靜態(tài)場的邊值問題

1、第五章 靜態(tài)場的邊值問題靜態(tài)場邊值問題的基本概念分離變量法有限差分法15.1 靜態(tài)場邊值問題的基本概念靜電場、恒定電場和恒電磁場都是時不變場，統(tǒng)稱靜態(tài)場。靜態(tài)場的邊值問題：給定某一空間V，其邊界為S，已知空間V內(nèi)源的情況，以及邊界S上場的情況，求給定空間內(nèi)的場。區(qū)域內(nèi)的場滿足帕松方程或拉普拉斯方程。邊界上的場的情況可由邊界條件給出。靜態(tài)場中的邊值問題，都可以歸結為在給定的邊界條件下，求解泊松方程或拉普拉斯方程。根據(jù)唯一性定理，滿足給定邊值的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一確定的。三類邊值：狄里赫利、紐曼和混合邊值。2已知場域邊界上各點電位值 邊值問題框圖自然邊界條件參考點電位 有限值邊值問題微

2、分方程邊界條件場域邊界條件分界面銜接條件第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件已知場域邊界上各點電位的法向?qū)?shù)一、二類邊界條件的線性組合，即3求解靜態(tài)場的邊值問題方法有：解析法、數(shù)值算法和實驗研究法。解析法：用直接或間接方法求出待求位函數(shù)在整個域內(nèi)所滿足的函數(shù)表達式。如分離變量法、鏡像法、格林函數(shù)法等。數(shù)值計算法：求出一組即滿足給定邊值、又滿足泊松（或拉普拉斯）方程、在各域內(nèi)各個離散點的函數(shù)值的方法。如有限差分法、有限元法等。實驗研究法：用實驗裝置模擬實際的物理場方程及給定邊值，并測量出相應的待求函數(shù)的函數(shù)值的方法，如導電紙模擬法、電解槽模擬法等。4邊值問題研究方法計算法實驗法作圖法解析法

3、數(shù)值法實測法模擬法定性定量積分法分離變量法鏡像法、電軸法格林函數(shù)法保角變換法有限差分法有限元法邊界元法矩量法模擬電荷法數(shù)學模擬法物理模擬法邊值問題研究方法框圖55.2 分離變量法 分離變量法是一種最經(jīng)典的微分方程法，它適用于求解一類具有理想邊界條件的典型邊值問題 。一般情況下,采用正交坐標系可用分離變量法得出拉普拉斯方程或波動方程的通解，而只有當場域邊界與正交坐標面重合或平行時，才可確定積分常數(shù)，得到邊值問題的解。5.2.1 解題的一般步驟： 根據(jù)邊界的幾何形狀和場的分布特征選定坐標系，寫出對應的邊值 問題（微分方程和邊界條件）； 分離變量，將一個偏微分方程，分離成幾個常微分方程； 解常微分方

4、程，并疊加各特解得到通解； 利用給定的邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位函數(shù)的解。下面以拉氏方程在直解坐標系、圓柱坐標系和球坐標系的分離變量法為例說明具體的計算過程。65.2.2 直角坐標系中的分離變量法如果待求場域的邊界面是平面，而且這些平面相互平行或相互垂直時，可選擇直角坐標系。kx,ky,kz稱為分離常數(shù)。上述三個常系數(shù)微分方程的解的形式由分離常數(shù)的取值決定。7拉氏方程的通解是所有可能情況的線性組合。雙曲函數(shù)解的形式:8例5-1一長直金屬槽的長度方向上平行于Z軸，其橫截面如圖5-1所示。其側壁與底面電位均為0，而頂蓋電位分別以（1）（2） 求槽內(nèi)電位 的解。解 本例是一個矩形域的二維場問

5、題。在直角坐標系下，位函數(shù)的邊值問題為abyx9代入邊界條件代入邊界條件10例5-211代入可得12 例5.2.1 圖示一無限長金屬槽，其三壁接地，另一壁與三壁絕緣且保持電位為 ，金屬槽截面為正方形（邊長為a），試求金屬槽內(nèi)電位的分布。 解：選定直角坐標系（D域內(nèi)）（1）（2）（3）（4）(5）邊值問題圖5.2.1 接地金屬槽的截面132) 分離變量代入式（1）有根據(jù) 可能的取值，可有6個常微分方程：設稱為分離常數(shù),可以取值143）解常微分方程，將各特解線性疊加得通解。4）利用給定邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位函數(shù)的解。圖5.2.2 雙曲函數(shù)15d） 比較系數(shù)法：當 時，（D域內(nèi)）當 時，

6、 滿足拉普拉斯方程的通解有無數(shù)個，但滿足給定邊界條件的解是唯一的。16 根據(jù)經(jīng)驗也可定性判斷通解中能否舍去 或 項。 若 ， 利用 sin 函數(shù)的正交性來確定 。等式兩端同乘 ，然后從 0到 a對 x積分圖5.2.3 接地金屬槽內(nèi)的等位線分布175.2.3 圓柱坐標系中的分離變量法如果待求場域的邊界面與圓柱坐標系中某一坐標面一致時，應選擇圓柱坐標系。18分離出的三個常微分方程：對于軸對稱，B=019Jn(x)和Nn (x)是第一類及第二類貝塞爾函數(shù)，在0之間有無數(shù)多個零點； In (x)和Kn(x)是虛宗量（或修正）貝塞爾函數(shù)，沒有實數(shù)零點。x0時， Nn (x)和Kn(x)均發(fā)散。n階貝塞爾

7、方程第一類貝塞爾函數(shù)第二類貝塞爾函數(shù)虛宗量貝塞爾函數(shù)虛宗量貝塞爾函數(shù)20例5-321代如系數(shù)得22例5-4半徑為 a 的半無限長金屬圓筒，筒底與圓筒壁有很窄的絕緣，圓筒側壁電位為 0，筒底電位為 ，求圓筒內(nèi)電位分布。對 z 軸的對稱性，位函數(shù) 不是坐標變量 的函數(shù)解：將圓筒置于圓柱坐標系中，其定解問題可表示為且B 應為 023是零階貝塞爾函數(shù) 的第 m 個根可得電位函數(shù)得通解貝塞爾函數(shù)的正交性決定系數(shù)Am24據(jù)貝塞爾第一正交公式應用貝塞爾函數(shù)的積分公式左邊只有m=i項不為0可得可得電位的解255.2.3 圓球坐標系中的分離變量法如果待求場域的邊界是球面或錐面時，應選擇圓球坐標系。上式的第三項可

8、分離出:上式的第一、二項可分離出:連帶勒讓方程歐拉方程26則各分離變量方程的通解為：在電磁場的很多實際總是中，位函數(shù)與方位角無關，即m=0,這類場稱為子午平面場。在子午平面場中x=cos當場域包括x=+1、-1即z軸, 有：故在子午平面場中，當場域包括z軸, 球坐標系中的拉系方程的通解為：第一類勒讓德多項式27例5-5281）選定圓柱坐標,列出邊值問題（1）（2）（3）（4）(5）（6） 例1.5.2 在均勻電場 中，放置一根半徑為a，介電常數(shù)為 的無限長均勻介質(zhì)圓柱棒，它的軸線與 垂直。柱外是自由空間 。試求圓柱內(nèi)外電位函數(shù) 和電場強度 的分布。 根據(jù)場分布的對稱性圖5.2.4 均勻電場中的

9、介質(zhì)圓柱棒293）解常微分方程，將各特解線性疊加得通解。當 時，當 時，2）分離變量, 設 代入式（1）得或30根據(jù)根據(jù) ， 比較系數(shù)得當 時，4）利用給定邊界條件確定積分常數(shù)。根據(jù)場分布對稱性當 時，通解中不含 的奇函數(shù)項，31解之，得比較系數(shù)法：當 時，得當 時， ， 則最終解c）由分界面 的銜接條件，得32 介質(zhì)柱內(nèi)的電場是均勻的，且與外加電場E0平行。 因 ， ，所以 。 介質(zhì)柱外的電場非均勻變化，但遠離介質(zhì)柱的區(qū)域，其電場趨近于均勻電場 。 圖5.2.5 均勻外電場中介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電場 335.3 有限差分法 有限差分法（Finite Differential Method）是基于差

10、分原理的一種數(shù)值計算法。其基本思想：將場域離散為許多小網(wǎng)格，應用差分原理，將求解連續(xù)函數(shù) 的泊松方程的問題轉換為求解網(wǎng)格節(jié)點上 的差分方程組的問題。通過求解差分方程組，求出每個節(jié)點上的場值。5.3.1 有限差分的網(wǎng)格分割有限差分法步驟：把求解區(qū)域劃分為網(wǎng)格得出網(wǎng)格節(jié)點場值滿足的差分方程求解場分方程組有限差分法通常把求解區(qū)域劃為矩形網(wǎng)格345.3.1 二維泊松方程的差分格式 通常將場域分成足夠小的正方形網(wǎng)格,網(wǎng)格線之間的距離為h ,節(jié)點0,1,2,3,4上的電位分別用 和 表示。 （3）（1）（2）二維靜電場邊值問題：5.3.1 有限差分的網(wǎng)格分割35（8）（4）將 和 分別代入式(3),得同理

11、（5）由（4）（5）由（4）+（5）（6）（7）（9）將式（7）、（9）代入式（x0,y0)點的泊松方程，得到泊松方程的五點差分格式當場域中 ，得到拉普拉斯方程的五點差分格式5.3.1 有限差分的網(wǎng)格分割36差分格式為：若場域離散為矩形網(wǎng)格，12上式即為泊松方程或拉氏方程的差分表達式，也叫差分格式，場域中的每一個節(jié)點（也叫內(nèi)點）都有一個與上幾式相似的差分方程，邊界上的點的電位值為已知值，于是內(nèi)節(jié)點的個數(shù)便是差分方程組方程的個數(shù)，也是差分方程組未知函數(shù)的個數(shù)。解這些聯(lián)立的線性代數(shù)方程便可求得內(nèi)節(jié)點上的電位值。37385.3.2 邊界條件的離散化處理 3. 第二類邊界條件 邊界線與網(wǎng)格線相重合的差

12、分格式：2. 對稱邊界條件1. 第一類邊界條件 給邊界離散節(jié)點直接賦已知電位值。 4. 介質(zhì)分界面銜接條件 的差分格式合理減小計算場域，差分格式為其中圖5.3.2邊界條件的離散化處理39介質(zhì)分界面銜接條件 的差分格式推導：hh01234ab先假設將媒質(zhì)b換成a ，即全部是均勻的媒質(zhì)a ,此時對0點應用差分格式，有：再將媒質(zhì)a換成b ，即全部是均勻的媒質(zhì)b ,此時對0點應用差分格式，有：根據(jù)分界面上矢量位的邊界條件，有：其中40例56 圖59（a）是一很長的接地金屬凹槽，橫截面為正方形，上蓋與地絕緣且電位為40V，蓋與槽之間間隙處為20V。求槽內(nèi)電位值。解槽中心點電位上兩網(wǎng)格中心點 電位為下兩網(wǎng)

13、格中心點 電位為當認為內(nèi)節(jié)點足夠時重新計算各內(nèi)點電位第2次、第1次計算的誤差為：415.3.3 差分方程組的求解方法1. 高斯賽德爾迭代法式中： 開始計算時先假設各點電位為某一初始值。 迭代順序可按先行后列，或先列后行進行。 迭代過程遇到邊界節(jié)點時，代入邊界值或邊界差分格式，直到所有節(jié)點電位滿足 為止。 該方法在網(wǎng)絡的節(jié)點數(shù)目很大時，收斂很緩慢。ij4255500000000000001.251.561.640.310.470.531.722.21.930.550.820.691.942.422.030.690.950.742.032.52.060.751.000.772.062.532.08

14、0.771.020.782.082.552.0843式中：加速收斂因子最佳因子的確定與具體總是有關，要憑借經(jīng)驗取值，沒有一般規(guī)律。根據(jù)計算經(jīng)驗，正方形場域由正方形網(wǎng)絡劃分，每邊的節(jié)點數(shù)若為p+1，最佳收斂因子為：2、超松弛迭代法ij當矩形域正方形網(wǎng)絡劃分時，若兩邊分別為ph和qh，且p,q很大，則最佳收斂因子為：44 迭代收斂的速度與 有明顯關系： 收斂因子（ ） 1.0 1.7 1.8 1.83 1.85 1.87 1.9 2.0 迭代次數(shù)（ N） 1000 269 174 143 122 133 171 發(fā)散最佳收斂因子的經(jīng)驗公式：（正方形場域、正方形網(wǎng)格）（矩形場域、正方形網(wǎng)格） 迭代收斂的速度與電位初始值的給定及網(wǎng)格剖分精細有關； 迭代收斂的速度與工程精度要求有 。借助計算機進行計算時，其程序框圖如下：45啟動賦邊界節(jié)點已知電位值賦予場域內(nèi)各節(jié)點電位初始值累計迭代次數(shù)N=0N=N+1按超松弛法進行一次迭代，求 所有內(nèi)點 相鄰二次迭代值的最大誤差是否小于打印 停機NY圖5.3.2 迭代解程序框圖46上機作業(yè)要求：1. 試用超松弛迭代法求解接地金屬槽內(nèi)電位的分布。已知：給定邊值：如圖示；給定初值誤差范圍選取計算：迭代次數(shù)N=? 分布。已知：給定邊值：如圖示；給定初值誤差范圍計算：1.迭代次數(shù)N=? 分布； 2.按電位差 畫出槽中等位線分布圖