高等代數(shù)版第九章

1、第九章線線及其運(yùn)算V與VK: V V若, V( 第九章線線及其運(yùn)算V與VK: V V若, V( )(k)()(V 到V 的線性則。線性空間變換稱為到自身的線上的線性上的線性函數(shù)以后，把 ( )簡(jiǎn)記為 1取AKsnKnK: = A，是Kn到Ks線即。: V V取AKsnKnK: = A，是Kn到Ks線即。: V VV到VV 到V的則射，記0，這里 是線性空間V 的零是V 上的線的恒等變VK V 上的數(shù)乘變換2例Kxf(x) f(f(x) K是x上的一也是K xn 到K xn1 的線。例 Cab上的積分變換x(例Kxf(x) f(f(x) K是x上的一也是K xn 到K xn1 的線。例 Cab上

2、的積分變換x(f(x) f(tf(t)Ca,a是b上的一個(gè)線例。性（1） （2） () （3） (k11k22kss23（4）若1, 2, s 線性相關(guān)，則1s2） 若1,2,nV的一個(gè)基，則對(duì)任意 V ，由a11a22得 a22 ann（4）若1, 2, s 線性相關(guān)，則1s2） 若1,2,nV的一個(gè)基，則對(duì)任意 V ，由a11a22得 a22 ann2 ） 設(shè)1,2,nVV 到V的兩個(gè)線與的充分必iii 1,2,V 與V K 上的線性空間， dimVn，1,2,nV的一個(gè)基，則對(duì)任意取1,2,nVV到V的唯一一個(gè)線，i i4i 1,2,V設(shè)a11a22a11a22ani ii 1,2,VV

3、的基1,2,nV設(shè)a11a22a11a22ani ii 1,2,VV的基1,2,n性表出，且坐標(biāo)是唯一的，所以，法滿V到V。對(duì)任意 Vk K， a11a22 b11b22則(a1b1)1(a2 b2)2(an bn)n(a1b1)1(a2 b2)2(an bn)5(a11a22ann)(b11b22bnn (k(ka1)1 (ka2)2 (kan)n(ka1)1 (ka2)(a11a22ann)(b11b22bnn (k(ka1)1 (ka2)2 (kan)n(ka1)1 (ka2)2 (kan)k(a11a22 n)。的唯一性可由所以是線與V 到V的兩個(gè)， 是V到V V 到V的一個(gè)，)，（2

4、）(+)=+)V 到V 的線則 ,+，是線性與 的和k 的數(shù)量乘6數(shù)域K 上的線V 到V 的全部推組成的集合對(duì)線性的加法與數(shù)量乘法構(gòu)Hom(V,VVV 上的一個(gè)線性變f x K數(shù)域K 上的線V 到V 的全部推組成的集合對(duì)線性的加法與數(shù)量乘法構(gòu)Hom(V,VVV 上的一個(gè)線性變f x K設(shè)f(x)=a0+a1x+a2x2 +an記)a22 n稱之為線性變的多項(xiàng)式V UWV 12,1U,2令:VVU:VW都是V 上的7則UWV平行于W(或U在子空間稱U(WU(或W )上的投影2平行于W (或U在子空間U(或W 2V平行于W(或U在子空間稱U(WU(或W )上的投影2平行于W (或U在子空間U(或W

5、 2W,UUWWUU W例取V R3(三維幾何空間中全部矢量的集合)，U 是一個(gè)平面 (二維幾何空間中全部矢量的集合)，W 是與 l (一維幾何空間V U V 在子空間U 上的投影 U 即為空間矢量在平面上WaW(aUU(a8線的核與象V與VKV到V，V|V=1()V的核，記或稱為線|V的象，記為 線的核與象V與VKV到V，V|V=1()V的核，記或稱為線|V的象，記為 或V稱為線V 與VK 是V 的子空間是V 的子空間（1）（2）是滿射 =V=（3） 是單射證明（3）“”任取 9=因 是單射，故 =，由此得= “”任取 V ，若 ，- =，故=因 是單射，故 =，由此得= “”任取 V ，若

6、 ，- =，故所以即V是有限維的，V到V,都是dim+dim=V子空間，所以 也是有限維取的一個(gè)基1,2 ,m 并擴(kuò)充成 的一個(gè)基1 ,m ,m1 ,nV，a11 amm am1m1 則(a11ammam1m1ann1 m m1的一個(gè)基1 ,m ,m1 ,nV，a11 amm am1m1 則(a11ammam1m1ann1 m m1m1 m1m2 是有限維 m1 m2 則(km1m1 km2m2 knn)km1m1 km2m2 knnkm1m1 km2m2 l11l22 lm kn即l11 lmm km1m1 kn因1 ,mkm1m1 km2m2 knnkm1m1 km2m2 l11l22 l

7、m kn即l11 lmm km1m1 kn因1 ,m,m1,n線性無(wú) l1 kn m1m2n此m1 m2n的dim=nmdimV-dim設(shè)V與V都是數(shù)域K上的n維V 到V是注dim+dim=+=取Kxn=K+Kxn1 K+注dim+dim=+=取Kxn=K+Kxn1 K+V是有限維的，V到Vdim的零度，記為 )；為線dim為線的秩r()VKV=任取，則由 得 =，故存在V ( =從而+)=dim+dim=任取，則由 得 =，故存在V ( =從而+)=dim+dim=V+V=V是無(wú)限維的，任取V=()+ 因(- (2-2，說(shuō)明+，以 + +，說(shuō)明+，以 + +V=設(shè)V是數(shù)域Kfx)gxKx)K

8、er)Ker(fKerf線的矩陣表示V 的一個(gè)基1,2,n和V 的一個(gè)基1,2 V V到V(1線的矩陣表示V 的一個(gè)基1,2,n和V 的一個(gè)基1,2 V V到V(1)a111 a212 (2)a121 am令 Aaama:Hom(V,V)A的列向量分別是 1,2n在V1,2明。對(duì)任意 Hom(V,V的列向量分別是 1,2n在V1,2明。對(duì)任意 Hom(V,V與按式(*) iii 1,2,從而 ，由此得 是單射。任取Aaijmn Kmn，令1 =a111 +a212 +2 =a121 +a222 +n =a1n1 +a2n2 + 根據(jù)前面的定理，得知存在 Hom(V ,V )，使iii 1,2,

9、按式(*對(duì)應(yīng)的矩陣恰為A，所而這個(gè)線 是滿射綜上所述，得是雙射。式(*)1,2 ,n,n1,2,m1,2,n和V 的基1,2 V的基1,2為,m 下的矩陣取 Kxn K式(*)1,2 ,n,n1,2,m1,2,n和V 的基1,2 V的基1,2為,m 下的矩陣取 Kxn Kf(x) f(f(x)KKxn的基 1,xx2, xn1和Kxn1則在1,xx2,xn2100002000030000000An例 取AKsnKnK:在Kn的自然基和KsAV 與V 是數(shù)域K 上的兩個(gè)有限維線性例間，dimV = n，dimV例 取AKsnKnK:在Kn的自然基和KsAV 與V 是數(shù)域K 上的兩個(gè)有限維線性例間

10、，dimV = n，dimV = mV 到V V和V的任意基下的矩陣均為零矩陣0mn0性空間，則 Hom(VV)KmnV與VK間，取定 V 的一個(gè)基1,21,2 ,m,n和V AV 的基1,2,n和VA 基1,2,m 下的矩陣（1）由本節(jié)第一個(gè)定是雙射 Hom(V,Vk K ，（2）任的基1,2 ,在,n和V的基1,2A,B1,2 1,2,n1,2,n（1）由本節(jié)第一個(gè)定是雙射 Hom(V,Vk K ，（2）任的基1,2 ,在,n和V的基1,2A,B1,2 1,2,n1,2,n1,2,m,m亦即) =A，) =B)1,2()n)1,)2(1,122,n+n2,n1,2,n1,2 ,n1,2 =

11、1,2,mA1,2,m=1,2,m(A )1,2,n )n n )1, 2),2,n)1,2,n )n n )1, 2),2,n,n ,m =1,2 ,m V 的基1,2,n+, 在+)=)=保持運(yùn)算即：根據(jù)上述結(jié)。V到VK1,2在 ,n和V的一個(gè)基1,2,m，設(shè)A 1,2,n和V的基 1,2,mV到VK1,2在 ,n和V的一個(gè)基1,2,m，設(shè)A 1,2,n和V的基 1,2,m矩陣。對(duì)任意V ，若1,2 1,2標(biāo)是(a1,a2,an)Ta1 2 n 1,2 ,n1,2,ma1 a 1,2,n2n a1 a2 (1,2 , nn a1 a1,2 ,n2an a1 a=(1,a1 a2 (1,2

12、, nn a1 a1,2 ,n2an a1 a=(1,2,m2n a1 a2 =1,2,m(n 所以，1,2,a1 a2n :Kx7 Kf(x) f(例取f(x)K則在K x6的Kx7的基 1,xx2x61,1 x,1 x:Kx7 Kf(x) f(例取f(x)K則在K x6的Kx7的基 1,xx2x61,1 x,1 x x2,1 x x500001000000000000000000000A66取f(x) 1 2x x3 34 Kfx在Kx71,xx2,x6f x在Kx6的1,1 x,1 x x2,1 x x2 00000 1000000000000000002 2 2 0 3 0 0 1 0

13、 10 3600000 1000000000000000002 2 2 0 3 0 0 1 0 10 360 0 24 6 4 4 V到VK1,2,n與12 n和V的兩個(gè)基 1,2, ,m1,2,m，設(shè)A是 在V的基1,2和V的基 1,2,m下的矩陣，B V 12n和V的基 1,2,m中從基 1,2,n到基12 P，V1,2,m到基1,2, mB Q11,2 1,21,21,2,n 1,2,n1,1,2 1,21,21,2,n 1,2,n1,2,n1,2,m1,2,m,m,n,m1,21,2,m,n(1,2 ,nP= 1,2,n)P (1,2,m,m)Q1)(AP (1,2,1,2,m)(AP

14、) (1,2,m(Q1APB Q1線性變換是研究的重點(diǎn)：（1） （2）,都是數(shù)域 上的線性空間 V +也是線性空間，） K成V線性變換是研究的重點(diǎn)：（1） （2）,都是數(shù)域 上的線性空間 V +也是線性空間，） K成VK）V n 維線性空間，1,2,niii 1,2, 的子空則有, dim+dim=（7）VK n V 的一個(gè)基1,2,nHom(VV)Knn之間存在一個(gè)V 上的一個(gè)線性變?nèi)?1)a111 a212 (2)a121 （7）VK n V 的一個(gè)基1,2,nHom(VV)Knn之間存在一個(gè)V 上的一個(gè)線性變?nèi)?1)a111 a212 (2)a121 (n)a1n1令a1n aAaann

15、 式(*)1,2 ,n,n1,2,n1,2n陣A在基1,2,n下的矩陣（8）V是數(shù)Kn維線性空間Hom(V,V)V的一個(gè)基1,2,nV 和 在1,2,n下的矩陣分別是（8）V是數(shù)Kn維線性空間Hom(V,V)V的一個(gè)基1,2,nV 和 在1,2,n下的矩陣分別是A 變和在1,2 ,n 下的矩陣則線性變換 A+BkA的一個(gè)基1,2V 在基1,2,n 下的坐標(biāo)是,an)T則 在基1,2,n下的坐標(biāo)A(a1,a2,an V 上的一個(gè)線性變換，取V 的兩個(gè)基1,2,n和12 nA,B 在基1,2,n基12n下的矩陣。若從基 1,2,n1, 2,B P1例在基1,xx2,例Kxn上的求導(dǎo)變換100002

16、00000000A基12n下的矩陣。若從基 1,2,n1, 2,B P1例在基1,xx2,例Kxn上的求導(dǎo)變換10000200000000An0即1, x, x2 , xn1 1, x,x2 , xn1又因?yàn)閺腒xn的基 1,xx2,xn11,1 x,1 x x2,1 x x2 110P 即1,1 x,1 x x2,1 x x2 xn1= 1,x,x2,xn1 在基 1,1 x,1 x x2,1 x110P 即1,1 x,1 x x2,1 x x2 xn1= 1,x,x2,xn1 在基 1,1 x,1 x x2,1 x 故0000000n00100000B P1AP n0V的一個(gè)基1,2,nV

17、和 在1,2 ,n下的矩陣分別是A 和在1 ,2 ,n 下的矩陣分別則線性變ABV 上的一個(gè)V的一個(gè)基1,2,nV和 在1,2 ,n下的矩陣分別是A 和在1 ,2 ,n 下的矩陣分別則線性變ABV 上的一個(gè)線性變換，取V 的一個(gè)基1,2,nA 1 ,2 ,n是可逆變換的充分必要條件是矩陣 A 可逆時(shí)，它的逆變換 1在基1,2,n下的矩陣是A1 。1,2,n = 1,2,n 在基1 ,2 ,n 下的因?yàn)榫€性變 V上的恒等變換 在基1,2,n下的I，所=，是可逆變11必要設(shè)和1,2,n1,2,nA,B。因下的矩陣分別別為 AB=下的矩陣分在基1,2,nI，所以ABI1I，所=，是可逆變11必要設(shè)和

18、1,2,n1,2,nA,B。因下的矩陣分別別為 AB=下的矩陣分在基1,2,nI，所以ABI1,2,n下的矩陣為B A11例 在R2(x1,x2)(x1 x2,x2(x1,x2)1證明： 是可逆的線性變換，并任取 x1x2y1y2R2kR，因?yàn)?x1,x2)(y1,y2)(x1y1,x2=(x1 y1)(x2 y2),x2 y2=(x1x2)(y1 y2),x2 y2=(x1 x2,x2)(y1 y2,y2(x1,x2)(y1, y2k(x1,x2)(kx1,=(x1 x2,x2)(y1 y2,y2(x1,x2)(y1, y2k(x1,x2)(kx1,kx2 =kx1kx2,kx2k(x1x2,x2)所以， 是R2上的線取R2的自然基1 (1,02 (0,1)2=(1,0)(10,0)(0,1)(01,1)1故 0因此 在基 , 下的矩陣是A11基1, 2下的矩陣1 任取 x1x2R2(x1,x2) x11 且x xx1111121Ax 1x222故1 任取 x1x2R2(x1,x2) x11 且x xx1111121Ax 1x222故