模糊數(shù)學(xué)市公開(kāi)課獲獎(jiǎng)?wù)n件

1、第三章 模糊關(guān)系第1頁(yè)第1頁(yè)本章內(nèi)容1. 模糊關(guān)系基本概念2. 模糊矩陣3. 模糊關(guān)系和模糊矩陣合成4. 模糊等價(jià)矩陣第2頁(yè)第2頁(yè)同窗集合 X=張三，李四，王五外語(yǔ)選修課程集合 Y=英，法，德，日R= (張三, 英), (張三, 法), (李四, 德), (王五, 日), (王五, 英)什么是關(guān)系第3頁(yè)第3頁(yè)普通關(guān)系定義1：集合A,B直積AB=(a,b)|aA,bB一個(gè)子集R稱為A到B一個(gè)二元關(guān)系，簡(jiǎn)稱關(guān)系?？梢?jiàn)，關(guān)系也是個(gè)集合。第4頁(yè)第4頁(yè)關(guān)系example1設(shè)X為橫軸，Y為縱軸，直積XY是整個(gè)平面，其上普通關(guān)系xy：YXY=XR:XY0第5頁(yè)第5頁(yè)模糊關(guān)系example1 其上模糊關(guān)系R=

2、“x遠(yuǎn)遠(yuǎn)不小于y”，怎么表示？ 當(dāng)x=1000,y=100時(shí)，R(x,y)=0.999 當(dāng)x=20,y=10時(shí)，R(x,y)=0.5 當(dāng)x=20,y=18時(shí)，R(x,y)=0.0358R(x,y)X10y第6頁(yè)第6頁(yè) 概念定義3.1稱為從X 到Y(jié)模糊關(guān)系.(關(guān)聯(lián)度)。尤其，從X到X模糊關(guān)系稱為 X上模糊關(guān)系1. 模糊關(guān)系基本概念第7頁(yè)第7頁(yè)模糊關(guān)系example2例：設(shè)身高論域U=140，150，160，170，180，體重論域V=40，50，60，70，80，則身高與體重之間模糊關(guān)系：UV1401501601701804010.80.20.10500.8010.80.20.1600.20.8

3、10.80.2700.10.20.810.88000.10.20.81第8頁(yè)第8頁(yè)兩點(diǎn)闡明：第9頁(yè)第9頁(yè)模糊關(guān)系example3第10頁(yè)第10頁(yè)模糊關(guān)系運(yùn)算 模糊關(guān)系就是模糊子集，只但是其論域是直積 AB罷了 模糊關(guān)系運(yùn)算法則完全服從模糊集合運(yùn)算 法則第11頁(yè)第11頁(yè) 運(yùn)算可推廣包括：相等：并：交：余：第12頁(yè)第12頁(yè)下列是幾種特定模糊關(guān)系:倒置倒置倒置第13頁(yè)第13頁(yè)下列是幾種特定模糊關(guān)系:第14頁(yè)第14頁(yè)下列是幾種特定模糊關(guān)系:第15頁(yè)第15頁(yè)模糊關(guān)系性質(zhì)：第16頁(yè)第16頁(yè)2.模糊關(guān)系表示模糊矩陣典型有限集合上關(guān)系，能夠使用矩陣來(lái)表示。若論域XY是有限集，模糊關(guān)系能夠表示為模糊矩陣。模糊矩

4、陣元素表示關(guān)系從屬值。若論域XY是連續(xù)或無(wú)限，則該論域上(模糊)關(guān)系不能用(模糊)矩陣來(lái)表示。第17頁(yè)第17頁(yè)模糊矩陣定義假如對(duì)于任意i=1,2,m, j=1,2,n,都有rij0,1,則稱矩陣R=(rij)mn為模糊矩陣。若rij0,1,則模糊矩陣變成Boole矩陣。模糊矩陣能夠表示模糊關(guān)系，對(duì)于“A上模糊關(guān)系”用模糊方陣來(lái)表示。第18頁(yè)第18頁(yè)模糊矩陣Example設(shè)有四種物品，蘋果、乒乓球、書(shū)、花構(gòu)成論域U，分別用x1,x2，,xn表示，它們相同程度能夠用模糊關(guān)系R來(lái)表示：第19頁(yè)第19頁(yè)例1.例2.身高與體重之間關(guān)系為：模糊矩陣Example第20頁(yè)第20頁(yè)模糊關(guān)系與模糊矩陣假如給定X

5、上模糊關(guān)系I滿足 則稱I為X“恒等關(guān)系”，表示恒等關(guān)系I矩陣為單位矩陣。第21頁(yè)第21頁(yè)模糊關(guān)系與模糊矩陣若給定XY上模糊關(guān)系O，滿足 則稱O為XY“零關(guān)系”， 表示零關(guān)系O矩陣為零矩陣。第22頁(yè)第22頁(yè)模糊關(guān)系與模糊矩陣假如給定XY上模糊關(guān)系E滿足 稱E為XY“全稱關(guān)系”，表示全稱關(guān)系E矩陣為全稱矩陣。第23頁(yè)第23頁(yè)模糊關(guān)系與模糊矩陣假如給定XY上模糊關(guān)系R，定義 稱RT為R“倒置關(guān)系”,表示模糊關(guān)系RT矩陣為R矩陣轉(zhuǎn)置矩陣。第24頁(yè)第24頁(yè)模糊矩陣關(guān)系設(shè)A、B為模糊矩陣，記A=(aij), B=(bij)，i=1,2,m, j=1,2,n, 則 (1)相等：A=B 對(duì)任意i, j 有 a

6、ij = bij (2)包括：A B 對(duì)任意i, j 有 aij bij因此，對(duì)任何 總有：第25頁(yè)第25頁(yè)模糊矩陣運(yùn)算設(shè)A、B為模糊矩陣，記A=(aij), B=(bij)，i=1,2,m, j=1,2,n, 則 (1)并：AB (aijbij)mn (2)交: AB (aijbij)mn (3)余: Ac (1-aij) mn例：求第26頁(yè)第26頁(yè)模糊矩陣運(yùn)算性質(zhì)（1）冪等律：AAA , AA=A;（2）互換律：AB=BA, AB=BA;（3）結(jié)合律：(AB)C=A(B C), (AB)C=A(BC);（4）吸取律：A(AB)= A, A(AB)=A;（5）分派律: (AB)C=( AC)

7、(BC), (AB)C= ( AC)(BC);第27頁(yè)第27頁(yè)模糊矩陣運(yùn)算性質(zhì)（6）0-1律：AOA, AOO; EA=E,EA=A;（7）還原律：(Ac)c=A;（8）對(duì)偶律：(AB)c= AcBc, (AB)c= AcBc. 排中律不成立！ AcA E, AAc O 注意第28頁(yè)第28頁(yè)模糊矩陣包括性質(zhì)第29頁(yè)第29頁(yè)3. 模糊關(guān)系合成第30頁(yè)第30頁(yè)模糊關(guān)系合成定義第31頁(yè)第31頁(yè)例1：設(shè)生物群落論域模糊關(guān)系合成舉例表示X與U兩生物群落種群之間密切關(guān)系表示U與Y兩生物群落種群之間密切關(guān)系第32頁(yè)第32頁(yè)模糊關(guān)系合成舉例則表示生物群落X與Y之間密切關(guān)系。第33頁(yè)第33頁(yè)合成運(yùn)算Exampl

8、e2設(shè)R1為XY上模糊關(guān)系,其從屬函數(shù)滿足 設(shè)R2為YZ上模糊關(guān)系,其從屬函數(shù)滿足 試求R1、 R2合成。第34頁(yè)第34頁(yè)合成運(yùn)算Example2先求兩曲線交點(diǎn)，由解得（另一解舍去）當(dāng) 時(shí)故第35頁(yè)第35頁(yè)模糊關(guān)系合成運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)1：結(jié)合律 (A B) C = A (B C)； 性質(zhì)2：分派律 A ( BC ) = ( A B )( A C )； ( BC ) A = ( B A )( C A )；性質(zhì)3：( A B )T = BT AT；性質(zhì)4：A B，C D A C B D.性質(zhì)5：A B A C B C ， C A C B， A n B n注：(1) 合成( )運(yùn)算關(guān)于()分派律不成立,

9、即( AB ) C ( A C )( B C ) (2) 這些性質(zhì)在有限論域情況下,就是模糊矩陣合成運(yùn)算性質(zhì).第36頁(yè)第36頁(yè)模糊矩陣合成運(yùn)算與模糊方陣冪 設(shè)A = (aik)ms，B = (bkj)sn，定義模糊矩陣A 與B 合成為：A B = (cij)mn，其中cij = (aikbkj) | 1ks .模糊方陣冪定義：若A為 n 階方陣，定義A2 = A A，A3 = A2 A，Ak = Ak-1 A.第37頁(yè)第37頁(yè)模糊矩陣合成運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)1（結(jié)合律）：性質(zhì)2：性質(zhì)3（分派律）能夠推廣到多個(gè)：性質(zhì)4（01律）：第38頁(yè)第38頁(yè)性質(zhì)5：性質(zhì)6：模糊矩陣合成運(yùn)算性質(zhì)第39頁(yè)第39頁(yè)模糊矩

10、陣合成運(yùn)算性質(zhì) 合成運(yùn)算交運(yùn)算分派律不成立注意不滿足互換律。求： 定義。第40頁(yè)第40頁(yè)模糊矩陣合成舉例令第41頁(yè)第41頁(yè)采用max-min合成采用max-乘積合成模糊矩陣合成舉例第42頁(yè)第42頁(yè)模糊矩陣轉(zhuǎn)置 定義 設(shè)A = (aij)mn, 稱AT = (aijT )nm為A轉(zhuǎn)置矩陣，其中aijT = aji.轉(zhuǎn)置運(yùn)算性質(zhì)：性質(zhì)1：( AT )T = A；性質(zhì)2：( AB )T = ATBT， ( AB )T = ATBT；性質(zhì)3：( A B )T = BT AT；( An )T = ( AT )n ；性質(zhì)4：( Ac )T = ( AT )c ；性質(zhì)5：A B AT BT .第43頁(yè)第43

11、頁(yè)證實(shí)性質(zhì)3：( A B )T = BT AT；( An )T = ( AT )n .證實(shí)：設(shè)A=(aij)ms, B=(bij)sn, A B=C =(cij)mn, 記( A B )T = (cijT )nm , AT = (aijT )sm , BT = (bijT )ns , 由轉(zhuǎn)置定義知, cijT = cji , aijT = aji , bijT = bji . BT AT= (bikTakjT )nm =(bkiajk)nm =(ajkbki)nm = (cji)nm = (cijT )nm= ( A B )T . 模糊矩陣轉(zhuǎn)置第44頁(yè)第44頁(yè)模糊矩陣截矩陣模糊集合- 截集模糊

12、矩陣- 截矩陣定義：設(shè)給定模糊矩陣R=(rij)，對(duì)任意 0,1，稱R=(rij ()為R截矩陣，其中第45頁(yè)第45頁(yè)模糊矩陣截矩陣 設(shè)則：模糊矩陣A 截矩陣 相應(yīng)于有限論域上模糊關(guān)系 截關(guān)系，顯然， 元素僅能是0或1，因此， 是布爾矩陣。第46頁(yè)第46頁(yè)-截矩陣性質(zhì)模糊矩陣A, B， 0,1，性質(zhì)2. 性質(zhì)1.第47頁(yè)第47頁(yè)性質(zhì)3：證實(shí) 設(shè)A=(aik)ms,B=(bkj)sn, A。B=(cij)mn-截矩陣性質(zhì)第48頁(yè)第48頁(yè)-截矩陣性質(zhì)第49頁(yè)第49頁(yè)性質(zhì)4：-截矩陣性質(zhì)第50頁(yè)第50頁(yè)4. 模糊等價(jià)矩陣（1）普通等價(jià)關(guān)系對(duì)稱關(guān)系：傳遞關(guān)系：自反關(guān)系：等價(jià)關(guān)系：自反、對(duì)稱、傳遞 模糊

13、等價(jià)關(guān)系第51頁(yè)第51頁(yè)（2）模糊自反關(guān)系(fuzzy reflexive relations)定義則稱R為模糊自反關(guān)系.命題1依據(jù)主對(duì)角線元素是否為1鑒定R 是否自反證實(shí)：第52頁(yè)第52頁(yè)（3） 模糊對(duì)稱關(guān)系(fuzzy symmetric relations) 定義：則稱R為模糊對(duì)稱關(guān)系.依據(jù)矩陣是否為對(duì)稱陣鑒定R 是否對(duì)稱關(guān)系。顯然，R為模糊對(duì)稱關(guān)系.第53頁(yè)第53頁(yè)命題2證實(shí)：第54頁(yè)第54頁(yè)（4）模糊傳遞關(guān)系(fuzzy transitive relations)定義比如命題3第55頁(yè)第55頁(yè)（4）模糊傳遞關(guān)系(fuzzy transitive relations)第56頁(yè)第56頁(yè)命

14、題4設(shè)R是模糊傳遞，證實(shí)：依據(jù)命題3知：R模糊傳遞.由命題3知第57頁(yè)第57頁(yè)（5）模糊等價(jià)關(guān)系(fuzzy equivalency relations)定義 若R是模糊自反、對(duì)稱、傳遞關(guān)系，則稱 R是一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系。比如R是對(duì)稱陣且主對(duì)角線元素全為1，故為模糊對(duì)稱及自反關(guān)系。命題5: R為模糊等價(jià)關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng) 是普通等價(jià)關(guān)系。第58頁(yè)第58頁(yè)對(duì)模糊等價(jià)關(guān)系，第59頁(yè)第59頁(yè)伴隨劃分水平提升，劃分加細(xì)第60頁(yè)第60頁(yè) 模糊等價(jià)矩陣定義1. 若模糊矩陣 A Mnn滿足A I，則稱A為自反模糊矩陣。比如：在有限論域中自反模糊矩陣表示一個(gè)自反模糊關(guān)系。幾種概念與定理第61頁(yè)第61頁(yè)自反矩陣定理定理

15、1. 設(shè)模糊矩陣 A Mnn是自反矩陣，則有證實(shí):幾種概念與定理第62頁(yè)第62頁(yè)定義2： 包括R而又被任何包括R自反矩陣包括 自反矩陣叫R自反閉包。記為r (R) .定理2：證：需證 （1） 為自反矩陣 ；（2）任意包括 R自反矩陣必包括 。為自反矩陣。(2)設(shè)Q為任意包括R自反矩陣，則幾種概念與定理第63頁(yè)第63頁(yè)定義3：若模糊矩陣 A Mnn滿足AT=A，則稱A為模糊對(duì)稱矩陣。比如：幾種概念與定理在有限論域中，模糊對(duì)稱矩陣表示一個(gè)模糊對(duì)稱關(guān)系。第64頁(yè)第64頁(yè)幾種概念與定理定義4：R為模糊對(duì)稱矩陣，包括R而又被任何包括R 對(duì)稱矩陣所包括對(duì)稱矩陣，叫做R對(duì)稱閉 包。記為S(R)。為對(duì)稱矩陣。

16、定理3：證：需證 （1） 為對(duì)稱矩陣 ；（2）任意包括 R對(duì)稱矩陣必包括 。(2)設(shè)Q為任意包括R對(duì)稱矩陣， 則因Q對(duì)稱，因此QT=Q，由此得 從而第65頁(yè)第65頁(yè)定義5： 若模糊矩陣 A Mnn滿足 A2 A，則稱A為模糊傳遞矩陣。 比如：在有限論域中，模糊傳遞矩陣表示一個(gè)模糊傳遞關(guān)系。幾種概念與定理第66頁(yè)第66頁(yè)幾種概念與定理定義6：R為模糊傳遞矩陣，包括R而又被任何包括R 傳遞矩陣所包括傳遞矩陣，叫做R傳遞閉 包。記為t(R)。R 傳遞閉包t(R)含有下列性質(zhì)：（傳遞性）（包括性）（最小性）性質(zhì)表明：R傳遞閉包是包括R最小模糊傳遞矩陣。第67頁(yè)第67頁(yè)定理4: 設(shè)模糊矩陣 A Mnn，

17、則其中，t(A)是傳遞閉包。幾種概念與定理第68頁(yè)第68頁(yè)幾種概念與定理定理4證實(shí)：需證（1）是傳遞函數(shù)。（2）對(duì)任意傳遞矩陣（1） 因因此，是傳遞函數(shù)。合成運(yùn)算推廣性質(zhì)第69頁(yè)第69頁(yè)幾種概念與定理（2） 設(shè)為任意傳遞矩陣，且因Q是傳遞矩陣，因此從而有即由k任意性得：于是上述定理給出了任意模糊矩陣傳遞閉包表示式，但無(wú)法操作。下面定理給出改進(jìn)。第70頁(yè)第70頁(yè)定理5： 設(shè)模糊矩陣 A Mnn，則其中，t(A)是傳遞閉包。幾種概念與定理上式表明:當(dāng)A是n階方陣時(shí)，至多用n次并運(yùn)算便可求出A傳遞閉包。第71頁(yè)第71頁(yè)比如:幾種概念與定理第72頁(yè)第72頁(yè)定義7：設(shè)論域U=x1, x2, , xn ，

18、RMnn , I為單 位矩陣，若R滿足 （1）自反性：R I; （2）對(duì)稱性：RT=R; （3）傳遞性：R2 R 則稱R為模糊等價(jià)矩陣.幾種概念與定理在有限論域中，模糊等價(jià)矩陣表示一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系。第73頁(yè)第73頁(yè)例：設(shè)論域U=x1, x2，R是否為模糊等價(jià)矩陣？幾種概念與定理第74頁(yè)第74頁(yè)幾種概念與定理定理6：設(shè) 則若 為模糊自反矩陣，則為模糊自反矩陣；若 為模糊對(duì)稱矩陣，則為模糊對(duì)稱矩陣；為模糊傳遞矩陣；若 為模糊傳遞矩陣，則 此定理表明模糊矩陣自反性、對(duì)稱性與傳遞性對(duì)于交運(yùn)算是封閉。第75頁(yè)第75頁(yè)定理7： R是模糊等價(jià)矩陣 對(duì)于任何0,1，R是等價(jià)布爾矩陣。證實(shí)：（1）R自反性：（2

19、）R對(duì)稱性：對(duì)稱性（3）R傳遞性：傳遞性幾種概念與定理模糊等價(jià)矩陣判別條件第76頁(yè)第76頁(yè)定理7意義： 將模糊等價(jià)矩陣轉(zhuǎn)化為普通等價(jià)矩陣。普通等價(jià)矩陣等價(jià)于有限論域上普通等價(jià)關(guān)系，普通等價(jià)關(guān)系能夠分類。因此，當(dāng)在0,1上變動(dòng)時(shí)，得到不同R, 從而得到不同分類。幾種概念與定理第77頁(yè)第77頁(yè)定義1. 設(shè)R是UU上模糊關(guān)系 ，若R滿足（1）自反性：R(x,x)=1;（2）對(duì)稱性：R(x,y)=R(y,x);則稱R為U上模糊相同關(guān)系，其中隸屬度R(x,y)表示x,y相同程度。比如：模糊關(guān)系“熟悉”，“朋友”,“同窗”等。 模糊相同關(guān)系定理1：R是U上模糊相同關(guān)系充足必要條件是， 對(duì)任意 是U上普通相

20、同關(guān)系。第78頁(yè)第78頁(yè)定義2. 設(shè)有限論域U=x1, x2, , xn ，RMnn ，I為單位矩陣，若R滿足（1）自反性：R I （即rii=1）;（2）對(duì)稱性：RT=R （即rji=rij）;則稱R為模糊相同矩陣。 模糊相同矩陣第79頁(yè)第79頁(yè) 模糊相同矩陣?yán)?則R為模糊相同矩陣。Q不是，Q含有對(duì)稱性，但不含有自反性。第80頁(yè)第80頁(yè)模糊相同矩陣性質(zhì)定理1. 設(shè)RMnn 是模糊相同矩陣，則對(duì)于任何自然 數(shù)k，Rk也是模糊相同矩陣。 用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)第81頁(yè)第81頁(yè)模糊相同矩陣性質(zhì) 當(dāng)k1時(shí)， RK是模糊相同矩陣。 假設(shè)k=n時(shí)， RK是模糊相同矩陣，又 故有含有自反性。含有對(duì)稱性。第82頁(yè)

21、第82頁(yè)模糊相同矩陣vs. 模糊等價(jià)矩陣定理2. 設(shè)RMnn 是模糊相同矩陣，則存在一個(gè) 最小自然數(shù)k（k n），使得傳遞閉包 t(R)=Rk，對(duì)于任何自然數(shù)bk，都有 Rb=Rk，此時(shí)，t(R)是模糊等價(jià)矩陣。以上定理表明：通過(guò)求傳遞閉包t(R)，能夠?qū)⒛：嗤仃嚫脑斐蔀槟：葍r(jià)矩陣。模糊等價(jià)矩陣含有傳遞性，同時(shí)又保留了自反性與對(duì)稱性。第83頁(yè)第83頁(yè)平辦法求相同矩陣傳遞閉包從模糊相同矩陣R出發(fā)，依次求平方：當(dāng)?shù)谝淮纬霈F(xiàn)Rk Rk =Rk時(shí)， Rk就是所求傳遞閉包t(R)第84頁(yè)第84頁(yè)比如：平辦法例第85頁(yè)第85頁(yè)第86頁(yè)第86頁(yè)平辦法例設(shè)求傳遞閉包t(R)通過(guò)i次求得nn階模糊相同矩陣

22、R傳遞閉包t(R)=R2i，必有2in，ilogn/log2，因此，最多計(jì)算log2n1次便可求t(R).第87頁(yè)第87頁(yè)例題： 綜合評(píng)判綜合評(píng)判是綜合決議內(nèi)容。下面以電腦評(píng)判為例來(lái)闡明如何評(píng)價(jià)。某同窗想購(gòu)買一臺(tái)電腦，他關(guān)懷電腦下列幾種指標(biāo)：“運(yùn)算功效（數(shù)值、圖形等）”；“存儲(chǔ)容量（內(nèi)、外存）”；“運(yùn)營(yíng)速度（CPU、主板等）”；“外設(shè)配備（網(wǎng)卡、調(diào)制調(diào)解器、多媒體部件等）”；價(jià)格”。于是請(qǐng)同宿舍同窗一起去買電腦。為了數(shù)學(xué)處理簡(jiǎn)樸，先令第88頁(yè)第88頁(yè)=“運(yùn)算功效（數(shù)值、圖形等）”；=“存儲(chǔ)容量（內(nèi)、外存）”；=“運(yùn)營(yíng)速度（CPU、主板等）”；=“外設(shè)配備（網(wǎng)卡、調(diào)制調(diào)解器、多媒體部件等）”；=“價(jià)格”。稱原因集。例題： 綜合評(píng)判第89頁(yè)第89頁(yè)評(píng)語(yǔ)集其中=“很受歡迎”；=“較受歡迎”；=“不太受歡迎”；=“不受歡迎”；任選幾臺(tái)電腦，請(qǐng)同窗和購(gòu)買者對(duì)各原因進(jìn)行評(píng)價(jià)。若對(duì)于運(yùn)算功能 有20%人認(rèn)為是“很受歡迎”，50%人認(rèn)為“較受歡迎”，30%人認(rèn)為“不太受歡迎” ，沒(méi)有些人認(rèn)為“不受歡迎”，則 單原因評(píng)價(jià)向量為第90頁(yè)第90