函數(shù)(2)市公開(kāi)課獲獎(jiǎng)?wù)n件

1、第五章 函 數(shù)5.1 函數(shù)基本概念5.2 函數(shù)類型5.3 函數(shù)運(yùn)算5.4 基 數(shù)退出第1頁(yè)第1頁(yè)5.1 函數(shù)基本概念函數(shù)也常稱為映射，其定義下列：定義5.1.1 設(shè)A和B是任意兩個(gè)集合，且F是從A到B關(guān)系，若對(duì)每一個(gè)xA，都存在唯一yB，使F，則稱F為從A到B函數(shù)，并記作F: AB。當(dāng)A=B時(shí)，映射也稱變換。A稱為函數(shù)F定義域，即D(F)=A，B稱為函數(shù)F陪域，R(F)稱為函數(shù)F值域，且R(F)B。第2頁(yè)第2頁(yè)有時(shí)也用F(A)表示函數(shù)F值域，即F(A)=R(F)=y|yB(x)(xAy=F(x)并稱F(A)為函數(shù)F像。對(duì)于F: AB來(lái)說(shuō)，若F，則稱x為函數(shù)自變?cè)?，稱y為函數(shù)因變?cè)捎趛值依賴

2、于x所取值，或稱y是F在x處值，或稱y為F下x像。通常把F記作F(x)=y。第3頁(yè)第3頁(yè)從本定義能夠看出，從 A 到 B 函數(shù)F和普通從 A 到 B 二元關(guān)系之不同有以下兩點(diǎn)： A每一元素都必須是F 有序?qū)χ谝环至俊?若F(x)=y，則函數(shù)F 在 x 處值是唯一，即F(x)=yF(x)=zy=z.考慮到習(xí)慣使用方法，以下經(jīng)常將大寫(xiě)函數(shù)符號(hào)F 改為小寫(xiě)字母 f。第4頁(yè)第4頁(yè)定義5.1.2 設(shè)f: AB，g: CD，若A=C，B=D，且對(duì)每一xA都有f(x)=g(x)，則稱函數(shù)f和g相等，記為f=g。本定義表明了，兩函數(shù)相等，它們必須有相同定義域、陪域和有序?qū)?。有時(shí)需要縮小所給函數(shù)定義域，或

3、擴(kuò)大所給函數(shù)定義域以創(chuàng)建新函數(shù)，為此有下面定義。第5頁(yè)第5頁(yè)定義5.1.3 設(shè)f: AB，且CA，若有g(shù)=f(CB), 則稱g是f 到C縮小或限制，記為f|c，即g為C到B函數(shù)：g: CBg(x)=f(x) 或 f|c(x)=f(x)定義5.1.4 設(shè)f: CB，g: AB，且CA，若g|c=f，則稱g 是f 到 A擴(kuò)大或延拓。第6頁(yè)第6頁(yè)下面討論由集合A和B，構(gòu)成這樣函數(shù) f: AB會(huì)有多少呢？或者說(shuō)，在AB所有子集中，是所有還是部分子集能夠定義函數(shù)？令BA表示這些函數(shù)集合，即BA=f | f: AB.設(shè)|A|=m，|B|=n，則|BA|=nm。這是由于對(duì)每個(gè)自變?cè)?，它函?shù)值都有n種取法，故

4、總共有nm種從A到B函數(shù)。第7頁(yè)第7頁(yè)上面簡(jiǎn)介一元函數(shù)，下面給出多元函數(shù)定義。定義5.1.5 設(shè)A1, A2, , An和B為集合，若f: AiB為函數(shù)，則稱f 為n元函數(shù)。在上值用 f(x1,x2,xn) 表示。一元函數(shù)中概念對(duì)n元函數(shù)幾乎完全合用，在這里不多討論了。第8頁(yè)第8頁(yè)5.2 函數(shù)類型依據(jù)函數(shù)含有不同性質(zhì)，能夠?qū)⒑瘮?shù)分成不同類型。本節(jié)將定義這些函數(shù)，并給出對(duì)應(yīng)術(shù)語(yǔ)。第9頁(yè)第9頁(yè)定義5.2.1 設(shè)f: AB是函數(shù)，若R(f)=B，或?qū)θ我鈈B，存在aA，使得f(a)=b，或形式表為：(y)(yB(x)(xAf(x)=y)則稱f: AB是滿射函數(shù)，或稱函數(shù)f: AB是滿射。本定義表明了

5、，在函數(shù) f 作用下，B中每個(gè)元素b，都至少是A中某元素a像，因此，若A和B是有窮集合，存在滿射函數(shù)f: AB，則|A|B|。第10頁(yè)第10頁(yè)定義5.2.2 設(shè)f: AB是函數(shù)，對(duì)任意a，bA，且ab，都有f(a)f(b)，或形式表為(x)(y)(x,yAxyf(x)f(y)則稱f: AB是單射函數(shù)（或一對(duì)一函數(shù)），或稱函數(shù)f:AB是單射，或入射。本定義揭示了，A中不同元素，其在B中像也是不同。于是，若AB是有窮集合，存在單射函數(shù) f: AB，則|A|B|。第11頁(yè)第11頁(yè)定義5.2.3 設(shè)f: AB是函數(shù)，若f 既是滿射又是單射，則稱 f: AB是雙射函數(shù)（或一一相應(yīng)），或稱函數(shù) f: AB

6、是雙射。該定義闡明了，B中每個(gè)元素b是且僅是A中某個(gè)元素a像。因此，若A和B是有窮集合，存在雙射函數(shù) f: AB，則|A|=|B|。第12頁(yè)第12頁(yè)定義5.2.4 設(shè)f: AB是函數(shù)，若存在bB，使對(duì)任意aA有f(a)=b，即f(A)=b，則稱f: AB為常值函數(shù)。定義5.2.5 設(shè)f: AA是函數(shù)，若對(duì)任意aA，有f(a)=a，亦即f=|xA.則稱f:AA為A上恒等函數(shù)，通常記為IA，由于恒等關(guān)系即是恒等函數(shù)。由定義可知，A上恒等函數(shù)IA是雙射函數(shù)。第13頁(yè)第13頁(yè)定義5.2.6 設(shè)A和B為集合，且AB，若函數(shù)A: B0,1為 1 xA A(x)= 0 不然則稱 A為集合A特性函數(shù)。 第14

7、頁(yè)第14頁(yè)特性函數(shù)建立了函數(shù)與集合一一相應(yīng)關(guān)系。于是，可通過(guò)特性函數(shù)計(jì)算來(lái)研究集合上命題。定理5.2.1 設(shè)A和B是全集合U任意兩個(gè)子集。對(duì)任意xU，則下列關(guān)系式成立。 A(x)=0A= A(x)=1A=U A(x)B(x)AB A(x)=B(x)A=B第15頁(yè)第15頁(yè) AB(x)= A(x)* B(x) AB(x)=A(x)+B(x)-AB(x) A-B(x)=AB(x)=A(x)-AB(x)其中+，-，*，為通常算術(shù)運(yùn)算+，-，和。這里標(biāo)識(shí)表示“補(bǔ)”含義。教材p158, 對(duì)特性函數(shù)進(jìn)行推廣導(dǎo)出了模糊子集概念。(略)第16頁(yè)第16頁(yè)定義5.2.7 設(shè)和為全序集，函數(shù)f: AB。對(duì)于任意a,

8、bA.若ab，有f(a)f(b)，則稱f為單調(diào)遞增函數(shù)。若ab，有f(a)f(b)，則稱f為單調(diào)遞減函數(shù)。若ab，且ab，有f(a)f(b)，則稱f為嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù)。顯然，嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)。第17頁(yè)第17頁(yè)定義5.2.8 設(shè)R是非空集合A上等價(jià)關(guān)系，且函數(shù)f: AA/R，f(a)=aR，aA，則稱f是從A到商集A/R自然映射。自然映射在代數(shù)結(jié)構(gòu)中有主要應(yīng)用。定義5.2.9 設(shè)p: AA為函數(shù)，若p是雙射，則稱p為A上置換。置換在群論中作為一節(jié)進(jìn)行討論，有著主要應(yīng)用。第18頁(yè)第18頁(yè)5.3 函數(shù)運(yùn)算函數(shù)是一個(gè)特殊關(guān)系，對(duì)關(guān)系能夠進(jìn)行運(yùn)算，自然對(duì)函數(shù)

9、也需要討論運(yùn)算問(wèn)題，即如何由已知函數(shù)得到新函數(shù)。1函數(shù)復(fù)合利用兩個(gè)含有一定性質(zhì)已知函數(shù)通過(guò)復(fù)合運(yùn)算能夠得到新函數(shù)。定理5.3.1 設(shè)f: AB和g: BC是函數(shù)，通過(guò)復(fù)合運(yùn)算o，能夠得到新從A到C函數(shù)，記為gof，即對(duì)任意 xA，有(gof)(x)=g(f(x)。第19頁(yè)第19頁(yè)注意，函數(shù)是一個(gè)關(guān)系，今用斜體“o”表示函數(shù)復(fù)合運(yùn)算，記為gof，這是“左復(fù)合”，它與關(guān)系“右復(fù)合”fog順序正好相反，為區(qū)別它們?cè)谕还街谐霈F(xiàn)，用粗體符號(hào)表示關(guān)系復(fù)合fog，故有g(shù)of=fog。推論1 若f, g, h都是函數(shù)，則(fog)oh=fo(goh)。本推論表明，函數(shù)復(fù)合運(yùn)算是可結(jié)合。若對(duì)于集合A，f:

10、AA，則函數(shù)f 能同本身復(fù)合成任意次。fn次復(fù)合定義為： f 0(x)=x； f n+1(x)=f(fn(x)，nN。第20頁(yè)第20頁(yè)定理5.3.2 設(shè)f: AB，g: BC 若f: AB，g: BC都是滿射，則gof: AC也是滿射。 若f: AB，g: BC都是單射，則gof: AC也是單射。 若f: AB，g: BC都是雙射，則gof: AC也是雙射。第21頁(yè)第21頁(yè)定理5.3.3 若f: AB是函數(shù)，則f=foIA=IBof。本定理揭示了，恒等函數(shù)在復(fù)合函數(shù)運(yùn)算中特殊性質(zhì)，尤其地，對(duì)于f: AA，有foIA= IAof=f。第22頁(yè)第22頁(yè)2函數(shù)逆運(yùn)算給定關(guān)系R，其逆關(guān)系是存在，但對(duì)已

11、知一函數(shù)，它作為關(guān)系其逆是存在，但未必是函數(shù)。比如，A=a, b, c，B=1, 2, 3，f=, , 是函數(shù)，而 f -1= , , 卻不是從B到A函數(shù)。但若f: AB是雙射，則f -1便是從B到A函數(shù)。定理5.3.4 若f: AB是雙射，則f -1: BA也是雙射。第23頁(yè)第23頁(yè)定義5.3.1 設(shè)f: AB是雙射函數(shù)，稱 f -1: BA是f 逆函數(shù)，習(xí)慣上常稱f -1為f 反函數(shù)。定理5.3.5 設(shè)f: AB是雙射函數(shù)，則 f -1of=IA，fof -1=IB定理5.3.6 若f: AB是雙射，則(f -1)-1=f。第24頁(yè)第24頁(yè)5.4 基 數(shù)1基數(shù)定義首先選取一個(gè)“原則集合”N

12、n=0,1,2,n-1，稱它為N截段n；再用雙射函數(shù)為工具，給出集合基數(shù)定義下列：定義5.4.1 設(shè)A是集合，若f:NnA為雙射函數(shù)，則稱集合A是有限，A基數(shù)是n，記為|A|=n，或KA=n。若集合A不是有限，則稱A是無(wú)限。本定義表明了，對(duì)于有限集合A，能夠用“數(shù)”數(shù)方式來(lái)擬定集合A基數(shù)。第25頁(yè)第25頁(yè)定理5.4.1 自然數(shù)集合N是無(wú)窮。證：設(shè)n是N任意元素，f是任意從0, 1, , n-1到N函數(shù)。設(shè)k=1+maxf(0), f(1), , f(n-1), 那么kN, 但對(duì)每一個(gè)x 0,1, n-1, 有f(x)k。因此f 不能是滿射，即f也不是雙射。由于n和f都是任意，故N是無(wú)限。第26

13、頁(yè)第26頁(yè)為了擬定一些無(wú)窮集合基數(shù)，選取第二個(gè)“原則集合”N來(lái)度量這些集合。定義5.4.2 設(shè)A是集合，若f:NA為雙射函數(shù)，則稱A是可數(shù)，其基數(shù)用0表示，記為|A|=0 或KA= 0 。如：1，8，27，n3, .顯然，存在從N到N雙射函數(shù)，故|N|=0，0讀作“阿列夫零”。符號(hào)0是康托引入。有限集和可數(shù)集統(tǒng)稱為至多可數(shù)集。一個(gè)集A為可數(shù)集A可排列為a1,a2, an,.確實(shí)，如A由上述排列，則存在與N雙射；反之，如A可數(shù)，則相應(yīng)N中n元記作an即可。第27頁(yè)第27頁(yè)命題1 每個(gè)無(wú)窮集必包括一個(gè)可數(shù)無(wú)窮子集。證：設(shè)H是無(wú)窮集合，取a1H， a2H-a1，a3H-a1, a2，, anH-a1

14、, a2, , an-1，如此繼續(xù)下去，可得到H一個(gè)可數(shù)無(wú)窮集合。定義：若集合A和B之間存在雙射(一一相應(yīng))，我們稱A和B是等勢(shì)或等濃。第28頁(yè)第28頁(yè)例 實(shí)數(shù)集R與(0,1)等勢(shì)。f: R (0,1), 命題2 每個(gè)無(wú)窮集必與它某一真子集等勢(shì)。證：設(shè)M是無(wú)窮集，由命題1：M含有可數(shù)子集A=a1, a2, , an, . 令M-A=B.定義f: MM-a1下列：f(an)= an+1, n=1, 2,f(b)=b, bB.易知 f 是雙射。CDAB第29頁(yè)第29頁(yè)命題3 可數(shù)集任何無(wú)限子集是可數(shù)。證：設(shè)A為可數(shù)集，B A=a1, a2, , an, 且B為無(wú)限集. 從a1開(kāi)始向后檢查，不斷刪去

15、不在B中元，則得新序列：顯然這個(gè)序列與N存在一一相應(yīng)，因此B是可數(shù)集。第30頁(yè)第30頁(yè)能夠證實(shí)下面一個(gè)很有用定理：定理5.4.2 可數(shù)個(gè)兩兩不交可數(shù)集合并集仍為可數(shù)集。證：排列: a11, a21, a12, a31, a22, a13, 第31頁(yè)第31頁(yè)在上述基數(shù)定義中，是使用兩個(gè)“原則集合”Nn和N以及雙射函數(shù)（或一一相應(yīng)），引入了集合基數(shù)概念。這種方式能夠把基數(shù)簡(jiǎn)樸地看作對(duì)集合指派一個(gè)符號(hào)，指派原則是：與Nn構(gòu)成雙射或一一相應(yīng)集合，指派它基數(shù)是n，與N構(gòu)成雙射或一一相應(yīng)集合，指派它基數(shù)為0。指派空集基數(shù)為0。幾種主要例子：定理5-1 證實(shí)NN是可數(shù)集。證：(略，見(jiàn)教材P166).第32頁(yè)

16、第32頁(yè)定理5-2 有理數(shù)集是可數(shù)集。證：由上一個(gè)定理知：NN是可數(shù)集。令S=| m, nN且m和n互質(zhì) NN 。因S是NN無(wú)窮子集，由命題3，S是可數(shù)。令g: SQ+, 即g: m/n . 顯然，g是雙射，因此Q+是可數(shù)集。而Q+ Q -，Q= Q+Q - 0?？蓴?shù)個(gè)可數(shù)集并仍是可數(shù)。第33頁(yè)第33頁(yè)定理5-3 實(shí)數(shù)集R不是可數(shù)集，也即是不可數(shù)。證：前面一個(gè)例子證實(shí): R(0,1)。我們只要證S=x | x(0,1)是不可數(shù)即可。用反證法。假設(shè)S是可數(shù)，則S能表示為序列：S1, S2, 其中Si (0,1).設(shè)Si =0.y1y2y3, 其中yi 0,1,2, 9(如0.2可記為0.1999

17、, 0.123可記為0.122999)第34頁(yè)第34頁(yè)現(xiàn)結(jié)構(gòu)一個(gè)實(shí)數(shù)r=0.b1b2b3使得顯然，r不屬于S, 矛盾。第35頁(yè)第35頁(yè)把集合(0,1)基數(shù)記為, 故K(R)= 。 也稱為連續(xù)統(tǒng)勢(shì). 第36頁(yè)第36頁(yè)2基數(shù)比較在有了集合基數(shù)基礎(chǔ)上，能夠建立相等關(guān)系和順序關(guān)系，進(jìn)行基數(shù)比較和基數(shù)運(yùn)算，這里僅討論前者。定義5.4.4 設(shè)A和B為任意集合。若有一個(gè)從A到B雙射函數(shù)，則稱A和B有相同基數(shù)（或稱A與B是等勢(shì)），記為|A|=|B|（或AB）。第37頁(yè)第37頁(yè)若有一個(gè)從A到B單射函數(shù)，則稱A基數(shù)小于等于B基數(shù)，記為|A|B|。若有一個(gè)從A到B單射函數(shù)，但不存在雙射函數(shù)，則稱A基數(shù)小于B基數(shù)，記

18、為|A|B|。由于在復(fù)合運(yùn)算下，雙射函數(shù)是封閉，雙射函數(shù)逆函數(shù)（即常說(shuō)反函數(shù)）是雙射函數(shù)，因此等勢(shì)關(guān)系有下列性質(zhì)：定理5.4.3 等勢(shì)是任何集合族上等價(jià)關(guān)系。綜上可見(jiàn)，等勢(shì)關(guān)系是個(gè)等價(jià)關(guān)系。第38頁(yè)第38頁(yè)從上面定義及定理可知：等勢(shì)是集合族上等價(jià)關(guān)系，它把集合族劃分成等價(jià)類，在同一等價(jià)類中集合含有相同基數(shù)。因此能夠說(shuō)：基數(shù)是在等勢(shì)關(guān)系下集合等價(jià)類特性。或者說(shuō)：基數(shù)是在等勢(shì)關(guān)系下集合等價(jià)類名稱。這事實(shí)上就是基數(shù)一個(gè)定義。比如，3是等價(jià)類a,b,c,p,q,r,1,2,3,名稱（或特性）。0是自然數(shù)集合N所屬等價(jià)類名稱。第39頁(yè)第39頁(yè)要證實(shí)一個(gè)集合A有基數(shù)，只需選取基數(shù)為任意集合B，證實(shí)從A到B

19、或從B到A存在一個(gè)雙射函數(shù)。選取集合B標(biāo)準(zhǔn)是使證實(shí)盡也許容易。第40頁(yè)第40頁(yè)例 證實(shí)區(qū)間0, 1與(0, 1)基數(shù)相同。證：設(shè)集合Define f: 0, 1(0, 1) as follows:第41頁(yè)第41頁(yè)例 設(shè)A=N, B=(0,1)，證實(shí)KAB= .證：定義f: ABR+ f(n,x)=n+x.因f是單射， KABKR+ = .反之，定義g: (0,1)AB g(x)=因g是單射，故 KAB。第42頁(yè)第42頁(yè)上述定義中選取符號(hào)和，是由于它們含有這些符號(hào)通常性質(zhì)。然而，要證實(shí)這些性質(zhì)是冗長(zhǎng)和復(fù)雜。下面將不加證實(shí)地引入闡明這些性質(zhì)兩個(gè)定理。第一個(gè)定理稱為三歧性定律。第二定理表明：是反對(duì)稱

20、。定理5.4.4 （Zermelo）設(shè)A和B是任意兩個(gè)集合，則下述情況恰有一個(gè)成立： |A|B| |B|A| |A|=|B|第43頁(yè)第43頁(yè)定理5.4.5 （Cantor-Schroder-Bernstein）設(shè)A和B是任意兩個(gè)集合，若|A|B|和|B|A|，則|A|=|B|。本定理對(duì)證實(shí)兩集合含有相同基數(shù)提供了有效辦法。若能夠結(jié)構(gòu)一單射函數(shù)f:AB，則有|A|B|；又能結(jié)構(gòu)另一個(gè)單射函數(shù)g:BC，以證實(shí)|B|A|。于是依據(jù)本定理即可得出|A|=|B|。尤其要注意，f 和g不必是滿射。由于通常結(jié)構(gòu)這樣兩個(gè)單射函數(shù)比結(jié)構(gòu)一個(gè)雙射函數(shù)要容易許多。第44頁(yè)第44頁(yè)例 證實(shí)區(qū)間0, 1與(0, 1)基數(shù)相同。證：作兩個(gè)單射函數(shù)下列：f: (0,1) 0, 1, f(