隨機(jī)變量和其分布市公開課獲獎(jiǎng)?wù)n件

1、一、隨機(jī)變量概念第一節(jié) 一維隨機(jī)變量 及其分布(1)第二章三、內(nèi)容小結(jié)二、分布函數(shù)概念第1頁第1頁 概率論是從數(shù)量上來研究隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律性,為了更方便有力研究隨機(jī)現(xiàn)象,就要用數(shù)學(xué)分析方法來研究, 因此為了便于數(shù)學(xué)上推導(dǎo)和計(jì)算,就需將任意隨機(jī)事件數(shù)量化,當(dāng)把一些非數(shù)量表示隨機(jī)事件用數(shù)字來表示時(shí), 就建立起了隨機(jī)變量概念.1. 隨機(jī)變量引入一、隨機(jī)變量定義(1) 為何引入隨機(jī)變量?第2頁第2頁(2) 隨機(jī)變量引入實(shí)例1 在一裝有紅球、白球袋中任摸一個(gè)球,觀測(cè)摸出球顏色.非數(shù)量可采用下列辦法 紅色白色將 數(shù)量化 =紅色、白色 第3頁第3頁即有 X (紅色)=1 , X (白色)=0.這樣便將非數(shù)量

2、 =紅色、白色 數(shù)量化了.第4頁第4頁實(shí)例2 拋擲骰子,觀測(cè)出現(xiàn)點(diǎn)數(shù).=1、2、3、4、5、6樣本點(diǎn)本身就是數(shù)量恒等變換且有則有第5頁第5頁2. 隨機(jī)變量定義定義2.1 設(shè) E是隨機(jī)試驗(yàn)，其樣本空間為= . 若對(duì)于每一個(gè)樣本點(diǎn) ，都有唯一實(shí)數(shù)值 X()與之相應(yīng)，則稱定義在樣本空間= 上單值實(shí)函數(shù)X()為隨機(jī)變量，簡(jiǎn)記為 X.慣用 X，Y，Z，表示隨機(jī)變量；用x, y, z, 表示X，Y，Z，取值.第6頁第6頁注.1 X()定義域是樣本空間，而不一隨機(jī)變量X() 與高等數(shù)學(xué)中實(shí)函數(shù)有本質(zhì)區(qū)別：定是實(shí)數(shù)集；2 X()取值是隨機(jī)，它每一個(gè)可3 隨機(jī)變量是隨機(jī)事件數(shù)量化. 即對(duì)于任意實(shí)數(shù) x, X x

3、 是隨機(jī)事件.能取值都有一定概率；第7頁第7頁實(shí)例3 擲一個(gè)硬幣, 觀測(cè)出現(xiàn)面 , 共有兩個(gè)結(jié)果:若用 X 表示擲一個(gè)硬幣出現(xiàn)正面次數(shù), 則有即 X (e) 是一個(gè)隨機(jī)變量.第8頁第8頁實(shí)例4 設(shè)某射手每次射擊打中目的概率是0.8,現(xiàn)該射手不斷向目的射擊 , 直到擊中目的為止,則是一個(gè)隨機(jī)變量.且 X(e) 所有也許取值為:第9頁第9頁實(shí)例5 某公共汽車站每隔 5 分鐘有一輛汽車通過, 假如某人到達(dá)該車站時(shí)刻是隨機(jī), 則是一個(gè)隨機(jī)變量.且 X(e) 所有可能取值為:第10頁第10頁3.隨機(jī)變量分類離散型(1)離散型 隨機(jī)變量所取也許值是有限多個(gè)或無限多個(gè)(可列個(gè)), 叫做離散型隨機(jī)變量. 觀測(cè)

4、擲一個(gè)骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù).隨機(jī)變量 X 也許值是 :隨機(jī)變量連續(xù)型實(shí)例11, 2, 3, 4, 5, 6.非離散型其它第11頁第11頁實(shí)例2 若隨機(jī)變量 X 記為 “連續(xù)射擊, 直至命中時(shí)射擊次數(shù)”, 則 X 也許值是: 實(shí)例3 設(shè)某射手每次射擊打中目的概率是0.8,現(xiàn)該射手射了30次,則隨機(jī)變量 X 記為“擊中目的次數(shù)”, 則 X 所有也許取值為:第12頁第12頁實(shí)例2 隨機(jī)變量 X 為“測(cè)量某零件尺寸時(shí)測(cè)誤差”.則 X 取值范圍為 (a, b) 內(nèi)任一值.實(shí)例1 隨機(jī)變量 X 為“燈泡壽命”.(2)連續(xù)型 隨機(jī)變量所取也許值能夠連續(xù)地充滿某個(gè)區(qū)間,叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.則 X 取值范圍為第13頁第

5、13頁二、分布函數(shù)概念 為了對(duì)離散型和連續(xù)型 隨機(jī)變量以及更廣泛類型隨機(jī)變量給出一個(gè)統(tǒng)一描述辦法，下面引進(jìn)了分布函數(shù)概念.1.分布函數(shù)定義設(shè) X 是隨機(jī)變量，x 是任意實(shí)數(shù)，函數(shù) 稱為X 分布函數(shù).定義2.2記作 X F(x) 或 FX(x).第14頁第14頁 1 假如將X看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo),則分布函數(shù)F(x)值就表示X 落在區(qū)間(-, x概率.x注. 問： 在上 式中，X, x 皆為變量. 兩者有什么區(qū)別？ x 起什么作用？ F(x) 是不是概率？X是隨機(jī)變量, x是參變量.F(x) 是隨機(jī)變量 X 取值小于 x 概率.第15頁第15頁2 分布函數(shù)主要研究隨機(jī)變量在某一區(qū)間內(nèi)取值概率情況.

6、3 分布函數(shù)是一個(gè)普通函數(shù)，正是通過它， 我們能夠用數(shù)學(xué)分析工具來研究 隨機(jī)變量.第16頁第16頁 拋擲均勻硬幣, 令求隨機(jī)變量 X 分布函數(shù).例1解第17頁第17頁第18頁第18頁2.分布函數(shù)性質(zhì)(1) (2) 第19頁第19頁證(2)(3)因此單調(diào)不減.第20頁第20頁第21頁第21頁第22頁第22頁1 1.單調(diào)有界 準(zhǔn)則2. 夾逼準(zhǔn)則第23頁第23頁即任一分布函數(shù)處處右連續(xù).(證實(shí)略)如：對(duì)例1,第24頁第24頁2事實(shí)上，一個(gè)函數(shù)若含有上述性質(zhì)(1) 、(2)、(4)和(5), 則此函數(shù)一定是某個(gè)隨機(jī)變量分布函數(shù).1 能夠證實(shí)：注.第25頁第25頁主要公式:第26頁第26頁例2求已知隨機(jī)變量 X 分布函數(shù)為解第27頁第27頁第28頁第28頁例3解(1)第29頁第29頁由分布函數(shù)右連續(xù)性，得(2)第30頁第30頁 一個(gè)靶子是半徑為2米圓盤,設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上點(diǎn)概率與該圓盤面積成正比,并設(shè)射擊都能中靶,以X表示彈著點(diǎn)與圓心距離.試求隨機(jī)變量 X 分布函數(shù).解例4第31頁第31頁于是故 X 分布函數(shù)為其圖形為一連續(xù)曲線第32頁第32頁三、內(nèi)容小結(jié)2. 隨機(jī)變量分類:離散型,連續(xù)型.1. 概率論是從數(shù)量上來研究隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律性, 所覺得了以便有力研究隨機(jī)現(xiàn)象, 就需將任意隨機(jī)事件數(shù)量化,把一