高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件：6-習(xí) 題 課

1、第六章 定積分的應(yīng)用習(xí) 題 課1上每一點(diǎn)處線(xiàn)密度的大小等于該點(diǎn)到原點(diǎn)距離的立方,在點(diǎn)O處有一單位質(zhì)點(diǎn),求星形線(xiàn)在第一象限的弧段對(duì)這質(zhì)點(diǎn)的引力.第六章 定積分應(yīng)用 習(xí)題課例總習(xí)題六288頁(yè)第9題設(shè)星形線(xiàn)解建立坐標(biāo)系.2故星形線(xiàn)在第一象限的弧段對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的引力為第六章 定積分應(yīng)用 習(xí)題課3例證分析由于是t的連續(xù)函數(shù),該函數(shù)只要證明有零點(diǎn)即可.輔助函數(shù)第六章 定積分應(yīng)用 習(xí)題課4連續(xù),又零點(diǎn)定理使得故即第六章 定積分應(yīng)用 習(xí)題課5例證長(zhǎng)方體器皿下半部盛水,上半部盛油,設(shè)油和水水的比重是油的2倍,此時(shí)側(cè)壁壓力若全部盛油,記側(cè)壁壓力為證明建立坐標(biāo)系.油的比重為1,則全盛油時(shí)若油水各半時(shí),在上半部在下半部的

2、體積相等,記為第六章 定積分應(yīng)用 習(xí)題課6故第六章 定積分應(yīng)用 習(xí)題課7例過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線(xiàn) y = ln x的切線(xiàn),2003年考研數(shù)學(xué)(一)10分該切線(xiàn)與曲線(xiàn)y = ln x 及x軸圍成平面圖形D.(1) 求D的面積 A;(2) 求D的繞直線(xiàn) x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積 V.解(1) 設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為則曲線(xiàn)處的切線(xiàn)方程是由該切線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)知從而所以該切線(xiàn)的方程為第六章 定積分應(yīng)用 習(xí)題課8過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線(xiàn) y = ln x的切線(xiàn),2003年考研數(shù)學(xué)(一)10分該切線(xiàn)與曲線(xiàn)y = ln x 及x軸圍成平面圖形D.(1) 求D的面積 A;(2) 求D的繞直線(xiàn) x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.平面

3、圖形D的面積(2)切線(xiàn) 與x軸及直線(xiàn) x=e所圍成的三角形繞直線(xiàn)x=e旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)所得的圓錐體積為第六章 定積分應(yīng)用 習(xí)題課9過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線(xiàn) y = ln x的切線(xiàn),2003年考研數(shù)學(xué)(一)10分該切線(xiàn)與曲線(xiàn)y = ln x 及x軸圍成平面圖形D.(1) 求D的面積 A;(2) 求D的繞直線(xiàn) x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.曲線(xiàn) 與x軸及直線(xiàn) x=e所圍成的圖形繞直線(xiàn) x=e 旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積為因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為第六章 定積分應(yīng)用 習(xí)題課102003年考研數(shù)學(xué)(一)10分某建筑工地打基時(shí),需用汽錘將樁打進(jìn)土層.例解汽錘每次擊打, 都將克服土層對(duì)樁的阻力而作功.設(shè)土層對(duì)樁的阻力的大小

4、與樁被打進(jìn)地下的深度成正比(比例系數(shù)為k, k 0),汽錘第一次擊打?qū)洞蜻M(jìn)地下a m.根據(jù)設(shè)計(jì)方案,要求汽錘每次擊打樁時(shí)所作的功與前一次擊打時(shí)所作的功之比為常數(shù)r (0 r 1).問(wèn)(1) 汽錘擊打樁3次后,可將樁打進(jìn)地下多深?(2) 若擊打次數(shù)不限,汽錘至多能將樁打進(jìn)地下多深?(注: m表示長(zhǎng)度單位米. )(1) 設(shè)第n次擊打后,樁被打進(jìn)地下xn,打時(shí),第n次擊汽錘所作的功為Wn (n=1, 2, 3,).由題設(shè),第六章 定積分應(yīng)用 習(xí)題課112003年考研數(shù)學(xué)(一)10分當(dāng)樁被打進(jìn)地下的深度為x時(shí),土層對(duì)樁的阻力的大小為kx,所以根據(jù)設(shè)計(jì)方案,要求汽錘每次擊打樁時(shí)所作的功與前一次擊打時(shí)所作的功之比為常數(shù)r (0 r 1).由W2 = rW1可得即由W3= rW2= r2 W1可得從而即汽錘擊打3次后,可將樁打進(jìn)地下第六章 定積分應(yīng)用 習(xí)題課122003年考研數(shù)學(xué)(一)10分(2) 若擊打次數(shù)不限,汽錘至多能將樁打進(jìn)地下多深? 設(shè)第n次擊打后,樁被打進(jìn)地下xn,(2) 由歸納法,則由于故得第六章 定積分應(yīng)用 習(xí)題課132003年考研數(shù)學(xué)(一)10分(2) 若擊打次數(shù)不限,汽錘至多能將樁打進(jìn)地下多深?從而于是即若擊打次數(shù)不限, 汽錘至多能將樁打進(jìn)地下第六章 定積分