2021年北京市密云區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

1、7 3 2021 北市云高數(shù)一試7 3 一選題本題 10 題，小 4 分共 40 分在每題出四選中 選符題要的項(xiàng) 已集合 ， ， ）A.B. C. 已復(fù)數(shù) 2，則 （ ）A. B. C. 設(shè)列是等差數(shù)列， 3 5， 這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)和等于（ ）A.12B.21C.36 已平面向 ， ， 則實(shí) 的等于（ ）A.B.232 已 ， ，則 ”是A.充分而不必要條件C.充分必要件 ”的 ）B.必而不充分條件既不充分也不必要條件 如直線 與圓 2 2相交，則 與 的置關(guān)系是（ ）A. 在圓 上 C.點(diǎn) 在圓 內(nèi)B.點(diǎn) 在 外上述三種情況都有可能 函 ( 的部分圖象如圖所示， 的調(diào)遞增區(qū)間為（ ）試卷第 1

2、頁，總 頁5 5 15 15 11 1 1 11 1 11 5 3 A.5 5 15 15 11 1 1 11 1 11 5 3 C. 4 4 4B. 4 4 4 4 某棱錐的三視如圖所示，則該四棱錐的表面積為（ ）A.B.3C. 已斜率為 的線 與物 于 ， 兩點(diǎn)，線 的點(diǎn)為 ，則斜率 的取值范圍是（ ）A. B. C.10. 在方體 中， 是棱 的點(diǎn)， 是面 的垂線垂直，如圖所示，下列說法不正確的是（ ）內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)， 與 1A. 的跡是一條線段 C. 與 不能平行B. 與 是異面直線三棱錐 的積為定值1二填題本題 5 小題每題 5 ， 25 已知 的展開式中， 項(xiàng)的系數(shù)為_（數(shù)字作答 雙曲線

3、 的點(diǎn)坐標(biāo)是 （，） ，漸近線方程是_在疫情防控過程中，某醫(yī)院一次性收治患人在醫(yī)護(hù)人員的精心治療下， 天開始有患者治愈出院，并且恰有其中名者治愈出院如果從1天始，每天試卷第 2 頁，總 頁3 3 出院的人數(shù)是前一天出院人數(shù)倍那么第天治愈出院患者的人數(shù)_， _天該醫(yī)院本次收治的所有患者3 3 函數(shù) cos 的小正周期是，調(diào)遞增區(qū)間_已知函 ，若關(guān) 的方 有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí) 的值圍_三解題本題 6 小， 85 分，答寫文說，算驟證過 eq oac(, ) 中 ， ， 分是， ， 的邊，并 已 ， eq oac(, ) 的積；請(qǐng)從 ， ， sin 這三個(gè)條件中任選兩個(gè)，將問 充完整，

4、并作答注意，只需選擇其中的一種情況作答即可，如果選擇多種情況作答，以第一 種情況的解答計(jì)分求 cos 的最大值在考察疫情防控工作中，某區(qū)衛(wèi)生防控中心提出“堅(jiān)持開展愛國衛(wèi)生運(yùn)動(dòng)，從人 居環(huán)境改善、飲食習(xí)慣，社會(huì)心理健康、公共衛(wèi)生設(shè)施等多個(gè)方面開展，特別是要堅(jiān) 決杜絕食用野生動(dòng)物的陋習(xí)，提倡文明健康、綠色環(huán)保的生活方”的要求某小組 過問卷調(diào)查，隨機(jī)收集了該區(qū)居民六類日常生活習(xí)慣的有關(guān)數(shù)據(jù)六類習(xí)慣是 衛(wèi)生習(xí)慣狀況類垃圾處理狀況類體鍛煉狀況類心理健康狀況 類； （）食理狀況類）作息規(guī)律狀況類經(jīng)過數(shù)據(jù)整，得到如表：衛(wèi)生習(xí)慣 垃圾處理 體育鍛煉 心理健康 膳食合理 狀況類 狀況類 狀況類 狀況類 狀況類作

5、息規(guī)律狀況類有效答550410400卷份數(shù)習(xí)慣良0.60.90.80.70.650.6好頻率假設(shè)每份調(diào)查問卷只調(diào)查上述六類狀況之一，各類調(diào)查是否達(dá)到良好標(biāo)準(zhǔn)相互獨(dú)立 從組收集的有效答卷中隨機(jī)選份，求這份試卷的調(diào)查結(jié)果是膳食合理狀況類 中習(xí)慣良好者的概率；從區(qū)任選一位居民，試估計(jì)他“衛(wèi)習(xí)慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理 狀況類三習(xí)慣方面，至少具備兩類良好習(xí)慣的概率；利上述六類習(xí)慣調(diào)查的排序，表任選一位第類受訪者是習(xí)慣良好者，“ ”表任選一位類訪者不是習(xí)慣良好 出方差 ， ， ， ， ， 的小關(guān)系如圖，在四棱錐 中底 是長為的形 eq oac(, ) 為 等邊三角形，平 平 ， ， 分別是線 和

6、 的中點(diǎn) 求線 與平面 所角的正弦值；試卷第 3 頁，總 頁2 31,2 2 ,2 3 2 31,2 2 ,2 3 試斷直線 與面 的置關(guān)系，并給出證明已知函 ， 求線 在點(diǎn) （ ）處的切線方程； 求數(shù) 的調(diào)區(qū)間；判函 的點(diǎn)個(gè)數(shù)已知橢:22 的心率為 ，過 2 2求圓 的準(zhǔn)方程；點(diǎn) 是圓上異于短軸端， 的意一點(diǎn)，過 作 軸 ，段 的 點(diǎn)為 直 與線 交點(diǎn) ， 為段 中點(diǎn)，設(shè) 為標(biāo)原點(diǎn)，試 斷以 為徑的圓與點(diǎn) 的位置關(guān)系設(shè)等差數(shù)列 的首項(xiàng)為，差 ， 等差數(shù) 的首項(xiàng)，差 數(shù) 和 構(gòu)數(shù) ，數(shù)表 ： 記數(shù)表 中位于第 行 列的元素為 ，中 ( ,記數(shù)表 中于第 行 列元素 ，其中 , , ： ， 設(shè)

7、，計(jì) ， ， ；設(shè) ，求 ， 的表達(dá)式（ ， 表證：對(duì)于整 ， 不屬于數(shù)表 ， 屬數(shù) ；設(shè) ，于整數(shù) ， 不于數(shù)表 ，求 的大值試卷第 4 頁，總 頁參答與題析2021 北市云高數(shù)一試一選題本題 10 題，小 4 分共 40 分在每題出四選中 選符題要的項(xiàng)【答案】C【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算【解析】進(jìn)行交集的運(yùn)算即可【解答】 ， ， 【答案】C【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模【解析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn) ，而求得結(jié)論【解答】因?yàn)閺?fù) 2 2) ) ； 2 2 ；【答案】B【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)【解析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出數(shù)列的項(xiàng)和 【解答】 數(shù)

8、列是等差數(shù)列， 5， 這數(shù)列的項(xiàng)為：，解得， ， 【答案】A【考點(diǎn)】2 試卷第 5 頁，總 頁平行向量（共線）【解析】利用向量共線的充要條件，列出方程求解即可 【解答】 向量 ， ，若 ， 可得 ，解 【答案】D【考點(diǎn)】充分條件、必要條件、充要條件【解析】“ ”與【解答】 “ ”與 ”相推不出， 的負(fù)有關(guān)，即判斷出關(guān)系 ”相推不出， 的負(fù)有關(guān)， 是 ”的不充分也不必要條件【答案】B【考點(diǎn)】直線與圓相交的性質(zhì)【解析】由直線與圓相交，可得圓心到直線的距離小于半徑，轉(zhuǎn)化為 到心距離大 于半徑得答案【解答】 直線 與圓 相交， 圓心 到線 的離 ，22即 也就是 到 的心的距離大于半徑即點(diǎn) 與圓 的置

9、關(guān)系是 在圓 外【答案】D【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象【解析】圖象上給出半個(gè)周期的長度，由此可以求出最高點(diǎn)、曲線 軸點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可看 出增減區(qū)間【解答】本題采用賦值法如圖所示，此圖象在 軸負(fù)半軸與 軸相交的點(diǎn)為，試卷第 6 頁，總 頁1 1 5 35 3 1 1 3 51 35 11 1 2 1 1 1 5 35 3 1 1 3 51 35 11 1 2 1 ，4 軸半軸 與 中為 ，4 4 4所以我們所能看到的圖象上對(duì)稱的特殊點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別 ， ， ， ， ，4 4 4 4 4 4增區(qū)間里面沒有 ，、 答案錯(cuò) 答： 時(shí)區(qū)間 , 為函數(shù)的減區(qū)間，4 4 答案： 時(shí)區(qū)間為 , ) 為函數(shù)的增區(qū)間4

10、4故選： 【答案】D【考點(diǎn)】由三視圖求體積【解析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體，進(jìn)一步求出幾何體的表面積【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：該幾何體為四棱錐體題中三視圖要轉(zhuǎn)換角度來看）如圖所示：所以： 故選： 2 2 ， 【答案】C【考點(diǎn)】直線與拋物線的位置關(guān)系【解析】設(shè) , ， , )，直 的方程為 ，拋物線方程聯(lián)立， 得 1利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件 ， ，入上式即可求 的 值范圍【解答】設(shè)直線 的程為： ，設(shè)( , ， , ，聯(lián)立方程 ，消去得： ，試卷第 7 頁，總 頁 2 3 eq oac(, ) 2 3 ， ，且 2， 22， ， 線段 的點(diǎn)為 ， 2 ， ， 2， ， ， ，

11、把 代 ，得 2 ， ， ，10.【答案】C【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用異面直線的判定空間中直線與直線之間的位置關(guān)系【解析】分別根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理以及異面直線的定義，以及體積公式分別進(jìn)行判斷 【解答】對(duì)于平 與線 交點(diǎn) ，連 、 ， 為 的中點(diǎn)分別取 、 的中 、 ，接 、 、 ， ， 平 ， 平面 ， 平面 理可得 平 ， 、 是面 內(nèi)相交直線 平面 平 ，由此結(jié) 平面 ，得直線 平 ， 即點(diǎn) 是段 上的動(dòng)點(diǎn) 正對(duì)于 平 平 ， 和 相， 與 是面直線 正對(duì)于 ，由知平面 平 ， 與 不能平行， 錯(cuò) 對(duì)于 ，因?yàn)?，則 到 的距離是定值，三棱 的積為定 值，所 正；二填題本題 5 小題每

12、題 5 ， 25 【答案】【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理及相關(guān)概念【解析】利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求出展開式中 的數(shù)【解答】 5展開式的通項(xiàng)公式為試卷第 8 頁，總 頁2 4 ， 2 4 ， 1 5 5 5(2)52，令 2，所以展開式中含的系數(shù)為 10 5【答案】 【考點(diǎn)】雙曲線的離心率【解析】通過雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求解 ， ，即可得到所求的結(jié)果【解答】雙曲線2 2，得， ，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ，漸近線方程為： 【答案】,22【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)【解析】由題意得出院人數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)，比為的比數(shù)列，由此能求結(jié)果 【解答】某醫(yī)院一次性收治患1人第天始有患者治愈出院，并且恰有其中名者治愈出院如果從天

13、開始，每天出院的人數(shù)是前一天出人數(shù)倍 從第天始，每天出人數(shù)構(gòu)成為項(xiàng)，為比的等比數(shù)列， 則第天愈出院者的人數(shù) 2 ， 12) ，解得， 第 天醫(yī)院本次收治的所有患者能全部治愈出院 【答案】 ,2, 【考點(diǎn)】二倍角的三角函數(shù)三角函數(shù)的周期性及其求法【解析】化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可 【解答】 函數(shù)( 1 2 可最小正周 2 ，令 2 2 2， ，得2 ， ，試卷第 9 頁，總 頁2 2 21 1 1 2 2 2 2 21 1 12 22 21sin 可得單調(diào)遞增區(qū)間是 2 2 21 1 1 2 2 2 2 21 1 12 22 21sin 2, ， 【答案】 【考點(diǎn)】函數(shù)的

14、零點(diǎn)與方程根的關(guān)系【解析】由函數(shù) 的析式畫出函數(shù)的圖象，再 的象，求出一個(gè)交點(diǎn)時(shí) 的2值，然后平行移動(dòng)可得有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí) 的圍【解答】函數(shù) 的圖象如圖所示：方程 2 有只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)過 點(diǎn)兩個(gè)函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)，即 ，時(shí)與函 有一個(gè)交點(diǎn)，向下平移后 有兩個(gè)交點(diǎn)，可得 ，故答案為： 三解題本題 6 小， 85 分，答寫文說，算驟證過 【答案】（）選 ， ， ， 2 ， 2，又 ， 2 的面積 sin 2 22 2 2若選 ， 由2 可得 ， 2 2 ， 2，又 ， 2 的面積 sin 2 3 2 22 2若選 ，sin ， 又2 ， 2 2 2 ，可 ， 21 的面積 1 1 212 2

15、21（） cos cos 試卷第 10 頁，總 19 頁 cos 1 2 2 221 1 cos 2 22 1 1 12 2 21 1 1 21sin 1 cos 2 21 2 2 221 1 cos 2 22 1 1 12 2 21 1 1 21sin 1 3 sin 2 ， ， 3 故 的大為 【考點(diǎn)】余弦定理【解析】 選 ， 可 ，結(jié)2 22 ，得 即可3若選 ， 由 即可32 2 2 可得 2 ， 若選 ，sin ，得 ，2 ，可得 3， 213即可；cos cos 3 3 2 21 32 2 sin 即可【解答】（）選 ， ， ， ， 2 22，又 ， 2 的面積 sin 2 4 2

16、 232 2若選 ， 由2 22 可得 ， 2 ， 2，又 ， 2 的面積 sin 2 3 2 23232若選 ，sin ， 又2 22 ， 2 2 22，可得 3， 213 的面積 1 1 212 2 32133（） cos cos 3 cos 2 2試卷第 11 頁，總 19 頁 cos 3 3 sin ， ， 故 的大為【答案】（）設(shè)選取的試卷的調(diào)查結(jié)果是膳食合理況類中習(xí)慣良好“的事件， 有效問卷共有 （其中受訪者中膳食合理習(xí)慣良好的人數(shù) 人故 ； 設(shè)區(qū)衛(wèi)習(xí)慣狀況良好“體育鍛煉狀況良好“膳食合理狀況良好者事 件分別， ， 根據(jù)題意，可知 ， ， ，設(shè)事件 為該民“衛(wèi)習(xí)慣狀況類、體鍛煉狀況

17、類、膳食合理狀況三類習(xí)慣 方面，至少具備兩類良好習(xí)慣 則 ) ) ； 【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差【解析】（）設(shè)選取的試卷的調(diào)查結(jié)果是膳食合理況類中習(xí)慣良好“的事件，據(jù) 典概型求出即可； 設(shè)區(qū)衛(wèi)習(xí)慣狀況良好“體育鍛煉狀況良好“膳食合理狀況良好者事 件分別， ， 設(shè)事 為該民衛(wèi)生習(xí)慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合 理狀況類三習(xí)慣方面，至少具備類良好習(xí)，則 ，求出即可； 根題意，寫出即可【解答】（）設(shè)選取的試卷的調(diào)查結(jié)果是膳食合理況類中習(xí)慣良好“的事件， 有效問卷共有 （其中受訪者中膳食合理習(xí)慣良好的人數(shù) 人故 ； 設(shè)區(qū)衛(wèi)習(xí)慣狀況良好“體育鍛煉狀況良好“膳食合理狀況良好者事 件分別， ， 根

18、據(jù)題意，可知 ， ， ，設(shè)事件 為該民“衛(wèi)習(xí)慣狀況類、體鍛煉狀況類、膳食合理狀況三類習(xí)慣 方面，至少具備兩類良好習(xí)慣試卷第 12 頁，總 19 頁 則 ) ) ； 【答案】 底面 是長的形 ， 為等邊三角形取 中 ，接 ，則 ， 為邊角形， ，又平面 平面 ，平 平 平面 以 為標(biāo)原點(diǎn)，分別 ， ， 所直線為 ， 軸立空間直角坐標(biāo)系 則 ， ， ， ， ， ， ， ，平 一個(gè)法向量 由 3 3 ，取 ，得 （）明 , ，直 與平 所角 ，則in cos | |，即直線 與平 所成角的正弦值為 ；（）平 的個(gè)向量為 ，由os | ，得二面角 的弦值 ； , ， ，又 平面 ， 直線 平面 試卷第

19、 13 頁，總 19 頁 ， 得二面角 的 ， 得二面角 的弦值 ；二面角的平面角及求法直線與平面所成的角【解析】取 中 ，連接 ， ，由已知證明 平面 ， 為標(biāo)原點(diǎn)， 分別以 ， ， 所在直線 ， 軸立空間直角坐標(biāo)系，求出平 的一個(gè)法向量 求的坐標(biāo)，由 與 所成角的余弦值可得直 與面 所成角的正弦值；求平 的個(gè)法向量，再由兩平面法向量所成角的余弦值可得二面 的余弦值；求【解答】的坐標(biāo)，由 ，合 平面 ，可得直 平面 底面 是長的形 ， 為等邊三角形取 中 ，接 ，則 ， 為邊角形， ，又平面 平面 ，平 平 平面 以 為標(biāo)原點(diǎn)，分別 ， ， 所直線為 ， 軸立空間直角坐標(biāo)系 則 ， ， ，

20、， ， ， ， ，平 一個(gè)法向量 由 3 3 ，取 ，得 （）明 , ，直 與平 所角 ，則in cos | |15，即直線 與平 所成角的正弦值為 ；（）平 的個(gè)向量為 ，由os | 5 , ， ，又 平面 ， 直線 平面 試卷第 14 頁，總 19 頁【答案】 （） ， ，設(shè)曲線 在點(diǎn) （ ）處的切線的斜率 ，則 ，又 ， 曲線 在點(diǎn) （ ）處的切線方程為： ， ；（）由知 ，故當(dāng) 時(shí)， ，以( 在 上單調(diào)遞增；當(dāng) 時(shí)， ， ； , ， ； 的減區(qū)間為 ，增區(qū)間, ；當(dāng) 時(shí)同理可 的遞增區(qū)間為，減區(qū)間為 , ；綜上所述， 時(shí)， 單遞增 ，遞減區(qū)間；當(dāng) 時(shí)， 的減區(qū)間為當(dāng) 時(shí)， 的增區(qū)間為，

21、增間，減間, ；, ；當(dāng) 時(shí)， 恒立，所 無零點(diǎn)；當(dāng) 時(shí)由 ，得 ，只有一個(gè)零點(diǎn)【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程【解析】（）曲 在 （ ）的切線的斜率為 ，求 ， ，用直線的點(diǎn)斜式方程即可求得答案；由知 ，分 時(shí) ， 三類討論，即可求得 各種情況下的 的調(diào)區(qū)間為；分 兩討論，即可判斷函 的點(diǎn)數(shù)【解答】（） ， ，試卷第 15 頁，總 19 頁 2 2 0 0， 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 設(shè)曲線 在點(diǎn) （ ）處的切線的斜率 ， 2 2 0 0， 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 則 ，又 ， 曲線 在點(diǎn) （ ）處的切

22、線方程為： ， ；（）由知 ，故當(dāng) 時(shí)， ，以( 在 上單調(diào)遞增；當(dāng) 時(shí)， ， ； , ， ； 的減區(qū)間為 ，增區(qū)間, ；當(dāng) 時(shí)同理可 的遞增區(qū)間為，減區(qū)間為 , ；綜上所述， 時(shí)， 單遞增 ，遞減區(qū)間；當(dāng) 時(shí)， 的減區(qū)間為當(dāng) 時(shí)， 的增區(qū)間為，增間，減間, ；, ；當(dāng) 時(shí)， 恒立，所 無零點(diǎn)；當(dāng) 時(shí)由 ，得 ，只有一個(gè)零點(diǎn)【答案】 2解：由意可知，2 2 2 2，解得 3 橢圓 的準(zhǔn)方程為：4 2 .設(shè) ， 0 直線 的斜率為 2, ， 直線 的方程為 ，令 得 0， 點(diǎn) 的標(biāo)0, ， 點(diǎn) 的標(biāo)2(1 , ， 02, 022(10, 042 2440 ，又 點(diǎn), 在圓 上 42 2 ， 2

23、4 4 2，試卷第 16 頁，總 19 頁 2 4(10 2 2 2 0 0， 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 4 2 0 0 0 00 2 4(1 )4(1 2 4(10 2 2 2 0 0， 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 4 2 0 0 0 00 2 4(1 )4(1 4(1 ， 0 0 0 點(diǎn) 在以 為直徑的圓上【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程直線與橢圓的位置關(guān)系橢圓的應(yīng)用【解析】（）據(jù)題意列出關(guān)于 ， ， 的程組，解出 ， ， 的，可得到橢 的準(zhǔn) 方程；設(shè) , ，則 0 , ，出直線 方程，進(jìn)而求出點(diǎn) 的坐標(biāo)，再利用0 0 0中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到點(diǎn)

24、的標(biāo)，下面結(jié)合點(diǎn) 在圓 上出 0，所以 在 以 為徑的圓上【解答】 2解：由意可知，2 ，22 2，解得 3 橢圓 的準(zhǔn)方程為：4 2 .設(shè) ， 0 , ，0 0 0 直線 的斜率為 002 直線 的方程為 =2( 2( ，令 得， 點(diǎn) 的標(biāo)，, ， 點(diǎn) 的標(biāo) , ， 0 0 0 , 0 0 0244 0，又 點(diǎn) 橢 上，42 02 ，02 4 4 02， 0 ，0 0 00 點(diǎn) 在以 為直徑的圓上【答案】（）題意知差數(shù)的通項(xiàng)公式為： ；試卷第 17 頁，總 19 頁,2 2 2 2 2 2 ,2 2 2 2 2 2 , ，得 9 ，則 ， ，得 +1 ，故 （）明：已 ，題意知等差數(shù)列 等差

25、數(shù) 的項(xiàng)公式為 ，的通項(xiàng)公式為6 ；得 ， ， 得 +1 6 ， ， ， 所以若 ，存在 ， 若 ，存 ， 6， ， ，因此，對(duì)于正整 ，考慮集合 6 ，即 下面證明：集合 中少有一元素是的倍數(shù)反證法：假設(shè)集 中任何一個(gè)元素，都不是的倍數(shù)，則集 中一元素關(guān)的 余數(shù)可以為，又因?yàn)榧?中共個(gè)素，所以集 中少存在兩個(gè)元素關(guān)于的數(shù)相同， 不妨設(shè) 6 ， ，其中 ， ， 則這兩個(gè)元素的差的 數(shù)，即 ，所以 ， 矛盾，所以假設(shè)不成立，即原命題成立即集合 中至少有一元素的數(shù)，不妨設(shè)該元素為 ， ， ， 則存在 ，使 ， 6，即 ， ， 由已證可知，若 ，則存在 ， ，使 ，而 ，以 為整 數(shù)，設(shè) 則 ，且 6 ， ， ， ， 所以， 時(shí)，對(duì)于整 ， ，則 成立下用反證法證明：若對(duì)