一級(jí)倒立擺系統(tǒng)分析

1、一級(jí)倒立擺的系統(tǒng)分析倒立擺系統(tǒng)的模型建立如圖1-1所示為一級(jí)倒立擺的物理模型小小 車(chē)導(dǎo) 軌xlF擺桿圖1-1 一級(jí)倒立擺物理模型對(duì)于上圖的物理模型我們做以下假設(shè)：M：小車(chē)質(zhì)量m：擺桿質(zhì)量b：小車(chē)摩擦系數(shù)l：擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度I：擺桿慣量F：加在小車(chē)上的力x：小車(chē)位置：擺桿與垂直向上方向的夾角：擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）圖1-2是系統(tǒng)中小車(chē)和擺桿的受力分析圖。其中，N和P為小車(chē)與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：實(shí)際倒立擺系統(tǒng)中的檢測(cè)和執(zhí)行裝置的正負(fù)方向已經(jīng)完全確定，因而矢量方向定義如圖所示，圖示方向?yàn)槭噶空较?。FNFNPMXBxXmgNPI圖1

2、-2 小車(chē)及擺桿受力分析分析小車(chē)水平方向受力，可以得到以下方程：Mx-x- (1-1)由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到以下方程：N=md即： N=mx將這個(gè)等式代入式（1-1）中，可以得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：M+mx為推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，我們對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得出以下方程：P-mg=md2P-mg=- mlsin利用力矩平衡方程可以有：-Plsin注意：此方程中的力矩方向，由于=+，cos=-cos合并兩個(gè)方程，約去P和N可以得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：I+ml2設(shè)=+，假設(shè)與1（單位是弧度）相比很小，即1，則可以進(jìn)行近似處理：cos=-1，sinI+ml2假設(shè)初始條件為

3、0，則對(duì)式（1-9）進(jìn)行拉普拉斯變換，可以得到：I+ml2由于輸出為角度，求解方程組的第一個(gè)方程，可以得到：Xs=或改寫(xiě)為：sX如果令v=x,則有：s如果將上式代入方程組的第二個(gè)方程，可以得到：M+mI+ml整理后可得傳遞函數(shù)：sU(s)其中 q=假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為：X y=CX+Du (1-16)方程組對(duì)x,解代數(shù)方程，可以得到解如下：x=x整理后可以得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：xxy=x由（1-9）的第一個(gè)方程為：I+m對(duì)于質(zhì)量均勻分布的擺桿可以有：I=于是可以得到：1化簡(jiǎn)可以得到：=設(shè)X=x, x, , ，x y=x=以上公式推理是根據(jù)牛頓力學(xué)的微分方程驗(yàn)證的。在實(shí)際系統(tǒng)中模型參數(shù)如下：M

4、 小車(chē)質(zhì)量 1.096 Kgm 擺桿質(zhì)量 0.109 Kgb 小車(chē)摩擦系數(shù) 0 .1N/m/secl 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 0.2 5mI 擺桿慣量 0.0034 kg*m*m將上述參數(shù)代入，就可以得到系統(tǒng)的實(shí)際模型。擺桿角度和小車(chē)位移的傳遞函數(shù)：s擺桿角度和小車(chē)加速度之間的傳遞函數(shù)為：s擺桿角度和小車(chē)所受外界作用力的傳遞函數(shù)：s以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：xy=x以小車(chē)加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：xy=x綜述可知以上就是一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的模型建立過(guò)程，最終得出了實(shí)際模型的傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間方程。系統(tǒng)模型的轉(zhuǎn)換以小車(chē)加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程為例，將系統(tǒng)狀態(tài)方程轉(zhuǎn)化為能控標(biāo)準(zhǔn)型

5、，能觀標(biāo)準(zhǔn)型和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。由系統(tǒng)狀態(tài)方程可知：A=B=C=D=轉(zhuǎn)化為能控標(biāo)準(zhǔn)型定出系統(tǒng)特征多項(xiàng)式： a=poly(A) a =1.0000 -0.0000 -29.4000 0 0由此可知a0=0, a1=0, a2=-29.4, a3=0。 b3=C*Bb3 = 0 0b2=C*A*B+a3*C*Bb2 = 1 3 b1=C*A2*B+a3*C*A*B+a2*C*Bb1 = 0 0 b0=C*A3*B+a3*C*A2*B+a2*C*A*B+a1*C*Bb0 = -29.4000 0所以系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型為：xy=轉(zhuǎn)化為能觀標(biāo)準(zhǔn)型利用對(duì)偶性求出能觀標(biāo)準(zhǔn)型為：xy=轉(zhuǎn)化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型首先求出系統(tǒng)的特

6、征值以及相應(yīng)的特征向量：A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0A = 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 29.4000 0 V,D=eig(A)V = 0 0 1.0000 -1.0000 0 0 0 0.0000 0.1814 -0.1814 0 0 0.9834 0.9834 0 0D = 5.4222 0 0 0 0 -5.4222 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0其中D表示A全部特征值構(gòu)成的對(duì)角陣，V表示相對(duì)應(yīng)的特征向量。求出變換矩陣V的逆： V1=inv(V)Warning: Matrix is clo

7、se to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 1.720635e-292. V1 = 1.0e+291 * 0 0 0.0000 0.0000 0 0 -0.0000 0.0000 0.0000 2.4948 0 0 0 2.4948 0 0計(jì)算變換后的系數(shù)矩陣： A1=V1*A*VA1 = 5.4222 0 0 0 0.0000 -5.4222 0 0 0 0 0 0.0000 0 0 0 0B1=V1*BB1 = 1.0e+291 * 0.0000 0.0000 2.49482.4948所以系統(tǒng)的約當(dāng)標(biāo)

8、準(zhǔn)型為：x開(kāi)環(huán)階躍響應(yīng)曲線及分析利用已知的狀態(tài)空間方程來(lái)進(jìn)行階躍響應(yīng)分析，在MATLAB中可以寫(xiě)入以下命令： A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0； B=0;1;0;3； C=1 0 0 0;0 1 0 0； D=0;0； step(A,B,C,D)可以看出，在單位階躍響應(yīng)作用下，小車(chē)位置和擺桿角度都是發(fā)散的。判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以利用根軌跡來(lái)判斷，已知實(shí)際系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：sV（ num=0.02725; den=0.0102125 0 -0.26705; z=roots(num)z = Empty matrix: 0-by-1 p=roo

9、ts(den)p = 5.1136 -5.1136 rlocus(num,den)可以看出系統(tǒng)沒(méi)有零點(diǎn)，有兩個(gè)極點(diǎn)，并且有一個(gè)極點(diǎn)為正。由畫(huà)出的根軌跡圖形可以看出閉環(huán)傳遞函數(shù)的一個(gè)極點(diǎn)位于復(fù)平面的右半平面，這就意味著系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定的系統(tǒng)。能控性和能觀性分析對(duì)于系統(tǒng)的能控性和能觀性分析，可以利用能控性秩判據(jù)和能觀性秩判據(jù)。能控性秩判據(jù)：對(duì)于n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，構(gòu)成能控性判別矩陣：Qc=BABAn-1B，則系統(tǒng)完全能控的充要條件為：rank能觀性秩判據(jù)：對(duì)于n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，構(gòu)成能觀性判別矩陣：Qorank利用MATLAB鍵入以下命令來(lái)進(jìn)行判斷： A=0 1 0 0;0 0 0

10、 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0; B=0;1;0;3; C=1 0 0 0;0 1 0 0; D=0;0; Qc=B A*B A2*B A3*BQc = 0 1.0000 0 0 1.0000 0 0 0 0 3.0000 0 88.2000 3.0000 0 88.2000 0 R1=rank(Qc)R1 = 4 Qo=C;C*A;C*A2;C*A3Qo = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 R2=rank(Qo)R2 = 2可以看出，系統(tǒng)的完全能控矩陣的秩等于系統(tǒng)的狀態(tài)變量維數(shù)，系統(tǒng)的輸出完全能觀測(cè)矩陣的秩等于系統(tǒng)輸出向量y的維數(shù)，所以系統(tǒng)是可以完全能控完全能觀測(cè)的系統(tǒng)。根軌跡校正以及仿真已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：G設(shè)計(jì)控制器使得調(diào)整時(shí)間ts=0.5s(2%)；最大超調(diào)計(jì)算整理可得超前校正裝置的零點(diǎn)和極點(diǎn)分別為：zc=-6.92214；Q=G利用MATLAB命令觀察校正后的根軌跡圖形：圖中可以看出，系統(tǒng)三條根軌跡都