彈性力學第四章

1、彈性力學第四章第1頁，共23頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三 根據(jù)彈性理論的小變形假定，上述一般表達式可以用泰勒級數(shù)展開，并略去二階以上（包括二階）小量，例如第一式展開，得到 這里的 等等表示函數(shù) 對應(yīng)變分量的一階偏導數(shù)在應(yīng)變分量為零時的值。 由于無初應(yīng)力，即 。所以，應(yīng)力應(yīng)變最一般形式在小變形情況下可簡化為第2頁，共23頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三 上述關(guān)系是胡克（Hooke）在復雜應(yīng)力條件下的推廣，因此被稱為廣義胡克定律。 式中的 系數(shù)稱為彈性常數(shù)，一共有36個。如果物體是由非均勻材料組成的，這時，各處就有不同的彈性效應(yīng)。因此，一般來說，彈性常數(shù) 是坐標 的

2、函數(shù)。但若物體是有均勻材料組成的，則對于物體內(nèi)各點來說，承受同樣的應(yīng)力，必產(chǎn)生相同的應(yīng)變；反之，物體內(nèi)各點有相同的應(yīng)變，必承受相同的應(yīng)力。這一點反映在廣義胡克定律中， 是常數(shù)。第3頁，共23頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三4.3 各向異性彈性體（一）極端各向異性彈性體 格林公式：將格林公式中 代入廣義胡克定律表達式的第二式，有第4頁，共23頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三 上式對 求偏導數(shù)，有 （a） 同樣，將格林公式中 代入廣義胡克定律表達式的第五式，有 上式對 求偏導數(shù)，有 （b） 比較（a）式與（b）式，有 同樣，有 這樣就證明了，對于極端的各向異性體，只有2

3、1個獨立的彈性常數(shù)。第5頁，共23頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三 如果物體內(nèi)的每一點都存在這樣一個平面，和該面對稱的兩個方向具有相同的彈性，則該平面稱為物體的彈性對稱面，而垂直于彈性對稱面的方向，稱為物體的彈性主方向。如果設(shè)平面為彈性對稱面，于是做下圖所示的坐標變換后，應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系應(yīng)保持不變。（二）具有一個彈性對稱面的各向異性彈性體 新老坐標間的關(guān)系第6頁，共23頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三轉(zhuǎn)軸時應(yīng)力分量與老坐標應(yīng)力分量的關(guān)系是：轉(zhuǎn)軸時應(yīng)變分量與老坐標應(yīng)力分量的關(guān)系是：第7頁，共23頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三轉(zhuǎn)軸時應(yīng)變分量和應(yīng)力分量的變

4、換公式代入，有則新的本構(gòu)方程為：第8頁，共23頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三要使上式與原胡克公式一樣，必須： 則原本構(gòu)方程變?yōu)椋猴@然，彈性常數(shù)從21個減少到13個。第9頁，共23頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三（三）正交各向異性彈性體假定 、 平面為彈性體的對稱面第10頁，共23頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三代入轉(zhuǎn)軸時應(yīng)力分量和應(yīng)變分量的關(guān)系式，可得代入廣義胡克定律的表達式，有第11頁，共23頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三 要與坐標轉(zhuǎn)動前的一致，則有 那么，將彈性對稱面 、 得到的彈性常數(shù)合起來，就得到 顯然，此時的彈性常數(shù)只有9個

5、。這種彈性體稱為正交各性彈性體。第12頁，共23頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三(四)橫觀各向同性彈性體 每一點都有一個各向同性平面，即在這個平面內(nèi)，沿各個方向都具有相同的彈性。這種彈性體稱為橫觀各向同性彈性體。 假定某彈性體的在 平面上各向同性。首先我們考察一個比較特色的轉(zhuǎn)軸，即讓坐標軸饒軸轉(zhuǎn)動900，則新老坐標之間的關(guān)系是：第13頁，共23頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三同樣，代入坐標轉(zhuǎn)軸后應(yīng)力分量與應(yīng)變分量的公式，有則新坐標下的胡克定律為：對比上邊兩式，則有對比以前第14頁，共23頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三就得到此時，彈性常數(shù)為6個。第15

6、頁，共23頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三 考察更一般的情況，對于在 平面為各向同性面，則整個坐標系饒 軸不論轉(zhuǎn)動角度為多大，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不變。第16頁，共23頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三代入轉(zhuǎn)軸后應(yīng)變分量與應(yīng)力分量的公式，有經(jīng)過上述變換后，胡克定律的第六式仍成立，第17頁，共23頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三所以，對于橫觀各向同性彈性體來說，其彈性常數(shù)為5個。第18頁，共23頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三4.4 各向同性彈性體 各向同性彈性體就是沿物體的各個方向，其彈性性質(zhì)相同。 在推導橫觀各向同性彈性體彈性常數(shù)的關(guān)系時，我們假定 平面上的各點各向同性，物體彈性只隨值變化。進一步，如果彈性體的性質(zhì)也不隨 軸變化，那么，這個物體就滿足各向同性的條件了。所以，我們將坐標再做如下圖變化，討論各彈性常數(shù)間的關(guān)系就可以了。第19頁，共23頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三坐標變換后，各應(yīng)變分量與應(yīng)力分量間的關(guān)系就變?yōu)椋?帶入橫觀各向同性彈性體的胡克定律，有要是這兩個式子一樣，則有 第20頁，共23頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三那么,各向同性胡克定律為:如果令第21頁，共23頁，2022年，5月20日，9點40分，