數列知識結構梳理

1、數列知識梳理（必會）一：基本知識定義按一定順序排列的一列數表示法:列表法”圖象法和通項公式法通項公式:第項/、序號之同的關系式4一K）分類有窮數列和無窮數列二不可以分成遞增數列、遞減數列、常數列和擺動數列前正項和：$h=.+即+/遞推公式:關于數列的通項或前凡項和的等式圖象:數列的圖象是一群孤立的點（定義:數列從第2項起悔一項與它的前一項的差都等于同一個常數判斷方法:定義注、證明4+冊為常教數列等差數列通項公式:等比數列前八項和公式=個廣數列等差數列通項公式:等比數列前八項和公式=個廣）=曬+”與dl遞推公式：4u=%+d定義:數列從第2項起每一項與它的前一項的比都等于同一個常數判斷方法:定義

2、法證明=常數通項公式:與-%十-1前立項和公式鳥一欣2),%=-,求a。nnn+nn-11n【變式訓練】已知數列Ua的前n項和為Sn,若S1=1,S廣2,且Sn+1-3Sn+2Sn-1=0(nGN*,n且n2),求該數列的通項公式.【精練2】(1)已知數列an滿足an+1=an+3n+2,且a1=2,求an;(2)已知數列an滿足an+1=2nan,且a1=1,求an.【變式訓練3(1)已知數列a,a=2,a=詈4(幾三2),求a；n1nn1+an-1(2)已知數歹Uan滿足an+1=3an+2(nGN*),a1=1,求通項公式an【精練2】(1)求和:Sn=-1+3-5+7-+(-1)n(2

3、n-1).()已知等差數列Ua滿足:a3=7,a5+a7=26,an的前n項和為Sn.(1)求a及S;(2)令b=(nGN*)，求數歹1b的前n項和T.%1反思1.若數列an的通項能轉化為f(n+1)-f(n)的形式，常采用裂項相消法求和.使用裂項相消法求和時,要注意正負項相消時,消去了哪些項,保留了哪些項.常見的裂項相消技巧有:(1)1n(n+1)(1)1n(n+1)=11nn+1(2)(2n-1)(2n+1)W-)；212n-12n+1177=7(i-;n(n+k)k、nn+k(3)-=1=Vn+1-Vn;Vn+1+Vnan+1(4)若數列a為等差數列，公差d0,則-an+1nanan+1

4、【變式訓練2】在等比數列an中,a0(nGN*)，公比q(0,1)，且a1a5+2a3a5+a2a8=25,a3與a5的等比中項為2.求數列an的通項公式；(2)設b=5-logan，數列bj的前n項和為S”，設Tn=1+1-+-1,求7n.n2nnnSS2Sn【精練】已知正項等差數列an的前n項和為Sn若S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比數列.(1)求an的通項公式;(2)記bn=ann的前n項和為Tn,求Tn.【練習】TOC o 1-5 h zCn冗5c HYPERLINK l bookmark20 (1)已知數列a的前n項和為S,a=2+ncos,neN*,則S=.nnn2201

5、8(2)已知數列a的前n項和為Sa+(-Da=2n+1,neN*，則S=.nn，n+1n60設Sn為數列an的前n項和，Sn=(一1)nan2n,nGN*,則a3=；S1+S2+S100=.考點三以數陣為背景的數列問題所謂數陣是指將某些數,按一定的規(guī)律排成若干行和列,形成圖表,也稱之為數表.數陣不僅有正方形、三角形,還有長方形、圓、多邊形、星形、花瓣形、十字形,甚至幾種圖形的組合,變幻多樣、對稱性強,很能吸引人.在我們平常解題中最常見的是前兩種.數陣中的數是按一定的規(guī)律排成若干行和列,比較多見的是排成等差數列或等比數列,它重點考查等差數列、等比數列的相關知識,有時也會出現其他類型的數列.解決此

6、類問題的關鍵是找出其中的規(guī)律,這就要求考生具有較強的觀察分析、歸納猜想以及對數列知識融合遷移的能力.下面看一下幾種題型.【精練3】（1）如圖所示的數陣，第n行最右邊的數是.1-7911鍵是找出其中的規(guī)律,這就要求考生具有較強的觀察分析、歸納猜想以及對數列知識融合遷移的能力.下面看一下幾種題型.【精練3】（1）如圖所示的數陣，第n行最右邊的數是.1-7911313151719T5172721232527299A白白；（2）（2）德國數學家萊布尼茨發(fā)現了如圖所示的單位分數三角形（單位分數是分子為1、分母為正整數的分數）稱為萊布尼茨三角形.根據前5行的規(guī)律,寫出第6行的數從左到右依次是.（3）自然數

7、按如圖所示的規(guī)律排列，則2016是第行第個數.43678910112131415（4）給定81個數排成數陣如圖所示,若每一行,每一列都構成等差數列,且正中間一個數a55=5,則此數陣中所有數之和為a11a12a19a21a22a2991a9299（5）12幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應用軟件。為激發(fā)大家學習數學的興趣，他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案：已知數列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推。求滿足如下條件的最小整數2N

8、100且該數列的前N項和為2的整數冪。那么該款軟件的激活碼是A440B330C220D110考點四數列的綜合問題數列是高中代數的重點內容,也是高考的必考內容,它始終處在知識的交匯點上,如數列與函數、方程、不等式等其他知識交匯進行命題.另外,等比數列與等差數列的綜合應用也是高考的熱點之一,對公式的變形應用是考查的重點,一般多以解答題的形式考查,有時作為壓軸題,難度較大.【精練4】(1)已知單調遞增的等比數列”滿足a2+a3+a4=28,且+2是a2,a4的等差中項.(1)求數列aj的通項公式；(2)若bn=anlog1an,Sn=b1+b2+bn,對任意正整數幾2Sn+(n+m)an+11.na

9、1a2anan2(1)求數列an的通項公式；(2)若九=2,bn=(2n-4001)an,當n為何值時,bn最大？專題五數學思想方法數學思想方法是數學的精髓,是將知識轉化為能力的橋梁,數列中含有豐富的數學思想,了解數學思想對我們的解題大有益處.函數思想數列是特殊的函數,用函數的觀點認識數列和處理數列問題,既有利于理解和掌握數列的基本概念和性質，又有利于解決問題，比如求等差數列前n項和S的最值時，常轉化為求關于n的二次函數的最值或用數形結合或利用函數圖象來求值的方法.【精練5】在等差數列an中,3a8=5a13,a10,若Sn為an的前n項和，貝US1,S2,Sn中有沒有最大值?請說明理由.分類

10、討論思想當數列問題所給的對象不宜進行統(tǒng)一研究或推理時,需通過分類討論解決,如運用等比數列求和公式時，需對q分q=1和q兩種情況進行討論;an與Sn的關系需分n=1和n2兩種情況討論;等差數列的單調性需分d0,d=0和d0三種情況討論;等比數列的單調性就要分二重討論，在a/0（或ai1,q=1,0q1,q1lna-1的n最大取值是（）n123nnA.99B.100C.198D.199【練習】數列an的前n項和為Sn,a1=1,an+2Sn（nGN*）.（1）求數列an的通項an；（2）求數列nan的前n項和Tn.TOC o 1-5 h z【練習】設Sn為等差數列an的前n項和，若%1,則使Sn0

11、成立的最小正整數n為（）A6B7C8D9設Sn為等差數列an的前n項和，若a2017+a201r0,a2017a2018V0,則使Sn0成立的最小正整數n為二,Sn最大的項是.n.化歸與轉化思想化歸與轉化思想就是把待解決的問題或未知解的問題轉化歸納為已有知識范圍內可解的問題的一種數學思想.數列中一些很復雜的問題往往可以轉化為等差數列或等比數列來解決.【精練7】已知數列an的首項a1=1,前n項和為Sn,且Sn+4an+2（nGN*）,求an的通項公式.【練習】（2016上海高考）無窮數列an由k個不同的數組成,Sn為an的前n項和.若對任意nGN*,SnG2,3,則k的最大值為.10（2016.全國甲高考）Sn為等差數列an的前n項和，且a1=1,S7=28.記bn=lgan,其中x表示不超過x的最大整數，如0.9=0,lg99=1.求b1,b11,b101;（2）求數歹lj乙的前1000項和.11（2016-全國丙高考）已知數歹U”的前n項和Sn=1+an，其中0.證明a