2021年中考數(shù)學(xué) 二輪專題匯編相似三角形及其應(yīng)用

1、1 11 1 考學(xué) 二專編相角及應(yīng)一、選題1.如圖， eq oac(, )ABC 中， D 分別在 AB 邊上，DEBCM 為 邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn) ，C 重合，連接 AM DE 于點(diǎn) 則( )A =BCD2.=如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1 ，則下圖形中的三角形 ( 影部分 與 C 相似的是 ( )3. 雅安)若 b ， ， 2 值是A4C20B2D144.如圖，長(zhǎng)、寬均為 3，高 的長(zhǎng)方體容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高為 6，繞底面一棱進(jìn)行旋轉(zhuǎn)傾斜后，水面恰好觸到容器口邊緣，圖 是此時(shí)的示意圖，則圖中水面高度為 ( )A B C .5.（2020永州）如圖，在 ABC 中， EF

2、/BC ,AE 2EB 3，四邊 BCFE 的面積為 21則 的面積是（ ）913B. 25 C. D. 6.（ 廣西北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū)）如圖，在ABC 中，120，高 60，正方形 EFGH 一在 上，點(diǎn) E， 分別在 AB 上，AD 交 EF 于點(diǎn) N，則 的長(zhǎng)為（ ）A15B20 C25 D7.（2020 重慶 卷）如圖， 與 DEF 位似，點(diǎn) O 為位似中心已知:=1:2，則ABC 與 DEF 的面積比為（ ） A1:2 1:3 C1:4 D8. 貴港)如圖， ABC 中，點(diǎn) D E 分別在 AB ， 邊上， DE ，ACD ， BD ， BC ，則線 的長(zhǎng)為A B3 C 二、填題D9.在某

3、一時(shí)刻，測(cè)得一根高為 1.8 的竹竿的影長(zhǎng)為 3 m，同時(shí)同地測(cè)得一棟樓的影長(zhǎng)為 90 ，則這棟樓的高度為m（2020鹽城） 如 BC / / 且 BC DE , DE 10 ，則AE的值為(2019州若x ，則 _ x (2019色如圖 ABC 是以坐標(biāo)原 為位似中心的位似圖形，若點(diǎn) A ， ABC 面積為_(kāi)九章算術(shù)是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，書中有下列問(wèn)題 “ 今有勾五步，股十二步勾中容方幾何” 其意思為:“今有直角三角形(短直角邊)長(zhǎng)為 5 (長(zhǎng) 直角邊)長(zhǎng)為 12 ，問(wèn)該直角三角形能容納的正方形邊長(zhǎng)最大是多少?” 該問(wèn)題的答案是步.如圖，在 RABC ，90，3， BC4， CDAB，垂足為D

4、， E 為 BC 的中點(diǎn)， 與 CD 交于點(diǎn) ，則 DF 的長(zhǎng)為_(kāi) BECFA(2019州如圖在等 Rt 中C 90 點(diǎn) E CB 上，CE ，點(diǎn) 在 上 AE ，垂足 F 則 AD 長(zhǎng)為_(kāi)（2020蘇州如圖在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn) 、 B 的坐標(biāo)分別 限內(nèi)，連接 AC 已 BCA ，則 _.三、解題（2020 杭州圖 ABC 中DE分別在BCAC邊上AC，EFABE（1）求證： EFC（2）設(shè)AF 1 ，若B12求線段長(zhǎng)；若的面積是20，求ABC面積 廣東)如圖， ABC 中，點(diǎn) 是邊 的一點(diǎn)(1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖法 ABC 內(nèi)求 ADE 不要求寫作法，保留作圖痕跡)AD AE(2)在(1)的條件下

5、，若 ，求 的值DB DE 交 于 ；如圖 eq oac(, )ABC 為銳角三角形AD 是 上的高，正方形 EFGH 一邊 FG在 BC 上，頂點(diǎn) ，H 分別在 ， 上，已知 BC=40 cm，AD=30 cm. (1)求證 ;(2)求這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)與面積.如圖 eq oac(, )ABC 內(nèi)接于AB36 A 作 ADBCABC的平分線交于點(diǎn) D，BD 與 交于點(diǎn) E，與O 于點(diǎn) F. (1)求 的度數(shù)；(2)求證：2EF (3)求證：AD 的切線如圖， 的接圓， 直徑，D AC 中點(diǎn)，直線 OD 相交于 E， 點(diǎn)，P 是 一點(diǎn)，且 P 在直線 OD 上，連接 ，PC，AF， 滿足PCA=

6、(1)求證 是 的切線;(2)證明EF=4OD ;(3)若 BC=8，tanAFP= ，求 DE 的長(zhǎng)如圖， 是 的外接圓，AB 是O 的直徑，OD 交O于點(diǎn) E，且(1)求證：BD 的切線；(2)若點(diǎn) E 為線段 OD 的中點(diǎn)，求證：四邊形 OACE 是菱形FG(3)如圖，作 CFAB 于點(diǎn) F，連接 交 CF 點(diǎn) ，求 的值已知：在等邊ABC 中，D、 分別是 、 上的點(diǎn)，且BAECBD60，DH，垂足為點(diǎn) H.(1)如圖，當(dāng)點(diǎn) D、 分別在邊 、BC 時(shí)，求證：ABEBCD；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn) D、 分別在 、 延長(zhǎng)線上時(shí)，探究線段 AC、AH 的 數(shù)量關(guān)系；(3)在(2)的條件下，如圖，

7、作 EKBD 交射線 于點(diǎn) ，連接 HK，交 BC 于 點(diǎn) G，交 BD 于 P，當(dāng) AC6，2 時(shí)，求線段 的長(zhǎng)在平面直角坐標(biāo)系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的實(shí)數(shù)根比如對(duì)于方程 xx20，操作步驟是：第一步：根據(jù)方程的系數(shù)特征，確定一對(duì)固定點(diǎn) A(0，2)；第二步：在坐標(biāo)平面中移動(dòng)一個(gè)直角三角板，使一條直角邊恒過(guò)點(diǎn)A，另一條直 角邊恒過(guò)點(diǎn) B第三步：在移動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)三角板的直角頂點(diǎn)落在 x 軸上點(diǎn) 處時(shí)，點(diǎn) 的橫 坐標(biāo) 即為該方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根(如圖)；1 1 1 2 1 1 1 2 1 1第四步：調(diào)整三角板直角頂點(diǎn)的位置，當(dāng)它落在 x 軸上另一點(diǎn) D 處時(shí)，點(diǎn) D 的 橫坐標(biāo) n

8、為該方程的另一個(gè)實(shí)數(shù)根(1)在圖中，按照第四步”的操作法作出點(diǎn) D(請(qǐng)保留作出點(diǎn) D 時(shí)直角三角板 兩條直角邊的痕跡)；(2)結(jié)合圖，請(qǐng)證明三步”操作得到的 就是方程 5x20 的一個(gè)實(shí)數(shù)根；(3)上述操作的關(guān)鍵是確定兩個(gè)固定點(diǎn)的位置若要以此方法找到一元二次方程2bxc0(a，24ac0)的實(shí)數(shù)根，請(qǐng)你直接寫出一對(duì)固定點(diǎn)的坐標(biāo)；(4)實(shí)際上，(3)中的固定點(diǎn)有無(wú)數(shù)對(duì)，一般地，當(dāng) ， ， ， 與 ，b， 之 間滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，點(diǎn) P(m ，n )m )就是符合要求的一對(duì)固定點(diǎn)？ 考學(xué) 二專編相角及應(yīng)-答案一、選題1. 答】C 析根 ，可 eq oac(, )ADNABM eq oac(, )

9、，再應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論. DN， ADNABM=， ANE ，=，= 故選 C2. 【案B析根據(jù)勾定理分別表示出已知三角形的各邊長(zhǎng)，同理利用勾股定理表示出四個(gè)選項(xiàng)中陰影三角形的各邊長(zhǎng)用三邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似可得結(jié)果， A B 各邊長(zhǎng)分別為 1，選項(xiàng) A 中陰影三角形三邊長(zhǎng)分別 :， ，三邊不與已知三角形各邊對(duì)應(yīng)成比例，故兩三角形不相似;選項(xiàng) B 中陰影三角形三邊長(zhǎng)分別為:， ，三邊與已知三角形的各邊對(duì)應(yīng)成比例，故兩三角形相似;項(xiàng) C 中陰影三角形三邊長(zhǎng)分別為:1，2，三邊不與已知三角形各邊對(duì)應(yīng)成比例，故兩三角形不相似;選項(xiàng) D 中陰影三角形三邊長(zhǎng)分別為:2， 三角形不相似，

10、故選 B.，三邊不與已知三角形各邊對(duì)應(yīng)成比例，故兩3. 答】AAE 22 AE 22 【解析】由 ab ，所 b 所以 a 得到： a，解 a 所 所以 2a 故選 A4. 答】A析如圖所示.設(shè) DM=x，則 CM=8-x，根據(jù)題意得: +8)33=解得 ，DM=4.D=90由勾股定理得: = =5.過(guò)點(diǎn) 作 水平桌面于 H，HBAABM=ABM+90， HBA=AHB=D=90， eq oac(,)，B5. 答】=，即= ，解得 ，即水面高度為 .【詳解】解： EF / AEF AFE AEF EB 3AE 2AB SSAEB 四邊形421四邊 BCFE2 2 =25故選：B6. 答】B【解

11、析】設(shè)正方形 的長(zhǎng) EFEH，四邊 EFGH 正方形，HEFEHG ，AD 是 的高，HDN90，四邊形 EHDN 矩形，DNEH， （相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比等于相似比 BC120，AD60，AN， ，解得：x40，AN60因此本題選 7. 答】C【解析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)， ABC 與DEF 似，且OA = ，OD DEF 1 ，因此本題選 48. 答】C【解析】設(shè) x BD ， ， BC ， ABC ，DE x ， ，BC AB x1 21 2AE 2 DE AC 3， ACD ADE ， ， ， ACD AD AC AD ，設(shè) 2 y，AC ，AD 3 y AD， ， y C

12、D， CD 2 6，故選 C二、填題549. 答】 答】2【解析DEADEABCAE 設(shè) DEx,則 ABAE AE 10BC4 AC 8 ,x 舍去)， AC 4 ， 此本題答案為 2 答】【解析】x 3 ， x y x 2，故 2y=x，則y 1 ，故答案為： x 2 2 答】18【解析】 ABC ABC 是以坐標(biāo)原 O 為位似中心的位似圖形， 9 16 9 16若點(diǎn)B 1，位似比為 = 2， ，A 1 1 ABC 面積為 6 2 2故答案為：18， 答】析如圖四邊形 CDEF 是正方形，CD=ED=CF.設(shè) ，則 CD=x，AD=12-DECF，ADE=C，AED=， eq oac(,

13、)ACB， = ， =，x= 如圖，四邊形 DGFE 是正方形，過(guò) 作 CP 于 ，交 DG 于 Q，S ABC= AC BC= AB ，則 125=13CP，CP= .設(shè) ，同理得: CAB，= ， =，y= ，該直角三角形能容納的正方形邊長(zhǎng)最大是 步，故答案為: 答】【解析本題考查平行線分線段成比例定理相似三角形的判定與性質(zhì)已知 ACB90AC3， BC4，由勾股定理， AB5AB，由三角形的面積，得 CD 易得 ABCACD，由相似三角形對(duì)應(yīng) AB 5邊成比例，得 AD ，BD 過(guò)點(diǎn) E 交 AB 5 8 DF DF 54DF 8 DF DF 54DF于點(diǎn) G，由平行線分線段成比例，得

14、DG ， ，所以 5 5 GF EG即 ，所以 DF，故答案為 B，EFCA 答】 2【解析】如圖， D 作 H ，則AHD，在等 RtABC 中， 90 ， AC CAD 45ADHCADCAD， ，CHAHDH ， CF AE ， 又ANH=DNF ， DHC ，DH AC ， CE EB ，+BE， ，DH ， ，AD AH 2 2 2，故答案為 BE 1 EFCBE 1 EFC 答】145或2.8【解析本題考查了平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征等腰三角形的性質(zhì)相似 三角形的判定和性質(zhì)過(guò)點(diǎn)C作D軸于點(diǎn)D設(shè)AC交y軸于點(diǎn)ECD軸，CAO= DECOEABCA CAOBCD=ACD, DC DE

15、 xBD=DE,設(shè)BD=DE=，則OE=4-2xAOEO,44-2x,得=1.2OE=4-2x=1.6，n 三、解題 答】解： 1）ACBEDEFABBBDE （2）AB， BC， ，4 FC 2 BE 2 BE 1 EFAB，EFCBAC， ( ) 2 ， 又 2 3的面積是20，S ( ) 2 ，SABC，即ABC的面積是45 答】 (1)如圖所示：(2) ADE ， DEBC AE AD DB 答】析(1)根據(jù) EHBC 即可證明.(2)設(shè) AD EH 交于點(diǎn) M，首證明四邊形 EFDM 是矩形，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為 ，利 eq oac(,用)得=，列出方程即可解決問(wèn)題解:(1)證明四邊形 E

16、FGH 是正方形，2 2 EH，AEH=B，AHE=， eq oac(, )(2)如圖，設(shè) AD 與 EH 交于點(diǎn) FDM=， 四邊形 EFDM 是矩形， 設(shè)正方形 EFGH 邊長(zhǎng)為 x ， eq oac(, )ABC， =x=， =，正方形 EFGH 邊長(zhǎng)為，面積為 答】cm2.(1)解：， BAC，1ABC (18036)72，BD 平分，DBC36，AD，D36，DAFAFB723636(2)證明：EAFD，AEF， EDA， EF ，DE EAAE2EF ；(3)證明：如解圖，過(guò)點(diǎn) 作 的垂線，G 為垂足， AB，AG 垂直平分 BC，AG 過(guò)圓心 O， AD ， AD ， AD 是O

17、 的切線解圖 答】解:(1)因?yàn)辄c(diǎn) D 點(diǎn)，所以 OD，所以 PA=PC，所以 PAC 因?yàn)?AB 是 的直徑，所以ACB=90，所以ABC+90，因?yàn)镻CA=所以，所以PAC ，所以 AB，所以 PA 是O 切線.(2)因?yàn)锳DO=90AOD=POA以 PAOADO以 所以 2 ，=，所以 EF=AB=AO)2=AO=4OD OP.(3)因?yàn)?tanAFP= ，所以設(shè) 2， 則 FD=3x，連接 ，易證 FDA 所以 = = ，所以 AD= ，所以 ，EO= x，DO= x， eq oac(, )ABC 中，DO 中位線，所以 BC=4，所以 4， ，所以 ED= x= BD OB OBBD

18、 ABBD OB OBBD AB 答】(1)證： 是 的直徑，BCA，ABC，OD，.OC，BACACO，又CBDCBD，ABC90，90，即 BD，又OB 是 的半徑，BD 是O 的切線；(2)證： 解圖，連接 CE、，ED，OBD ，BEED， 為等邊三角形，60，又ACOD，OAC，又OC，OAC 為等邊三角形，ACOE，ACOE 且 ，四邊形 是平行四邊形，而 OAOE 四邊形 是菱形；解圖(3)解 CF，AFCOBD90，而 OD， CAFDOB，Rt AFCRt ， AF BD AF ，即 FC ，又FGBD，F(xiàn)G AF BD AF ，即 FG ，F(xiàn)G OB FG OB AB ，F(xiàn)

19、G 1 . 答】(1)證： ABC 為等邊三角形，ABCC60，AB， 在ABE 和 中，CBD BCD，BCD(ASA)；(2)解 ABC 等邊三角形，ABC，ABBC， BCD18060120. 在ABE 和 中，CBD BCD，BCD(ASA)，BECDDHAB，DHA，CAB60，ADH，AD2AH，ACADCD2AHBE；(3)解 如解圖，作 延長(zhǎng)線于點(diǎn) ，作 HMAC 交 BC 于點(diǎn) ，7 77 7解圖AC6，BE2由(2)得 AH4BH2,與(1)同理可得 BECD28， ，CS1， ，7，BDBS2 3 )2，BD2 13BD，CBDCEK ， CK 28 8 BD 8 13

20、，EK . 6 CB 6 HM，ACB ， 等邊三角形，BMBHHM ，CMBM4，又HM，HM MG ， MG 12 26 40即 ，MG ， ， ， BD，15a a2 1 1 a aa a 15a a2 1 1 a aa a GEK， GB ，EK 26 13BP 答】【思路分析】(1)因?yàn)辄c(diǎn) x 軸上的一動(dòng)點(diǎn)，且ACB保持不變，所以由 圓周角的性質(zhì)得，點(diǎn) C 必在以 AB 為直徑的圓上，所以以 AB 為直徑畫圓，與 x 軸相交于兩點(diǎn)，除點(diǎn) C 的另一點(diǎn)就是所求(2)因?yàn)锳CB，AOC ， 所以過(guò)點(diǎn) B BE 軸，垂足 E，則構(gòu)造了一“K字型的基本圖形，再由相似三角的性質(zhì)得出比例式，化簡(jiǎn)后得 m25m20，問(wèn)題得證由(2)中的證明過(guò)程可知，一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為 1 的一元二次方程，一次項(xiàng)系數(shù)是