2021-2022學(xué)年北京市西城區(qū)北京師范大學(xué)附中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷請考生注意：1請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的注意事項(xiàng)，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1若數(shù)列滿足（，為常數(shù)），則稱數(shù)列為調(diào)和數(shù)列.已知數(shù)列為調(diào)和數(shù)列，且，則（ ）A10B20C30D402已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若，則，分別等于（ ）A，B，C，D，3已知雙曲線的方程為，則下列說法正確的是（ ）A焦點(diǎn)在軸上B漸近線方程為C

2、虛軸長為4D離心率為4是虛數(shù)單位，若，則的值是 （ ）ABCD5 “”是雙曲線的離心率為（ ） A充要條件B必要不充分條件C即不充分也不必要條件D充分不必要條件6已知頂點(diǎn)在軸上的雙曲線實(shí)軸長為4，其兩條漸近線方程為，該雙曲線的焦點(diǎn)為（ ）ABCD7已知是雙曲線：上的一點(diǎn)，是的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則的取值范圍是（ ）ABCD8如圖所示正方形，、分別是、的中點(diǎn)，則向正方形內(nèi)隨機(jī)擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)的概率為（ ）ABCD9已知，則的值( )A都大于1B都小于1C至多有一個(gè)不小于1D至少有一個(gè)不小于110若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為ABCD11已知為拋物線上的不同兩點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，若，則（ ）AB10

3、CD612已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，滿足，為球的直徑，且，則點(diǎn)到底面的距離為ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_14已知，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，有_15函數(shù)的最小正周期是_16在數(shù)列中，則_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù)f(x)=x3+ax2（1）求函數(shù)f(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間-3,2的最大值與最小值18（12分）已知甲、乙、丙、丁、戊、己6人.（以下問題用數(shù)字作答）（1）邀請這6人去參加一項(xiàng)活動，必須有人去，去幾人自行決

4、定，共有多少種不同的安排方法？（2）將這6人作為輔導(dǎo)員全部安排到3項(xiàng)不同的活動中，求每項(xiàng)活動至少安排1名輔導(dǎo)員的方法總數(shù)是多少？19（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的定義域；（）若關(guān)于的不等式的解集是，求的取值范圍.20（12分） 如圖，已知是圓(為圓心)上一動點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，求面積的最大值21（12分）已知函數(shù).(1)判斷的奇偶性并予以證明；(2)求不等式的解集.22（10分）國內(nèi)某知名大學(xué)有男生14111人，女生11111人，該校體育學(xué)院想了解本校學(xué)生的運(yùn)動狀況，根據(jù)性別采取分層抽樣的方法從全校學(xué)生

5、中抽取121人，統(tǒng)計(jì)他們平均每天運(yùn)動的時(shí)間，如下表：（平均每天運(yùn)動的時(shí)間單位：小時(shí)，該校學(xué)生平均每天運(yùn)動的時(shí)間范圍是0,3）.男生平均每天運(yùn)動時(shí)間分布情況：女生平均每天運(yùn)動時(shí)間分布情況：（1）請根據(jù)樣本估算該校男生平均每天運(yùn)動的時(shí)間（結(jié)果精確到1.1）；（2）若規(guī)定平均每天運(yùn)動的時(shí)間不少于2小時(shí)的學(xué)生為“運(yùn)動達(dá)人”，低于2小時(shí)的學(xué)生為“非運(yùn)動達(dá)人”.請根據(jù)樣本估算該?！斑\(yùn)動達(dá)人”的數(shù)量；請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面22列聯(lián)表，并通過計(jì)算判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過1.15的前提下認(rèn)為“是否為運(yùn)動達(dá)人與性別有關(guān)？”參考公式：k2=n參考數(shù)據(jù)：P(1111.151.1251.1111.115

6、1.111k2.7163.8415.1246.6357.87911.828參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】分析：由題意可知數(shù)列是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)得 ，得詳解：數(shù)列為調(diào)和數(shù)列 為等差數(shù)列， 由等差數(shù)列的求和公式得， 由等差數(shù)列的性質(zhì) 故選B點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，通過合理的轉(zhuǎn)化建立起已知條件和考點(diǎn)之間的聯(lián)系是解題關(guān)鍵.2、C【解析】分析：直接利用二項(xiàng)分布的期望與方差列出方程求解即可詳解：隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若，可得故選：C點(diǎn)睛：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列的期望以及

7、方差的求法，考查計(jì)算能力3、B【解析】根據(jù)雙曲線方程確定雙曲線焦點(diǎn)、漸近線方程、虛軸長以及離心率，再判斷得到答案.【詳解】雙曲線的方程為，則雙曲線焦點(diǎn)在軸上；漸近線方程為；虛軸長為；離心率為，判斷知正確.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的焦點(diǎn)，漸近線，虛軸長和離心率，意在考查學(xué)生對于雙曲線基礎(chǔ)知識的掌握情況.4、C【解析】5、D【解析】將雙曲線標(biāo)準(zhǔn)化為,由于離心率為可得,在根據(jù)充分、必要條件的判定方法,即可得到結(jié)論.【詳解】將雙曲線標(biāo)準(zhǔn)化則根據(jù)離心率的定義可知本題中應(yīng)有,則可解得,因?yàn)榭梢酝瞥?反之成立不能得出.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲的離心率公式,考查充分不必要條件的判斷,雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)

8、化后離心率公式的正確使用是解答本題的關(guān)鍵,難度一般.6、C【解析】由雙曲線實(shí)軸長為4可知 由漸近線方程，可得到 然后利用 即可得到焦點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】由雙曲線實(shí)軸長為4可知 由漸近線方程，可得到即 所以 又雙曲線頂點(diǎn)在 軸上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，漸近線方程，屬于基礎(chǔ)題7、A【解析】由題知，所以=，解得，故選A.考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；向量數(shù)量積坐標(biāo)表示；一元二次不等式解法.8、D【解析】根據(jù)正方形的對稱性求得陰影部分面積占總面積的比例，由此求得所求概率.【詳解】根據(jù)正方形的對稱性可知，陰影部分面積占總面積的四分之一，根據(jù)幾何概型概率計(jì)算公式可知點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)的概率為

9、，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查幾何概型的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】先假設(shè)，這樣可以排除A，B.再令，排除C.用反證法證明選項(xiàng)D是正確的.【詳解】解:令，則，排除A，B.令，則，排除C.對于D，假設(shè)，則，相加得，矛盾，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了反證法的應(yīng)用，應(yīng)用特例排除法是解題的關(guān)鍵.10、D【解析】由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，得出實(shí)部為零，虛部不為零，可求出實(shí)數(shù)的值【詳解】為純虛數(shù)，所以，解得，故選D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念，考查學(xué)生對純虛數(shù)概念的理解，屬于基礎(chǔ)題11、C【解析】設(shè)，根據(jù)，可求得這些坐標(biāo)間的關(guān)系，再結(jié)合兩點(diǎn)在拋物線上，可求得，而，由此可得結(jié)論【詳解】設(shè)，則，又，由，得，.故選C【

10、點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)乘的意義，考查拋物線的焦點(diǎn)弦問題掌握焦點(diǎn)弦長公式是解題基礎(chǔ)：即對拋物線而言，是拋物線的過焦點(diǎn)的弦，則12、C【解析】三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，PA為球O的直徑且PA=4，球心O是PA的中點(diǎn)，球半徑R=OC=PA2，過O作OD平面ABC，垂足是D，ABC滿足AB2,ACB90，D是AB中點(diǎn)，且AD=BD=CD=OD= 點(diǎn)P到底面ABC的距離為d=2OD=2,故選C.點(diǎn)睛：本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，關(guān)鍵是分析出球心O到平面ABC的距離，找到的外接圓的圓心D即可有 OD平面ABC，求出OD即可求出點(diǎn)到底面的距離.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20

11、分。13、【解析】分析：先根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究圖像，再根據(jù)與圖像交點(diǎn)情況確定實(shí)數(shù)的取值范圍.詳解：令，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；作與圖像，由圖可得要使函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，需點(diǎn)睛：對于方程解的個(gè)數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等14、【解析】根據(jù)題意可知，假設(shè)，代入可得到，當(dāng)時(shí)，兩式相減，化簡即可求解出結(jié)果。【詳解】由題可知，所以故答案為?！军c(diǎn)睛】本題主要考查利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式過程中的歸納遞推步驟。15、1【解析】直接利用余

12、弦函數(shù)的周期公式求解即可【詳解】函數(shù)的最小正周期是：1故答案為1【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期的求法，是基本知識的考查16、【解析】先根據(jù)分組求和得再求極限得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以因此故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查分組求和以及數(shù)列極限，考查基本分析求解能力，屬中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）f(x)=x3+94x2-3x；f(x)單調(diào)增區(qū)間是-,-2,【解析】(1)由題得f-2=0f12=0即a=【詳解】（1）因?yàn)閒(x)=x3+a由f-2fxfx令fx0 x12或所以單調(diào)增區(qū)間是-,-2,12（2）由（1）可知，x-3,-2-2-2,11f+0

13、-0+f遞增極大遞減極小遞增極小值f12而f-3可得fx【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，只要比較極值和端點(diǎn)函數(shù)值的大小.18、（1）63種不同的去法（2）種【解析】（1）邀請這6人去參加一項(xiàng)活動，必須有人去，去1，2，3，4，5，6個(gè)人，利用組合數(shù)求解即可（2）第一類：6人中恰有4人分配到其中一項(xiàng)活動中，另外兩項(xiàng)活動各分一人，第二類：6人中恰有3人分配到其中一項(xiàng)活動中，第三類：6人平均分配到三項(xiàng)活動中，求出方法數(shù)，推出結(jié)果即可【詳解】（1）由題意，從甲、乙、丙、丁、

14、戊、己6人中，邀請這6人去參加一項(xiàng)活動，必須有人去，共有，故共有63種不同的去法（2）該問題共分為三類：第一類：6人中恰有4人分配到其中一項(xiàng)活動中，另外兩項(xiàng)活動各分一人，共有種；第二類：6人中恰有3人分配到其中一項(xiàng)活動中，共有種；第三類：6人平均分配到三項(xiàng)活動中，共有種，所以每項(xiàng)活動至少安排1名輔導(dǎo)員的方法總數(shù)為：種【點(diǎn)睛】本題主要考查了分類計(jì)數(shù)原理，以及排列、組合的綜合應(yīng)用，其中正確理解題意，合理分類，正確使用排列、組合求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題19、（1）或（2）.【解析】試題分析：（1）函數(shù)去絕對值號化為分段函數(shù)即可求解；（2）分離參數(shù)得：在上恒成立

15、，利用絕對值性質(zhì)即可得到m范圍內(nèi).試題解析：（1）由題意，令解得或，函數(shù)的定義域?yàn)榛颍?），即.由題意，不等式的解集是，則在上恒成立.而，故.點(diǎn)睛：恒成立問題是常見數(shù)學(xué)問題，一般可考慮分離參數(shù)處理，分離參數(shù)后問題轉(zhuǎn)化為求最值，可考慮均值不等式、函數(shù)最值，絕對值的性質(zhì)、三角函數(shù)等方法來處理.20、（1）；（2）1.【解析】（1）由題意得,即為定值，且，由橢圓的定義可知，點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的橢圓上，即求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）直線代入橢圓方程，消去，根據(jù)韋達(dá)定理求出.求出點(diǎn)到直線的距離，則面積，根據(jù)基本不等式求面積的最大值.【詳解】（1）由題意得：,.是圓（為圓心）上一動點(diǎn)，.，點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的橢圓上，

16、其中，點(diǎn)的軌跡方程為 （2）直線代入橢圓方程，消去可得，由，得.設(shè)，則，.設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.面積的最大值為1【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義，考查與橢圓有關(guān)的面積問題，屬于較難的題目.21、 (1)奇函數(shù)，證明見解析.(2) .【解析】分析：(1)先求定義域，判斷是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再研究與關(guān)系，根據(jù)奇偶性定義判斷，(2)先根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性化簡不等式，再解分式不等式得結(jié)果.詳解： （1）要使函數(shù)有意義則， 解得.故所求函數(shù)的定義域?yàn)橛桑?）知的定義域?yàn)?，設(shè)，則 且， 故為奇函數(shù) (2)因?yàn)樵诙x域內(nèi)是增函數(shù)， 因?yàn)?，所以，解?所以不等式的解集是點(diǎn)睛：判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件：(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(x)是否具有等量關(guān)系在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)關(guān)系式f(x)f(x)0(奇函數(shù))或f(x)f(x)0(偶函數(shù))是否成立22、（1）1.5；（2）4111；在犯錯(cuò)誤的概率不超過1.15的前提下不能認(rèn)為“是否為運(yùn)動達(dá)人與性別有關(guān)”【解析】試題分析：（1）由分層抽樣計(jì)算得男生抽70人，女生抽50人，故x=5,y=2，