狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置基本理論與方法

1、第2章狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)基本理論2.1引言大多數(shù)的控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)是由被控對(duì)象和反饋控制器構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)。 反饋的基本類型包括狀態(tài)反饋和輸出反饋。其中狀態(tài)反饋能夠提供更加豐富的狀 態(tài)信息。狀態(tài)反饋是將系統(tǒng)的每一個(gè)狀態(tài)變量乘相應(yīng)的反饋系數(shù)，然后反饋到輸入端 與參考輸入相加形成的控制規(guī)律，作為被控系統(tǒng)的控制輸入。圖2.1是一個(gè)多輸 入多輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)狀態(tài)反饋的基本結(jié)構(gòu)：圖2.1圖2.1多輸入-多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)反饋結(jié)構(gòu)圖其中受控系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：(2.1)x = Ax + Bu y = Cx(2.1)由圖2.1可知，加入狀態(tài)反饋后，受控系統(tǒng)的輸入為：u = Fx + v(2.2)其中v

2、為參考輸入，F(xiàn)為狀態(tài)反饋增益陣，因此可以得到狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達(dá)式：x = (A + BF )x + Bv(2.3)y = Cx閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣：W (s)= CsI -(A + BF)t B(2.4)由此可見，引入狀態(tài)反饋后，通過F的選擇，可以改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值， 是系統(tǒng)獲得所要求的性能。2.2極點(diǎn)配置方法的選擇對(duì)于一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置，一般有四種方法：傳統(tǒng)方法一將系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一個(gè)或多個(gè)單輸入單輸出系統(tǒng)。直接法一使用穩(wěn)定的酉矩陣，將這種系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型。矩陣方程法一對(duì)矩陣F，直接解方程AX X A = BG(2.5a)FX = G(2.5b)特征向量法一先

3、找到特征向量馬(等式(2.5)中矩陣X的列向量)，然后利 用等式(2.5b)求解F。方法(1)一般難以應(yīng)用或者數(shù)值不穩(wěn)定。方法(3)需要解(2.5a)方程，并 且對(duì)于系統(tǒng)矩陣A的特征值不能再分配。最有效并且數(shù)值穩(wěn)定的方法是方法(2) 和方法(4)。其中方法(4)通過使用一系列的迭代算法找到最優(yōu)解，所以比較 復(fù)雜。對(duì)于方法(2)，當(dāng)系統(tǒng)的輸入多于一個(gè)信號(hào)輸入時(shí)，不能確定系統(tǒng)的魯棒 性。本文結(jié)合以上方法提出了一種新的設(shè)計(jì)方法：首先通過酉變換將狀態(tài)方程化 為一種控制規(guī)范形，然后利用最小二乘法解方程(2.5)的得到最佳的狀態(tài)反饋矩陣。 2.3狀態(tài)方程的規(guī)范形將線性時(shí)不變多變量完全能控系統(tǒng)記為：x =

4、Ax + Bu(2.6)其中x和u分別是n維和m維的實(shí)向量，A和B是合適階次的恒定實(shí)矩陣。極點(diǎn)配置是要求找到一個(gè)實(shí)反饋矩陣F，使閉環(huán)系統(tǒng)矩陣A+BF的特征值等 于L = 入1,.，入n，L是一個(gè)復(fù)共軛的集合。已知如果方程(2.6)定義的系統(tǒng)是完全 能控的，就可以進(jìn)行極點(diǎn)配置。極點(diǎn)配置問題轉(zhuǎn)化為尋找矩陣X和G，使等式(2.5a)中的矩陣A滿足p(A) = L。 如果X是可逆的，根據(jù)方程(2.5b)求解F。方程(2.5a)可以轉(zhuǎn)化為等價(jià)的形式：PtAP - PtXQ - PtXQ - QtAQ = PtB - GQ(2.7)其中P和Q是正交矩陣，()表示轉(zhuǎn)置，使用正交矩陣可以保證方程(2.5a)的

5、數(shù)值穩(wěn)定性不變。選擇P使(A，B)可以轉(zhuǎn)換為：A11A1200i 0Gtapptb)=:0L(2.8)AA- AA ，0k-1,1k-1,2k-1,k-1k-1,k :1 A AAA i B 1V k ,1k ,2k, k-1k, kkJ此外，非對(duì)角線上的塊A,#選擇滿秩的下三角型：& 0 00 0)* x 00:、=(2.9):*.:1* .*x0.0)假定方程(2.6)表示的系統(tǒng)為完全能控型，X表示非零的數(shù)，*表示任意值。對(duì)于任意給定矩陣,，找到Q使它轉(zhuǎn)化成Schur型，在上三角矩陣QTAQ的 對(duì)角線上存在2*2的塊，表示L的特征值中復(fù)共軛的部分。如果L中所有的特 征值都是實(shí)數(shù)，QTAQ將

6、是嚴(yán)格的上三角矩陣，而且特征值*.都在對(duì)角線上。因此如果期望的特征值全為實(shí)數(shù)，那么/是實(shí)Schur矩陣，就不需要尋找矩 陣Q。已知在方程(2.7)中的又=PTX和G，特征向量矩陣X可以從下面式子得到：X = PX(2.10)F可以由(2.5b)得到，或者：FPX = G(2.11)2.4實(shí)數(shù)極點(diǎn)的配置對(duì)于方程(2.5)，如果假設(shè)矩陣A和B已經(jīng)轉(zhuǎn)換成為標(biāo)準(zhǔn)形式，并且期望的 閉環(huán)特征值全為實(shí)數(shù)，即,是實(shí)Schur矩陣。需要尋找非奇異矩陣X，使方程(2.5a) 滿足矩陣G。假設(shè)X的形式如下:(1*(1*01* 10):*1.(2.12)顯然矩陣X滿秩，而且滿足下三角是標(biāo)準(zhǔn)的最小化。(2.13)假設(shè)所

7、有的特征值都是實(shí)數(shù)，將第j列的X、A. G表示為:(2.13)/ 0、r z、j1,V, gjjx；0)* jy jMj1：j2表示矩陣M的第j1到j(luò)2列，Mj表示M的第j列。 利用(2.13)可以證明，存在矩陣X滿足等式(2.12)。j為不同值時(shí)，等式(2.5a)可以表示為不同形式: 當(dāng)j = 1時(shí)：(2.14a)當(dāng)1 jn時(shí):-X(人-A )B (Zj :g J乂-%)(2.14b)L j12:n當(dāng)j = n時(shí)：xB 1n-1(z )ng J=(A1-Xn)n(2.14c)n等式(2.14)左端的矩陣M(j),是nx(n + m-1)維。如果矩陣Mj)是行滿秩的，方程(2.14)有解，因此

8、矩陣是右可逆的。如果精確的選擇矩陣A、B、X，可以實(shí) 現(xiàn)矩陣M(j)是行滿秩階梯矩陣。對(duì)于給定閉環(huán)期望特征值也，X的列X.按照j = 1，.，n的順序遞推得到。方程(2.14)可以用常規(guī)的最小二乘法得到。最后結(jié)果弓、” gj是最小的2-范數(shù)或 者最小的F-范數(shù)。在方程(2.7)、(2.10)和(2.11)中正交矩陣P的范數(shù)將不影響最小 范數(shù)。以上算法證明了，對(duì)于完全能控系統(tǒng)，任意給定的一組實(shí)數(shù)閉環(huán)特征值L， 都可以進(jìn)行極點(diǎn)配置。2.5混合極點(diǎn)的配置兀是一組共軛復(fù)極點(diǎn)， j(2.15)(2.16)假定矩陣A和B已經(jīng)化為階梯控制型標(biāo)準(zhǔn)型。當(dāng)閉環(huán)的期望特征值中包含 共軛復(fù)數(shù)時(shí)，將矩陣化為Schur兀

9、是一組共軛復(fù)極點(diǎn)， j(2.15)(2.16)其余的實(shí)數(shù)閉環(huán)特征值在對(duì)角線上。假設(shè)特征值人和人 jj+1復(fù)共軛部分可以表示為2*2的塊：假設(shè):(zz )jj+1a-bA 二jjj: j+1bajj00 J對(duì)于方程(2.5a)中第j和j+1列，當(dāng)1 j n -1時(shí)：AX - X A = BG + X(z , z )(2.17)j： j+1j： j+1 jj： j+11： j-1 j j+1使用Kronecker乘積，將等式(2.13)和等式(2.16)帶入(2.17)中得到：M (j, j + 1)v (j, j +1)= r (j, j +1)(2.18)矩陣 M (j, j + 1)=僅.*

10、 12, M 2, B 12)是(2n)x(2n + 2m - 3)維的。v(j,j+1)爪)C)頊)C)；L j+1 1 j ij+1 j-i j j+i(J ,G.) ,(J ,G.),(J ；。) ,(Q,.L ),(Qtj j+1j+1 j+2jj+2j+1 nj nj+11 j 1j+1m j m -并且2n維向量r(j, j +1)= M,其中：= -(M2, + M2.,M2 = M2, 22當(dāng)j = 1和j = n-1，容易得到(2.16a)和(2.16c)相似的等式，等式(2.18)中矩陣和向量中不重要的部分省略。在等式(2.18)中，矩陣M (j,j +1)也是行滿秩形式。

11、等式(2.18)可以被遞推得到，對(duì)于j的增加值，并且可以得到最小范數(shù)解。以上算法證明了，對(duì)于完全能控系統(tǒng)，任意給定的一組混合閉環(huán)特征值L， 都可以進(jìn)行極點(diǎn)配置。2.6鎮(zhèn)定不可控系統(tǒng)的極點(diǎn)配置(PtAP ； P(PtAP ； PtB)=r AI A11 21(2.19)；B2 Jr AI A11 21(2.19)；B2 JA22這種階梯標(biāo)準(zhǔn)型本質(zhì)上將系統(tǒng)矩陣A和B分為兩部分：A22是能控的部分，A1是不能控的部分，A21是耦合的部分。F = (,F2)矩陣為反饋矩陣，那么閉環(huán)系統(tǒng)矩陣將是下面的表示形式：r a ! 0 )口 一-A +B F A +BFV 212 1!222 2J因此任何反饋將不

12、影響不能控部分的值。此外，由a22和b2組成的系統(tǒng)是能 控的。假設(shè)矩陣A和B已經(jīng)化為等式(2.19)中的形式，同時(shí)假設(shè)等式(2.5a)中的矩陣X和A形式為：r xr x0、(A0、X =11,A =11V X 21X 22 JVA 21A 22 J(2.20)(2.21a)(2.21a)那么等式(2.5)可以被分成三部分，第四個(gè)等式簡化為0=0。Il X11 - X A = 0(A + B F )X - X A = 0(2.21b)112 22222 22T(X )如 + B F )X - X A = X A -(A + B F )X(2.21c)21212 22121 1122 21212

13、111等式(2.21a)表示不可控子系統(tǒng)，并且只要矩陣A1的余項(xiàng)等于不可控矩陣A11 的余項(xiàng)，就容易選擇矩陣X1。其中最簡單的方法是用X1A1X11-1作為A1的Schur 分解。等式(2.21b)表示能控子系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問題，此時(shí)的子系統(tǒng)的狀態(tài)反饋極 點(diǎn)配置的方法與能控系統(tǒng)極點(diǎn)配置的方法相同，因此可以容易確定矩陣X22和,22, 最后得出反饋矩陣f2。對(duì)于任何一個(gè)任意矩陣F1和勺，可以選擇滿足等式(2.21c)的矩陣X2去修 改不可控模型的特征向量。如果A1和,22的余項(xiàng)有交集，那么等式(2.21c)左側(cè) 的T變換是可逆的。在這種情況下，矩陣刀21可以由下面等式得出：X = T-1X A -

14、(A + B F )X (2.22)21L 22 21212 111如果T變換是不可逆的，對(duì)于期望的矩陣A21，當(dāng)X22是非奇異的時(shí)候，等 式(2.21c)右端是T變換的一種方式。除此之外，可以使用Kronecker乘積擴(kuò)張等 式(2.21c)，并且在最小的誤差范圍里計(jì)算出這個(gè)線性等式。因此對(duì)于F1和A21， 最簡單的是選擇A?廣X22-1 “A” + B F )X11 + T (XA以上算法證明了，對(duì)于鎮(zhèn)定的不能控系統(tǒng)，任意給定的一組閉環(huán)特征值L， 都可以進(jìn)行極點(diǎn)配置。但是對(duì)于不是鎮(zhèn)定的系統(tǒng)，還需要進(jìn)行近一步的研究。 2.7小結(jié)本章中介紹了一種對(duì)于完全能控系統(tǒng)和鎮(zhèn)定的不能控系統(tǒng)，任意給定的一組 期望閉環(huán)特征值L，進(jìn)行極點(diǎn)配置的方法。使用最小二乘法得到弓、*、勺其中弓、Xj分別是三角矩陣A和X的非對(duì)角 線的部分，他們的最小