專題10 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)題型歸納

1、 2 2 2 2k 2 2 專題 10 三角函數(shù)的圖像性質(zhì) 考一 正、弦正函的象性函數(shù)圖象y x ycos y 定義域 R R R且 ，Z 值域奇偶性單調(diào)性周期性對稱性1,1奇函數(shù) 在 k， k 2 2(k 上是遞 函數(shù) ， 3k， k 2 (kZ上是遞減函數(shù)周 期 是 2kk Z 且 k，小正周期是 2對稱軸是 x k(k 2，稱中心(k，0)(k Z1,1偶函數(shù)在( Z上遞增函 數(shù)，在， kZ上是遞 減函數(shù)周期是 2k( Z 且 0)最小正 周期是 對稱軸是 (k Z對稱中心是k ， kZ 奇函數(shù) 在 ， k kZ上是遞增函數(shù)周期是 k(kZ 且 k，小 正周期是 對稱中心是 ， kZ考二

2、 函 yAsin(x)的象1用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦數(shù)的簡圖第頁 共 19頁 2 2 2 2 2 2 T 2(1)“五點(diǎn)法”作圖原理： 3在正弦函數(shù) y 的象上個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是， ， ，1 ， (2，0) 3在余弦函數(shù) y 的象上個(gè)鍵點(diǎn)是， ， ， ， (2，1).(2)五點(diǎn)法作圖的三步驟：列表描點(diǎn)、連注意光滑2函數(shù) sin( 的關(guān)概念sin(x (A00)振幅周期T頻率1 f 相位x初相用點(diǎn)法畫 ysin(x)一個(gè)周期內(nèi)的簡圖用五點(diǎn)法畫 ysin(一周內(nèi)簡圖時(shí)，要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示：xysin(00 2 20 2 20由數(shù) ysin x 的象變換得到 ysin()(A，0)圖象的兩種方法第頁

3、 共 19頁 6 tan 6 tan 重點(diǎn)型破 角函數(shù)的定義域與周期求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的三角不等(組常助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖 象來求解例 1-1.（四綿市高月（） 函 （ ）sin( )的義為A B 4C 2k ( ) k (k Z ) 【解析】由函數(shù) )，則滿足 x ) 4，令 k ，得 k k5,( k 即函數(shù)的定義域?yàn)?k 2k ( ) ，故選 C.（四川廣市二一學(xué)一中函 x 的義為 )A , B k6 6(k C , 2k 6(k D【解析】由 cos 0， cos x，k2 ，故 （）函 的義為 ）A x B x x x , Z D x k , Z 第頁 共 19頁

4、 f f 【解析】因?yàn)?k ，所以 , Z 12，選 ?！咀兪接?xùn)練南高中高月考函 y 1 x定域【解析】由題意得：1 2sin x ，sin 7 x k Z ， k 2 k Z （2（2019四川溫中高月）數(shù)y 1 的義為 )A k B k C 5 k 4 k 3 【析函數(shù)y 中，有： 2cos ，即cos ,有 5 .解 3 ,.所以函數(shù)y 1 的定義域?yàn)?5 k k k Z 3 .故 C.（3（2018四川陽高期）數(shù)f 的義是 ）A | B | k3 3 4 | 2 k【詳解】由 42，得x 4, Z,所以，函數(shù) 義是 | k 故 第頁 共 19頁例 （1四成市棠中高月）知數(shù) f（x）=2

5、sin（ 則數(shù)最正期（ ）-3x）+1ABC【解析】函數(shù) （）（故選 D ）+1=-2in（ ）函數(shù)的最小正周期 T= 3（2019四川棠湖學(xué)一考函y cos(2 x 的小周是ABC【解析】函數(shù)y 的最小正周期 22=，（四川省至寶中高期）數(shù)y x )2 的小周是【解析】函數(shù) tan( )2 的最小正周期是2.故案為2【變式訓(xùn)練四成市成都外語校一考若數(shù)(的小周為， a 【析由題意得 a 2，解得a ，所以 答案：（2（2013內(nèi)江高三模理 函數(shù) y x 32的小周 T第頁 共 19頁_.【析周期T .（2020四川省宜市四學(xué)高月）列數(shù)周為 且偶函的Ay sin(2 x By Cy x 2)y

6、cos( 2)【案A 對選 A,y ,周期為 且是偶函數(shù)，所以選項(xiàng) A 正確；對于選項(xiàng) B,y sin 2 x，周期為 且是奇函數(shù)，所以選項(xiàng) 錯(cuò)；對于選項(xiàng) C,y=cosx,周為 2，以選項(xiàng) 錯(cuò)；對于選項(xiàng) 周為 2，以選項(xiàng) 錯(cuò)故案為 A重點(diǎn)型破 角函數(shù)的單調(diào)性及最值1、三角函數(shù)單調(diào)性的求法(1)形如 )的數(shù)的單性問題，一般是將 看成一個(gè)整體，再結(jié)合圖 象利用 單調(diào)性求解；(2)如果函數(shù)中自變量的系數(shù)為值根據(jù)誘導(dǎo)公式把自變量系數(shù)化為正值確定其單 調(diào)性2、求解三角函數(shù)的值最)常見到以下幾種類型(1)形如 sin cos x 的角函數(shù)化為 sin(c 的式值(最(2)形如 2 的角函數(shù)，可先設(shè) si

7、n xt化為關(guān)于 t 的次函數(shù)值域 (3)形如 3sinxsin x，類似(2)進(jìn)換元，然后用導(dǎo)數(shù)法求最值例 （1四川南市高一期）x ，f x的小是（ ）第頁 共 19頁y 2cos 【 解析】當(dāng) 3 3y 2cos 【 解析】當(dāng) 3 3A B C 2【析令t ，為 ，所以 2 ，則 2 y 2 x sin ) 4，當(dāng) 2時(shí)， ；故選 D. min（2上海一時(shí)習(xí)函數(shù) 小值，最小值是. 時(shí)最 cos 3 3 時(shí)，即 x k ，可得x k Z ，此時(shí) 取最小值；此時(shí)，最小值為；（四川遂市射洪中高開考）數(shù) x 的調(diào)增間（ ）A 5 B C 5 3 【詳解】令z x ，數(shù) y sin 3的單調(diào)遞增區(qū)間

8、為 2 k 2( k ).由 k x 2 k ，得 5 k ( Z 3，而x ，所以所求單調(diào)遞增區(qū)間是5 , .故：第頁 共 19頁， 3B , , 6 , 2， 3B , , 6 , 2 ,6 2是 【變式訓(xùn)練四省賓第中學(xué)高期（） 已知數(shù) f 4cosx x, x 4 3，f 的域_【析f ( x 4sin2 x 4cos x x) 4cos 4(cos ) ，為 x ，以 x ,1 4 3 2，所以4(cos x ) 4,5，故函數(shù)的值域?yàn)?4,5 （四川樂市高一期）數(shù)f x , 2 2 ，面f 的個(gè)調(diào)增間是 ） A 6 C 5 【詳解】y sin 在 上單調(diào)遞增，將y sin 向右平移

9、個(gè)位即可得到 f sin 3 ，故f ( ) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ， 6 3 6 的子集，所以 A 正.故選：（四川南市閬中中高月）知數(shù)f x) sin （ ， ）部圖如所第頁 共 19頁（1）函f x)的析（2）f ( )在間 4 上最值最值【解析由可知 A ，T ，所以 ，所以 ，當(dāng)x 時(shí)，f ( ) ，可得 因?yàn)?，以 ， 所以f ) ；（）為x , 6 4，所以 x ，所以當(dāng) 2 ，即 x 時(shí)6 函數(shù)f ( )取得最大值 ，當(dāng) x，即x 6時(shí)，函數(shù)f ( )取得最小值.重點(diǎn)型破 角函數(shù)的對稱性（奇函數(shù)、偶函數(shù)與稱軸、對稱中心）1.奇偶性的判斷方法：三角函數(shù)奇函數(shù)一般可化為 yA x 或

10、yA 的形式，而 偶函數(shù)一般可化為 cos xb 的式2.函數(shù)具有奇偶性的充要條件函數(shù) )(xR是奇函數(shù)(k)函數(shù) )(xR是偶函數(shù) ()；2函數(shù) cos()()是函數(shù) (k) ；2函數(shù) cos()()是函數(shù)(k)例 3.）已知函數(shù) fx)x )，)3若 fx為函數(shù)，則 ；若 f(x為奇函數(shù)，則 _. 【解析】 為 fx3sin(2 )為偶函數(shù)，所以 ，Z，3 2第頁 共 19頁 5又因?yàn)?)，所以 .6 因?yàn)?f(x) 為函數(shù)，所以 k，又 ，以 .3 3 3（四川考擬文） 函數(shù)f ( ) sin 的小周為 則f ( )的象一對軸程（ ）Ax Bx Cx 【析因?yàn)楹瘮?shù)f 的最小正周期為 所=

11、.所以f 2 x ，令 x k k 2k ,所 x 2 6，當(dāng) 時(shí)，x .故：（四川山高期）知數(shù) ( x) x 的象一對中是,0， 的可取為 ）AB 12C【詳解】由題：函數(shù) ( x ) x 的圖象的一個(gè)對稱中心是 ，必有f ( 7 ) sin ， , k Z ，當(dāng) k ， .故 第頁 /共 19頁【式練1）數(shù)f x 的圖像的一條對稱軸方程為（）Ax Bx Cx D 2【解析】函數(shù)fcos 令 x ，則k x k ，當(dāng) k 時(shí) ，故選 .（）設(shè)數(shù) xcos x 則下列論誤是( ) 8Ax)的個(gè)期 By(x的圖象于線 x 對3C)的個(gè)點(diǎn) 6 Dx)在 , 上調(diào)減【解析 fx x 象由 x 的象向

12、左平移 個(gè)單位得到如圖可3 知，(x在 減遞增，D 選錯(cuò)誤 重點(diǎn)型破 三角函數(shù)的圖像及其應(yīng)例 4.1（州第中高月）數(shù) sin x， （ ）AB第頁 /共 19頁 2 2 CD【解析】當(dāng) x 時(shí)， y ； 2時(shí)， ； x 時(shí)， ； x 時(shí)，y ；當(dāng) ， y .結(jié)合正弦函數(shù)的圖像可知 B 正故 B.（四川山高期）知數(shù) 的分象如所，（ ）A ， B ， C ， 6 【詳解】由函數(shù)的圖象可 3 ， T.當(dāng)x ，函數(shù)取得最大值 ，所以 2 ， 2，| k ，故選【式練1（四省津?qū)W三考）數(shù)f ( )圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）f ( )= 的部分圖像如第1頁 /共 19頁 A 3 ), Z 4B Z

13、C 3 ), k 4D 3 ), k Z 【解析】由五點(diǎn)作圖知，1 4 5 3 4 ，解得 ，所以 1 f ( ) ) ， 2 k ，得 k x ， 4 k ，故單調(diào)減區(qū)間為（ k ， k k Z ，選 D. （2019瀘市高一期）數(shù)f 的分象圖示則 ， 的分是 ）A2，3B，6C4，64，【詳解在一周期內(nèi)，函數(shù)在 12時(shí)取得最大值，x 11時(shí)取得最小值，函的周期 T 滿T 2，由此可得T 得 函數(shù)表達(dá)式為f .又x 12時(shí)取得最大值 2，2sin 2，可得 ， ，取 ， .故：第頁 /共 19頁C y sin 2 x C y sin 2 x （2019四省江學(xué)一考函 A sin( ， |，

14、)的分象圖示則數(shù)達(dá)為 ）A y ) ) 4 8 C y x ) y x 4)【解析】由圖像知 A ，T ， ，解得 ， 因?yàn)楹瘮?shù)y 4sin( x 點(diǎn) (2, ，以 4sin( ， 8 2k Z ，解得3 kk Z )，因?yàn)閨 5 ，以 ， y 4sin( 5 x ) x ) 4 4.故選：（ 1四川州瀘五）列數(shù)，最正期 的奇數(shù)（ ）Ay 2 By x sin y tan x【解析】分析可知，選項(xiàng) A， 要排除，皆為偶函數(shù)， 中 x，對于 D： ，對于 B： ，故選：第1頁 /共 19頁 ， 故 的像關(guān)于點(diǎn) 時(shí) ， x , 3 ， 故 的像關(guān)于點(diǎn) 時(shí) ， x , 3 2四川州瀘五高月（）已 3

15、 軸， （ ）4 |一對ABC【解析】3 x 是 4 的一條對稱軸， 3 3 ，| ， ，選：3宜賓敘區(qū)二中校三模文 已知數(shù)f ( x) sin(2 23)，下列論誤是 ）Af ( x)的個(gè)期Bf x)的像于( 6,0)對Cf x)的像于線x 對 f ( )在間 ( )3 33 的域 2【析由于最小正周期T ，故 f 的一個(gè)周期，選項(xiàng) A 正；令x ， 2 f f ,0 6 對稱，選項(xiàng) B 正；當(dāng)x f sin 3 ， f x 對稱，選項(xiàng) C 正確； 當(dāng) 時(shí)， x 4 ，則sin 23 3 ,12，故選項(xiàng) D 錯(cuò)誤。故答案為 D.第頁 /共 19頁f f 4.（2020四成市高期）列于數(shù) （

16、）f 的述確是A函f 的小周是B當(dāng) x 時(shí)函f 取最值 2C數(shù)f 是函函f 的域【詳解】f ， 最正期為 T ，故 A錯(cuò)誤；令 x k，解得x ，故當(dāng)x f 取得最大值 2 ， B 錯(cuò)；f 是非奇非偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；sin 2 x 2 f 的值域?yàn)?確，故選： D5四川瀘第中學(xué)一考函 的小周期 則f 圖的條稱方是 A 6Bx Cx x 【詳解】由于函數(shù)f 的最小正周期為則 ， sin x 3 ，令 x k Z ，解得 x Z 2 .當(dāng) k 時(shí)函數(shù)y f 圖象的一條對稱軸方程為x .故 第1頁 /共 19頁2 3 2 3 （2019南一末函圖的個(gè)稱心（ ） B. C. D.【解析】由題得 ,以

17、，所以圖像的對稱中心是 當(dāng) k=1 時(shí)，函數(shù)的對稱中心為 .故選：已函f 則 f 的小周是；f的稱心【解析】依題意的T ，即函數(shù)的最小正周期為 令 ，解得x k，所以函數(shù)的對稱中心是 .函f ( x) sin 2x 的小周為_單遞區(qū)為_【解析】因?yàn)?f ( x ) 2 x 4 ，所以 W 2，因?yàn)?k x k 3 )，所以增區(qū)間為 8 k Z ) 第1頁 /共 19頁,012 3 3 當(dāng) 當(dāng) ,012 3 3 當(dāng) 當(dāng) 9.（2019川都成都國學(xué)高月）知數(shù)f 2 ，函圖的個(gè)稱心 ，該數(shù)單遞區(qū)可是 A5 , 6 B C , 3 6 【詳解】 為函數(shù)的對稱中心 ， 解得：k ，k Z, , f 當(dāng) , 時(shí)， 4 , 3，此時(shí)f 不單調(diào)， A錯(cuò)誤； , 3 時(shí)， x 不單調(diào)， B 錯(cuò)； , 時(shí)， 2 2 ,3 3 3，此時(shí)f 不單調(diào)， C 錯(cuò)誤；當(dāng) 5 , 時(shí)， , 2 ，此時(shí)fx單調(diào)遞增， 確，本題選項(xiàng)：10（2019寧高期末函