GPS高程擬合的轉(zhuǎn)換方法

1、GPS 高程擬合的轉(zhuǎn)換方法（河北理工大學(xué)）摘要：本文從GPS定位系統(tǒng)的組成和介紹開始，分析研究了GPS高程的使用意義和不 足，說明大地高、正常高和正高的概念及轉(zhuǎn)換關(guān)系，闡述了 GPS 高程擬合的原理。討論了 繪等值線圖法，解析內(nèi)插法中的多項(xiàng)式曲線擬合方法、三次樣條曲線擬合方法和 Akima 曲 線擬合方法，曲面擬合中的多項(xiàng)式曲面擬合法、多面函數(shù)曲面擬合法、曲面樣條擬合法和移 動(dòng)曲面擬合方法。研究并分析了 GPS水準(zhǔn)擬合的精度評(píng)定。關(guān)鍵詞：大地高，正常高，高程異常，高程擬合引言GPS系統(tǒng)由GPS衛(wèi)星星座（空間部分）、地面監(jiān)控系統(tǒng)（地面控制部分）和GPS信號(hào)接收機(jī)圖1.1全球定位系統(tǒng)（GPS）構(gòu)成

2、示意圖GPS （Global Positioning System/全球定位系統(tǒng)）系統(tǒng)是一種以空間衛(wèi)星為基礎(chǔ)的無 線電導(dǎo)航與定位系統(tǒng)，是一種被動(dòng)式衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)，能為世界上任何地方，包括空中、 陸地、海洋甚至于外層空間的用戶，全天候、全時(shí)間、連續(xù)地提供精確的三維位置、三維速 度及時(shí)間信息，具有實(shí)時(shí)性的導(dǎo)航、定位和授時(shí)功能。GPS衛(wèi)星星座21顆工作衛(wèi)星和3顆在軌備用衛(wèi)星組成，這24顆衛(wèi)星均勻分布在6個(gè)軌 道平面上。衛(wèi)星軌道平面相對(duì)地球赤道平面的傾角約為55，各軌道平面升交點(diǎn)的赤經(jīng)相 差 60，在相鄰軌道上，衛(wèi)星的升交距角相差 300,軌道平均高度約為 20200km ，衛(wèi)星運(yùn) 行周期為11時(shí)5

3、8分（恒星時(shí)12h）。這一分布方式，保證了地面上任何時(shí)間、任何地點(diǎn)至 少可同時(shí)觀測(cè)到4顆衛(wèi)星。GPS衛(wèi)星的作用是接收和播發(fā)由地面監(jiān)控系統(tǒng)提供的衛(wèi)星星歷。 地面監(jiān)控系統(tǒng)由主控站、注入站和監(jiān)測(cè)站三部分組成，它們主要負(fù)責(zé)編算GPS星歷將其發(fā)射 到GPS衛(wèi)星上，監(jiān)測(cè)和控制GPS衛(wèi)星的“健康”狀況，保持各顆衛(wèi)星處于同一時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)，即 處于GPS時(shí)間系統(tǒng).。GPS信號(hào)接收機(jī)的主要任務(wù)是接收GPS衛(wèi)星發(fā)射的信號(hào)，以獲取必要 的導(dǎo)航定位信息，并經(jīng)數(shù)據(jù)處理而完成導(dǎo)航定位工作。當(dāng)GPS衛(wèi)星在用戶視界時(shí)，接收機(jī)能 捕獲到按一定衛(wèi)星高度截止角所選擇的待測(cè)衛(wèi)星，并能跟蹤這些衛(wèi)星的運(yùn)行：對(duì)所接收到的 GPS信號(hào)具有變換、放

4、大和處理的功能，以便測(cè)量出GPS信號(hào)從衛(wèi)星到接收機(jī)天線的傳播 時(shí)間，解譯出GPS衛(wèi)星所發(fā)射的導(dǎo)航電文，實(shí)時(shí)地計(jì)算出測(cè)站的三維坐標(biāo)位置，甚至三維速 度和時(shí)間。GPS水準(zhǔn)高程擬合模型的研究是為了實(shí)現(xiàn)由GPS大地高求出水準(zhǔn)高，用GPS水準(zhǔn)代替幾 何水準(zhǔn)，提高GPS水準(zhǔn)測(cè)量的精度，發(fā)揮GPS技術(shù)提供三維坐標(biāo)的優(yōu)越性；結(jié)合實(shí)際工程， 將各種模型應(yīng)用到不同的地形條件下，經(jīng)過模型優(yōu)選，分析比較和精度評(píng)定，得出具體的結(jié) 論，指導(dǎo)生產(chǎn)和工程實(shí)踐。數(shù)據(jù)的處理，采用五種擬合方法編寫程序?qū)崿F(xiàn)似大地水準(zhǔn)面擬合 的模型程序化，在一定條件下，擬合所得到的結(jié)果可以滿足四等水準(zhǔn)測(cè)量的精度要求，具有 一定的使用價(jià)值。GPS 水準(zhǔn)

5、高程基本概念圖 2.1 大地高、正高、正常高關(guān)系（不考慮垂線偏差）大地高程系統(tǒng)是以參考橢球面為基準(zhǔn)面的高程系統(tǒng)，它是一個(gè)幾何量，不具有物理意義 大地高的概念：由地面點(diǎn)沿通過該點(diǎn)的橢球面法線，到參考橢球面的距離，通常以H表示。 GPS定位測(cè)量獲得的是WGS-84橢球空間直角坐標(biāo)系中的成果，其中的高程值是地面點(diǎn)相 對(duì)于WGS-84橢球的大地高H。正高系統(tǒng)是以大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)面的高程系統(tǒng)，地面某點(diǎn)P的正高H定義為由地面點(diǎn)P沿垂線方向至大地水準(zhǔn)面的距離。大地水準(zhǔn)面是一族重力等位面（水準(zhǔn)面）中的一個(gè)，由于 水準(zhǔn)面之間不平行，所以，過一點(diǎn)并與水準(zhǔn)面相垂直的鉛垂直線，實(shí)際上是一條曲線，正高 的計(jì)算公式為：1

6、H 二I Hgg dH（2.1）g gm式中，J Hgg dH是地面點(diǎn)至大地水準(zhǔn)面之間的位能差；gm為由地面點(diǎn)沿垂線方向至大 地水準(zhǔn)面的平均重力加速度。由于gm無法直接測(cè)定，所以嚴(yán)格的講，正高是不能精確確定 的。由于正高是以大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)面，具有非常重要的物理意義，所以它在水利建設(shè)、管 道和隧道建設(shè)等精密工程技術(shù)方面有著廣泛的應(yīng)用。若以hg表示大地水準(zhǔn)面和橢球面之間 的差距，則正高與大地高的關(guān)系按如下公式可得：H = H + h（2.2）g g由于gm無法直接測(cè)定，導(dǎo)致正高無法嚴(yán)格確定。為了方便使用，根據(jù)前蘇聯(lián)大地測(cè)量學(xué)學(xué) 者莫洛金斯基的理論，建立了正常高系統(tǒng)。其公式為：任意點(diǎn)處的大地水準(zhǔn)面

7、與橢球面的差值稱為高程異常，正常高與大地高的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：H = H +匚（2.3）Y其中匚為似大地水準(zhǔn)面的高程異常。1H = I Hrg d H（2.4）Y YmGPS測(cè)量高程原理GPS是一種三維觀測(cè)系統(tǒng)，通過相位觀測(cè)值可求出網(wǎng)中每?jī)牲c(diǎn)間的地心WGS-84坐標(biāo) 系中的坐標(biāo)差A(yù)X= （AX0，AY0，AZ0）t，提供了地面點(diǎn)間位置和高程信息。如何求出地面點(diǎn)的 高程（正常高）需要經(jīng)過一些中間步驟，現(xiàn)介紹其基本過程。GPS測(cè)得的基線向量AX,以坐標(biāo)為未知參數(shù)進(jìn)行自由網(wǎng)平差，求出該網(wǎng)點(diǎn)三維地心坐 標(biāo)。取網(wǎng)中至少三個(gè)己知地面控制點(diǎn)，其點(diǎn)位的大地坐標(biāo)經(jīng)度L、緯度B和大地高H為已 知，將這些點(diǎn)上的己知數(shù)轉(zhuǎn)換

8、到相應(yīng)橢球的三維直角坐標(biāo)系中，求出坐標(biāo)值。轉(zhuǎn)換公式為：x_(N(B) + H)cos B cos L x =y=(N (B) + H )cos B sin Lz(1 e 2) N (B) + H )sin B式中e2二2 f 一 f 2, N (B)1 e2 sin2 B , a、f是相應(yīng)的橢球參數(shù)。以已知點(diǎn)上大地直角三維坐標(biāo)X為控制,采用七參數(shù)法,將WGS-84系直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換至與控制點(diǎn)相應(yīng)的直角坐標(biāo)系中,公式為:以已知點(diǎn)上大地直角三維坐標(biāo)X為控制,采用七參數(shù)法,將WGS-84系直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換至與控制點(diǎn)相應(yīng)的直角坐標(biāo)系中,公式為:Axxx100 x0zysSSSy=y+010yz0 xsSSSz

9、z001zyx0sSSS1AyAzex式中Ax、Ay、Az為平移參數(shù)，m為尺度比，ex、ey、ez為旋轉(zhuǎn)參數(shù)。由此求得GPS的直角坐標(biāo)，再經(jīng)下式變換，即得與已知點(diǎn)相同橢球的經(jīng)度、緯度和大地高：L = arctg( y / x)B = arctgeB = arctge2N(B) -1 N (B) + H 丿p-x2 + y2cos BHN(B)眾所周知，大地高是地面點(diǎn)至橢球面的高程，我們需要的是海拔高程正常高)，兩個(gè)基準(zhǔn)面之差為該點(diǎn)的高程異常，即橢球面至似大地水準(zhǔn)面之間的高差，表達(dá)式為：H =H 匚Y式中Hr，H分別為正常高、大地高，C為高程異常。另一種過程是求出正常高高差，現(xiàn)簡(jiǎn)述其原理如下。由

10、GPS獲得的基線向量(AxS，AyS，AzS)，通過網(wǎng)中至少三個(gè)已知點(diǎn)，經(jīng)(2.8)式變換到三AxAxAy=Ay+AzAzsxSzSSxSzSS0 zSz 0Sy xSS求得GPS測(cè)點(diǎn)從屬于地面控制坐標(biāo)系的三維坐標(biāo)差。有類似的X2.10)式，變換到橢球面 上，求得基線向量的精度差、緯度差和大地高差。再由下式求得正常高高差:AH = AH - ACY由于坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換時(shí)采用了七參數(shù)或四參數(shù)法，GPS網(wǎng)點(diǎn)經(jīng)轉(zhuǎn)換后與相應(yīng)地面測(cè)點(diǎn)仍有 間隙，亦即轉(zhuǎn)換后GPS網(wǎng)點(diǎn)坐標(biāo)與地面網(wǎng)系統(tǒng)并不兼容，這對(duì)于城市網(wǎng)和工程控制網(wǎng)而言, 不能說不是一個(gè)問題。因此，在我國(guó)自行制作的軟件中采取了一系列措施，使GPS網(wǎng)點(diǎn)坐 標(biāo)和地

11、面網(wǎng)系統(tǒng)兼容。在地形起伏較大的地區(qū)及位于較高建筑物上的未知點(diǎn)，用傳統(tǒng)水準(zhǔn)測(cè)量方法測(cè)定這些點(diǎn) 的高程較為困難，通常采用三角高程測(cè)量的方法。三角高程測(cè)量是以水平面為基準(zhǔn)面和視線 成直線為前提的。因此，只有當(dāng)A、B兩點(diǎn)間的距離很短時(shí)，才比較準(zhǔn)確。當(dāng)A、B兩點(diǎn)距 離較遠(yuǎn)時(shí)，還應(yīng)該考慮地球彎曲和大氣折光的影響了，另外三角高程加測(cè)天頂距，計(jì)算邊長(zhǎng), 則會(huì)不可避免的帶來誤差傳播，并增加工程量。對(duì)于一般工程單位而言，無法獲得必要的重 力數(shù)據(jù)和天文數(shù)據(jù)，因此重力方法在一般的工程單位很難施行。相比于前面的方法，GPS 測(cè)高只需擺好接收機(jī)，開機(jī)等待即可，測(cè)站距離可以達(dá)幾km,勞動(dòng)強(qiáng)度小，不受氣候影響， 工作效率高，

12、內(nèi)業(yè)較為簡(jiǎn)單。因此在點(diǎn)多量大的水利工程測(cè)量中，如果能用GPS測(cè)高代替 四等水準(zhǔn)，其優(yōu)越性是非常明顯的，特別是在山區(qū)更為明顯。GPS高程轉(zhuǎn)換方法GPS水準(zhǔn)高程，是目前GPS作業(yè)中最常用的一種方法。目前，國(guó)內(nèi)外用于GPS水準(zhǔn)計(jì)算的各種方法主要有：繪等值線圖法；解析內(nèi)插法；曲 面擬合法等。下面重點(diǎn)介紹解析內(nèi)插法和曲面擬合法的多項(xiàng)式曲面擬合法和多面函數(shù)擬合法。(1) 線形解析內(nèi)插法1, Akima曲線擬合法Akima法的原理是：Akima插值法規(guī)定在兩個(gè)實(shí)測(cè)點(diǎn)之間進(jìn)行內(nèi)插，除需要用到這兩個(gè) 實(shí)測(cè)值外，還要用這兩個(gè)點(diǎn)相近鄰的四個(gè)實(shí)測(cè)點(diǎn)上的觀測(cè)值。也就是說，在兩個(gè)實(shí)測(cè)點(diǎn)之間 進(jìn)行內(nèi)插，共需六個(gè)實(shí)測(cè)點(diǎn)。設(shè)已

13、知數(shù)據(jù)點(diǎn)為(x ,y )(i = 1,2,3,n)，現(xiàn)在要找一條光滑曲i i線y = fx),使得滿足匚.=f(X.)o所謂“光滑”是指fx)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)。同時(shí)還約定， 在任意兩相鄰的數(shù)據(jù)點(diǎn)之間，用三次多項(xiàng)式來逼近。設(shè)給定n個(gè)不等距GPS測(cè)點(diǎn)為X x x x (或y y y y )。相應(yīng)的0 12n-1012n-1高程異常值為C i (i = 0,1,2,n -1)若在子區(qū)間上xk，xk J(k = O12,n -2)上兩個(gè)端點(diǎn)處滿足以下4個(gè)條件:X = f (x ) TOC o 1-5 h z kk(3.1)匚=f (x )(3.1)v k+1k+1C = gk k匚=gk+1k+1式

14、中g(shù)k，gk+1可由從Akima條件唯一確定。則在xk,xk+1 (k = 0,1,2,，n-2)區(qū)間上確定一個(gè)三次多項(xiàng)式：s(x) = s + s (x - x ) + s (x - x )2 + s (x - x )3(3.2)01k 2k3k由上式可計(jì)算該子區(qū)間插值點(diǎn)t處的高程異常值C。其中：s 1ss 1s2s3(3.3)k TOC o 1-5 h z =3(匚一匚)/(x x ) 2t t/(x x )k +1 kk +1k kk +1k +1k=t +1 2(匚一匚)/(x x )/(x x)2kk+1k+1kk +1kk+1k上式中的tk，tk+1為k號(hào)和k+1號(hào)點(diǎn)實(shí)測(cè)要素的斜率

15、，tk用k2、k1、k、k+1、k+2已知點(diǎn) 計(jì)算， tk+1 用 k1、 k、 k+1、 k+2、 k+3 已知點(diǎn)計(jì)算，一般計(jì)算公式為：(3.4)t = (|m m 卜 m + |m m 卜 m )/(|m m | + |m m |)(3.4)ii+1ii1i1i2ii+1ii1i2式中 i = k, k +1 m = (C C ) /(x x )ii +1 i i+1 i當(dāng)上式分母為零時(shí)，t = 1/2(m + m )或t = mii 1 i i i2 三次樣條曲線擬合法當(dāng)測(cè)線長(zhǎng)，已知點(diǎn)多，C變化大是，在R = min條件下解各a,誤差會(huì)增大，故通?？偛扇》?段計(jì)算。這樣使曲線在分段點(diǎn)上不

16、連續(xù)，也影響擬合經(jīng)度。為此，采用三次樣條法來擬合 三次樣條曲線實(shí)際上是由一段一段的三次多項(xiàng)式曲線拼接而成的連續(xù)曲線。在連接點(diǎn)處，不 僅函數(shù)自身是連續(xù)的，而且其一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)也是連續(xù)的。這樣既保留了多項(xiàng)式在表達(dá) 上的簡(jiǎn)便性，又克服了單個(gè)多項(xiàng)式不靈活、不穩(wěn)定的缺點(diǎn)，且計(jì)算較簡(jiǎn)單，故在長(zhǎng)測(cè)線似大 地水準(zhǔn)面擬合中得到了應(yīng)用。 TOC o 1-5 h z 設(shè)過n個(gè)已知點(diǎn)，C 和x.(或y.或擬合坐標(biāo))在區(qū)間x ,x (i = O，1，2,n 一】)上有三次樣條 i i i ii +1函數(shù)關(guān)系C(x)=C(x )+(xx )C(x,x )+(xx )(xx)C(x,x,x )(3.5)i i i i+

17、1ii +1ii+1式中x為待定點(diǎn)坐標(biāo)，x , x為待求點(diǎn)兩端已知點(diǎn)的坐標(biāo)。其中匚(x , x )為一階差商。 TOC o 1-5 h z ii+1i i+1:(x ,x )二(匚-C )/(x - x )；: (x,x ,x ) 為二階 差商，i i+1i+1ii+1ii i+1匚(x, x , x )=匚(x ) + C (x) + C (x ),而:(x ) (i = 1,2,n 1),滿足系數(shù)矩陣i i +16 ii +1i為對(duì)稱三角陣的線性方程組(x- x)C(x)+2(x- x)C(x )+(x- x)C(x)ii -1i -1i +1i -1ii +1ii +1=6C (x ,x

18、 )-C (x ,x )(3.6)i i +1i -1 iC (x ) =C (x )二 00n用追趕法解(3.10)方程組，可求出C (x )和C (x , x )，而 ii i +1i事實(shí)上，我們可查詢有關(guān)數(shù)值分析和其論文C，(x)=護(hù) Mii事實(shí)上，我們可查詢有關(guān)數(shù)值分析和其論文C，(x)=護(hù) Mi-1 +iC(x)=C(x )+(x-x )C(x ,x )ii i +1一般采用下式來擬合M h 2) i-_ii-16 丿(x-xi1)M6h ii(3.7)x -x*(i = 1,2,n -1) (3.8)hi式中M =C (x )，i i i 方程組解得。(2)曲面擬合法當(dāng) GPS 點(diǎn)

19、布設(shè)成一定區(qū)域面時(shí)，在 GPS 網(wǎng)中聯(lián)測(cè)一些水準(zhǔn)點(diǎn)，然后利用這些點(diǎn)上的正h = x -xi i ii-1， y =C (x)。i i i待定參數(shù) Mi 同樣可由對(duì)稱三角陣的線性高和大地高求出它們的高程異常值，再根據(jù)這些點(diǎn)上的高程異常值與坐標(biāo)的關(guān)系，用最小二 乘的方法擬合出測(cè)區(qū)的似大地水準(zhǔn)面，利用擬合出的似大地水準(zhǔn)面，內(nèi)插出其他GPS點(diǎn)的 高程異常，從而求出各個(gè)未知點(diǎn)的正常高。1 多項(xiàng)式曲面擬合 設(shè)點(diǎn)的C與平面坐標(biāo)x、y (或大地坐標(biāo)B、L或AB、AL),有以下關(guān)系：C=f (x, y) + (3.9)或AC=f (Ax, A y) +A(3.10)其中f(x，y)為心中趨勢(shì)值，為誤差、山=x

20、- xo、Ay = y - yo、xo =( xi)/n， t=0y =(y )/n0i t=0設(shè) f(x,y) =a +a x+a y+a x2 +a xy+a y2 +a x3 +a x2y+a y2x+a y3 +0123456789(3.11)寫成矩陣形式有：(3.12)其中：a8-1xyX 2000000匚=匚， B =a8， X =1xyX 211， 8 =1.111a81xyX 2n-1n-1n-1-n-1n-1n-1對(duì)于每一個(gè)已知點(diǎn)，均可以列出上式方程，在E 8 2 = min條件下，可求解系數(shù)陣:B = (XtX)-i(Xt: )(3.13)再由已知高程異常的權(quán)陣情況下，上式

21、可改寫為:B = (X t PX)-1( X t PJ(3.14)系數(shù)求出后，再按(3.12)式求出待求點(diǎn)的Z,從而求出Hr。實(shí)踐表明，在地勢(shì)較為平坦的地區(qū)，當(dāng)已知高程異常的點(diǎn)，密度適當(dāng)，分布比較均勻時(shí)， 該法計(jì)算高程異常的精度，可達(dá)厘米級(jí)。在難以達(dá)到代替三、四等水準(zhǔn)測(cè)量要求的大地水準(zhǔn)面的起伏較大的山區(qū)，一般可采用根 據(jù)測(cè)區(qū)地形情況，適當(dāng)增加已知高程異常點(diǎn)的密度，并改善其分布；綜合利用測(cè)區(qū)的重力觀 測(cè)資料，改善模型對(duì)高程異常的分辨率；考慮到高程異常與測(cè)區(qū)地形的密切相關(guān)性，在模型 中可引入地形影響的改正項(xiàng)，以提高確定高程異常的精度等方法加以改善。下面列出幾個(gè)常用的多項(xiàng)式內(nèi)插公式:平面模型: f(

22、x,y)=a0+a1x+a2y TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark70 o Current Document 平面相關(guān)模型: f(x,y)=a +a x+a y+a x 2 + a xy 01234 HYPERLINK l bookmark72 o Current Document 二次曲面模型: f (x, y) = a +a x+a y +a x2 + a xy + a y 2 012345三次曲面模型:f (x, y) = a +a x+a y +a x2 +a xy +a y2 +a x3 +a x2y +a y2x+a y30123456789在本文

23、論述的其它擬合方法中，其中移動(dòng)曲面的基本數(shù)學(xué)模型采用的是多項(xiàng)式形式，由 此可見對(duì)它的模型的研究和探討有著重要的意義。其次，要說明的是，最小二乘原理和參數(shù) 估計(jì)始終貫穿所有數(shù)學(xué)模型的計(jì)算，同時(shí)也是測(cè)量平差的基礎(chǔ)。 182 多面函數(shù)曲面擬合多面函數(shù)擬合法，1971年由美國(guó)哈笛(Hardy)提出。1976年將此法應(yīng)用于美國(guó)大地測(cè)量、 擬合重力異常、大地水準(zhǔn)面差距、垂線偏差等，1978年將此法用于地殼形變。它的基本思 想是任何一個(gè)規(guī)則或不規(guī)則的連續(xù)曲面均可以由若干簡(jiǎn)單面(或稱單值數(shù)學(xué)面)來疊加逼近。 具體做法是在每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)上建立一個(gè)曲面，然后在方向上將各個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面按一定比例疊加成 一張整體的連續(xù)曲面使

24、之嚴(yán)格地通過各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。多面疊加的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：:=f (x,y) =aQ(x,y,x ,y )(3.15)ii ii =1式中a.為待定系數(shù)；Q(x, y, x., y.)為x和y的核函數(shù)，其中心在(xi5 y.)處，簡(jiǎn)稱多面函數(shù)。常 用的簡(jiǎn)單核函數(shù)有以下幾種。即：錐面Q(x, y,x , y ) = C + * (x- x )2 + (y - y )2(3.16) TOC o 1-5 h z i i1ii雙曲面Q(x, y,x , y ) = (x-x )2 + (y - y )2 +5 2(3.17) HYPERLINK l bookmark78 o Current Document i

25、 iii倒曲面Q(x,y,x ,y ) = 1(x-x )2 + (y- y )2 +5 2(3.18) HYPERLINK l bookmark80 o Current Document i iii這里5為非零參數(shù)。上式表示一段雙曲面繞豎軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面，當(dāng)5 =0時(shí)，此曲面 就退化成圓錐面。三次曲面Q(x,y,x ,y ) = C + (x x )2 + (y y )2 +5 22(3.19)i iii上式是母線為三次曲線的旋轉(zhuǎn)面。在上式各式中，(x-x )2 + (y- y )2為內(nèi)插點(diǎn)到參考點(diǎn)之間的水平距離的平方。ii旋轉(zhuǎn)面小-D 2Q 1t式中a為參數(shù)。a 2母線旋轉(zhuǎn)面Q = C e

26、xp-a20上式是以高斯曲線為母線的旋轉(zhuǎn)面，C0和a為兩個(gè)參數(shù)，其中5為光滑系數(shù)。設(shè)已知參考點(diǎn)有m個(gè)，選擇其中n個(gè)點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)(j = 12,n m)，記B = (a ,a，a )T，12n則同樣有(3.16)誤差方程，式中X為核函數(shù)矩陣。當(dāng)已知數(shù)m大于節(jié)點(diǎn)數(shù)n時(shí)，利用最小二乘法原理，可以根據(jù)(3.17)計(jì)算方程系數(shù)，在已知核函數(shù)權(quán)陣的情況下，可以根據(jù)(3.18)計(jì)算方程系數(shù)。系數(shù)求出后，同樣按3.15)式求出待求 點(diǎn)的&從而求出Hr如果已知數(shù)m等于節(jié)點(diǎn)數(shù)n時(shí)，方程唯一解，可以按線性方程求解，如下式：B 二 X弋(3.20)這時(shí)待定點(diǎn)的解為：匸二 X B 二 X X 一(3.21)PPP這里補(bǔ)充

27、說明，對(duì)于已知參考點(diǎn)個(gè)數(shù)等于誤差方程系數(shù)的情況下，方程存在唯一解，只 可以線性求解。m個(gè)已知點(diǎn)，要求是高程異常顯著點(diǎn)，即能很好描述該區(qū)域內(nèi)高程異常分布 的特征點(diǎn)，最好位于最高、最低及坡度變化處。這種擬合法，雖然理論上嚴(yán)密，但使用上有些困難，特別是5和核函數(shù)的選取，需要不 斷試驗(yàn)改進(jìn)選取。下面就其中三個(gè)問題進(jìn)行深入分析。1.核函數(shù)的選擇多面函數(shù)是屬于純數(shù)學(xué)逼近方法，其差值精度與選用的核函數(shù)有密切的關(guān)系，高程變化 大的地區(qū)內(nèi)插的精度往往較低，所以我們要選擇一個(gè)一成不變的核函數(shù)對(duì)各種地形進(jìn)行最小 二乘推估。只要高程變化大的地區(qū)保證了精度，對(duì)于平坦地區(qū)的推估，其核函數(shù)影響是不大 的。對(duì)于待求點(diǎn)的估值實(shí)

28、質(zhì)上就是數(shù)據(jù)點(diǎn)的加權(quán)平均值。因而選擇優(yōu)良核函數(shù)的準(zhǔn)則是：由 它計(jì)算的權(quán)系數(shù)只要相對(duì)集中，并且數(shù)值穩(wěn)定性好。在對(duì)地殼垂直運(yùn)動(dòng)中速率面的擬合采用 正雙曲線函數(shù)；2光滑系數(shù)6的確定優(yōu)化的6選取對(duì)其高擬合效果有作用，但比較困難。試驗(yàn)表明6越大，內(nèi)插的曲面越平滑， 但當(dāng)大于某一值時(shí)將使結(jié)果出現(xiàn)很大的偏差。6對(duì)于倒雙曲面函數(shù)，6必須大于零，否則無 法計(jì)算，同時(shí)6的取值也有正雙曲面的性質(zhì)，6越大，內(nèi)插的曲面越平滑。但當(dāng)大于某一 值時(shí)也將使結(jié)果出現(xiàn)很大的偏差。3核函數(shù)節(jié)點(diǎn)的選取在大范圍有較多的GPS水準(zhǔn)點(diǎn)，即已知高程異常的點(diǎn)較多，可選其中部分作為節(jié)點(diǎn)， 其余作用擬合高程異常的檢核。此時(shí)，擬合結(jié)果就與所選節(jié)點(diǎn)不

29、同而異，這是需要試驗(yàn)研究 的問題。對(duì)于局部GPS網(wǎng)，GPS水準(zhǔn)點(diǎn)不會(huì)很多，就可全部用來作為節(jié)點(diǎn)，進(jìn)行擬合。 5擬合精度評(píng)定為了能客觀地評(píng)定GPS水準(zhǔn)計(jì)算的精度，采用內(nèi)符合精度和外符合精度檢核，內(nèi)符合 精度表明的是結(jié)點(diǎn)與所選模型的符合程度，而外符合精度表示的是檢核點(diǎn)與所選模型的符合程度。1 內(nèi)符合精度根據(jù)參與擬合計(jì)算已知點(diǎn)高程異常值與計(jì)算后得到的高程異常值匚,用V= : c i求擬 i i i i i合殘差V，按下式計(jì)算GPS水準(zhǔn)擬合的內(nèi)符合精度U :i TOC o 1-5 h z 卩=腫/(n -1)(5.1)式中n為參參與計(jì)算的已知點(diǎn)個(gè)數(shù)。2 外符合精度根據(jù)參與檢核點(diǎn)的高程異常值C與計(jì)算后得到的高程異常值C ，用V= C c i求擬合殘差 ii iiV，按下式計(jì)算GPS水準(zhǔn)的外符合精度M：i