高考數(shù)學(xué)易錯(cuò)點(diǎn)15 直線和圓（解析版）

1、易錯(cuò)點(diǎn)15 直線和圓易錯(cuò)點(diǎn)1： 直線的方程若直線方程含多個(gè)參數(shù)并給出或能求出參數(shù)滿足的方程，觀察直線方程特征與參數(shù)方程滿足的方程的特征，即可找出直線所過定點(diǎn)坐標(biāo)，并代入直線方程進(jìn)行檢驗(yàn)。注意到繁難的代數(shù)運(yùn)算是此類問題的特點(diǎn)，設(shè)而不求方法、整體思想和消元的思想的運(yùn)用可有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算。易錯(cuò)點(diǎn)2：圓的方程 (1)圓的一般方程的形式要熟悉，并且能和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式區(qū)分開；(2)在求解圓的方程時(shí)要分析設(shè)哪種形式更簡(jiǎn)單.易錯(cuò)點(diǎn)3：直線與圓相離直線和圓相離時(shí)，常討論圓上的點(diǎn)到直線的距離問題，通常畫圖，利用數(shù)形結(jié)合來解決.易錯(cuò)點(diǎn)4：直線與圓相切直線和圓相切時(shí)，求切線方程，一般要用到圓心到直線的距離等于半徑，

2、記住常見切線方程，可提高解題速度；求切線長(zhǎng)，一般要用到切線長(zhǎng)、圓的半徑、圓外點(diǎn)與圓心連線構(gòu)成的直角三角形，由勾股定理解得.易錯(cuò)點(diǎn)5：直線與圓相交 直線和圓相交時(shí)，有關(guān)弦長(zhǎng)的問題，要用到弦心距、半徑和半弦構(gòu)成的直角三角形，也是通過勾股定理解得，有時(shí)還用到垂徑定理.題組一：直線的方程1.【2016上海文科】已知平行直線，則的距離_【答案】【解析】利用兩平行線間距離公式得2.【2014四川】設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線和過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是A B C D【答案】B【解析】易知直線過定點(diǎn)，直線過定點(diǎn)，且兩條直線相互垂直，故點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，故故選B【叮囑】對(duì)于直線過定點(diǎn)，有以下常用結(jié)論：若

3、直線：（其中為常數(shù)），則直線必過定點(diǎn)；若直線：（其中為常數(shù)），則直線必過定點(diǎn)；若直線：（其中為常數(shù)），則直線必過定點(diǎn)；若直線：（其中為常數(shù)），則直線必過定點(diǎn)；若直線：（其中為常數(shù)），則直線必過定點(diǎn)；若直線：（其中為常數(shù)），則直線必過定點(diǎn)。3.【2012浙江】設(shè)，則“”是“直線：與直線：平行”的A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】“直線：與直線：平行”的充要條件是，解得，或，所以是充分不必要條件。故選：.題組二：圓的方程4.【2020年北京卷】已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】

4、A.【解析】設(shè)圓心，則，化簡(jiǎn)得，所以圓心的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)取得等號(hào)，故選：A.5【2018天津文】在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)（0，0），（1，1），（2，0）的圓的方程為_【答案】【解析】設(shè)圓的方程為，圓經(jīng)過三點(diǎn)（0，0），（1，1），（2，0），則，解得，則圓的方程為6【2015北京文】圓心為（1，1）且過原點(diǎn)的圓的方程是A BC D【答案】D【解析】由題意可得圓的半徑為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為題組三：直線與圓相交7.【2021北京卷9】曲線，直線，變化時(shí)，直線截曲線的最小弦長(zhǎng)為2，則的值為ABCD 【答案】C【解析】由圓的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距

5、離最大，弦長(zhǎng)最小，故此時(shí)有，所以.8【2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)）】已知圓，過點(diǎn)（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長(zhǎng)度的最小值為（ ）A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】圓化為，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)，當(dāng)過點(diǎn)的直線和直線垂直時(shí)，圓心到過點(diǎn)的直線的距離最大，所求的弦長(zhǎng)最短，此時(shí)根據(jù)弦長(zhǎng)公式得最小值為.故選：B.9.【2015全國(guó)1卷文】已知過點(diǎn)且斜率為k的直線l與圓C：交于M，N兩點(diǎn).（ = 1 * ROMAN I）求k的取值范圍；（ = 2 * ROMAN II），其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求.【答案】（ = 1 * ROMAN I）（ = 2 * ROMAN II）2【解

6、析】(1)由題設(shè)，可知直線l的方程為ykx1.因?yàn)閘與C交于兩點(diǎn)，所以eq f(|2k31|,r(1k2)1，解得eq f(4r(7),3)keq f(4r(7),3)，所以k的取值范圍為eq blc(rc)(avs4alco1(f(4r(7),3)，f(4r(7),3).（ = 2 * ROMAN II）設(shè).將代入方程,整理得,所以,由題設(shè)可得，解得，所以l的方程為.故圓心在直線l上，所以.題組四：直線與圓相切10【2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)）】已知M：，直線：，為上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作M的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為（ ）ABCD【答案】D【解析】圓的方程可化為，點(diǎn)

7、到直線的距離為，所以直線 與圓相離依圓的知識(shí)可知，四點(diǎn)四點(diǎn)共圓，且，所以，而 ，當(dāng)直線時(shí)， ，此時(shí)最小即 ，由解得， 所以以為直徑的圓的方程為，即 ，兩圓的方程相減可得：，即為直線的方程故選：D.11【2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)）】若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（ ）Ay=2x+1By=2x+Cy=x+1Dy=x+【答案】D【解析】設(shè)直線在曲線上的切點(diǎn)為，則，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則直線的斜率，設(shè)直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線的方程為，即.故選：D.12.【2020全國(guó)2卷】若過點(diǎn)（2，1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，

8、則圓心到直線的距離為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由于圓上的點(diǎn)在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標(biāo)為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.題組五：直線與圓相離13.【2020年全國(guó)1卷】已知M：，直線：，為上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作M的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】圓的方程可化為，點(diǎn)到直線的距離為，所以直線與圓相離依圓的知識(shí)可

9、知，四點(diǎn)四點(diǎn)共圓，且，所以，而，當(dāng)直線時(shí)，此時(shí)最小即，由解得，所以以為直徑的圓的方程為，即，兩圓的方程相減可得：，即為直線的方程故選：D.14【2018年全國(guó)卷理數(shù)高考試題】直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是ABCD【答案】A【解析】直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn),則點(diǎn)P在圓上,圓心為（2，0），則圓心到直線距離故點(diǎn)P到直線的距離的范圍為則故答案選A.15【2016年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試】圓的圓心到直線的距離為1，則( )ABCD2【答案】A【解析】由配方得，所以圓心為，因?yàn)閳A的圓心到直線的距離為1，所以，解得，故選A.1圓x2y24x6y0和圓x2y26x0交于A，

10、B兩點(diǎn)，則AB的垂直平分線的方程是（ ）Axy30B2xy50C3xy90D4x3y70【答案】C【解析】AB的垂直平分線的方程即為兩圓圓心所在直線的方程，圓x2y24x6y0的圓心為，圓x2y26x0的圓心為，則兩圓圓心所在直線的方程為，即3xy90.故選：C.2已知直線，當(dāng)變化時(shí)，所有直線都恒過點(diǎn)（ ）A B C D【答案】D【解析】可化為，直線過定點(diǎn)，故選：D.3圓的圓心到直線的距離為A1 B2 C D2【答案】C【解析】圓心坐標(biāo)為，由點(diǎn)到直線的距離公式可知，故選C.4已知圓M：截直線所得線段的長(zhǎng)度是，則圓M與圓N：的位置關(guān)系是A內(nèi)切 B相交 C外切 D相離【答案】B【解析】由（）得（）

11、，所以圓的圓心為，半徑為，因?yàn)閳A截直線所得線段的長(zhǎng)度是，所以，解得，圓的圓心為，半徑為，所以，因?yàn)?，所以圓與圓相交，故選B5圓x2+y22x8y+13=0的圓心到直線ax+y1=0的距離為1，則a=A B C D2【答案】A【解析】由題意知圓心為，由距離公式有，解得，故選A6圓心為（1，1）且過原點(diǎn)的圓的方程是A BC D【答案】D【解析】由題意可得圓的半徑為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為7直線與圓相切，則的值是A2或12 B2或12 C2或12 D2或12【答案】D【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心到直線的距離，所以或8已知三點(diǎn)，則外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為A B C D【答案】B【解析】由題意可得，為等邊三角形，故的外接圓圓心時(shí)的中心，又等邊的高為，故中心為，故外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為9設(shè)點(diǎn)，若