模糊數(shù)學市公開課獲獎課件

1、第三章 模糊關系第1頁第1頁本章內容1. 模糊關系基本概念2. 模糊矩陣3. 模糊關系和模糊矩陣合成4. 模糊等價矩陣第2頁第2頁同窗集合 X=張三，李四，王五外語選修課程集合 Y=英，法，德，日R= (張三, 英), (張三, 法), (李四, 德), (王五, 日), (王五, 英)什么是關系第3頁第3頁普通關系定義1：集合A,B直積AB=(a,b)|aA,bB一個子集R稱為A到B一個二元關系，簡稱關系?？梢?，關系也是個集合。第4頁第4頁關系example1設X為橫軸，Y為縱軸，直積XY是整個平面，其上普通關系xy：YXY=XR:XY0第5頁第5頁模糊關系example1 其上模糊關系R=

2、“x遠遠不小于y”，怎么表示？ 當x=1000,y=100時，R(x,y)=0.999 當x=20,y=10時，R(x,y)=0.5 當x=20,y=18時，R(x,y)=0.0358R(x,y)X10y第6頁第6頁 概念定義3.1稱為從X 到Y模糊關系.(關聯(lián)度)。尤其，從X到X模糊關系稱為 X上模糊關系1. 模糊關系基本概念第7頁第7頁模糊關系example2例：設身高論域U=140，150，160，170，180，體重論域V=40，50，60，70，80，則身高與體重之間模糊關系：UV1401501601701804010.80.20.10500.8010.80.20.1600.20.8

3、10.80.2700.10.20.810.88000.10.20.81第8頁第8頁兩點闡明：第9頁第9頁模糊關系example3第10頁第10頁模糊關系運算 模糊關系就是模糊子集，只但是其論域是直積 AB罷了 模糊關系運算法則完全服從模糊集合運算 法則第11頁第11頁 運算可推廣包括：相等：并：交：余：第12頁第12頁下列是幾種特定模糊關系:倒置倒置倒置第13頁第13頁下列是幾種特定模糊關系:第14頁第14頁下列是幾種特定模糊關系:第15頁第15頁模糊關系性質：第16頁第16頁2.模糊關系表示模糊矩陣典型有限集合上關系，能夠使用矩陣來表示。若論域XY是有限集，模糊關系能夠表示為模糊矩陣。模糊矩

4、陣元素表示關系從屬值。若論域XY是連續(xù)或無限，則該論域上(模糊)關系不能用(模糊)矩陣來表示。第17頁第17頁模糊矩陣定義假如對于任意i=1,2,m, j=1,2,n,都有rij0,1,則稱矩陣R=(rij)mn為模糊矩陣。若rij0,1,則模糊矩陣變成Boole矩陣。模糊矩陣能夠表示模糊關系，對于“A上模糊關系”用模糊方陣來表示。第18頁第18頁模糊矩陣Example設有四種物品，蘋果、乒乓球、書、花構成論域U，分別用x1,x2，,xn表示，它們相同程度能夠用模糊關系R來表示：第19頁第19頁例1.例2.身高與體重之間關系為：模糊矩陣Example第20頁第20頁模糊關系與模糊矩陣假如給定X

5、上模糊關系I滿足 則稱I為X“恒等關系”，表示恒等關系I矩陣為單位矩陣。第21頁第21頁模糊關系與模糊矩陣若給定XY上模糊關系O，滿足 則稱O為XY“零關系”， 表示零關系O矩陣為零矩陣。第22頁第22頁模糊關系與模糊矩陣假如給定XY上模糊關系E滿足 稱E為XY“全稱關系”，表示全稱關系E矩陣為全稱矩陣。第23頁第23頁模糊關系與模糊矩陣假如給定XY上模糊關系R，定義 稱RT為R“倒置關系”,表示模糊關系RT矩陣為R矩陣轉置矩陣。第24頁第24頁模糊矩陣關系設A、B為模糊矩陣，記A=(aij), B=(bij)，i=1,2,m, j=1,2,n, 則 (1)相等：A=B 對任意i, j 有 a

6、ij = bij (2)包括：A B 對任意i, j 有 aij bij因此，對任何 總有：第25頁第25頁模糊矩陣運算設A、B為模糊矩陣，記A=(aij), B=(bij)，i=1,2,m, j=1,2,n, 則 (1)并：AB (aijbij)mn (2)交: AB (aijbij)mn (3)余: Ac (1-aij) mn例：求第26頁第26頁模糊矩陣運算性質（1）冪等律：AAA , AA=A;（2）互換律：AB=BA, AB=BA;（3）結合律：(AB)C=A(B C), (AB)C=A(BC);（4）吸取律：A(AB)= A, A(AB)=A;（5）分派律: (AB)C=( AC)

7、(BC), (AB)C= ( AC)(BC);第27頁第27頁模糊矩陣運算性質（6）0-1律：AOA, AOO; EA=E,EA=A;（7）還原律：(Ac)c=A;（8）對偶律：(AB)c= AcBc, (AB)c= AcBc. 排中律不成立！ AcA E, AAc O 注意第28頁第28頁模糊矩陣包括性質第29頁第29頁3. 模糊關系合成第30頁第30頁模糊關系合成定義第31頁第31頁例1：設生物群落論域模糊關系合成舉例表示X與U兩生物群落種群之間密切關系表示U與Y兩生物群落種群之間密切關系第32頁第32頁模糊關系合成舉例則表示生物群落X與Y之間密切關系。第33頁第33頁合成運算Exampl

8、e2設R1為XY上模糊關系,其從屬函數(shù)滿足 設R2為YZ上模糊關系,其從屬函數(shù)滿足 試求R1、 R2合成。第34頁第34頁合成運算Example2先求兩曲線交點，由解得（另一解舍去）當 時故第35頁第35頁模糊關系合成運算性質性質1：結合律 (A B) C = A (B C)； 性質2：分派律 A ( BC ) = ( A B )( A C )； ( BC ) A = ( B A )( C A )；性質3：( A B )T = BT AT；性質4：A B，C D A C B D.性質5：A B A C B C ， C A C B， A n B n注：(1) 合成( )運算關于()分派律不成立,

9、即( AB ) C ( A C )( B C ) (2) 這些性質在有限論域情況下,就是模糊矩陣合成運算性質.第36頁第36頁模糊矩陣合成運算與模糊方陣冪 設A = (aik)ms，B = (bkj)sn，定義模糊矩陣A 與B 合成為：A B = (cij)mn，其中cij = (aikbkj) | 1ks .模糊方陣冪定義：若A為 n 階方陣，定義A2 = A A，A3 = A2 A，Ak = Ak-1 A.第37頁第37頁模糊矩陣合成運算性質性質1（結合律）：性質2：性質3（分派律）能夠推廣到多個：性質4（01律）：第38頁第38頁性質5：性質6：模糊矩陣合成運算性質第39頁第39頁模糊矩

10、陣合成運算性質 合成運算交運算分派律不成立注意不滿足互換律。求： 定義。第40頁第40頁模糊矩陣合成舉例令第41頁第41頁采用max-min合成采用max-乘積合成模糊矩陣合成舉例第42頁第42頁模糊矩陣轉置 定義 設A = (aij)mn, 稱AT = (aijT )nm為A轉置矩陣，其中aijT = aji.轉置運算性質：性質1：( AT )T = A；性質2：( AB )T = ATBT， ( AB )T = ATBT；性質3：( A B )T = BT AT；( An )T = ( AT )n ；性質4：( Ac )T = ( AT )c ；性質5：A B AT BT .第43頁第43

11、頁證實性質3：( A B )T = BT AT；( An )T = ( AT )n .證實：設A=(aij)ms, B=(bij)sn, A B=C =(cij)mn, 記( A B )T = (cijT )nm , AT = (aijT )sm , BT = (bijT )ns , 由轉置定義知, cijT = cji , aijT = aji , bijT = bji . BT AT= (bikTakjT )nm =(bkiajk)nm =(ajkbki)nm = (cji)nm = (cijT )nm= ( A B )T . 模糊矩陣轉置第44頁第44頁模糊矩陣截矩陣模糊集合- 截集模糊

12、矩陣- 截矩陣定義：設給定模糊矩陣R=(rij)，對任意 0,1，稱R=(rij ()為R截矩陣，其中第45頁第45頁模糊矩陣截矩陣 設則：模糊矩陣A 截矩陣 相應于有限論域上模糊關系 截關系，顯然， 元素僅能是0或1，因此， 是布爾矩陣。第46頁第46頁-截矩陣性質模糊矩陣A, B， 0,1，性質2. 性質1.第47頁第47頁性質3：證實 設A=(aik)ms,B=(bkj)sn, A。B=(cij)mn-截矩陣性質第48頁第48頁-截矩陣性質第49頁第49頁性質4：-截矩陣性質第50頁第50頁4. 模糊等價矩陣（1）普通等價關系對稱關系：傳遞關系：自反關系：等價關系：自反、對稱、傳遞 模糊

13、等價關系第51頁第51頁（2）模糊自反關系(fuzzy reflexive relations)定義則稱R為模糊自反關系.命題1依據(jù)主對角線元素是否為1鑒定R 是否自反證實：第52頁第52頁（3） 模糊對稱關系(fuzzy symmetric relations) 定義：則稱R為模糊對稱關系.依據(jù)矩陣是否為對稱陣鑒定R 是否對稱關系。顯然，R為模糊對稱關系.第53頁第53頁命題2證實：第54頁第54頁（4）模糊傳遞關系(fuzzy transitive relations)定義比如命題3第55頁第55頁（4）模糊傳遞關系(fuzzy transitive relations)第56頁第56頁命

14、題4設R是模糊傳遞，證實：依據(jù)命題3知：R模糊傳遞.由命題3知第57頁第57頁（5）模糊等價關系(fuzzy equivalency relations)定義 若R是模糊自反、對稱、傳遞關系，則稱 R是一個模糊等價關系。比如R是對稱陣且主對角線元素全為1，故為模糊對稱及自反關系。命題5: R為模糊等價關系當且僅當 是普通等價關系。第58頁第58頁對模糊等價關系，第59頁第59頁伴隨劃分水平提升，劃分加細第60頁第60頁 模糊等價矩陣定義1. 若模糊矩陣 A Mnn滿足A I，則稱A為自反模糊矩陣。比如：在有限論域中自反模糊矩陣表示一個自反模糊關系。幾種概念與定理第61頁第61頁自反矩陣定理定理

15、1. 設模糊矩陣 A Mnn是自反矩陣，則有證實:幾種概念與定理第62頁第62頁定義2： 包括R而又被任何包括R自反矩陣包括 自反矩陣叫R自反閉包。記為r (R) .定理2：證：需證 （1） 為自反矩陣 ；（2）任意包括 R自反矩陣必包括 。為自反矩陣。(2)設Q為任意包括R自反矩陣，則幾種概念與定理第63頁第63頁定義3：若模糊矩陣 A Mnn滿足AT=A，則稱A為模糊對稱矩陣。比如：幾種概念與定理在有限論域中，模糊對稱矩陣表示一個模糊對稱關系。第64頁第64頁幾種概念與定理定義4：R為模糊對稱矩陣，包括R而又被任何包括R 對稱矩陣所包括對稱矩陣，叫做R對稱閉 包。記為S(R)。為對稱矩陣。

16、定理3：證：需證 （1） 為對稱矩陣 ；（2）任意包括 R對稱矩陣必包括 。(2)設Q為任意包括R對稱矩陣， 則因Q對稱，因此QT=Q，由此得 從而第65頁第65頁定義5： 若模糊矩陣 A Mnn滿足 A2 A，則稱A為模糊傳遞矩陣。 比如：在有限論域中，模糊傳遞矩陣表示一個模糊傳遞關系。幾種概念與定理第66頁第66頁幾種概念與定理定義6：R為模糊傳遞矩陣，包括R而又被任何包括R 傳遞矩陣所包括傳遞矩陣，叫做R傳遞閉 包。記為t(R)。R 傳遞閉包t(R)含有下列性質：（傳遞性）（包括性）（最小性）性質表明：R傳遞閉包是包括R最小模糊傳遞矩陣。第67頁第67頁定理4: 設模糊矩陣 A Mnn，

17、則其中，t(A)是傳遞閉包。幾種概念與定理第68頁第68頁幾種概念與定理定理4證實：需證（1）是傳遞函數(shù)。（2）對任意傳遞矩陣（1） 因因此，是傳遞函數(shù)。合成運算推廣性質第69頁第69頁幾種概念與定理（2） 設為任意傳遞矩陣，且因Q是傳遞矩陣，因此從而有即由k任意性得：于是上述定理給出了任意模糊矩陣傳遞閉包表示式，但無法操作。下面定理給出改進。第70頁第70頁定理5： 設模糊矩陣 A Mnn，則其中，t(A)是傳遞閉包。幾種概念與定理上式表明:當A是n階方陣時，至多用n次并運算便可求出A傳遞閉包。第71頁第71頁比如:幾種概念與定理第72頁第72頁定義7：設論域U=x1, x2, , xn ，

18、RMnn , I為單 位矩陣，若R滿足 （1）自反性：R I; （2）對稱性：RT=R; （3）傳遞性：R2 R 則稱R為模糊等價矩陣.幾種概念與定理在有限論域中，模糊等價矩陣表示一個模糊等價關系。第73頁第73頁例：設論域U=x1, x2，R是否為模糊等價矩陣？幾種概念與定理第74頁第74頁幾種概念與定理定理6：設 則若 為模糊自反矩陣，則為模糊自反矩陣；若 為模糊對稱矩陣，則為模糊對稱矩陣；為模糊傳遞矩陣；若 為模糊傳遞矩陣，則 此定理表明模糊矩陣自反性、對稱性與傳遞性對于交運算是封閉。第75頁第75頁定理7： R是模糊等價矩陣 對于任何0,1，R是等價布爾矩陣。證實：（1）R自反性：（2

19、）R對稱性：對稱性（3）R傳遞性：傳遞性幾種概念與定理模糊等價矩陣判別條件第76頁第76頁定理7意義： 將模糊等價矩陣轉化為普通等價矩陣。普通等價矩陣等價于有限論域上普通等價關系，普通等價關系能夠分類。因此，當在0,1上變動時，得到不同R, 從而得到不同分類。幾種概念與定理第77頁第77頁定義1. 設R是UU上模糊關系 ，若R滿足（1）自反性：R(x,x)=1;（2）對稱性：R(x,y)=R(y,x);則稱R為U上模糊相同關系，其中隸屬度R(x,y)表示x,y相同程度。比如：模糊關系“熟悉”，“朋友”,“同窗”等。 模糊相同關系定理1：R是U上模糊相同關系充足必要條件是， 對任意 是U上普通相

20、同關系。第78頁第78頁定義2. 設有限論域U=x1, x2, , xn ，RMnn ，I為單位矩陣，若R滿足（1）自反性：R I （即rii=1）;（2）對稱性：RT=R （即rji=rij）;則稱R為模糊相同矩陣。 模糊相同矩陣第79頁第79頁 模糊相同矩陣例1則R為模糊相同矩陣。Q不是，Q含有對稱性，但不含有自反性。第80頁第80頁模糊相同矩陣性質定理1. 設RMnn 是模糊相同矩陣，則對于任何自然 數(shù)k，Rk也是模糊相同矩陣。 用數(shù)學歸納法證實第81頁第81頁模糊相同矩陣性質 當k1時， RK是模糊相同矩陣。 假設k=n時， RK是模糊相同矩陣，又 故有含有自反性。含有對稱性。第82頁

21、第82頁模糊相同矩陣vs. 模糊等價矩陣定理2. 設RMnn 是模糊相同矩陣，則存在一個 最小自然數(shù)k（k n），使得傳遞閉包 t(R)=Rk，對于任何自然數(shù)bk，都有 Rb=Rk，此時，t(R)是模糊等價矩陣。以上定理表明：通過求傳遞閉包t(R)，能夠將模糊相同矩陣改造成為模糊等價矩陣。模糊等價矩陣含有傳遞性，同時又保留了自反性與對稱性。第83頁第83頁平辦法求相同矩陣傳遞閉包從模糊相同矩陣R出發(fā)，依次求平方：當?shù)谝淮纬霈F(xiàn)Rk Rk =Rk時， Rk就是所求傳遞閉包t(R)第84頁第84頁比如：平辦法例第85頁第85頁第86頁第86頁平辦法例設求傳遞閉包t(R)通過i次求得nn階模糊相同矩陣

22、R傳遞閉包t(R)=R2i，必有2in，ilogn/log2，因此，最多計算log2n1次便可求t(R).第87頁第87頁例題： 綜合評判綜合評判是綜合決議內容。下面以電腦評判為例來闡明如何評價。某同窗想購買一臺電腦，他關懷電腦下列幾種指標：“運算功效（數(shù)值、圖形等）”；“存儲容量（內、外存）”；“運營速度（CPU、主板等）”；“外設配備（網(wǎng)卡、調制調解器、多媒體部件等）”；價格”。于是請同宿舍同窗一起去買電腦。為了數(shù)學處理簡樸，先令第88頁第88頁=“運算功效（數(shù)值、圖形等）”；=“存儲容量（內、外存）”；=“運營速度（CPU、主板等）”；=“外設配備（網(wǎng)卡、調制調解器、多媒體部件等）”；=“價格”。稱原因集。例題： 綜合評判第89頁第89頁評語集其中=“很受歡迎”；=“較受歡迎”；=“不太受歡迎”；=“不受歡迎”；任選幾臺電腦，請同窗和購買者對各原因進行評價。若對于運算功能 有20%人認為是“很受歡迎”，50%人認為“較受歡迎”，30%人認為“不太受歡迎” ，沒有些人認為“不受歡迎”，則 單原因評價向量為第90頁第90