高考數(shù)列解題技巧歸納總結(jié)

1、高考數(shù)列解題技巧歸納總結(jié)高考數(shù)列解題技巧歸納總結(jié)學(xué)問(wèn)框架數(shù)列數(shù)列數(shù)列的分類na 1n n1d數(shù)列的通項(xiàng)公式函數(shù)角度懂得的概念數(shù)列的遞推關(guān)系等差數(shù)列的定義a na n1d n2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式ana 1 n1 d等差數(shù)列等差數(shù)列的求和公式S nn a 1an22兩個(gè)基等差數(shù)列的性質(zhì)a na mapa qmnpq 等比數(shù)列的定義a n1q n2n q q1本數(shù)列a n等比數(shù)列的通項(xiàng)公式a nn a q1等比數(shù)列a 1a q na 11等比數(shù)列的求和公式S n1q1qna q1等比數(shù)列的性質(zhì)a a ma a qmnpq公式法分組求和數(shù)列 求和錯(cuò)位相減求和 裂項(xiàng)求和 倒序相加求和累加累積歸納猜想證明

2、數(shù)列的應(yīng)用分期付款 其他把握了數(shù)列的基本學(xué)問(wèn),特殊是等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、求和公式及性質(zhì),把握 了典型題型的解法和數(shù)學(xué)思想法的應(yīng)用,就有可能在高考中順當(dāng)?shù)亟鉀Q數(shù)列問(wèn)題；一、典型題的技巧解法 1、求通項(xiàng)公式（1）觀看法；（2）由遞推公式求通項(xiàng)；對(duì)于由遞推公式所確定的數(shù)列的求解,通?？赏ㄟ^(guò)對(duì)遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題；1 遞推式為 an+1=an+d 及 an+1=qan（d,q 為常數(shù)）已知 a n 滿意 an+1=an+2,而且 a1=1；求 an；例 1、解an+1-an=2 為常數(shù)an 是首項(xiàng)為 1,公差為 2 的等差數(shù)列an=1+2（n-1 ）即 an=2n-1

3、 例 2、已知 a n 滿意 a n 1 1 a ,而 a 1 2,求 a =？2- 1 - 高考數(shù)列解題技巧歸納總結(jié)（2）遞推式為 an+1=an+f （n）例 3、已知 an中a 11,a n1a n2411,求a .121 12n 2解： 由已知可知an1an2n1n11 211 2nn令 n=1, 2, ,（n-1 ）,代入得（ n-1 ）個(gè)等式累加,即（a2-a1）+（a3-a2）+ +（an-an-1）ana 11 11 14 n3an+1=an+f （n）以 n=1,2, ,22 n4 n2說(shuō)明只要和 f （1）+f （2）+ +f （n-1 ）是可求的,就可以由（n-1 ）代入

4、,可得n-1 個(gè)等式累加而求an；3 遞推式為 an+1=pan+q（p,q 為常數(shù)）例 4、 a n 中,a 1 1,對(duì)于 n1（nN）有 a n 3 a n 1 2,求 a . 解法一：由已知遞推式得 an+1=3an+2,an=3an-1 +2；兩式相減： an+1-an=3（an-an-1 ）因此數(shù)列 a n+1-a n 是公比為 3 的等比數(shù)列,其首項(xiàng)為a2-a 1=（3 1+2）-1=4 n-1an+1-an=4 3an+1=3an+2 3an+2-an=43n-1 即 an=23 n-1-1 解法二： 上法得 a n+1-a n是公比為 3 的等比數(shù)列, 于是有： a2-a 1=

5、4,a3-a 2=4 3,a4-a 3=4 3 2, ,an-a n-1=4 3 n-2,把 n-1 個(gè)等式累加得：an=2 3n-1-1 4 遞推式為 an+1=p a n+q n （p,q 為常數(shù)）bn1bn2b nbn1由上題的解法,得：bn32 2nanb n3 1n2 1n332n23 5 遞推式為an2pa n1qan思路：設(shè)a n2pan1qa , 可以變形為：an2an1a n1a n,- 2 - 高考數(shù)列解題技巧歸納總結(jié)想于是 an+1- an 是公比為 的等比數(shù)列,就轉(zhuǎn)化為前面的類型；求 a ；6 遞推式為 Sn與 an 的關(guān)系式關(guān)系；（2）試用 n 表示 an；上式兩邊同

6、乘以S n1S na nan121211n2na n 1 a n a n 1 1n 1a n 122 n+1得 2 n+1an+1=2 nan+2 就2 nan 是公差為 2 的等差數(shù)列；1an12n 22 nan= 2+ （n-1 ）2=2n 2數(shù)列求和問(wèn)題的方法（1）、應(yīng)用公式法等差、等比數(shù)列可直接利用等差、等比數(shù)列的前13 5 2n-1=n2n 項(xiàng)和公式求和,另外記住以下公式對(duì)求和來(lái)說(shuō)是有益的；- 3 - 高考數(shù)列解題技巧歸納總結(jié)【例 8】 求數(shù)列 1,（3+5）,（7+9+10）,（ 13+15+17+19）, 前 n 項(xiàng)的和；解此題實(shí)際是求各奇數(shù)的和,在數(shù)列的前n 項(xiàng)中,共有1+2+

7、 +n=1n n1 個(gè)奇數(shù),2最終一個(gè)奇數(shù)為：1+1 nn+1-1 2 2=n 2+n-1 因此所求數(shù)列的前n 項(xiàng)的和為（2）、分解轉(zhuǎn)化法對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行分解、組合, 轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和；2）【例 9】求和 S=1 （n2-1 ）+ 2 （n 2-22）+3 （n2-32） + +n（n 2-n解 S=n2（1+2+3+ +n）- （1 3+2 3+3 3+ +n 3）（3）、倒序相加法適用于給定式子中與首末兩項(xiàng)之和具有典型的規(guī)律的數(shù)列,實(shí)行把正著寫與倒著寫的兩個(gè)和式相加,然后求和；例 10、求和：S n3 C16C2LL3 nCnnnn解S n0.C03 C16 C23 nCn nnnn

8、 S n=3n 2n-1 （4）、錯(cuò)位相減法假如一個(gè)數(shù)列是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的,可把和式的兩端同乘以上面的等比數(shù)列的公比,然后錯(cuò)位相減求和n-1 前 n 項(xiàng)的和n-1 例 11、 求數(shù)列 1, 3x,5x2, ,2n-1x解設(shè) Sn=1+3+5x2+ +2n-1x- 4 - 高考數(shù)列解題技巧歸納總結(jié)2x=0 時(shí), Sn=13 當(dāng) x 0 且 x 1 時(shí),在式兩邊同乘以x 得 xSn=x+3x2+5x3+ +2n-1xn, -,得 1-xSn=1+2x+2x2+2x3+ +2xn-1-2n-1xn5 裂項(xiàng)法：把通項(xiàng)公式整理成兩項(xiàng) 式多項(xiàng) 差的形式,然后前后相消；常見(jiàn)裂項(xiàng)方

9、法：例 12、求和111L2n1n31 53 75 912注：在消項(xiàng)時(shí)肯定留意消去了哪些項(xiàng),仍剩下哪些項(xiàng),一般地剩下的正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)一樣多；在把握常見(jiàn)題型的解法的同時(shí),也要留意數(shù)學(xué)思想在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)的應(yīng)用；二、常用數(shù)學(xué)思想方法1函數(shù)思想運(yùn)用數(shù)列中的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)把數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題解決；【例 13】等差數(shù)列 a n的首項(xiàng) a10,前 n 項(xiàng)的和為 Sn,如 Sl=Sk（l k）問(wèn) n 為何值時(shí) Sn 最大？此函數(shù)以 n 為自變量的二次函數(shù)；a10 Sl=Sk（l k）, d0 故此二次函數(shù)的圖像開(kāi)口向下 f （l ） =f （k）- 5 - 高考數(shù)列解題技巧歸納總結(jié)2方程思想【例 14】設(shè)等

10、比數(shù)列 an 前 n 項(xiàng)和為 Sn,如 S3+S6=2S9,求數(shù)列的公比 q；分析 此題考查等比數(shù)列的基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)及推理才能；解依題意可知 q 1；假如 q=1,就 S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1；由此應(yīng)推出 q 1 整理得 q3（2q6-q3-1 ） =0 q 0 此題仍可以作如下摸索：S6=S3+q 3S3=（1+q 3）S3 ；S9=S3+q 3S6=S3（1+q 3+q 6）,由 S3+S6=2S9 可得 2+q 3=2（1+q 3+q 6）, 2q 6+q 3=03換元思想a1=0 與等比數(shù)列不符；【例 15】已知 a,b,c 是不為 1 的正數(shù), x,y,zR+,且求證： a

11、,b, c 順次成等比數(shù)列；證明 依題意令 a x=b y=c z=k x=1og ak,y=log bk,z=log ck b 2=ac a,b, c 成等比數(shù)列（ a,b,c 均不為 0）- 6 - 高考數(shù)列解題技巧歸納總結(jié)錯(cuò)位相減法1. 設(shè)數(shù)列an的前n 項(xiàng)和為Sn,a1,1且數(shù)列S n是以cc0為公比的等比數(shù)列 . （1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；919,就a5為（）. （2）求a2a4a2n. 2、等差數(shù)列a n中,a37,aA、 13 B、12 C、11 D、 10 S 取得最大值；3、已知等比數(shù)列an中,T 表示前 n 項(xiàng)的積,如T 1,就（） . A、a 1 B、a 1 C、a 1

12、 D、a 1 4. 已知數(shù)列an滿意a 1 ,a 3n1an1（n2）. 求a2, a3；求a . 5. 已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)為 24,公差為2,就當(dāng) n= _時(shí),該數(shù)列的前n 項(xiàng)和6. 在等差數(shù)列a n中,首項(xiàng)a 10,公差d0,如kaa 1a2a 3La7,就 kA 21B 22C 23D 247. 已知正項(xiàng)等差數(shù)列a n的前 n 項(xiàng)和為S ,如S 312,且2a a2,a31成等比數(shù)列 . （）求a n的通項(xiàng)公式； （）記b nan的前 n 項(xiàng)和為T ,求T . 3n- 7 - 高考數(shù)列解題技巧歸納總結(jié)8. 在數(shù)列an中,已知a 11,an11,b n23log1an nN*.nN,數(shù)

13、列cn滿意cnanbn；4a n44（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）求證：數(shù)列b n是等差數(shù)列；（3）設(shè)數(shù)列cn滿意cnanb n,求cn的前n項(xiàng)和S . 9已知數(shù)列b n前 n 項(xiàng)和Sn3n21n. 數(shù)列an滿意an34bn2 22（1）求數(shù)列a n和數(shù)列b n的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列cn的前 n 項(xiàng)和T ；m為常數(shù),且m010. 設(shè)S 為數(shù)列a n的前 n 項(xiàng)和,對(duì)任意的nN * ,都有S nm1ma n（1）求證：數(shù)列a n是等比數(shù)列； （2）設(shè)數(shù)列a n的公比qfm,數(shù)列b n滿意b 12a b nf b n1n2, nN* ,求數(shù)列b n的通項(xiàng)公式； （3）在滿意（ 2）的條件下,

14、求數(shù)列n 21的前 n 項(xiàng)和nT b n- 8 - 高考數(shù)列解題技巧歸納總結(jié)答案1、解：（1）數(shù)列 Sn 是以 c c 0 為公比的等比數(shù)列 , 且 S 1 a 1 1S n s 1 c n 1 c n 1 3 分S n 1 c n 2（n 2 a n S n S n 1 c n 1 c n 2 c 1 c n 2 n 2 6 分,1 n 1a n c 1 C n 2 , n 2 , 且 n N 8 分（2）由（ 1）知 a 2 , a 4 , a 6 , , a 2 n , 是以 a 為首項(xiàng), C 2 為公比的等比數(shù)列, 11 分2 n 2 n c 1 1 c c 1a 2 a 4 a 2

15、n 2 14 分1 c c 12. a 3 a 9 7 19 26 2 a 6 ,a 6 13由 a 6 a 3 3 d得 d 2a5 11 選 C 53、T 5 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 3 1所以 a 3 1,選 B 4、（ 1）解：（1）解 : a 1 1,a 2 3 1 4,a 3 3 2 4 13 4 分2 證明：已知 a n a n 1 3 n 1 n 2 得a n a n a n 1 a n 1 a n 2 a 2 a 1 a 1 8 分3 n 13 n 23 1n3 1 12 分21 n當(dāng) n 1 時(shí),a 1 3 1 1a n 3 1 14 分2 25. 由已

16、知得：a n 24 n 1 . 2 26 2 n,由a n 0 26 2 n 012 n 13, n N *,所以 n=12 或 13 a n 1 0 24 2 n 07. 解：（）S 3 12,即 a 1 a 2 a 3 12,3 a 2 12,所以 a 2 4,-2分又2a ,a ,a31成等比數(shù)列,分,即故a22a2d a 2d1,a22a 1a3122-4a n3n2；解得,d3或d4（舍去）,a 1a2d1-7分- 9 - 高考數(shù)列解題技巧歸納總結(jié)（） 法 1：b na n3 n23 n21,112n 3n 3n 3T n11417 1 3 21 3 34L1 n 3,3 n23 1

17、2 31得,T n171L3 n2113 n5333 33 43 n3 n得,2T n131 2 33131L3153 n2111333 34 3n 3n 311113 n12111113 n32 3n 3131n 362n 3n 313T n 54 14 3 n 12 3 n2 23 1n 54 6 n4 53 1n -14 分法 2：b n an n 3 nn 2 n 1n 1 2 1n,3 3 3 3設(shè) A n 1 2 1 3 12 4 13 L n 1n 1,3 3 3 3就 1 A n 1 2 12 3 13 4 14 L n 1n,3 3 3 3 3 3 得,2A n 1 1 12

18、 13 L 1n 1 n 1n3 3 3 3 3 311 3 11 nn3 1n 32 32 n 3 1n3A n 9 9 3 n 1n,4 4 2 3T n A n 2 131 11 3 1n 94 94 32 n 3 1n 13 1n 54 6 n4 53 1n -314 分8. 解：（1）an112 分a n4數(shù)列an是首項(xiàng)為1 ,公比為 41 的等比數(shù)列,4an1n nN*. 4（2）b n3log1an2 3 分4- 10 - 高考數(shù)列解題技巧歸納總結(jié)b n3log11n23n2. 4 分4435 分1b1,公差d數(shù)列b n是首項(xiàng)1b1,公差d3的等差數(shù)列 . （3）由（ 1）知,a

19、 n1n,b n3 n2 nN*6 分4c n3 n2 1n,nN*. 4S n1141 427133 n5 1n1 3 n2 1 4n,4441 4n1于是1S n1124137143 n5 1n 3 n2 44444兩式相減得3S n 10 分13 12131 4n 3 n2 1n14444412 分13 n2 1n1. S n212 n2481n1nN*. 14 分3349. 解：（1）由已知和得,當(dāng)n2時(shí),n1 21n1 3 n2 2 分b nS nS n13n21n 32222又1b1312,符合上式；故數(shù)列4bn的通項(xiàng)公式bn3n2； 3 分又an34b n2,an4b n23n2

20、21n,334故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann1 4n, 5 分1 4（2）c na nb n 3 n2 ,3 n2 1n, S n1141271344441S n112413714 3 n51n 3 n2 1n1, 444444 -得3S n131213141n 3 n2 1n14444444- 11 - 高考數(shù)列解題技巧歸納總結(jié)13 14 21 14 n 1 3 n 2 1 n 14 1 1 441 3 n 2 1 n 1,2 4S n 2 12 n 8 1 n 1； 10 分3 3 410. 解：（1）證明：當(dāng) n 1 時(shí),a 1 S 1 m 1 ma ,解得 a 1 1 1 分當(dāng) n 2

21、時(shí),a n S n S n 1 ma n 1 ma 2 分即 1 m a n ma n 1 m為常數(shù),且 m 0,a n m n 2 3 分a n 1 1 m數(shù)列 a n 是首項(xiàng)為 1,公比為 m 的等比數(shù)列 4 分1 m（2）解：由（ 1）得,q f m m,b 1 2 a 1 2 5 分1 mb n f b n 1 b n 1, 6 分1 b n 11 1 1,即 1 11 n 2 7 分b n b n 1 b n b n 11 是首項(xiàng)為1,公差為 1 的等差數(shù)列 8 分b n 21 1n 1 1 2 n 1,即 b n 2（n N ）* 9 分b n 2 2 2 n 1n 1（3）解：由

22、（ 2）知 nb 2,就 2 2 n2 n 1 10 分2 n 1 b n2 3 4 n n 1所以 T n 2 2 2 L 2 2,b 1 b 2 b 3 b n 1 b n1 2 3 n 1 n即 T n 2 1 2 3 2 5 L 2 2 n 3 2 2 n 1, 11 分2 3 4 n n 1就 2 T n 2 1 2 3 2 5 L 2 2 n 3 2 2 n 1, 12 分得 T n 2 n 12 n 1 2 2 32 4L 2 n 1, 13 分3 n 1故 T n 2 n 12 n 1 2 2 1 22 n 12 n 3 6 14 分1 2- 12 - 高考數(shù)列解題技巧歸納總結(jié)

23、用放縮法處理數(shù)列和不等問(wèn)題一先求和后放縮（主要是先裂項(xiàng)求和,再放縮處理）例 1正數(shù)數(shù)列 a n 的前 n 項(xiàng)的和 S ,滿意 2 S n a n 1,試求：（1）數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式；（2）設(shè) b n 1,數(shù)列 b n 的前 n 項(xiàng)的和為 B ,求證：B n 1a n a n 1 2解：（1）由已知得 4 S n a n 1 2,n 2 時(shí),4 S n 1 a n 1 1 2,作差得：4 a n a n 22 a n a n 21 2 a n 1,所以 a n a n 1 a n a n 1 2 0,又由于 a n 為正數(shù)數(shù)列,所以 a n a n 1 2,即 a n 是公差為 2 的等差

24、數(shù)列,由 2 S 1 a 1 1,得 a 1 1,所以 an 2n 1（2）b n 1 1 1 1 1 ,所以a n a n 1 2 n 1 2 n 1 2 2 n 1 2 n 1Bn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 3 3 5 2 n 1 2 n 1 2 2 2 n 1 2真題演練 1：06 全國(guó) 1 卷理科 22 題 設(shè)數(shù)列 a n 的前 n 項(xiàng)的和 , S n 4a n 12 n 1 2,n 1,2,3, ggg3 3 3（）求首項(xiàng) 1a與通項(xiàng) a ；（）設(shè) T n 2 n,n 1,2,3, ggg,證明：nT i 3 . S n i 1 24 1 2 4 1 2解: 由 Sn

25、= 3an3 2 n+1+ 3, n=1,2,3, , 得 a1=S1= 3a13 4+ 3所以 a1=24 1 2再由有 S n1= 3an13 2 n+ 3, n=2,3,4, 4 1將和相減得 : a n=SnSn1= 3a nan1 3 2 n+12 n,n=2,3, 整理得 : an+2 n=4a n1+2 n1,n=2,3, , 因而數(shù)列 an+2 n 是首項(xiàng)為 a1+2=4, 公比為 4 的等比數(shù)列 , 即 : an+2 n=4 4 n1= 4 n, n=1,2,3, , 因而 an=4 n2 n, n=1,2,3, , 將 an=4 n2 n代入得 S n= 43 4 n2 n

26、 13 2 n+1 + 23 = 13 2 n+112 n+12 = 23 2 n+112 n1 n n T n= 2 Sn = 3 2 2 n+112 2n 1 = 3 2 2 n1 12 n+11 1所以 , i n1 T = 32 i n1 2 i 1 12 i+1 1 = 1 32 2 11 12 n 111 1）n 1化簡(jiǎn)得：a n 2 a n 1 2 1a nn 2 a nn 11 2 , a nn 22 a n 1n 1 2 1 1 1 3 1 3故數(shù)列 a nn 2 是以 a 1 2為首項(xiàng) , 公比為 2的等比數(shù)列 . 1 3 3故 a nn 2 1 2 n 1a n 22 n 2 1 n 1 3 3 3數(shù)列 a 的通項(xiàng)公式為：a n 22 n 2 1 n. 3觀看要證的不等式,左邊很復(fù)雜,先要設(shè)法對(duì)左邊的項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s,使之能夠求和；而左邊= 1 1L 1 3 2 13 1L m 2 1m ,假如我們把上式中的分母中的 1去掉