電路的暫態(tài)分析

1、第四章 電路的暫態(tài)分析第一節(jié)暫態(tài)過程及換路定則本節(jié)重點:換路定則本節(jié)難點:暫態(tài)過程及換路定則復(fù)習(xí)導(dǎo)入:三相負(fù)載聯(lián)結(jié)的特點講授新課:一、電路的暫態(tài)過程.暫態(tài)過程電路從一種穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)換到另一種穩(wěn)定狀態(tài)往往不是瞬間完成的，而是需要 一個過渡的過程，電路的這個過程稱為過渡過程，亦稱暫態(tài)過程。.產(chǎn)生暫態(tài)過程的條件(1)電路有換路存在。電路的接通、斷開、短路、電源或電路參數(shù)的改變等所有電路狀態(tài)的改變，統(tǒng) 稱為換路。(2)電路中存在儲能元件(電感L或電容C)。產(chǎn)生過渡過程的電路一定滿足上述條件。 但并不是上述條件存在，就一定會產(chǎn) 生過渡過程。若換路前后的兩穩(wěn)定狀態(tài)相同，就不會有過渡過程產(chǎn)生。二、換路定則電容

2、上的電壓和電感中的電流在任何時候都不能突變，是時間的連續(xù)函數(shù)。 在換路前后的瞬間，電容上的電壓和電感中的電流應(yīng)分別相等，不產(chǎn)生突變。這就是換路定則。設(shè)t 0時換路，t 0表示換路前的瞬間，t 0表示換路后的瞬間，換路定則可表示為Uc(0 ) Uc(0 )iL (0 ) iL(0 )利用換路定則可確定換路后的瞬間，電路中電壓電流的數(shù)值。三、初始電壓、電流的確定t 0時，電路中的各電壓、電流值稱為暫態(tài)過程的初始值。確定初始值是暫態(tài)分析中首先要解決的問題。步驟如下：求出換路前的瞬間電路(C視為開路，L視為短路)中電容上的電壓和電感上的電流的數(shù)值，即Uc(0 )和h(。)；根據(jù)換路定則，確定電容上初始

3、電壓和電感上初始電流；Uc(0 ) Uc(0 )iL (0 ) iL(0 )畫出t =0 +時刻的等效電路。即將電容元件作為恒壓源處理，數(shù)值和方向由Uc(0 )確定；將電感元件作為恒流源處理，其數(shù)值和方向由iL(0)確定。利用該等效電路求 出其它各量的初始值。四、RC電路的暫態(tài)過程分析電路的暫態(tài)過程就是根據(jù)激勵(電壓源電壓或電流源電流)，求電路的響應(yīng)(電壓和電流值)。暫態(tài)過程最基本的分析方法是經(jīng)典法。即根據(jù)電路的基本定 律列出以時間為自變量的微分方程，然后，利用已知的初始條件求解。如果電路 的過渡過程可以用一階微分方程來描述的，稱為一階電路；需用二階微分方程來 描述的，稱為二階電路。所謂零輸入

4、響應(yīng)是指換路后的電路中無激勵，即輸入信號為零時，僅由儲能元件所儲存的能量產(chǎn)生的響應(yīng)，換路前，開關(guān)S合在2上，電容元件已充電。電路處于穩(wěn)態(tài)。t 0時將開關(guān)由 2合到1,產(chǎn)生換路。于是，電容元件開始放電。零輸入響應(yīng)是電容放電過程中電 路的響應(yīng)。首先求得電容上電壓的初始值Uc (0 ) Uc(0 ) U歹U KVL方程iR Uc 0因為i ici icC dt代入上式并整理，得Uc0duUc0RC dt這是一個一階常系數(shù)線性齊次微分方程，從數(shù)學(xué)分析可知，該方程的通解為一 .PtUc (t) AeRCP 1 0其根為P RCt于是Uc (t) Ae RC代入初始條件，即uC(0 ) U 得 A U該微

5、分方程的解為tUc (t) Ue 部上式說明，電容上的電壓隨時間按指數(shù)規(guī)律變化。 即電容上的電壓Uc由初始值U按指數(shù)規(guī)律變化到新的穩(wěn)態(tài)值00變化的速度取決于RC式中RC將 定義為時間常數(shù)。當(dāng)電阻的單位用Q,電容的單位用F時， 的單位是秒(S)。的大小決定了過渡過程的快慢，即暫態(tài)過程的長短。越大，變化的速度越慢，暫態(tài)過程越長；越小，變化的速度越快，暫態(tài)過程越短。當(dāng)電壓一定時，C越大，儲存的電荷越多，R越大，放電電流越小，這都促使放電變慢。所以，改變 R或C的數(shù)值，都可以改變時間常數(shù)的大小，即改變電容放電的速度。當(dāng)經(jīng)過了一個 時，uc下降了變化總量的63.2%，即t 時，Uc( ) Ue 1 0.

6、368U。 可見，時間常數(shù) 等于電容上的電壓衰減到初始值的 36.8%寸所需的時間。理論上，當(dāng)t趨近于oo時，電路才達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)，而實 際上，經(jīng)過5 (e 5 0.007)后，就可以認(rèn)為過渡過程結(jié)束，電路已達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)了。電路中電阻上電壓和電容上電流的變化規(guī)律0Ur UcUr UcicUrtUe RCtU Rc一e R五、RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)即初始電壓為零，t 即初始電壓為零，t 0時，開關(guān)閉合由電源激換路前開關(guān)S斷開，電容元件未充電。電路處于穩(wěn)態(tài)。t 0時將開關(guān)閉合，發(fā) 生換路。于是，電容元件開始充電。RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)是電容由初始無儲能開 始的充電過程中電路的響應(yīng)。因換路前電容未

7、儲能，所以電容上電壓的初始值Uc Uc (0 )Uc(0 ) 0歹U KVL方程iR uc因為i ic Ci ic Cducdt代入上式整理，得duc RCduc RCCdtuc U這是一個一階常系數(shù)線性非齊次微分方程，它的通解是由特解Uc和補(bǔ)函數(shù)Uc兩部分構(gòu)成的。即Uc Uc Uc特解與輸入U有相同的形式，即Uc UUc也就是t的穩(wěn)態(tài)值。補(bǔ)函數(shù)是對應(yīng)的齊次微分方程的通解。tUc Ae 前通解為tuc U Ae 其中，A是積分常數(shù)。代入初始條件Uc(0 ) 0得A U將A代入，可得該微分方程的解為ttUc(t) U Ue 芯 U(1 e 前)由此可得，電容上的電壓仍隨時間按指數(shù)規(guī)律變化。變化的

8、起點是初始值0,變化的終點是穩(wěn)態(tài)值U,變化的速度仍取決于時間常數(shù) RC暫態(tài)過程中電容元件的電壓包含兩個分量：一是U,即到達(dá)穩(wěn)態(tài)時的電壓，稱t為穩(wěn)態(tài)分量；二是僅存于暫態(tài)過程中的Ue部，稱為暫態(tài)分量。其存在時間的長短取決于時間常數(shù) 。經(jīng)過一個時間常數(shù)(=RQ后，電容上的電壓充到了 63.2%U, 變化了待變化總量的63.2%根據(jù)電容元件上電壓、電流的關(guān)系和電路的基本定律，可求得電路中電容元件 的電流和電阻元件兩端的電壓為t rc ur U uc Uet.ur U rc i e R R由RC電路的零輸入和零狀態(tài)響應(yīng)的分析可見，當(dāng)電路發(fā)生過渡過程時，不僅 電容上的電壓有過渡過程產(chǎn)生，電容中的電流及電阻

9、上的電壓等也都存在過渡過 程。并且具有相同的時間常數(shù)和變化規(guī)律。這說明，電路中各電量的過渡過程同 時發(fā)生，也同時結(jié)束。六、RC電路的全響應(yīng)所謂全響應(yīng)是指電源激勵和電容元件的初始電壓均不為零時的響應(yīng)。對應(yīng)著電容從一種儲能狀態(tài)轉(zhuǎn)換到另一種儲能狀態(tài)的過程。電容上電壓的初始值為Uc(0 ) Uc(0 ) U0換路后的微分方程同零狀態(tài)響應(yīng)，即ducRC Uc U dt代入初始條件，得tttUc U (U0 U)e RC Uoe RC U (1 e 前) 穩(wěn)態(tài)暫態(tài)零輸入零狀態(tài)分量分量響應(yīng)響應(yīng)結(jié)果為零輸入和零狀態(tài)響應(yīng)的疊加。電容上的電壓仍隨時間按指數(shù)規(guī)律變化，變化的起點是初始值U。，變化的終點是穩(wěn)態(tài)值U,變

10、化速度仍取決于時間常數(shù)RC以上所分析的電路都是只含一個電源、一個電容的簡單電路。分析復(fù)雜的rc電路的暫態(tài)過程時，可應(yīng)用戴維南定理將除電容c外的部分電路等效為一個電壓源，再用經(jīng)典法進(jìn)行分析。第二節(jié)一階線性電路暫態(tài)分析的三要素本節(jié)重點:三要素法本節(jié)難點:一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法復(fù)習(xí)導(dǎo)入:電機(jī)、電磁鐵、電磁繼電器等電磁元器件都可等效為 RL的串聯(lián)電路。 因L是儲能元件，所以，上述電磁元件在換路時也可能會產(chǎn)生暫態(tài)過程。講授新課:一、RL電路的零輸入響應(yīng)在圖所示的RL電路中，換路前開關(guān)合在1端，電路 已處于穩(wěn)態(tài)。t 0時將開關(guān)由1合到2,產(chǎn)生換路。換路后，電路的外部激勵為零，在電感的內(nèi)部儲能的作用

11、下, 電路產(chǎn)生零輸入響應(yīng)。首先求得電感中電流的初始值iL (0) Ur I0然后，列換路后電路的KVL方程Ri lLRi lLW 0此方程與RC電路的零輸入響應(yīng)的微分方程形式相同，可求得Rti L Ae =代入初始條件，即iL代入初始條件，即iL（0 ） I0,則A I0所以，該微分方程的解為R_ti l I e L由此可得，電感上電流的衰減規(guī)律與電容上電壓的衰減規(guī)律是相同的。 都是隨 時間按指數(shù)規(guī)律變化由初始值I。按指數(shù)規(guī)律變化到新的穩(wěn)態(tài)值00變化的速度取決 于時間常數(shù)。RL電路的時間常數(shù)LR當(dāng)電阻的單位用歐姆(Q),電感的單位用亨利(H)時， 的單位是秒(S)。的大小決定了過渡過程的快慢，

12、即暫態(tài)過程的長短。越大，的大小決定了過渡過程的快慢，即暫態(tài)過程的長短。越大，iL和Ul衰減得越慢，暫態(tài)過程越長。當(dāng)經(jīng)過了一個 時，iL下降了變化總量的63.2%,即iL ( ) 0.368Io理論上，當(dāng)t趨近于8時，電路才達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)，而實際上，經(jīng)過 5后, 就可以認(rèn)為過渡過程結(jié)束，電路已達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)了。同樣可求得電感電壓的變化規(guī)律。UlRtUlRI oe Li 0.446A二、RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)而電路如圖所示。換路前，電感未儲能。所以 初始值而iL(0 ) iL(0 ) 0換路后，歹KVL方程，得d i lRi lRi l該微分方程的通解有兩部分：特解i和補(bǔ)函數(shù)io特解iL就是穩(wěn)態(tài)

13、分量，顯然該微分方程的通解有兩部分：特解i和補(bǔ)函數(shù)io特解iL就是穩(wěn)態(tài)分量，顯然補(bǔ)函數(shù)iR-tAeL是相應(yīng)齊次微分方程的解。通解為iL（t） iLR.Uti l Ae LR代入初始條件，計算積分常數(shù)A得因此iLrti l也是由穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量疊加而成。其變化的速度仍取決于時間常數(shù)R。變化曲線如圖所示。電路中代入初始條件，計算積分常數(shù)A得因此iLrti l也是由穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量疊加而成。其變化的速度仍取決于時間常數(shù)R。變化曲線如圖所示。電路中t 0時，電感元件和電阻元件兩端的電壓為tUr Ri U （1 e ）Ld dtUeRL電路的全響應(yīng)在圖示的電路中，電源電壓為 U,開關(guān)閉合時為串聯(lián)電路

14、。換路前，電路已處于穩(wěn)態(tài)，電感上電流的初始值為iL（0 ） iL（0 ） U IoRi R2換路后的微分方程同零狀態(tài)響應(yīng)L iLR2其通解也與零狀態(tài)同,tiL （t） Ae二。但因初始條件不同，iL（0 ） I0積分常R2數(shù)A也不同。A I0UR2t所以 iL(t)R?(10/ 一 顯然，結(jié)果為零輸入和零狀態(tài)響應(yīng)的疊加。與RC電路一樣，若分析復(fù)雜一些的RL電路的暫態(tài)過程時，可應(yīng)用戴維南定理 將除電感L外的部分電路等效為一個含有內(nèi)阻的電壓源，再用經(jīng)典法進(jìn)行分析。四、一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法只含一個儲能元件或可等效為只含一個儲能元件的電路，當(dāng)電路中元件參數(shù)為 常數(shù)時，列出的微分方程是一階常系

15、數(shù)線性微分方程，這種電路稱為一階線性電 路。它包含RC電路和RL電路。對一階線性電路而言，只要電路中電壓或電流的初始值、穩(wěn)態(tài)值和時間常數(shù)確 定了，電路的暫態(tài)響應(yīng)也就確定了。暫態(tài)過程中電壓和電流都是按指數(shù)規(guī)律變化 的，在它的初始值、穩(wěn)態(tài)值及時間常數(shù)這三個要素確定后，我們就能立即寫出相 應(yīng)的解析表達(dá)式。一階線性電路的響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)分量(包括零值)和暫態(tài)分量兩部分的疊加。如寫 成一般表達(dá)式，則為tf (t) f (t) f (t) f( ) Ae -t式中，f(t)是電流或電壓，f()是穩(wěn)態(tài)分量，Ae是暫態(tài)分量。若初始值為f(0 ),則得A f(0 ) f(),于是，可寫出分析一階線性電路暫態(tài)過程中任意變量的一般公式為tf (t) f( ) f(0 ) f( )e 利用f(0 )、f()和 這三個要素求解一階電路的暫態(tài)響應(yīng)的方法就叫做暫態(tài)分析的三要素法。求解步驟如下： 計算初始值f(0 ) O f(0)是t 0時的電壓、電流值。是暫態(tài)過程變化的起始值。計算方法同4.1中所述。 計算穩(wěn)態(tài)值f( ) o f()是t時，電路處于新的穩(wěn)定狀態(tài)時的電壓、電流值。是暫態(tài)過程變化的終了值。計算方法為：畫出換路后電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)時的等效電路 (電容元件視為開路，電感元件視為短路)，計算各電壓、電流值。該值即為所求量的穩(wěn)態(tài)值f()。計算時間常數(shù)。對RC電路而言RC式中，心是