實(shí)驗數(shù)據(jù)的誤差分析(精)

1、 第 2 章 實(shí)驗數(shù)據(jù)的誤差分析通過實(shí)驗測量所得大批數(shù)據(jù)是實(shí)驗的主要成果，但在實(shí)驗中，由于測量儀表和人的觀 察等方面的原因，實(shí)驗數(shù)據(jù)總存在一些誤差，所以在整理這些數(shù)據(jù)時，首先應(yīng)對實(shí)驗數(shù)據(jù) 的可靠性進(jìn)行客觀的評定。誤差分析的目的就是評定實(shí)驗數(shù)據(jù)的精確性，通過誤差分析，認(rèn)清誤差的來源及其影 響，并設(shè)法消除或減小誤差，提高實(shí)驗的精確性。對實(shí)驗誤差進(jìn)行分析和估算，在評判實(shí) 驗結(jié)果和設(shè)計方案方面具有重要的意義。本章就化工原理實(shí)驗中遇到的一些誤差基本概念 與估算方法作一扼要介紹。誤差的基本概念真值與平均值真值是指某物理量客觀存在的確定值。通常一個物理量的真值是不知道的，是我們努力要求測到的。嚴(yán)格來講，由于

2、測量儀器，測定方法、環(huán)境、人的觀察力、測量的程序等，都不可能是完善無缺的，故真值是無法測得的，是一個理想值?？茖W(xué)實(shí)驗中真值的定義是：設(shè)在測量中觀察的次數(shù)為無限多，則根據(jù)誤差分布定律正負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)率相等，故將各觀察值相加，加以平均，在無系統(tǒng)誤差情況下，可能獲得極近于真值的數(shù)值。故“真值”在現(xiàn)實(shí)中是指觀察次數(shù)無限多時，所求得的平均值（或是寫入文獻(xiàn)手冊中所謂的 “公認(rèn)值”） 。然而對我們工程實(shí)驗而言，觀察的次數(shù)都是有限的，故用有限觀察次數(shù)求出的平均值，只能是近似真值，或稱為最佳值。一般我們稱這一最佳值為平均值。常用的平均值有下列幾種：（ 1）算術(shù)平均值這種平均值最常用。凡測量值的分布服從正態(tài)分布時

3、，用最小二乘法原理可以證明：在一組等精度的測量中，算術(shù)平均值為最佳值或最可信賴值。nxi2-1)x1 x2xni 1 2-1)x nn式中：x1、 x2xn 各次觀測值；n 觀察的次數(shù)。（ 2）均方根平均值設(shè)對同一物理量用不同方法去測定，或?qū)ν晃锢砹坑刹煌巳y定，計算平均值時，常對比較可靠的數(shù)值予以加重平均，稱為加權(quán)平均。3）加權(quán)平均值2-2)n設(shè)對同一物理量用不同方法去測定，或?qū)ν晃锢砹坑刹煌巳y定，計算平均值時，常對比較可靠的數(shù)值予以加重平均，稱為加權(quán)平均。3）加權(quán)平均值2-2)nwi xi iiw1x1w2x2wnxni1ww1w2wnnwii12-3)式中；x1、 x2xn 各

4、次觀測值；w1、 w2 wn 各測量值的對應(yīng)權(quán)重。各觀測值的權(quán)數(shù)一般憑經(jīng)驗確定。（ 4）幾何平均值x發(fā) n x1 x2 x3xn（ 2-4）（ 5）對數(shù)平均值x1x2x1 x2（ 2-5）xnln x1 ln x2x112 lnx2以上介紹的各種平均值，目的是要從一組測定值中找出最接近真值的那個值。平均值的選擇主要決定于一組觀測值的分布類型，在化工原理實(shí)驗研究中，數(shù)據(jù)分布較多屬于正態(tài)分布，故通常采用算術(shù)平均值。誤差的定義及分類在任何一種測量中，無論所用儀器多么精密，方法多么完善，實(shí)驗者多么細(xì)心，不同時間所測得的結(jié)果不一定完全相同，而有一定的誤差和偏差，嚴(yán)格來講，誤差是指實(shí)驗測量值（包括直接和間

5、接測量值）與真值（客觀存在的準(zhǔn)確值）之差，偏差是指實(shí)驗測量值與平均值之差，但習(xí)慣上通常將兩者混淆而不以區(qū)別。根據(jù)誤差的性質(zhì)及其產(chǎn)生的原因，可將誤差分為：1 ）系統(tǒng)誤差；2）偶然誤差；3）過失誤差三種。系統(tǒng)誤差又稱恒定誤差，由某些固定不變的因素引起的。在相同條件下進(jìn)行多次測量，其誤差數(shù)值的大小和正負(fù)保持恒定，或隨條件改變按一定的規(guī)律變化。產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因有：1 ）儀器刻度不準(zhǔn)，砝碼未經(jīng)校正等；2）試劑不純，質(zhì)量不符合要求；3）周圍環(huán)境的改變?nèi)缤饨鐪囟?、壓力、濕度的變化等?）個人的習(xí)慣與偏向如讀取數(shù)據(jù)常偏高或偏低，記錄某一信號的時間總是滯后，判定滴定終點(diǎn)的顏色程度各人不同等等因素所引起的誤差。

6、可以用準(zhǔn)確度一詞來表征系統(tǒng)誤差的大小，系統(tǒng)誤差越小，準(zhǔn)確度越高，反之亦然。由于系統(tǒng)誤差是測量誤差的重要組成部分，消除和估計系統(tǒng)誤差對于提高測量準(zhǔn)確度就十分重要。一般系統(tǒng)誤差是有規(guī)律的。其產(chǎn)生的原因也往往是可知或找出原因后可以清除掉。至于不能消除的系統(tǒng)誤差，我們應(yīng)設(shè)法確定或估計出來。2偶然誤差又稱隨機(jī)誤差，由某些不易控制的因素造成的。在相同條件下作多次測量，其誤差的大小，正負(fù)方向不一定，其產(chǎn)生原因一般不詳，因而也就無法控制，主要表現(xiàn)在測量結(jié)果的分散性，但完全服從統(tǒng)計規(guī)律，研究隨機(jī)誤差可以采用概率統(tǒng)計的方法。在誤差理論中，常用精密度一詞來表征偶然誤差的大小。偶然誤差越大，精密度越低，反之亦然。在測

7、量中，如果已經(jīng)消除引起系統(tǒng)誤差的一切因素，而所測數(shù)據(jù)仍在未一位或未二位數(shù)字上有差別，則為偶然誤差。偶然誤差的存在，主要是我們只注意認(rèn)識影響較大的一些因素，而往往忽略其他還有一些小的影響因素，不是我們尚未發(fā)現(xiàn)，就是我們無法控制，而這些影響，正是造成偶然誤差的原因。3過失誤差 又稱粗大誤差，與實(shí)際明顯不符的誤差，主要是由于實(shí)驗人員粗心大意所致，如讀錯，測錯，記錯等都會帶來過失誤差。含有粗大誤差的測量值稱為壞值，應(yīng)在整理數(shù)據(jù)時依據(jù)常用的準(zhǔn)則加以剔除。綜上所述，我們可以認(rèn)為系統(tǒng)誤差和過失誤差總是可以設(shè)法避免的，而偶然誤差是不可避免的，因此最好的實(shí)驗結(jié)果應(yīng)該只含有偶然誤差。精密度、正確度和精確度（準(zhǔn)確度

8、） 測量的質(zhì)量和水平，可用誤差的概念來描述，也可用準(zhǔn)確度等概念來描述。國內(nèi)外文獻(xiàn)所用的名詞術(shù)語頗不統(tǒng)一，精密度、正確度、精確度這幾個術(shù)語的使用一向比較混亂。近年來趨于一致的多數(shù)意見是：精密度：可以稱衡量某些物理量幾次測量之間的一致性，即重復(fù)性。它可以反映偶然誤差大小的影響程度。正確度：指在規(guī)定條件下，測量中所有系統(tǒng)誤差的綜合，它可以反映系統(tǒng)誤差大小的影響程度。精確度（準(zhǔn)確度）： 指測量結(jié)果與真值偏離的程度。它可以反映系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差綜合大小的影響程度。為說明它們間的區(qū)別，往往用打靶來作比喻。如圖 2-1 所示， A 的系統(tǒng)誤差小而偶然誤差大，即正確度高而精密度低；B 的系統(tǒng)誤差大而偶然誤差小

9、，即正確度低而精密度高；C的系統(tǒng)誤差和偶然誤差都小，表示精確度（準(zhǔn)確度）高。當(dāng)然實(shí)驗測量中沒有像靶心那樣明確的真值，而是設(shè)法去測定這個未知的真值。對于實(shí)驗測量來說，精密度高，正確度不一定高。正確度高，精密度也不一定高。但精確度（準(zhǔn)確度）高，必然是精密度與正確度都高。圖 2 1 精密度、正確度、精確度含義示意圖2.2 誤差的表示方法測量誤差分為測量點(diǎn)和測量列（集合）的誤差。它們有不同的表示方法。測量點(diǎn)的誤差表示1絕對誤差D測量集合中某次測量值與其真值之差的絕對值稱為絕對誤差。2-6)2-6)即 Xx D xDXxD式中： X 真值，常用多次測量的平均值代替；x 測量集合中某測量值2相對誤差Er絕

10、對誤差與真值之比稱為相對誤差Er2-7)Er相對誤差常用百分?jǐn)?shù)或千分?jǐn)?shù)表示。因此不同物理量的相對誤差可以互相比較，相對 誤差與被測之量的大小及絕對誤差的數(shù)值都有關(guān)系。3引用誤差 儀表量程內(nèi)最大示值誤差與滿量程示值之比的百分值。引用誤差常用來表示儀表的精度。2.2.2 測量列（集合）的誤差表示范圍誤差范圍誤差是指一組測量中的最高值與最低值之差，以此作為誤差變化的范圍。使用中常應(yīng)用誤差的系數(shù)的概念。K L（ 2-8）式中： K 最大誤差系數(shù)；L 范圍誤差；算術(shù)平均值。范圍誤差最大缺點(diǎn)是使K 只以決于兩極端值。而與測量次數(shù)無關(guān)。2算術(shù)平均誤差算術(shù)平均誤差是表示誤差的較好方法，其定義為2-9)= di

11、 ， i 1,2, 2-9)n式中： n 觀測次數(shù)；di 測量值與平均值的偏差，di xi 。算術(shù)平均誤差的缺點(diǎn)是無法表示出各次測量間彼此符合的情況。3標(biāo)準(zhǔn)誤差標(biāo)準(zhǔn)誤差也稱為根誤差。2-10)標(biāo)準(zhǔn)誤差對一組測量中的較大誤差或較小誤差感覺比較靈敏，成為表示精確度的較好方法。上式適用無限次測量的場合。實(shí)際測量中，測量次數(shù)是有限的，改寫為di2（ 2-11）n1標(biāo)準(zhǔn)誤差不是一個具體的誤差，的大小只說明在一定條件下等精度測量集合所屬的任一次觀察值對其算術(shù)平均值的分散程度，如果的值小，說明該測量集合中相應(yīng)小的誤差就占優(yōu)勢，任一次觀測值對其算術(shù)平均值的分散度就小，測量的可靠性就大。算術(shù)平均誤差和標(biāo)準(zhǔn)誤差的

12、計算式中第i 次誤差可分別代入絕對誤差和相對誤差，相對得到的值表示測量集合的絕對誤差和相對誤差。上述的各種誤差表示方法中，不論是比較各種測量的精度或是評定測量結(jié)果的質(zhì)量，均以相對誤差和標(biāo)準(zhǔn)誤差表示為佳，而在文獻(xiàn)中標(biāo)準(zhǔn)誤差更常被采用。2.2.3 儀表的精確度與測量值的誤差1 電工儀表等一些儀表的精確度與測量誤差 這些儀表的精確度常采用儀表的最大引用誤差和精確度的等級來表示。儀表的最大引用誤差的定義為最大引用誤差= 儀表顯示值的絕對誤差最大引用誤差= 儀表顯示值的絕對誤差 100%該儀表相應(yīng)檔次量程的絕對值2-12)式中儀表顯示值的絕對誤差指在規(guī)定的正常情況下。被測參數(shù)的測量值與被測參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)值之

13、差的絕對值的最大值。對于多檔儀表，不同檔次顯示值的絕對誤差和程量范圍均不相同。式 （ 2-12） 表明， 若儀表顯示值的絕對誤差相同，則量程范圍愈大，最大引用誤差愈小。我國電工儀表的精確度等級有七種：0.1、 0.2、 0.5、 1.0、 1.5、 2.5、 5.0。如某儀表的精確度等級為2.5 級，則說明此儀表的最大引用誤差為2.5%。在使用儀表時，如何估算某一次測量值的絕對誤差和相對誤差？設(shè)儀表的精確度等級P 級，其最大引用誤差為10%。設(shè)儀表的測量范圍為xn 儀表的示值為xi ，則由式（2-12）得該示值的誤差為2-13)絕對誤差2-13)Dx相對誤差E DxnP%xi xi式（ 2-1

14、3）表明：（ 1）若儀表的精確度等級P 和測量范圍xn 已固定，則測量的示值xi 愈大，測量的相對誤差愈小。（ 2）選用儀表時，不能盲目地追求儀表的精確度等級。因為測量的相對誤差還與 xn 有關(guān)。應(yīng)該兼顧儀表的精確度等級和xn 兩者。xixi2天平類儀器的精確度和測量誤差這些儀器的精度用以下公式來表示：式中名義分度值指測量時讀數(shù)有把握正確的最小分度單位，即每個最小分度所代表的數(shù)值。例如TG 3284 型天平，其名義分度值（感量）為0.1 毫克，測量范圍為0200 克，則其精確度 =0.15 10 7（ 2-15）（ 200 0）103若儀器的精確度已知，也可用式（2-14）求得其名義分度值。使

15、用這些儀器時，測量的誤差可用下式來確定：絕對誤差名義分度值2-16)3測量值的實(shí)際誤差 由于儀表的精確度用上述方法所確定的測量誤差，一般總是比測量值的實(shí)際誤差小的多。這是因為儀器沒有調(diào)整到理想狀態(tài)，如不垂直、不水平、零位沒有調(diào)整好等，會引起誤差；儀表的實(shí)際工作條件不符合規(guī)定的正常工作條件，會引起附加誤差；儀器經(jīng)過長期 使用后，零件發(fā)生磨損，裝配狀況發(fā)生變化等，也會引起誤差；可能存在有操作者的習(xí)慣 和偏向所引起的誤差；儀表所感受的信號實(shí)際上可能并不等于待測的信號；儀表電路可能會受到干擾等?？偠灾瑴y量值實(shí)際誤差大小的影響因素是很多的。為了獲得較準(zhǔn)確的測量結(jié)果，需要有較好的儀器，也需要有科學(xué)的態(tài)

16、度和方法，以及扎實(shí)的理論知識和實(shí)踐經(jīng)驗?！斑^失”誤差的舍棄這里加引號的“過失”誤差與前面提到真正的過失誤差是不同的，在穩(wěn)定過程，不受任何人為因素影響，測量出少量過大或過小的數(shù)值，隨意地舍棄這些“壞值”，以獲得實(shí)驗結(jié)果的一致，這是一種錯誤的做法， “壞值”的舍棄要有理論依據(jù)。如何判斷是否屬于異常值？最簡單的方法是以三倍標(biāo)準(zhǔn)誤差為依據(jù)。從概率的理論可知，大于 3 （均方根誤差）的誤差所出現(xiàn)的概率只有0.3%，故通常把這一數(shù)值稱為極限誤差，即極限 3（ 2-17）如果個別測量的誤差超過3 ，那么就可以認(rèn)為屬于過失誤差而將舍棄。重要的是如何從有限的幾次觀察值中舍棄可疑值的問題，因為測量次數(shù)少，概率理論

17、已不適用，而個別失常測量值對算術(shù)平均值影響很大。有一種簡單的判斷法，即略去可疑觀測值后，計算其余各觀測值的平均值及平均誤差 ，然后算出可疑觀測值xi 與平均值的偏差 d如果d 4則此可疑值可以舍棄，因為這種觀測值存在的概率大約只有千分之一。間接測量中的誤差傳遞在許多實(shí)驗和研究中，所得到的結(jié)果有時不是用儀器直接測量得到的，而是要把實(shí)驗現(xiàn)場直接測量值代入一定的理論關(guān)系式中，通過計算才能求得所需要的結(jié)果，既間接測量值。由于直接測量值總有一定的誤差，因此它們必然引起間接測量值也有一定的誤差，也就是說直接測量誤差不可避免地傳遞到間接測量值中去，而產(chǎn)生間接測量誤差。誤差的傳遞公式：從數(shù)學(xué)中知道，當(dāng)間接測量

18、值（y） 與直接值測量值（x1 ,x2 ,xn ） 有函數(shù)關(guān)系時，即 TOC o 1-5 h z y f （x1 ,x2 ,xn ）則其微分式為：dy ydx1ydx2ydxn（ 2-18）x1x2xndy1y dx1 y dx2y dxn（ 2-19）y f （x1, x2 xn ） x1x2xnxn ） 很小，并且考慮根據(jù)式（2-18）和（2-19） ，當(dāng)直接測量值的誤差（ x1 , xxn ） 很小，并且考慮到最不利的情況，應(yīng)是誤差累積和取絕對值，則可求間接測量值的誤差y或y y 為：yxyx1xyx2xyxn（ 2-20）x1x2x nEr y1y x1 y x2y xn （ 2-21

19、）yf（x1 , x2,xn）x1x2xn這兩個式子就是由直接測量誤差計算間接測量誤差的誤差傳遞公式。對于標(biāo)準(zhǔn)差的傳則有：y 2 2 y 2 2y2（ 2-22）yx1x2xn（ 2-22）x1x2xn式中x1 ，x2 等分別為直接測量的標(biāo)準(zhǔn)誤差、y 為間接測量值的標(biāo)準(zhǔn)誤差。上式在有關(guān)資料中稱之為“幾何合成”或“極限相對誤差”。現(xiàn)將計算函數(shù)的誤差的各種關(guān)系式列表如下：函數(shù)式的誤差關(guān)系表數(shù)學(xué)式誤差傳遞公式最大絕對誤差最大相對誤差Er（y）y x1 x2xny ( x1x2xn )yEr(y) yyx1x2y( x1x2 )Er(y)yyyx1 x2y(x1 x2 )( x1x 2 x2 x1 )

20、或y y E( r y)E( r y)E( r x1 x2)x1x2x1x2y x1 x2 x3y(x1 x2 x3x1 x3x2x2 x3x1 )x1Er(y)1x1x2x2x33或y y E r ( y)n yxynx n 1 x或 y y Er (y)Er(y)nxxy nx111yxnxn或y y Er(y)Er(y)y1 xynxx1 yx2y y Er(y)Er (y)xx11x2x2y cxy(cx)c x或 y y Er(y)yEr(y)或 Er(y)yxxy log x0.43429 ln xy(0.43429 ln x) x0.43429xEr(y)yy2.5 誤差分析在阻

21、力實(shí)驗中的具體應(yīng)用誤差分析除用于計算測量結(jié)果的精確度外，還可以對具體的實(shí)驗設(shè)計予與先進(jìn)行誤差分析，在找到誤差的主要來源及每一個因素所引起的誤差大小后，對實(shí)驗方案和選用儀器儀表提出有益的建議。例 2-1 本實(shí)驗測定層流Re關(guān)系是在Dg6(公稱徑為6mm)的小銅管中進(jìn)行，因內(nèi)徑大小，不能采用一般的游標(biāo)卡尺測量，而是采用體積法進(jìn)行直徑間接測量。截取高度為400mm 的管子，測量這段管子中水的容積，從而計算管子的平均內(nèi)徑。測量的量具用移液管，其體積刻度線相當(dāng)準(zhǔn)確，而且它的系統(tǒng)誤差可以忽略。體積測量三次，分別為11.31、11.26、 11.30(毫升)。問體積的算術(shù)平均值、平均絕對誤差D、相對誤差Er

22、 為多少？ TOC o 1-5 h z 解 ：算術(shù)平均值xi 11.31 11.26 11.3011 2911 .29n311 .2911 .3111 .2911 .2611 .2911 .30平均絕對誤差D0.023相對誤差E r D 0.02 100 %0.18 %a 11 .29例 2-2 要測定層流狀態(tài)下，公稱內(nèi)徑為6mm 的管道的摩擦系數(shù)( 參見流體阻力實(shí)驗)，希望在 Re =200 時， 的精確度不低于4.5%，問實(shí)驗裝置設(shè)計是否合理？并選用合適的測量方法和測量儀器。 25解 ： 的函數(shù)形式是： = 2g d (R1 R2 )16 lVs2式中：R1 、R2被測量段前后液注讀數(shù)值m

23、H2O：Vs 流量m /s ：l 被測量段長度 m 。標(biāo)準(zhǔn)誤差：Er( )=5( d)2 2( Vs)2 ( l)2 ( R1R2)2dVslR1 R2要求 Er( )4.5%,由于 l 所引起的誤差小于Er ( ) ，故可以略去不考慮。剩下三項分誤差，l10可按等效法進(jìn)行分配，每項分誤差和總誤差的關(guān)系：Er()= 3mi2 =4.5%每項分誤差mi= 4.5% 2.6%31 流量項的分誤差估計：首先確定Vs值d0.006 10 363Vs Re20009.4 10 m / s 9.4ml / s44 1000這么小的流量可以采用500ml 的量筒測其流量，量筒系統(tǒng)誤差很小，可以忽略，讀數(shù)誤差

24、為5ml ，計時用的秒表系統(tǒng)誤差也可忽略，開停秒表的隨機(jī)誤差估計為0.1 秒，當(dāng)Re=200 時，每次測量水量約為450ml，需時間48秒左右。流量測量最大誤差為：VsV50.1()() 0.011V V45048式中具體數(shù)字說明V 誤差較大，可以忽略。因此流量項的分誤差：Vm1 2 Vs 2 0.011 100% 2.2%1Vs沒有超過每項分誤差范圍。2 d 的相對誤差要求： 5 d m 則 d m , 即d 2.6% 0.52%dd5d 5由例 2-1 知道管徑d 由體積法進(jìn)行間接測量。V d2h4V4 dh已知管高度為400mm，絕對誤差0.5mm為保險起見，仍采用幾何合成法計算d 的相對誤差。d1V h()d 2V h由例 2-1 已計算出V 的相對誤差為0.18%代入具體數(shù)值：d 5 V h50.5m25(100 %)(0.18100 %)0.8%d 2 V h2400也沒有超過每項分誤差范圍。3 壓差的相對誤差：單管式壓差計用分度為1mm 的尺子測量，系統(tǒng)誤差可以忽略，讀數(shù)隨機(jī)絕對誤差R 為0.5mm。R1 R22 R12 0.5R1R2R1R2R1R2壓差測量值R1R2 壓差測量值R1R2 與兩測壓點(diǎn)間的距離R1 R264 lu