二項(xiàng)式定理的問題類型及解法

1、二項(xiàng)式定理的問題類型及解法二項(xiàng)式定理的問題相對(duì)獨(dú)立，題型繁多，解法靈活且較難掌握。本文結(jié)合近幾年來的 高考試題，根據(jù)二項(xiàng)式定理的不同問題，進(jìn)行分類，并作出解法探討。一、求某項(xiàng)的系數(shù) 此類問題一般是先寫出通項(xiàng)公式，在由條件確定項(xiàng)數(shù)，然后代入通項(xiàng)公式求出此項(xiàng)的 系數(shù)。1例1、(X2 -亍)9展開式中X9的系數(shù)是.2x分析：此題體現(xiàn)抓“通項(xiàng)”的思路1 r r解.T = Cr (X2)9-r ()9 = (一1)2-rC ； Xl8-2r X-r= (1)2-rC ； Xl8-3r.r192 x99當(dāng) 18-3r=9 時(shí)，得 r=3.所以X所以X9系數(shù)為(-1)32-3C212二、求多項(xiàng)式各項(xiàng)的系數(shù)的

2、和差求展開式的系數(shù)和的問題，常用賦值法例 2、若(2x+ 丫3)4=a +a x+a X2+a X3+a X4,貝y (a +a +a)2(a +a )2 的值0123402413為( )A1B1C0D2A1B1C0D2解.欲求式可變?yōu)? (a0+a2+a4)2(a1+a3)2(a + a + a + a +a )(a a + a a +a )0 1 2 3 4 0 1 2 3 4實(shí)際上，a +a +a +a +a和a a +a a +a分別為已知式在x1, x1的值.0 1 2 3 40 1 2 3 4令 x 1 得，(2+，3 )4a +a +a +a + a,01234令 x1 得，(2

3、-%3 )4a a +a a +a .01234(a +a +a)2(a +a)2(2+ 込)4(2八3)4(2+爲(wèi))(2-) 4 02413 (43)41三、求有關(guān)整除余數(shù)問題例 3、 109192除以 100 的余數(shù)是解. 9192(90+1)92 C0 9092+ C1 9091+ C91 90+ C92 92929292由此可見，除后兩項(xiàng)外均能被100 整除而 C 91 90+ C92 8281 82X 100+81.9292四、利用二項(xiàng)展開式證明不等式例 4 求證：3n 2n-i -(n + 2) (nUN,且 n三2).114 + Cl * 2n2 + +Cft + C； 卜+C嚴(yán)

4、* 2+C：).左式=2 + 1) n=2n + Ci* 114 + Cl * 2n2 + +Cft + C； 卜+C嚴(yán)* 2+C：).注意到： 2n+n 2n-i=2n-i (2 + n) =2n-i (n+2)；n22,右式至少三項(xiàng)； c皆 + +* 2 + C0.這樣，可以得到 3n 2n-1 -(n + 2) (nUN,且 n$2).五、求近似值 此類試題是利用二項(xiàng)式定理的展開式求近似值,主要考查利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行近似計(jì) 算的能力.例 5、某地現(xiàn)有耕地 10000 公頃,規(guī)劃 10 年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加 22%,人均糧食占 有量比現(xiàn)在提高10%,如果人口年增長率為1%,那么耕地平均每

5、年至多只能減小多少公頃（精確到1公頃）？（糧食單產(chǎn)二總產(chǎn)量耕地面積確到1公頃）？（糧食單產(chǎn)二總產(chǎn)量耕地面積人均糧食占有量二總產(chǎn)量總?cè)丝跀?shù)解：設(shè)耕地平均每年至多只能減少x公頃（him）又設(shè)該地區(qū)現(xiàn)有人口為P人，糧食單 產(chǎn)為M噸/公頃（t/himO,依題意得不等式X(l + 10%),Mx(l+22%)x(104 10 x)Mx 104 p x(1+1%)pX(l + 10%),化簡得：x10aX 化簡得：x10aX 1-1.1x(1+0.01)101.22103X 11.1 x(1+O.O1)10口居 X(1+Co X0.01+C12 X0012+)口巨 X1-1045xW4（公頃）.小結(jié)：二項(xiàng)式定理主要應(yīng)用,包括求某項(xiàng)的系數(shù)、求多項(xiàng)式各項(xiàng)的系數(shù)的和差、求有 關(guān)整除余數(shù)問題、利用二項(xiàng)展開式證明不等式、求近似值以及與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng) 用.當(dāng)然,二項(xiàng)式定理的運(yùn)用不止這些