數(shù)列知識(shí)結(jié)構(gòu)梳理

1、數(shù)列知識(shí)梳理（必會(huì)）一：基本知識(shí)定義按一定順序排列的一列數(shù)表示法:列表法”圖象法和通項(xiàng)公式法通項(xiàng)公式:第項(xiàng)/、序號(hào)之同的關(guān)系式4一K）分類有窮數(shù)列和無窮數(shù)列二不可以分成遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列前正項(xiàng)和：$h=.+即+/遞推公式:關(guān)于數(shù)列的通項(xiàng)或前凡項(xiàng)和的等式圖象:數(shù)列的圖象是一群孤立的點(diǎn)（定義:數(shù)列從第2項(xiàng)起悔一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)判斷方法:定義注、證明4+冊(cè)為常教數(shù)列等差數(shù)列通項(xiàng)公式:等比數(shù)列前八項(xiàng)和公式=個(gè)廣數(shù)列等差數(shù)列通項(xiàng)公式:等比數(shù)列前八項(xiàng)和公式=個(gè)廣）=曬+”與dl遞推公式：4u=%+d定義:數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)判斷方法:定義

2、法證明=常數(shù)通項(xiàng)公式:與-%十-1前立項(xiàng)和公式鳥一欣2),%=-,求a。nnn+nn-11n【變式訓(xùn)練】已知數(shù)列Ua的前n項(xiàng)和為Sn,若S1=1,S廣2,且Sn+1-3Sn+2Sn-1=0(nGN*,n且n2),求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.【精練2】(1)已知數(shù)列an滿足an+1=an+3n+2,且a1=2,求an;(2)已知數(shù)列an滿足an+1=2nan,且a1=1,求an.【變式訓(xùn)練3(1)已知數(shù)列a,a=2,a=詈4(幾三2),求a；n1nn1+an-1(2)已知數(shù)歹Uan滿足an+1=3an+2(nGN*),a1=1,求通項(xiàng)公式an【精練2】(1)求和:Sn=-1+3-5+7-+(-1)n(2

3、n-1).()已知等差數(shù)列Ua滿足:a3=7,a5+a7=26,an的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求a及S;(2)令b=(nGN*)，求數(shù)歹1b的前n項(xiàng)和T.%1反思1.若數(shù)列an的通項(xiàng)能轉(zhuǎn)化為f(n+1)-f(n)的形式，常采用裂項(xiàng)相消法求和.使用裂項(xiàng)相消法求和時(shí),要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí),消去了哪些項(xiàng),保留了哪些項(xiàng).常見的裂項(xiàng)相消技巧有:(1)1n(n+1)(1)1n(n+1)=11nn+1(2)(2n-1)(2n+1)W-)；212n-12n+1177=7(i-;n(n+k)k、nn+k(3)-=1=Vn+1-Vn;Vn+1+Vnan+1(4)若數(shù)列a為等差數(shù)列，公差d0,則-an+1nanan+1

4、【變式訓(xùn)練2】在等比數(shù)列an中,a0(nGN*)，公比q(0,1)，且a1a5+2a3a5+a2a8=25,a3與a5的等比中項(xiàng)為2.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)b=5-logan，數(shù)列bj的前n項(xiàng)和為S”，設(shè)Tn=1+1-+-1,求7n.n2nnnSS2Sn【精練】已知正項(xiàng)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn若S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比數(shù)列.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)記bn=ann的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn.【練習(xí)】TOC o 1-5 h zCn冗5c HYPERLINK l bookmark20 (1)已知數(shù)列a的前n項(xiàng)和為S,a=2+ncos,neN*,則S=.nnn2201

5、8(2)已知數(shù)列a的前n項(xiàng)和為Sa+(-Da=2n+1,neN*，則S=.nn，n+1n60設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Sn=(一1)nan2n,nGN*,則a3=；S1+S2+S100=.考點(diǎn)三以數(shù)陣為背景的數(shù)列問題所謂數(shù)陣是指將某些數(shù),按一定的規(guī)律排成若干行和列,形成圖表,也稱之為數(shù)表.數(shù)陣不僅有正方形、三角形,還有長方形、圓、多邊形、星形、花瓣形、十字形,甚至幾種圖形的組合,變幻多樣、對(duì)稱性強(qiáng),很能吸引人.在我們平常解題中最常見的是前兩種.數(shù)陣中的數(shù)是按一定的規(guī)律排成若干行和列,比較多見的是排成等差數(shù)列或等比數(shù)列,它重點(diǎn)考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí),有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)其他類型的數(shù)列.解決此

6、類問題的關(guān)鍵是找出其中的規(guī)律,這就要求考生具有較強(qiáng)的觀察分析、歸納猜想以及對(duì)數(shù)列知識(shí)融合遷移的能力.下面看一下幾種題型.【精練3】（1）如圖所示的數(shù)陣，第n行最右邊的數(shù)是.1-7911鍵是找出其中的規(guī)律,這就要求考生具有較強(qiáng)的觀察分析、歸納猜想以及對(duì)數(shù)列知識(shí)融合遷移的能力.下面看一下幾種題型.【精練3】（1）如圖所示的數(shù)陣，第n行最右邊的數(shù)是.1-7911313151719T5172721232527299A白白；（2）（2）德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了如圖所示的單位分?jǐn)?shù)三角形（單位分?jǐn)?shù)是分子為1、分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù)）稱為萊布尼茨三角形.根據(jù)前5行的規(guī)律,寫出第6行的數(shù)從左到右依次是.（3）自然數(shù)

7、按如圖所示的規(guī)律排列，則2016是第行第個(gè)數(shù).43678910112131415（4）給定81個(gè)數(shù)排成數(shù)陣如圖所示,若每一行,每一列都構(gòu)成等差數(shù)列,且正中間一個(gè)數(shù)a55=5,則此數(shù)陣中所有數(shù)之和為a11a12a19a21a22a2991a9299（5）12幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件。為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一項(xiàng)是20，接下來的兩項(xiàng)是20，21，再接下來的三項(xiàng)是20，21，22，依此類推。求滿足如下條件的最小整數(shù)2N

8、100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪。那么該款軟件的激活碼是A440B330C220D110考點(diǎn)四數(shù)列的綜合問題數(shù)列是高中代數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容,也是高考的必考內(nèi)容,它始終處在知識(shí)的交匯點(diǎn)上,如數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式等其他知識(shí)交匯進(jìn)行命題.另外,等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用也是高考的熱點(diǎn)之一,對(duì)公式的變形應(yīng)用是考查的重點(diǎn),一般多以解答題的形式考查,有時(shí)作為壓軸題,難度較大.【精練4】(1)已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列”滿足a2+a3+a4=28,且+2是a2,a4的等差中項(xiàng).(1)求數(shù)列aj的通項(xiàng)公式；(2)若bn=anlog1an,Sn=b1+b2+bn,對(duì)任意正整數(shù)幾2Sn+(n+m)an+11.na

9、1a2anan2(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若九=2,bn=(2n-4001)an,當(dāng)n為何值時(shí),bn最大？專題五數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓,是將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁,數(shù)列中含有豐富的數(shù)學(xué)思想,了解數(shù)學(xué)思想對(duì)我們的解題大有益處.函數(shù)思想數(shù)列是特殊的函數(shù),用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)數(shù)列和處理數(shù)列問題,既有利于理解和掌握數(shù)列的基本概念和性質(zhì)，又有利于解決問題，比如求等差數(shù)列前n項(xiàng)和S的最值時(shí)，常轉(zhuǎn)化為求關(guān)于n的二次函數(shù)的最值或用數(shù)形結(jié)合或利用函數(shù)圖象來求值的方法.【精練5】在等差數(shù)列an中,3a8=5a13,a10,若Sn為an的前n項(xiàng)和，貝US1,S2,Sn中有沒有最大值?請(qǐng)說明理由.分類

10、討論思想當(dāng)數(shù)列問題所給的對(duì)象不宜進(jìn)行統(tǒng)一研究或推理時(shí),需通過分類討論解決,如運(yùn)用等比數(shù)列求和公式時(shí)，需對(duì)q分q=1和q兩種情況進(jìn)行討論;an與Sn的關(guān)系需分n=1和n2兩種情況討論;等差數(shù)列的單調(diào)性需分d0,d=0和d0三種情況討論;等比數(shù)列的單調(diào)性就要分二重討論，在a/0（或ai1,q=1,0q1,q1lna-1的n最大取值是（）n123nnA.99B.100C.198D.199【練習(xí)】數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an+2Sn（nGN*）.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)an；（2）求數(shù)列nan的前n項(xiàng)和Tn.TOC o 1-5 h z【練習(xí)】設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若%1,則使Sn0

11、成立的最小正整數(shù)n為（）A6B7C8D9設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a2017+a201r0,a2017a2018V0,則使Sn0成立的最小正整數(shù)n為二,Sn最大的項(xiàng)是.n.化歸與轉(zhuǎn)化思想化歸與轉(zhuǎn)化思想就是把待解決的問題或未知解的問題轉(zhuǎn)化歸納為已有知識(shí)范圍內(nèi)可解的問題的一種數(shù)學(xué)思想.數(shù)列中一些很復(fù)雜的問題往往可以轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列來解決.【精練7】已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1,前n項(xiàng)和為Sn,且Sn+4an+2（nGN*）,求an的通項(xiàng)公式.【練習(xí)】（2016上海高考）無窮數(shù)列an由k個(gè)不同的數(shù)組成,Sn為an的前n項(xiàng)和.若對(duì)任意nGN*,SnG2,3,則k的最大值為.10（2016.全國甲高考）Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a1=1,S7=28.記bn=lgan,其中x表示不超過x的最大整數(shù)，如0.9=0,lg99=1.求b1,b11,b101;（2）求數(shù)歹lj乙的前1000項(xiàng)和.11（2016-全國丙高考）已知數(shù)歹U”的前n項(xiàng)和Sn=1+an，其中0.證明a