注：此定義中的正數(shù)e只有任意給定，不等式k國(guó) 一長(zhǎng)才能表達(dá)出期與a無(wú)限

14、接近的意思。且定義中的正整數(shù) N與任意給定的正數(shù)是有關(guān)的，它是隨著E的給定而選定的。、數(shù)列的極限的幾何解釋：在此我們可能不易理解這個(gè)概念，下而我們?cè)俳o出它的一個(gè)幾何解釋，以使我們能理解 它數(shù)列/8極限為a的一個(gè)幾何解釋：將常數(shù)a及數(shù)列勺7,77在數(shù)軸上用它們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)表示出來(lái)，再在數(shù)軸 上作點(diǎn)a的e鄰域即開(kāi)區(qū)間（a-E , a+）,如下圖所示：2e一志二二機(jī)二二；：鑼 3 詢 Xp.j4-1際+3啪+2 x2 x3 r因不等式k 一K與不等式。等價(jià)，故當(dāng)nN時(shí)，所有的點(diǎn)/都落在開(kāi)區(qū)間（ar , a+C 內(nèi)，而只有有限個(gè)（至多只有N個(gè)）在此區(qū)間以外。注：至于如何求數(shù)列的極限，我們?cè)谝院髸?huì)學(xué)習(xí)到，這

15、里我們不作討論。（5）、數(shù)列的有界性：對(duì)于數(shù)列入*,若存在者正數(shù)M.使得一切無(wú)*都滿足不等式| WM,則稱數(shù)列入*是有界的，若正數(shù)M不存在，則可說(shuō)數(shù)列是無(wú)界的。定理：若數(shù)列及加收斂，那末數(shù)列及。一定有界。注：有界的數(shù)列不一定收斂，即：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。例：數(shù)列1，T，1, -1，, （-1）1,是有界的，但它是發(fā)散的。9、函數(shù)的極限前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限，已經(jīng)知道數(shù)列可看作一類特殊的函數(shù),即自變量取1-8內(nèi)的正整數(shù)，若自變量不再限 于正整數(shù)的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數(shù)。下而我們來(lái)學(xué)習(xí)函數(shù)的極限.函數(shù)的極值有兩種情況：a）：自變量無(wú)限增大：b）：自變量無(wú)限接近

16、某一定點(diǎn)注，如果在這時(shí)，函數(shù)值無(wú)限接近于某 一常數(shù)A,就叫做函數(shù)存在極值。我們已知道函數(shù)的極值的情況，那么函數(shù)的極限如何呢下面我們結(jié)合著數(shù)列的極限來(lái)學(xué)習(xí)一下函數(shù)極限的概念！、函數(shù)的極限（分兩種情況）a）：自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限定義：設(shè)函數(shù)y=/Q）,若對(duì)于任意給定的正數(shù)e（不論其多么小），總存在著正數(shù)x,使得對(duì)于適介不等式kA*的一切X.所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值/S）都滿足不等式 _外611m 工）=月那末常數(shù)A就叫做函數(shù)丁 一 犯當(dāng)工一8時(shí)的極限，記作：29下面我們用表格把函數(shù)的極限與數(shù)列的極限對(duì)比一下：數(shù)列的極限的定義函數(shù)的極限的定義存在數(shù)列64 =/（*）與常數(shù)A,任給一正數(shù)e0,總可 找到

17、一正整數(shù)N,對(duì)于nN的所有期都滿足卜* 一劃 o,總可找到一正數(shù)x,對(duì)于適合卜卜”的一切，都 滿足/-z,函數(shù)y = / W當(dāng)x-8時(shí)的lim f（x） = A極限為A,記：-9o1M11 1 1 1 1 1fcu.F W0 售.科從上表我們發(fā)現(xiàn)/什么試思考之b）:自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限。我們先來(lái)看一個(gè)例子.例:/w= 函數(shù)例:/w= 函數(shù)當(dāng)X-1時(shí)函數(shù)值的變化趨勢(shì)如何函數(shù)在x=l處無(wú)定義.我們知道對(duì)實(shí)數(shù)來(lái)講，在數(shù)軸上任何一個(gè)有限的范圍內(nèi)，都有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，為此我們把X-1時(shí)函數(shù)值的變化趨勢(shì)用表列出，如下圖:XI-0.9 0.99 0.999- I1I- 1.001 1.01 1.1 -

18、f00-1.9 1.99 1.99972.001 2.01 2.1 -從中我們可以看出x-1時(shí)，/5）-2而且只要x與1有多接近，/（了）就與2有多接近.或說(shuō)：只要了）與2只 差一個(gè)微型*就一定可以找到一個(gè)6.當(dāng)卜16時(shí)滿足卜（幻-21V6定義：設(shè)函數(shù),（工）在某點(diǎn)右的某個(gè)去心 鄰域內(nèi)有定義，且存在數(shù)A,如果對(duì)任意給定的2 （不論其多么小），總存在正數(shù)6,當(dāng)0仔一句10：b）：寫(xiě)出不等/-劃c）：解不等式能否得出去心鄰域0.一兩6,若能:d）：則對(duì)于任給的0,d）：則對(duì)于任給的0,總能找出6,當(dāng)0卜-十o對(duì)于這個(gè)分段函數(shù),x從左趨于o和從右趨于o時(shí)函數(shù)極限是不相同的.為此我們定義r左、右極限的

19、概念。定義：如果x僅從左側(cè)aux。）趨近工c時(shí)，函數(shù)與常量a無(wú)限接近，則稱a為函數(shù)當(dāng)羌”飛時(shí)的左極lim（元）二A 限.記：如果x僅從右側(cè)（xXo）趨近右時(shí)，函數(shù)與常量A無(wú)限接近,則稱A為函數(shù)/5）當(dāng)五.甘時(shí)的右極限.記:注：只有當(dāng)x-x。時(shí)，函數(shù)的左、右極限存在且相等，方稱/（五）在時(shí)有極限函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則準(zhǔn)則一：對(duì)于點(diǎn)治的某一鄰域內(nèi)的一切工，工。點(diǎn)本身可以除外（或絕對(duì)值大于某一正數(shù)的一切a有g(shù)/g/J黑gW二工lim h(x) = A XT那末不7勒存在，且等于A注：此準(zhǔn)則也就是夾逼準(zhǔn)則.準(zhǔn)則二：?jiǎn)握{(diào)有界的函數(shù)必有極限. 注：有極限的函數(shù)不一定單調(diào)有界 兩個(gè)重要的極限hmd =電Xfgv

20、注：其中e為無(wú)理數(shù)，它的值為:v sin x r lim= 1x x 注：在此我們對(duì)這兩個(gè)重要極限不加以證明.注：我們要牢記這兩個(gè)重要極限，在今后的解題中會(huì)經(jīng)常,用到它們.例題：求-x解答：令 2 ,則x=-2t,因?yàn)閄8,故t-*8,9111貝 |J*f9X XT9 I *T9 t 19 t注：解此類型的題時(shí)，一定要注意代換后的變量的趨向情況，象工8時(shí)，若用t代換1/x,則t-0.無(wú)窮大量和無(wú)窮小量無(wú)窮大量我們先來(lái)看一個(gè)例子：外、一1JR 二 -I”0I8已知函數(shù)X，W|X-O時(shí)，可知 V ”,我們把這種情況稱為趨向無(wú)窮大。為此我們可定義如下：設(shè)有函數(shù)尸/S），在K=xo的去心鄰域內(nèi)有定義，

21、對(duì)于任意給定的正數(shù)M一個(gè)任意大的數(shù)3總可找到正數(shù)5,當(dāng)好湎|3時(shí)，汝琲從成立,則稱函數(shù)當(dāng)勺時(shí)為無(wú)窮大量，Em / （a） = co記為： -L（表示為無(wú)窮大量，實(shí)際它是沒(méi)有極限的）同樣我們可以給出當(dāng)X-8時(shí)，,3）無(wú)限趨大的定義：設(shè)有函數(shù)產(chǎn),5）,當(dāng)X充分大時(shí)有定義，對(duì)于任意給定的 正數(shù)m一個(gè)任意大的數(shù)），總可以找到正數(shù)m當(dāng)卜時(shí)，成立，則稱函數(shù)當(dāng)x-8時(shí)是無(wú)窮大量，記lim f（x） = co為： 無(wú)窮小量以零為極限的變量稱為無(wú)窮小量。定義：設(shè)有函數(shù)對(duì)于任意給定的正數(shù)e （不論它多么小3總存在正數(shù)6（或正數(shù)勵(lì)，使得對(duì)于適合不等式 ,卜一如K （或卜吃的一切不所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值滿足不等式/口，則稱函

22、數(shù)/勺（或x-8） 時(shí)為無(wú)窮小量.lim/（無(wú)）=011m /-0記作：（或 f ）注意：無(wú)窮大量與無(wú)窮小屋都是一個(gè)變化不定的量，不是常殳，只有?？勺鳛闊o(wú)窮小量的唯一常量。無(wú)窮大量與無(wú)窮 小量的區(qū)別是：前者無(wú)界，后者有界，前者發(fā)散，后者收斂于0.無(wú)窮大量與無(wú)窮小量是互為倒數(shù)關(guān)系的.關(guān)于無(wú)窮小量的兩個(gè)定理定理一：如果函數(shù)/（）在7% （或X-8）時(shí)有極限A,則差/。）一8（力是當(dāng)五T X。（或X-8）時(shí)的無(wú)窮小型，反之亦成立。定理二：無(wú)窮小型的有利運(yùn)算定理a）：有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍是無(wú)窮小量：b）：有限個(gè)無(wú)窮小量的積仍是無(wú)窮小量：c）：常數(shù)與無(wú)窮小量的積也是 無(wú)窮小量.無(wú)窮小量的比較通過(guò)前面

23、的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道，兩個(gè)無(wú)窮小量的和、差及乘積仍舊是無(wú)窮小.那么兩個(gè)無(wú)窮小型的商會(huì)是怎樣的呢好！ 接下來(lái)我們就來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，這就是我們要學(xué)的兩個(gè)無(wú)窮小量的比較。定義：設(shè)a，B都是五時(shí)的無(wú)窮小型，且P在工。的去心領(lǐng)域內(nèi)不為零，lim = 0a）：如果*,則稱是B的高階無(wú)窮小或B是a的低階無(wú)窮小：lim = c。0b）：如果尸,則稱a和0是同階無(wú)窮?。簂im = 1c）：如果.則稱a和P是等價(jià)無(wú)窮小，記作：asp （。與0等價(jià)）K 111H1 =-例：因?yàn)閟3左 3,所以當(dāng)工一。時(shí)，工與3工是同階無(wú)窮小：lim = 0因?yàn)?。3不，所以W|X-O時(shí)，-是3x的高階無(wú)窮小：sin刀 r lim =

24、 1因?yàn)椤皌 X ,所以當(dāng)其一0時(shí)，sinx與x是等價(jià)無(wú)窮小。等價(jià)無(wú)力小的性偵ac a . alim lim =lim 設(shè)aSS：且少存在則 葭注：這個(gè)性質(zhì)表明：求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，分子及分母都可用等價(jià)無(wú)窮小來(lái)代替，因此我們可以利用這個(gè)性質(zhì) 來(lái)簡(jiǎn)化求極限問(wèn)題。 sin axlim例題：1,求han玩r sin ax ax alim= lim =解答：當(dāng)x-*0時(shí)，sin2sw, tanbxbxt故：- t加力工出 力r tan. a - sin alimr例題：2,求tan 3x=limx0154tan x - sin tan x(l - cosx) lim= lim=limx0154短

25、粒 日o tai? 3 矛tai?%cos x = 2 sin 2 CO2(-)2 =注：222注：從這個(gè)例題中我們可以發(fā)現(xiàn)，作無(wú)窮小變換時(shí)，要代換式中的某一項(xiàng)，不能只代換某個(gè)因子。函數(shù)的一重要性質(zhì)連續(xù)性在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，植物的生長(zhǎng)等都是連續(xù)地變化著的這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映，就是函數(shù) 的連續(xù)性在定義函數(shù)的連續(xù)性之前我們先來(lái)學(xué)習(xí)一個(gè)概念增量設(shè)變量工從它的一個(gè)初值也變到終值此,終值與初值的差k-X：就叫做變量X的增量,記為：Cx即：增量 Ax可正可負(fù).我們?cè)賮?lái)看一個(gè)例子：函數(shù)沙= /（）在點(diǎn)選的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量X在領(lǐng)域內(nèi)從右變到xo-Cx時(shí)，函數(shù)y相 應(yīng)地從/（/）變到

26、?。ㄊ? 其對(duì)應(yīng)的增量為:切=/（耳+用）一（/）這個(gè)關(guān)系式的幾何解糕如下圖:這個(gè)關(guān)系式的幾何解糕如下圖:現(xiàn)在我們可對(duì)連續(xù)性的概念這樣描述：如果當(dāng)力工趨向于零時(shí)，函數(shù)y對(duì)應(yīng)的增量Ay也趨向于零，即:lim Ay = 0門、州4,那末就稱函數(shù)丁 一 7在力,w處連函數(shù)連續(xù)性的定義:設(shè)函數(shù)y=/s）在點(diǎn)我的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果有黑）稱函數(shù)丁=/回）在點(diǎn)刈處連續(xù)，且稱 工。為函數(shù)的沙=/a）的連續(xù)點(diǎn).下面我們結(jié)合著函數(shù)左、右極限的概念再來(lái)學(xué)習(xí)一下函數(shù)左、右連續(xù)的概念：設(shè)函數(shù)/S）在區(qū)間（a b內(nèi)有定義，如limjjjQ果左極限不會(huì)-。,存在且等于即：-0=）,那末我們就稱函數(shù)/阮）在點(diǎn)b左連續(xù).

27、設(shè)函數(shù)lim 力/（力/（外在區(qū)間凡b）內(nèi)有定義，如果右極限不-叱0,存在且等于/S）,即：不今足鈍:/（）,那末我們就稱函數(shù) /5）在點(diǎn)a右連續(xù).一個(gè)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間（a, b）內(nèi)每點(diǎn)連續(xù)，則為在b）連續(xù)，若又在a點(diǎn)右連續(xù)，b點(diǎn)左連續(xù)，則在閉區(qū)間a, b連續(xù)，如 果在整個(gè)定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為連續(xù)函數(shù)。注：一個(gè)函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點(diǎn)左、右都連續(xù)，則稱函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)，否則在此點(diǎn)不連續(xù).注：連續(xù)函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。通過(guò)上面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性（ 同時(shí)我們可以想到若函數(shù)在某一點(diǎn)要是不連續(xù)會(huì)出現(xiàn)什么情形呢接著 我們就來(lái)學(xué)習(xí)這個(gè)問(wèn)題：函數(shù)的間斷點(diǎn)定義：我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性的點(diǎn)稱之為

28、間斷點(diǎn).它包括三種情形：a）： /在也無(wú)定義：b）: /（）在工一工。時(shí)無(wú)極限：c）： /S）在X-X。時(shí)有極限但不等于,（“0）：下面我們通過(guò)例題來(lái)學(xué)習(xí)一下間斷點(diǎn)的類型： TOC o 1-5 h z 若在_ . X X _lim tan z = co例1：正切函數(shù)尸=工g（2處沒(méi)有定義，所以點(diǎn) 2是函數(shù)lim tan z = co在x = ,我們就稱2為函數(shù)y=taftX的無(wú)窮間斷點(diǎn):.1= sin 例2：函數(shù)五在點(diǎn)工;0處沒(méi)有定義：故當(dāng)工一0時(shí)，函數(shù)值在-1與之間變動(dòng)無(wú)限多次,我們就稱點(diǎn)工;0叫1= sin 做函數(shù)五的振蕩間斷點(diǎn);-0/ （x） = 0, x = 0y 1 置0Em f（x

29、） = -1 lim / （x） = 1例3:函數(shù)1當(dāng)工一0時(shí)，左極限IF,右極限，從這我們可以看出函數(shù)左、右極限雖然都存在，但不相等，故函數(shù)在點(diǎn)x=0是不存在極限。我們還可以發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)x=0時(shí)，函數(shù)值產(chǎn)生跳間斷點(diǎn)的分類間斷點(diǎn)的分類我們通常把間斷點(diǎn)分成兩類：如果我是函數(shù),（X）的間斷點(diǎn)，且其左、右極限都存在，我們把M稱為函數(shù)/（=）的第 一類間斷點(diǎn)：不是第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱為第二類間斷點(diǎn).可去間斷點(diǎn)一、lim / （x）外、若X。是函數(shù)J W的間斷點(diǎn)，但極限不7勒存在，那末X。是函數(shù)J W的第一類間斷點(diǎn)。此時(shí)函數(shù)不連續(xù)原因酷 /（外 ）了 /（x0）= lim /Wf（.是：J1 不存在

30、或者是存在但I(xiàn)。 二I 乙我們令 ,則可使函數(shù)）在點(diǎn)工。處連續(xù)，故這種間斷點(diǎn)也稱為可去間斷點(diǎn)。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的和、積、商的連續(xù)性我們通過(guò)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義和極限的四則運(yùn)算法則，可得出以下結(jié)論：a）：有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)：b）：有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的乘積是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)：c）：兩個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的商是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)（分母在該點(diǎn)不為零）： 反函數(shù)的連續(xù)性若函數(shù)y=s）在某區(qū)間上單調(diào)增（或玳調(diào)減）且連續(xù)，那末它的反函數(shù)方=（）也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)增（單調(diào) 減）且連續(xù)例：函數(shù) =$刃在閉區(qū)間 2 2上單.調(diào)增且連續(xù)，故它

31、的反函數(shù)yn紂csin x在閉區(qū)間H,i上也是單調(diào) 增且連續(xù)的。復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性N一血1am叭琦二a V-/位）吃大可初二/設(shè)函數(shù)W當(dāng)時(shí)的極限存在且等于a,即：不3砧.而函數(shù)h一 J 口）在點(diǎn)u:a連續(xù)，那末復(fù)合 函數(shù)二力。（初I當(dāng)乂一治時(shí)的極限也存在且等于/（）.即:吃大可初二/lim cos(l 4- 例題：求11MBEm cos(l+ xY = coslim 1 + 工)，=cose 解答：1 1注：函數(shù)y = CK1+X）”可看作8,口與 =（1 + 尸且合而成，且函數(shù)=8*在點(diǎn)u=e連續(xù)，因此可 得出上述結(jié)論。設(shè)函數(shù)”留在點(diǎn)r連續(xù)，且爪/）=%,而函數(shù)丁=/（叫匕點(diǎn),u=u0連續(xù)，那

32、末夏合函數(shù)尸=力貝刈 在點(diǎn)x:xo也是連續(xù)的初等函數(shù)的連續(xù)性通過(guò)前面我們所學(xué)的概念和性質(zhì)，我們可得出以下結(jié)論：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的；一切初等函數(shù) 在其定義域內(nèi)也都是連續(xù)的.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)則是在其連續(xù)區(qū)間的左端點(diǎn)右連續(xù)，右端點(diǎn)左連續(xù),對(duì)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有幾條重要的性質(zhì)， 下面我們來(lái)學(xué)習(xí)一下：最大值最小值定理：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值。（在此不作證明）例：函數(shù)尸sinx在閉區(qū)間0, 2冗上連續(xù)，則在點(diǎn)工=兀/2處，它的函數(shù)值為1,且大于閉區(qū)間0, 2n上其它各點(diǎn) 出的函數(shù)值：則在點(diǎn)x=3/2處，它的函數(shù)值為-1,且小于閉區(qū)間0, 2滅

33、上其它各點(diǎn)出的函數(shù)值。介值定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定取得介于區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值間的任何值。即：/（痣）= &/）= , 在 。、P之間，則在a, b間一定有一個(gè)g ,使/& =推論：在閉區(qū)間連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值最小值之間的任何值。二、導(dǎo)致與微分導(dǎo)數(shù)的概念在學(xué)習(xí)到數(shù)的概念之前，我們先來(lái)討論一下物理學(xué)中變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度的問(wèn)題。例：設(shè)一質(zhì)點(diǎn)沿X軸運(yùn)動(dòng)時(shí), 其位置X是時(shí)間t的函數(shù)，了=/5）,求質(zhì)點(diǎn)在to的瞬時(shí)速度我們知道時(shí)間從to有增量時(shí).質(zhì)點(diǎn)的位置有增量這就是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段At的位移。因此，在此段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速度為:,若質(zhì)點(diǎn)是勻速運(yùn)動(dòng)的則這就是在to的瞬時(shí)速度，若質(zhì)點(diǎn)是非勻速直線運(yùn)

34、動(dòng)，則這還不是質(zhì)點(diǎn)在tc時(shí)的瞬時(shí)速度。我們認(rèn)為當(dāng)時(shí)間段無(wú)限地接近于。時(shí)，此平均速度會(huì)無(wú)限地接近于質(zhì)點(diǎn)to時(shí)的瞬時(shí)速度，即：質(zhì)點(diǎn)在rAxInti = lnn 。時(shí)的瞬時(shí)速度&世一 &為此就產(chǎn)生r導(dǎo)數(shù)的定義，如下：導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)=/（）在點(diǎn)山的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在X0處有煙生xG，工也在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量a=/（瓦+小）一/6。），若Ay與之比當(dāng)x-o時(shí)極限存在，則稱這個(gè)極限值為y=/s）在之處的導(dǎo)數(shù).記為：a f還可記為：小函數(shù)/）在點(diǎn)X。處存在導(dǎo)數(shù)簡(jiǎn)稱函數(shù),（入）在點(diǎn)心處可導(dǎo)，否則不可導(dǎo)。若函數(shù),（了）在區(qū)間（氏m內(nèi)每一點(diǎn)都可 導(dǎo)，就稱函數(shù)/S）在區(qū)間（a, b）內(nèi)可

35、導(dǎo)。這時(shí)函數(shù)=/（）對(duì)于區(qū)間b）內(nèi)的每一個(gè)確定的工值，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定 的導(dǎo)數(shù),這就構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們就稱這個(gè)函數(shù)為原來(lái)函數(shù)y=/（）的導(dǎo)函數(shù)。注：導(dǎo)數(shù)也就是差商的極限左、右導(dǎo)數(shù)r Ar11IY1 前而我們有左、右極限的概念，導(dǎo)數(shù)是差商的極限，因此我們可以給出左、右導(dǎo)數(shù)的概念。若極限如7曠不存 在，我們就稱它為函數(shù)二/（“）在x=x處的左導(dǎo)數(shù)。若極限螞 &存.在,我們就稱它為函數(shù)=在x=x0處的 右導(dǎo)數(shù)：注：函數(shù)丁=/（、）在右處的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是函數(shù)丁=/（X）在益處的可導(dǎo)的充分必要條件函數(shù)的和、差求導(dǎo)法則函數(shù)的和差求導(dǎo)法則法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的和（差）的導(dǎo)數(shù)等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和（

36、差）.用公式可寫(xiě)為：（土二w.其中 U、V為可導(dǎo)函數(shù)。 TOC o 1-5 h z + x5 4-7例題：已知 X,求Ty =（勺 + （/）4（7丫 = -1二 +5/ +0 =馬 + 5/解答： XX例題：已知二2+ V，求產(chǎn)yf = （sin （log 廿 += cosx -5 十 解答：出。函數(shù)的積商求導(dǎo)法則常數(shù)與函數(shù)的積的求導(dǎo)法則法則：在求一個(gè)常數(shù)與一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)時(shí)，常數(shù)因子可以提到求導(dǎo)記號(hào)外而去。用公式可寫(xiě)成:例題：已知尸3例犬+4，求仍 y = (3sin.力+ (4/) = 3(sin x)f +4(/) = 3 cos x + 4 - 2x = 3cos x + 8

37、x解合：函數(shù)的積的求導(dǎo)法則法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)因子，加上第一個(gè)因子乘第二個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)。用公式 可寫(xiě)成：(遼日二遼十3例題：已知/(乃=小血勺求/S)/(x)f = (J7)sin 元十.6(sin x)f = -=-sin x 十Ccosx解答：2m注：若是三個(gè)函數(shù)相乘,則先把其中的兩個(gè)看成一項(xiàng)c函數(shù)的商的求導(dǎo)法則法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)之商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母導(dǎo)數(shù)乘積減去分母導(dǎo)數(shù)與分子導(dǎo)數(shù)的乘積，在除以分母導(dǎo)數(shù)的(y _一江？平方。用公式可寫(xiě)成：n v2例題：已知/。)= .七求解答：/ zsin (sin x)f cos x - sin x(cos x)

38、r cos2 x +sin 2 x 10/W = (tm x)r =(y =、2_:- = secCOSXCOS XCOS X COS X任合函數(shù)的求導(dǎo)法則在學(xué)習(xí)此法則之前我們先來(lái)看一個(gè)例子！例題：求Gm 2寸二解答：由于(smx)r=cosx,故(sg2i) = cos2x這個(gè)解答正確嗎這個(gè)解答是錯(cuò)誤的，正確的解答應(yīng)該如下：(sm 2/) = (2 sin acos 矛) =2(sin A)fcosa + sm xcos =2cos 2a我們發(fā)生錯(cuò)誤的原因是Gm 2才)是對(duì)自變量X求導(dǎo)，而不是對(duì)2x求導(dǎo)。下面我們給出更合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則規(guī)則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)豆合而成的豆合函數(shù)的導(dǎo)

39、數(shù)等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘上中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)。用公式表 示為：dy _dy dudx da dx t其中u為中間變量例題：已知y 1n0,求以解答：設(shè)笈=sin無(wú)，則V = sin彳可分解為尸二以，X二sin久閑此= = (2)f(sin 工)=2u cos a = 2 sin a cos a = sin 2a dx du dx注：在以后解題中，我們可以中間步驟省去。例題：已知丁 = 1ns1nM求八dy八.71 ,. cos a一 =(In sin x) = (sin x) = -= cot x解答：dxsin xsin x反函數(shù)求導(dǎo)法則根據(jù)反函數(shù)的定義，函數(shù)丁 = /Q）為單調(diào)連續(xù)

40、函數(shù)，則它的反函數(shù)方=卬3 ,它也是單調(diào)連續(xù)的.為此我們可給出 反函數(shù)的求導(dǎo)法則，如下（我們以定理的形式給出）:_r 6 = J-定理：懵=可刃是單別連續(xù)的，呼0 .則它的反函數(shù)丁=/在點(diǎn)x可導(dǎo)，且有：卬3注：通過(guò)此定理我們可以發(fā)現(xiàn)：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。注：這里的反函數(shù)是以y為自變量的，我們沒(méi)有對(duì) 它作記號(hào)變換。即：研同是對(duì)y求導(dǎo)，丁是對(duì)x求導(dǎo)例題：求y = arcsin a的導(dǎo)數(shù).解答：此函數(shù)的反函數(shù)為x = sin y,故/= cosy則:(1 1 1 1、7- - - X COS J/ Jjin 2 y J-/例題：求沙=arctan x的導(dǎo)數(shù).解答：此函數(shù)的反函數(shù)為x =

41、 tany.故/ = sec2 y則:,11 1 1 y =-/ sec 2 y 1+tan 2 y1+ x2高階導(dǎo)數(shù)dsv =我們知道，在物理學(xué)上變速直線運(yùn)動(dòng)的速度v（t）是位置函數(shù)s（t）對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即： 成，而加速度a又是速度v對(duì)時(shí)間速度v對(duì)時(shí)間t的變化率，即速度v對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù):dv _ d (ds、dt di dt色（噸、,或“=包）:這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)成1成叫做s對(duì)t的二階導(dǎo)數(shù)。下面我們給出它的數(shù)學(xué)定義:定義：函數(shù)y=/5）的導(dǎo)數(shù)=仍然是x的函數(shù).我們把=/a）的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)尸=/（、）的二階導(dǎo)d2ydy _ d （dy數(shù)，記作尸或高，即：、“二）或薩一名1募1相應(yīng)地，把丁二/的導(dǎo)

42、數(shù)二尸叫做函數(shù)丁 =/5）的一階導(dǎo)數(shù)類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做四階導(dǎo)數(shù)，一般地（n-D階 導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù).4d 一 d，y分別記作：* ，,或獷，蘇，dx”二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)。由此可見(jiàn)，求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)，所以，在求高階導(dǎo)數(shù)時(shí)可運(yùn)用前 面所學(xué)的求導(dǎo)方法。例題：已知沙二樂(lè)+ Z求”解答：因?yàn)榫臿,故兒0例題：求對(duì)數(shù)函數(shù)丁 =必（1 +芯）的n階導(dǎo)數(shù)。，11 p _ 一2 （4）_ 1-2 3解答二行（1 +獷;-（1+小一（1 +4，出二嚴(yán)善冬一般地，可得0 + K）隱函數(shù)及其求導(dǎo)法則我們知道用解析法表示函數(shù)，可以有不同的形式,若函

43、數(shù)y可以用含自變量X的算式表示，像丫:01抽，廠1-3X等，這 樣的函數(shù)叫顯函數(shù).前面我們所遇到的函數(shù)大多都是顯函數(shù).一股地，如果方程F&,y）=O中，令工在某一區(qū)間內(nèi)任取一值時(shí)，相應(yīng)地總有滿足此方程的y值存在，則我們就說(shuō)方程 F（,y）=O在該區(qū)間上確定/ x的隱函數(shù)y.把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù)的形式，叫做隱函數(shù)的顯化。注：有些隱函數(shù)并不是很 容易化為顯函數(shù)的，那么在求其導(dǎo)數(shù)時(shí)該如何呢下面讓我們來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題！隱函數(shù)的求導(dǎo)立若已知F（*y）=O,求小 時(shí)，一般按下列步驟進(jìn)行求解：a）：若方程F（x,y）=O,能化為沙=/（工）的形式，則用前面我們所學(xué)的方法進(jìn)行求導(dǎo)：b）：若方程F（x,y）=O

44、,不能化為y=）的形式，則是方程兩邊對(duì)x進(jìn)行求導(dǎo)，并把y看成x的函數(shù)丁 =/）， 用更合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行。砂例題：已知+寸一=1,求必解答：此方程不易顯化,故運(yùn)用隱函數(shù)求導(dǎo)法.兩邊對(duì)X進(jìn)行求導(dǎo),.dy j J-2萬(wàn) + 2加-(丁+/) = 0 ,故瓦：2y-x注：我們對(duì)隱函數(shù)兩邊對(duì)X進(jìn)行求導(dǎo)時(shí)，一定要把變量y看成工的函數(shù)，然后對(duì)其利用且合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)。例題：求隱函數(shù)+ 2一元一 3兀=0 ,在乂力處的導(dǎo)數(shù) 1 + 2H，y = y解答：兩邊對(duì)工求導(dǎo)3+2尸-1-2記=0,故l時(shí)，尸0故有些函數(shù)在求導(dǎo)數(shù)時(shí),若對(duì)其直接求導(dǎo)有時(shí)很不方便,像對(duì)某些箱函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)時(shí)，有沒(méi)有一種比較直觀的方法呢

45、下 面我們?cè)賮?lái)學(xué)習(xí)一種求導(dǎo)的方法：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)的法則：根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)的方法,對(duì)某一函數(shù)先取函數(shù)的自然對(duì)數(shù)，然后在求導(dǎo)。注：此方法特別適用于輻 函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題。例題：已知y =求J此題若對(duì)其直接求導(dǎo)比較麻煩.我們可以先對(duì)其兩邊取自然對(duì)數(shù)，然后再把它看成隱函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，就比較簡(jiǎn)便些。 如下解答：先兩邊取對(duì)數(shù)：1n沙=sm ，把其看成隱函數(shù)，再兩邊求導(dǎo)1 f 彳 sin xy = cosxln xH-yx(, sin 工、就了 . sin a_ 砧* y = /(cos x In x +)二元 (cosxln x 4-因?yàn)?=k,所以xxy= /()例題：已知1(L為5-4),求歹此題可用更合

46、函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)，但是比較麻煩，下而我們利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法進(jìn)行求導(dǎo)In y =Ln( x- 1) + ln( j- 2) - ln(x -3) - ln( x-4)解答：先兩邊取對(duì)數(shù)2再兩邊求導(dǎo)11/111、/(一一1)0-2)y 2 x-A x-2 A-3 ”4 因?yàn)?(X為5 4),所以工 Rx-lXx-2) 1125-3)。-4) a-1 x-2 天一3 / 4函數(shù)的微分學(xué)習(xí)函數(shù)的微分之前，我們先來(lái)分析一個(gè)具體問(wèn)題：一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響時(shí)，其邊長(zhǎng)由右變到廣 w+zxx,則此薄片的面積改變r(jià)買少解答：設(shè)此薄片的邊長(zhǎng)為X，面積為A,則A是x的函數(shù)：二犬薄片受溫度變化的影響面積的

47、改變量，可以看成是當(dāng)自變量工從選取的增量時(shí)，函數(shù)A相應(yīng)的增量ZU,即：岫=5 +=從上式我們可以看出，aa分成兩部分，第一部分2。&是的線性函數(shù),即下圖中紅色部分：第二部分（4力。即圖中的黑色部分,當(dāng)x0時(shí),部分,當(dāng)x0時(shí),它是的高階無(wú)窮小，表示為：（A）由此我們可以發(fā)現(xiàn)，如果邊長(zhǎng)變化的很小時(shí),面積的改變量可以近似的用地一部分來(lái)代替。下面我們給出微分的數(shù)學(xué) 定義：函數(shù)微分的定義：設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，治及&+在這區(qū)間內(nèi)，若函數(shù)的增量可表示為3=力&工+。（&0 ,其中A是不依賴于的常數(shù)，（A=是.的高階無(wú)窮小，則稱函數(shù)y = （在點(diǎn).可集的。刃底齊叫做函數(shù) =,（只在點(diǎn)X。相應(yīng)于自變量增量Z

48、x的微分，記作dy,即：力=四先。通過(guò)上面的學(xué)習(xí)我們知道：微分力 是自變量改變量的線性函數(shù),dy與0的差1是關(guān)于Ax的高階無(wú)窮小字二人）量，我們把dy稱作Ay的線性主部。于是我們又得出：當(dāng)x0時(shí)，Aydy.導(dǎo)數(shù)的記號(hào)為： 取,現(xiàn)在我們可以發(fā)現(xiàn)，它不僅表示導(dǎo)數(shù)的記號(hào)，而且還可以表示兩個(gè)微分的比值（把工看成dx,即：定義自變量的增量等于自變量的微 分），還可表示為：由此我們得出：若函數(shù)在某區(qū)間上可導(dǎo)，則它在此區(qū)間上一定可微，反之亦成立.微分形式不變性什么是微分形式不邊形呢？設(shè)y二/3）2二雙月，則匏合函數(shù)=/孤方的微分為：的二只七二武（公心由于W（外小=晶，故我們可以把且合函數(shù)的微分寫(xiě)成辦=也）d

49、u由此可見(jiàn),不論U是自變量還是中間變量.丁 = /3）的微分dy總可以用/3）與du的乘積來(lái)表示，我們把這一性質(zhì)稱為微分形式不變性，例題：已知y=2D,求dy解答：把2x+l看成中間變量u,根據(jù)微分形式不變性，則dy = d（sin u） = cos底 =cos（2/ + l）d（2;v+1） = cos（2x-+1）- 2dx = 2gs（2萬(wàn) + 1）否通過(guò)上面的學(xué)習(xí)，我們知道微分與導(dǎo)數(shù)有著不可分割的聯(lián)系，前面我們知道基木初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，那么基木初等函數(shù)的微分公式和微分運(yùn)算法則是怎樣的呢？下面我們來(lái)學(xué)習(xí)基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運(yùn)算法則基本初等函數(shù)的微分公式由于函數(shù)

50、微分的表達(dá)式為：的=/(切石，于是我們通過(guò)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的公式可得出基本初等函數(shù)微分的公式，下面我們 用表格來(lái)把基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與微分公式對(duì)比一下：(部分公式)導(dǎo)數(shù)公式微分公式。)二0d(C) = 0二1d(x) = dx(必)=用/-】(sin. x)r= cosxd(sin x) = cos xdx(/)&3、- exdxQn元)，=工 XaQn x)= X微分運(yùn)算法則由函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則，可推出相應(yīng)的微分法則.為r便于理解，下面我們用表格來(lái)把微分的運(yùn)算法則與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法 則對(duì)照一下：函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則3沙=/3d(u v) = du

51、 土方3)1二 C/g)二 Cdti(uvy=d(uv) = vdu+udvrf rru uv-nv 0 -,(u vdu- udv 1 - = -2V更合函數(shù)的微分法則就是前面我們學(xué)到的微分形式不變性，在此不再詳述?！啊in a例題：設(shè)元，求對(duì)X的導(dǎo)數(shù)xcos 無(wú)一 sin xa cos xcos 無(wú)一 sin xa cos a - sin x/ sin x微分的應(yīng)用微分是表示函數(shù)增量的線性主部,計(jì)算函數(shù)的增量，有時(shí)比較困難，但計(jì)算微分則比較簡(jiǎn)單，為此我們用函數(shù)的微分來(lái)近似的代替 函數(shù)的增量，這就是微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用.例題：求J礪的近似值。解答：我們發(fā)現(xiàn)用計(jì)弊的方法特別麻煩,為此把轉(zhuǎn)化

52、為求微分的問(wèn)題J1.05 = Jl+0.05 = Jx 4-Ax = /(x + An)/(x+Ax) /(%) + /加=、左十=Ax = l+-.0.05 = 1,025、2m 2故其近似值為(精確值為三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分學(xué)中值定理在給出微分學(xué)中值定理的數(shù)學(xué)定義之前，我們先從幾何的角度看一個(gè)問(wèn)題，如下：設(shè)有連續(xù)函數(shù)a與b是它定義區(qū)間內(nèi)的兩點(diǎn)QVb),假定此函數(shù)在(a,b)處處可導(dǎo)，也就是在(a, b)內(nèi)的函數(shù)圖形上處處都由切線，那末我們從圖形上容易直到，B _ 5-，差商dxb-a 就是割線AB的斜率，若我們把割線AB作平行于自身的移動(dòng)，那么至少有一次機(jī)會(huì)達(dá)到離割線最遠(yuǎn)的一點(diǎn)P(x=c)處成

53、為曲線的切線，而曲線的斜率為9)，由于切線與割線是平行的，因 此b-a 成立。注：這個(gè)結(jié)果就稱為微分學(xué)中值定理，也稱為拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理如果函數(shù)V =/(為在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那末在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)C,使/一力=3-。)產(chǎn)成立。這個(gè)定理的特殊情形，即：/(以)=/)的情形，稱為羅爾定理。描述如下：若和(外在閉區(qū)間瓜b上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，且WQ3)二羽。)，那末在(a, b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c, 使。3=0成立。注：這個(gè)定理是羅爾在17世紀(jì)初，在微積分發(fā)明之前以幾何的形式提出來(lái)的。注：在此我們對(duì)這兩個(gè)定理不加以證明，若有什么疑問(wèn),請(qǐng)參

54、考相關(guān)書(shū)籍下面我們?cè)趯W(xué)習(xí)一條通過(guò)拉格朗日中值定理推廣得來(lái)的定理一一柯西中值定理柯西中值定理如果函數(shù)/G), g(=)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，且g(=)HO,那末在(a, b)內(nèi)至一T尸 1 1 1 , 少有一點(diǎn)c，使雙切一久談g(c)成立。例題：證明方程5/一 47十1 二 在。與1之間至少有一個(gè)實(shí)根證明：不難發(fā)現(xiàn)方程左端5/4x + l是函數(shù)了（乃=/一21+大的導(dǎo)數(shù)：/V） = 5x4 -4j + 152函數(shù)了=五-2x +才在0, I上連續(xù)，在（0,1）內(nèi)可導(dǎo)，且/（0） = /二0,由羅爾定理可知，在。與1之間至少有一點(diǎn)C,使/二,即京-4彳+1 = 0也就

55、是：方程5/ 一 4天十1 二 在o與1之間至少有一個(gè)實(shí)根未定式問(wèn)題問(wèn)題：什么樣的式子稱作未定式呢？答案：對(duì)于函數(shù)/（五），g（x）來(lái)說(shuō)，當(dāng)x-a（或x8）時(shí)，函數(shù),（大），g（N）都趨于零或無(wú)窮大lim /（X）0.8則極限（I*占I J可能存在，也可能不存在，我們就把式子Z（兀）稱為未定式。分別記為0 8型我們?nèi)菀字?，?duì)于未定式的極限求法，是不能應(yīng)用,商的極限等于極限的商”這個(gè)法則來(lái)求解的，那么我們 該如何求這類問(wèn)題的極限呢？下面我們來(lái)學(xué)習(xí)羅彼塔（Hospital）法則,它就是這個(gè)問(wèn)題的答案注：它是根據(jù)柯西中值定理推出來(lái)的。羅彼塔（I? Hospital）法則當(dāng)x-a（或x-8）時(shí)，函數(shù)

56、/S）,gS）都趨于零或無(wú)窮大，在點(diǎn)a的某個(gè)去心鄰域內(nèi)（或?yàn)閨x| N）IM11m學(xué)尸與才都存在，g3 H0,且:藍(lán)方存在./W . /fWliiTL lim 則.:之/蒜聞 這種通過(guò)分子分母求導(dǎo)再來(lái)求極限來(lái)確定未定式的方法，就是所渭的羅彼塔（LHospital）法則注：它是以前求極限的法則的補(bǔ)充，以前利用法則不好求的極限,可利用此法則求解， sin axlim(b w 0)例題：求 sin 8工0解答：容易看出此題利用以前所學(xué)的法則是不易求解的，因?yàn)樗俏炊ㄊ街械?型求解問(wèn)題，因此我們就可以利用上面所學(xué)的法則了。 sin ax - a cosax a lim =lim= sin bx bco

57、sbx br ax +b lim 例題：求”一心匕工十8解答：此題為未定式中的8型求解問(wèn)題，利用羅彼塔法則求求解r ax2 +b . 2ax a lim = lim=0 ex 十 d *t 2cx c8等型，通常是轉(zhuǎn)化為8等型，通常是轉(zhuǎn)化為0或808型后，在利用法則求解。另外，若遇到0co、8-8、 rHm (xh 幻例題：求2。.?；螂娊獯穑捍祟}利用以前所學(xué)的法則是不好求解的，它為08型，故可先將其轉(zhuǎn)化為0 ,8型后在求解, lim （工In x） = Em = lim = lim - x= 0不 tQ*wO4 1 mtO4 1 xtO+./fw /wlira lim hl af(x)虱禽T

58、2而并不是(”時(shí)不存在時(shí),注：羅彼塔法則只是說(shuō)明：對(duì)未定式來(lái)說(shuō),邛Q8)存在，則T9)T2而并不是(”時(shí)不存在時(shí),也不存在，此時(shí)只是說(shuō)明r羅彼塔法則存在的條件破列。函數(shù)單調(diào)性的判定法函數(shù)的單調(diào)性也就是函數(shù)的熠減性，怎樣才能判斷函數(shù)的增減性呢？我們知道若函數(shù)在某區(qū)間上小調(diào)熠（或減），則在此區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖形上切線的斜率均為正（或負(fù)），也就是函數(shù)的 導(dǎo)數(shù)在此區(qū)間上均取正值（或負(fù)值）,因此我們可通過(guò)判定函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)判定函數(shù)的增減性.判定方法：設(shè)函數(shù)丁在a,b上連續(xù)，在（a, b）內(nèi)可導(dǎo).a）：如果在Q,b）內(nèi):口）0,那末函數(shù)丁 = /（2）在a, b上單調(diào)增加:b）：如果在（a,b）內(nèi),（X）o.

59、那末函數(shù)丁 =/（=）在a,b上單.調(diào)減少.例題：確定函數(shù)/5） = 一才- 1的增減區(qū)間.解答：容易確定此函數(shù)的定義域?yàn)椋ㄒ?8, +8）其導(dǎo)數(shù)為：/（乃二1一 1,因此可以判出：當(dāng)x0時(shí)，/內(nèi)0,故它的單調(diào)增區(qū)間為（0,+8）：當(dāng)xvo時(shí),f（）vo,故它的單調(diào)減區(qū)間為（-8.0）：注：此判定方法若反過(guò)來(lái)講，則是不正確的。函數(shù)的極值及其求法在學(xué)習(xí)函數(shù)的極值之前，我們先來(lái)看一例子：設(shè)有函數(shù)/（大）=+12/ - 3,容易知道點(diǎn)戶1及x=2是此函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)，又可知在 點(diǎn)X=1左側(cè)附近，函數(shù)值是玳調(diào)增加的，在點(diǎn)工=1右側(cè)附近，函數(shù)值是單調(diào)減小的,因此存在著點(diǎn)工=1的一個(gè) 鄰域，對(duì)于這個(gè)鄰

60、域內(nèi),任何點(diǎn)x（x=l除外），v/（D均成立，點(diǎn)工;2也有類似的情況（在此不多說(shuō)），為 什么這些點(diǎn)有這些性質(zhì)呢？事實(shí)上，這就是我們將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容函數(shù)的極值，函數(shù)極值的定義設(shè)函數(shù)/在區(qū)間（前b）內(nèi)有定義，選是（a, b）內(nèi)一點(diǎn).若存在著X。點(diǎn)的一個(gè)鄰域，對(duì)于這個(gè)鄰域內(nèi)任何點(diǎn)x（x0點(diǎn)除外），/S）./So）均成立，則說(shuō),（王。是函數(shù)/ 的一個(gè)極大值：若存在著整點(diǎn)的一個(gè)鄰域，對(duì)于這個(gè)鄰域內(nèi)任何點(diǎn)x（設(shè)點(diǎn)除外），/a）/（“o）均成立，則說(shuō),（X。）是函數(shù)/（工）的一個(gè)極小值.函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。我們知道/函數(shù)極值的定義r,怎樣求函數(shù)的極值呢？學(xué)習(xí)這個(gè)