所有分類大工信號與系統(tǒng)考試本科上課課件5

1、 第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析5.1 引言 復(fù)頻域分析法就是拉普拉斯變換分析法，其根本思想就是將鼓勵信號分解為變幅的正弦信號和的形式，然后分別討論每個變幅正弦信號單獨作用到系統(tǒng)中的響應(yīng)，最后疊加就可以得到任意鼓勵信號作用到系統(tǒng)中的響應(yīng)。拉普拉斯變換分析法可以看作是傅立葉變換頻域分析法的推廣，因此也稱拉普拉斯變換為廣義傅立葉變換。拉普拉斯變換分析法的優(yōu)點： 1、可一次求出全響應(yīng)； 2、可將微積分運算轉(zhuǎn)換成乘除法運算； 3、可將復(fù)雜的函數(shù)轉(zhuǎn)換為簡單的初等函數(shù)； 4、可將卷積運算轉(zhuǎn)換為乘積運算。5.2 拉普拉斯變換 信號f(t)不滿足絕對可積條件，往往是當t時，信號發(fā)散或收斂太慢，為使信號收斂，

2、用一叫做收斂因子的指數(shù)函數(shù)e-t去乘f(t)，當適當取值時，總可以使f(t)e-t在t時收斂，以滿足絕對可積條件。如：只要0，且-0，f(t)e-t就雙向收斂，從而滿足絕對可積條件，其傅立葉變換就存在。F其中，上式積分的最后結(jié)果是s的函數(shù)，用F(s)表示，即反變換其中，那么，或正變換上兩式構(gòu)成一變換對，稱為雙邊拉普拉斯變換對，記為：正變換反變換單邊拉普拉斯變換正變換反變換或簡單的以下面符號表示：拉普拉斯變換也叫廣義傅立葉變換。F(s)稱為f(t)的象函數(shù)，f(t)稱為F(s)的原函數(shù)。工程中常遇到的信號是有始信號，所以今后主要討論單邊拉普拉斯變換。將拉氏變換與傅立葉變換進行比較可以看出，傅立葉

3、變換是將信號分解為ejt信號或cos(t)、sin(t)信號和的形式，而拉氏變換是將信號分解為est或et cos(t)、 et sin(t)信號和的形式，因此給定復(fù)變量 s ，分量信號est隨時間的變化規(guī)律就完全確定了，這里包括變幅正弦信號的頻率及幅度衰減的快慢等，因此稱復(fù)變量 s 為復(fù)頻率，以其實部位橫軸、虛部為縱軸所構(gòu)成的平面叫復(fù)平面或s平面。給定 s 平面中的一點，復(fù)指數(shù)信號est 隨時間的變化規(guī)律就完全確定，如左圖示。5.3 拉普拉斯變換的收斂域信號f(t)與收斂因子 e-t 相乘是否收斂，取決于兩個因素，一是信號本身的收斂性，二是收斂因子中的取值，即復(fù)變量 s 實部的取值，因此我們

4、把使 f(t) e-t 滿足絕對可積的 的取值范圍叫做信號f(t)的拉普拉斯變換的收斂域，只有在此收斂域內(nèi)取值時，信號的拉氏變換才存在，即F(s)才有意義，否那么信號的拉氏變換不存在。對單邊拉氏變換，信號f(t) e-t 滿足絕對可積的條件是：這里根據(jù)信號f(t) 本身的特性，總可以找到一個0 值，當 0 時，上式成立 。因此單邊拉氏變換的收斂域為：通常稱0 為收斂坐標。由此可見， 0 將s平面劃分為兩個區(qū)域，如圖示：S平面收斂軸收斂域收斂域不包含虛軸。拉氏反變換是在收斂域內(nèi)沿與收斂軸平行的一條直線上的廣義積分。還要說明的是，凡是可以通過與指數(shù)收斂因子相乘而達到收斂的函數(shù)，通常都稱為指數(shù)階函數(shù)

5、。電子技術(shù)中實際遇到的有始信號大都是指數(shù)階信號且分段連續(xù)，因此這些信號的拉氏變換都存在，所不同的是僅僅是收斂域的不同。至于雙邊拉氏變換的收斂域問題，可類推得到。（完畢）5.4 常見函數(shù)的拉普拉斯變換信號的傅立葉變換和拉氏變換之間存在著密切的關(guān)系，根據(jù)拉氏變換的定義可知，當拉氏變換的收斂域包含虛軸時，說明復(fù)變量s 在虛軸上取值時，其拉氏變換存在，這時傅氏變換與拉氏變換有如下關(guān)系：反過來，若信號本身就滿足絕對可積條件，其傅氏變換存在，拉氏變換的收斂域也一定包含虛軸，因此也可以通過下面的關(guān)系式由傅氏變換求拉氏變換：若拉氏變換的收斂域不包含虛軸，兩者之間不存在這種簡單的關(guān)系。若收斂軸恰好落在虛軸上，則

6、F(j)與F(s)在(1)式基礎(chǔ)上，還有若干沖激項，詳見A.Paupoulism,The Fourier Integral and Its Aplications工程上常見的信號有兩類：t的指數(shù)函數(shù)、t的正冪函數(shù)，許多函數(shù)可由這兩類函數(shù)派生出。一、t的指數(shù)函數(shù)那么收斂域即1、單位階躍信號2、正弦信號sint3、余弦信號cost4、衰減正弦信號e-t sint5、衰減余弦信號e-t cost6、雙曲正弦信號 sht7、雙曲余弦信號 cht二、t 的正冪函數(shù)由定義：即：三、沖激函數(shù) A(t)收斂域為整個 s 平面。5.5 拉普拉斯反變換一、局部分式展開法海維塞展開法 這種方法適合于象函數(shù)為有理函數(shù)

7、的情況，即：其中a,b均為常數(shù)，m，n為正整數(shù)。在進行局部分式展開之前，必須保證上面的有理函數(shù)是真分式的形式，即mn； 假設(shè)不是，即mn，那么要先將其處理為真分式與多項式和的形式，然后針對真分式局部進行局部分式展開。展開時，分兩種情況討論。1、mn , D(s)=0的根無重根的情況假設(shè)D(s)=0的根為s1、s2、sn，因無重根那么以D(s)的每個因子作為分母，那么可將F(s)展開成局部分式和的形式其中為待定系數(shù)。為確定Kk,上式兩邊同乘(s-sk)因子，然后再令s=sk即可求出Kk。也可用羅貝塔法那么得到另一公式：展開式中每個局部分式對應(yīng)一個指數(shù)函數(shù)，即這里是單邊拉氏變換。例：求的原函數(shù)。解

8、：先化為真分式其中將F1(s)展開成局部分式和的形式：例：求的原函數(shù)。解：此象函數(shù)分母多項式的根是一對共軛復(fù)根，可象前例按單根的情況處理，此外還可根據(jù)常見信號的拉氏變換求其原函數(shù)從上兩例看，局部分式展開法要求熟記根本變換對。2、mn , D(s)=0有重根的情況假設(shè)s1是D(s)=0的 p 階重根，其余為單根，即D(s) 可分解為這時對F(s)進行局部分式展開時，其中的單根與前面的形式相同，而p階的重根將對應(yīng)p項，其形式為：待定系數(shù)Kp+1,Kn的求法同前，系數(shù)K1p,K1(p-1),K12,K11的求法如下：上式兩邊同乘(s-s1)p得：顯然：(2)式兩邊對 s 求一次導(dǎo)數(shù)有：同理可以求出其

9、他的系數(shù)，K1k為:系數(shù)確定之后，利用如下變換關(guān)系，就可以求出原函數(shù)：例：求的原函數(shù)。解：的根為二階其中：即：例：求的原函數(shù)。解：此題可以簡單的展開為：綜上所述，在進行局部分式展開時，可以采用任何靈活的方法，只要能夠準確的求出原函數(shù)即可。二、圍線積分法留數(shù)法復(fù)變函數(shù)理論中的留數(shù)定理為：而拉氏反變換為：是沿與j平行的一條直線上的廣義積分，為利用留數(shù)定理，補一條弧線，與其構(gòu)成閉合曲線，如圖示：根據(jù)約當輔助定理，在同時滿足以下條件時，弧線上的積分為0，即：條件：1、2、因子est的指數(shù)st的實部應(yīng)小于0t，即第一個條件只要保證有理函數(shù)是真分式即可滿足；第二個條件當t0時，取左圖的弧線，即能滿足條件，

10、這樣對于單邊拉氏變換，取右邊弧線的積分為0，即t0時為0。經(jīng)過上述處理，就可以將拉氏反變換的問題轉(zhuǎn)換為求留數(shù)的問題，使求解大大簡化。需要注意的是，有理函數(shù)要保證是真分式。假設(shè)F(s)是有理函數(shù)，那么各極點留數(shù)的計算公式為：sk 為單階極點時：sk為p階重極點時：留數(shù)法不僅適合于有理函數(shù)，也能處理無理函數(shù)，適用范圍較廣。例：用留數(shù)法求的原函數(shù)。解：的根為：二階那么由上述分析可以看出，一個象函數(shù)的原函數(shù)隨時間的變化模式完全取決于D(s)=0的根，即象函數(shù)F(s)分母多項式等于0的根。稱：使F(s)的 s 值為象函數(shù)F(S)的極點； 使F(s)0的s 值為象函數(shù)F(S)的零點。將極點用“表示，零點用

11、“表示，繪到 s 平面上，所得到的圖叫象函數(shù)F(s)的零、極點分布圖，或簡稱為極零圖。如象函數(shù)：極點：二階零點：象函數(shù)F(s)的極點在 s 平面中的位置與原函數(shù)的時間模式的關(guān)系：1、負實軸上的單階極點對應(yīng)衰減指數(shù)信號e-at；二階極點對應(yīng)te-at；三階極點對應(yīng)t2e-at，；總收斂。2、左半s平面內(nèi)的共軛復(fù)極點，單階對應(yīng)e-atsint或e-atcost，也收斂；3、虛軸上的共軛復(fù)極點，單階對應(yīng)等幅正弦振蕩信號sint或cost，重階對應(yīng)增幅振蕩信號tcost等；4、右半 s 平面的任一極點，無論是單階還是重階，均對應(yīng)發(fā)散的時間模式。零點對時間模式無影響。掌握這些規(guī)律，可從極零圖上定性判斷出

12、時間模式。 完畢5.6 拉普拉斯變換的根本性質(zhì)一、線性假設(shè)那么其中a1，a2為常量。二、尺度變換假設(shè)那么其中三、時間平移假設(shè)那么需要說明的是這里的f(t-t0)嚴格講應(yīng)該是即：時間平移特性還可用來求有始周期信號的拉氏變換。有始周期信號在 t0時，呈現(xiàn)周期特性。如右圖：那么其拉氏變換為：所以有始周期信號的拉氏變換的收斂域為F1(s)的收斂域與0的公共局部。四、s 域平移假設(shè)那么例如：那么五、時域微分假設(shè)那么其中是在t=0時刻，f(t)及其假設(shè)干階導(dǎo)數(shù)的值。稱為0系統(tǒng)。實際上也可從0時刻開始，稱此為0系統(tǒng)。選用不同的系統(tǒng)，求得的拉氏變換是不同的，我們在今后的應(yīng)用中都采用0系統(tǒng)，這主要是為今后系統(tǒng)分

13、析的拉氏變換法考慮的。例：求導(dǎo)數(shù)的拉氏變換。解：1、用0系統(tǒng)直接求拉氏變換為：利用性質(zhì)求解：2、用0系統(tǒng)那么直接求拉氏變換為利用性質(zhì)求：六、時域積分假設(shè)那么七、復(fù)頻域微分與積分時域積分假設(shè)那么八、對參變量的微分與積分假設(shè)那么九、初值定理 設(shè)函數(shù)f(t)及其導(dǎo)數(shù)f(t)存在，并有拉普拉斯變換，那么f(t)的初值為：假設(shè)f(t)在t=0處有沖激及其導(dǎo)數(shù)，那么其拉氏變換為多項式與真分式和的形式，此時初值定理為：十、終值定理 設(shè)函數(shù)f(t)及其導(dǎo)數(shù)f(t)存在，并有拉普拉斯變換，并且F(s)的極點均在 s 平面的左半平面包括原點處的單階極點，那么f(t)的終值為：十一、卷積定理假設(shè)那么5.7 線性系統(tǒng)

14、的拉普拉斯變換分析法一、積分微分方程的拉普拉斯變換 用拉普拉斯變換分析法求取系統(tǒng)的響應(yīng)，最直接的方法就是通過對系統(tǒng)的微分方程進行變換來得到，這不僅可以將微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程，而且可以同時將初始條件代入，從而一次可以求出全響應(yīng)信號。例：電路如圖示，電路參數(shù)為：初始條件：方向如圖示，求響應(yīng)電流i1(t)。解：列兩個回路電壓方程為：對上面方程進行拉氏變換得：或代入?yún)?shù)： 運用行列式可求得響應(yīng)信號的象函數(shù)為：那么響應(yīng)信號為：二、從信號分解的角度看拉普拉斯變換在這種方法中，利用線性系統(tǒng)的特性分別求零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。1、零狀態(tài)響應(yīng)首先求單個復(fù)指數(shù)信號單獨作用到系統(tǒng)中的響應(yīng)。設(shè)那么其中叫做線性系統(tǒng)的

15、系統(tǒng)函數(shù)，或轉(zhuǎn)移函數(shù)、傳遞函數(shù)等。假設(shè)是因果系統(tǒng)，那么有：說明單個復(fù)指數(shù)信號單獨作用到系統(tǒng)中的響應(yīng)仍為相同復(fù)頻率的復(fù)指數(shù)信號，系統(tǒng)的作用僅僅是乘上一個系數(shù)，而由拉氏反變換的定義知，任意信號可分解為無窮多個復(fù)指數(shù)信號和的形式，即因此信號作用到系統(tǒng)的響應(yīng)為：說明由此可得出拉氏變換法求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的步驟為：1求2求系統(tǒng)函數(shù)3求4求在上述求解過程中，關(guān)鍵是系統(tǒng)函數(shù)的求解，方法有： 12從網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中求解。 根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的定義，它是系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)信號的拉氏變換，即系統(tǒng)的輸入信號為單位沖激信號時，零狀態(tài)響應(yīng)信號的拉氏變換，依此定義，可首先將網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換成 s 域模型，然后根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的 s 域模型，直接求出

16、系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)。網(wǎng)絡(luò)的 s 域模型：由上面的結(jié)果可以看出，當元件的初始儲能為0時，其 s 域模型完全滿足歐姆定律，因此，只要在系統(tǒng)的 s 域模型中直接利用歐姆定律，就可求出系統(tǒng)輸入輸出間的轉(zhuǎn)移函數(shù)。3從系統(tǒng)的微分方程直接列寫系統(tǒng)函數(shù)以二階系統(tǒng)為例。 求H(s)，即求鼓勵信號為單位沖激信號時，零狀態(tài)響應(yīng)的拉氏變換，且所以對微分方程拉氏變換后得：將系統(tǒng)函數(shù)的表達式與系統(tǒng)的微分方程比較，兩者存在著明顯的關(guān)系。由此可見，可直接從微分方程列寫系統(tǒng)函數(shù)，此結(jié)論可推廣到 任意高階系統(tǒng)。例：電路如圖示。 元件參數(shù)：求：零狀態(tài)響應(yīng)解： e1(t)單獨作用，在e1(t)單獨作用，第二個回路響應(yīng)電流的轉(zhuǎn)移函數(shù)為代入

17、參數(shù)得：那么 e2(t)單獨作用那么最后兩個鼓勵信號同時作用的響應(yīng)為：2、零輸入響應(yīng)1等效鼓勵源法或或由上可見，電容、電感中的初始儲能，均可等效為階躍電壓源、階躍電流源、沖激電壓源或沖激電流源，再利用求零狀態(tài)響應(yīng)的方法就可求出在這些等效鼓勵源作用下的響應(yīng)，從而求出零輸入響應(yīng)。例：前例電路如圖示， 電路參數(shù)為：初始條件：方向如圖示，求響應(yīng)電流i1(t)。解：先求零狀態(tài)響應(yīng)，再求零輸入響應(yīng)，首先將電容兩端的初始電壓等效為階躍電壓源位置、方向均與外加鼓勵相同，所以產(chǎn)生的響應(yīng)為電感中的初始電流等效為沖激電壓源零輸入響應(yīng)：全響應(yīng)例：電路如圖示，電路參數(shù)為：初始條件方向如圖示，設(shè)開關(guān) S 在t=0時閉合，

18、求通過電容C1的響應(yīng)電流 iC1(t)。解：將電容兩端的初始電壓等效為鼓勵源2沖激響應(yīng)不變法 從前面的分析我們知道，系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)之間構(gòu)成一拉氏變換對，假設(shè)系統(tǒng)函數(shù)是有理函數(shù)，那么系統(tǒng)函數(shù)的極點就完全決定了單位沖激響應(yīng)信號的變化模式，而由上面零輸入響應(yīng)的等效鼓勵源法知，無論電容兩端的初始電壓還是電感中的電流，均可等效為沖激源，因此零輸入響應(yīng)就是沖激響應(yīng)，即零輸入響應(yīng)的變化模式與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)的變化模式完全一致，也就是說，只要系統(tǒng)函數(shù)的極點，零輸入響應(yīng)的模式就可確定，再利用響應(yīng)的初始條件可確定出待定系數(shù)。這里又從物理的角度解釋了零輸入響應(yīng)的變化模式與沖激響應(yīng)一致的原因。整個求解

19、過程與第二章中的完全一致。例：鼓勵初始條件系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)為：求系統(tǒng)的響應(yīng)信號r(t)，并標出受迫分量與自然分量，瞬態(tài)分量與穩(wěn)態(tài)分量。解：1求零輸入響應(yīng)rzi(t)由系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)知系統(tǒng)的特征根為：代入初始條件：解得：2求零狀態(tài)響應(yīng)rzs(t)3) 全響應(yīng)受迫分量自然分量瞬態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量為05.8 階躍信號作用于RLC串聯(lián)電路的響應(yīng) 現(xiàn)以階躍信號作用于RLC串聯(lián)電路為例來討論系統(tǒng)參數(shù)對響應(yīng)的影響。鼓勵為階躍電壓響應(yīng)為回路電流電路初始狀態(tài)為0，即因此響應(yīng)只是零狀態(tài)響應(yīng)?？梢娤到y(tǒng)有兩個極點：引入電路衰減系數(shù)回路諧振頻率那么 s1,2 可寫為：響應(yīng)電流的象函數(shù)為：1、即此時 s1、s2 為兩不等的實根

20、過阻尼2、即此時 s1、s2 為相等實根，即時，電流有最大值3、即此時 s1、s2 為一對共軛復(fù)根，即其中稱為RLC電路的有阻尼自然頻率。欠阻尼臨界阻尼那么4、即無阻尼響應(yīng)電流I(s)的極點分布圖5.9 線性系統(tǒng)的模擬線性系統(tǒng)模擬的三種根本運算單元：加法器、乘法器、積分器加法器：乘法器：積分器：初始條件不為0時的積分器：一、直接型模擬框圖級聯(lián)式模擬框圖一階系統(tǒng)：或二階系統(tǒng)：或n 階系統(tǒng)：或系統(tǒng)微分方程中包含鼓勵的導(dǎo)數(shù)項 的情況：例如，二階系統(tǒng)：此時引進一個輔助函數(shù)，并令其滿足方程那么利用方程兩邊平衡的原那么，一定有：這樣處理之后，將一個方程轉(zhuǎn)換為兩個方程，然后在一張圖上將兩個方程同時作出來。同

21、理可以作出 n 階系統(tǒng)的模擬框圖。二、并聯(lián)型模擬框圖與串聯(lián)型模擬框圖當系統(tǒng)的階數(shù)比較高時，往往以假設(shè)干低階系統(tǒng)的串聯(lián)或并聯(lián)實現(xiàn)，例如下面的二階系統(tǒng)：其中說明一個二階系統(tǒng)可以由兩個一階系統(tǒng)的并聯(lián)實現(xiàn)，而每一個一階系統(tǒng)都可以用三種根本運算單元進行模擬：系統(tǒng)函數(shù)可以寫成兩個子系統(tǒng)函數(shù)的乘積，反映在結(jié)構(gòu)上是串聯(lián)這種模擬框圖叫并聯(lián)型模擬框圖，此結(jié)論可推廣到 n 階系統(tǒng)。同理還可得出串聯(lián)型模擬框圖。其中 此結(jié)論可推廣到高階系統(tǒng)。各種模擬方式的特點：直接型：不易控制系統(tǒng)的零極點，高階系統(tǒng)容易產(chǎn)生 不穩(wěn)定。并聯(lián)型：能控制系統(tǒng)的極點，不能控制零點，各子系 統(tǒng)間不易干擾。串聯(lián)型：能控制系統(tǒng)的零極點，前級系統(tǒng)的誤差

22、對后 級系統(tǒng)有影響。5.10 信號流圖系統(tǒng)函數(shù)可以完全描述系統(tǒng)的特性，如何準確快捷的求出系統(tǒng)函數(shù)是一個關(guān)鍵問題，本節(jié)介紹如何運用信號流圖計算系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)。一、信號流圖及流圖中一些術(shù)語的定義信號流圖 用點和有向線段構(gòu)成，用來描述系統(tǒng)中狀態(tài)變 量或信號間因果關(guān)系的圖。流圖中的圓點便是系統(tǒng)的信號或變量，稱之為結(jié)點；有向線段便是信號傳輸?shù)穆窂?，稱之為支路；起點是因，終點是果，箭頭表示信號的傳輸方向。支路相當于乘法器，結(jié)點相當于加法器，將所有流入該結(jié)點的信號相加。流圖中的術(shù)語：1、結(jié)點表示系統(tǒng)中信號或變量的點。2、支路連接兩個結(jié)點之間的有向線段。3、支路傳輸值兩結(jié)點之間的增益。4、入支路流向結(jié)點的支路。5、出支路流出結(jié)點的支路。6、源結(jié)點僅有出支路的結(jié)點。該結(jié)點通常對應(yīng)信號源。7、匯結(jié)點僅有入支路的結(jié)點。該結(jié)點通常表示輸出信號。8、閉環(huán)信號流通的閉合路徑。9、自環(huán)僅含有一條支路的結(jié)點。10、前向路徑由源結(jié)點至匯結(jié)點不含有任何環(huán)路的信 號流通路徑。二、信