二章節(jié)靜電場(chǎng)課件

1、第二章 靜電場(chǎng)本章重點(diǎn)：本章難點(diǎn)：靜電勢(shì)及其特性、分離變量法、鏡象法分離變量法（柱坐標(biāo)）、電多極子第二章靜 電 場(chǎng)靜電場(chǎng)的基本特點(diǎn)： 邊值關(guān)系： 等均與時(shí)間無(wú)關(guān) （ ， 為唯一解） 不考慮永久磁體（） 基本方程：介質(zhì)分界面上的束縛電荷： 電磁性質(zhì)方程： 靜電平衡時(shí)的導(dǎo)體： 導(dǎo)體內(nèi)外表面 電荷分布在表面上，電場(chǎng)處處垂直于導(dǎo)體表面 均勻各向同性線性介質(zhì)：1靜電勢(shì)的引入一、靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)靜電場(chǎng)標(biāo)勢(shì)簡(jiǎn)稱電勢(shì) 取負(fù)號(hào)是為了與電磁學(xué)討論一致 滿足迭加原理 的選擇不唯一，相差一個(gè)常數(shù)，只要 即可確定 知道2、電勢(shì)差 空間某點(diǎn)電勢(shì)無(wú)物理意義，兩點(diǎn)間電勢(shì)差才有意義電勢(shì)差為電場(chǎng)力將單位正電荷從P移到Q點(diǎn)所作功負(fù)值

2、電場(chǎng)力作正功，電勢(shì)下降 電場(chǎng)力作負(fù)功，電勢(shì)上升 兩點(diǎn)電勢(shì)差與作功的路徑無(wú)關(guān) 參考點(diǎn) 通常選無(wú)窮遠(yuǎn)為電勢(shì)參考點(diǎn) （1）電荷分布在有限區(qū)域，P點(diǎn)電勢(shì)為將單位正電荷從P移到電場(chǎng)力所做的功。（2）電荷分布在無(wú)限區(qū)域不能選無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)作參考 點(diǎn)，否則積分將無(wú)窮大。 3、電荷分布在有限區(qū)幾種情況的電勢(shì) （1）點(diǎn)電荷 （2）電荷組Qf 產(chǎn)生的電勢(shì) 產(chǎn)生的電勢(shì) （3）無(wú)限大均勻線性介質(zhì)中點(diǎn)電荷 點(diǎn)電荷在均勻介質(zhì)中的空間電勢(shì)分布（Q 為自由電荷） （4）連續(xù)分布電荷 二、靜電勢(shì)的微分方程和邊值關(guān)系 電勢(shì)滿足的方程 適用于均 勻介質(zhì) 泊松方程 導(dǎo)出過(guò)程 拉普拉斯方程 適用于無(wú)自由電荷分布 的均勻介質(zhì)2靜電勢(shì)的邊值關(guān)系

3、 (1) 兩介質(zhì)分界面0 P Q由于導(dǎo)體表面為等勢(shì)面，因此在導(dǎo)體表面上電勢(shì)為一常數(shù)。將介質(zhì)情況下的邊值關(guān)系用到介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面上，并考慮導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)為零，則可以得到第二個(gè)邊值關(guān)系。 （2）導(dǎo)體表面上的邊值關(guān)系導(dǎo)出過(guò)程： 該公式只適合于靜電場(chǎng)情況。能量不僅分布在電荷區(qū)，而 且存在于整個(gè)場(chǎng)中。 解：均勻電場(chǎng)可看作由兩無(wú)限大平行板組成的電容器產(chǎn)生的電場(chǎng)。因?yàn)殡姾煞植荚跓o(wú)窮區(qū)域，可選空間任一點(diǎn)為參考點(diǎn)，為方便取坐標(biāo)原點(diǎn)電勢(shì) 四、例題 求均勻電場(chǎng) 的電勢(shì) x y z P R 同理 平面為等勢(shì)面（Z = 0的平面）。 求近似值：若電偶極子放在均勻介質(zhì)中（無(wú)限大介質(zhì)）： 注意：考慮了束縛電荷，就不能再考慮

4、介質(zhì) ，而用真空中的 。這由 決定。 均勻介質(zhì)中點(diǎn)電荷產(chǎn)生的束縛電荷分布在自由點(diǎn)電荷附近，介質(zhì)中電偶極子產(chǎn)生的勢(shì)為自由偶極子與束縛偶極子產(chǎn)生的勢(shì)的迭加，設(shè) 為束縛電荷， 56頁(yè)例2 （自學(xué)）4帶電Q的導(dǎo)體球（半徑為a）產(chǎn)生的電勢(shì)。電荷分布在有限區(qū)，參考點(diǎn)選在無(wú)窮遠(yuǎn)。根據(jù)對(duì)稱性，導(dǎo)體產(chǎn)生的場(chǎng)具有球?qū)ΨQ性，電勢(shì)也應(yīng)具有球?qū)ΨQ性。當(dāng)考慮較遠(yuǎn)處場(chǎng)時(shí)，導(dǎo)體球可視為點(diǎn)電荷。 滿足 aQP此題也可用高斯定理（積分形式）求解。 = = 第二章第二節(jié)唯一性定理2.2 唯一性定理、泊松方程和邊界條件二、唯一性定理的內(nèi)容三、唯一性定理的意義主要內(nèi)容內(nèi)邊界條件為邊值關(guān)系注：在實(shí)際問(wèn)題中，因?yàn)閷?dǎo)體內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)為零，可以不包含

5、在所求區(qū)域V內(nèi)。導(dǎo)體面上的邊界條件可視為外邊界條件。 ：V內(nèi)兩介質(zhì)分界面上自由電荷為零二、唯一性定理1均勻單一介質(zhì) 電場(chǎng)）唯一確定。分布已知， 滿足 若V邊界上 已知，或V邊界上 已知，則 V 內(nèi)場(chǎng)（ 靜 區(qū)域內(nèi)證明： 假定泊松方程有兩個(gè)解 ，有 在邊界上 令 （1）若給定的是第一類邊值關(guān)系 即常數(shù)為零。 電場(chǎng)唯一確定且 電勢(shì)也是唯一確定的。雖不唯一，但電場(chǎng)（2）若給定的是第二類邊值關(guān)系 常數(shù)， 相差一個(gè)常數(shù)， 是唯一確定的。 介質(zhì)分區(qū)均勻（不包含導(dǎo)體） 已知， 成立，給定區(qū)域 或 。在分界面上， 或 V 內(nèi)（證明見(jiàn)書P60）sv區(qū)域V內(nèi)電場(chǎng)唯一確定 均勻單一介質(zhì)中有導(dǎo)體（證明見(jiàn)教材） Q2

6、Q1 SS1 S2 V（或 Q1、Q2 ）為已知，則區(qū)域 V 已知， 或、內(nèi)電場(chǎng)唯一確定。當(dāng)，求 內(nèi)的電勢(shì)。導(dǎo)體中三、唯一性定理的意義更重要的是它具有十分重要的實(shí)用價(jià)值。無(wú)論采用什么方法得到解，只要該解滿足泊松方程和給定邊界條件，則該解就是唯一的正確解。因此對(duì)于許多具有對(duì)稱性的問(wèn)題，可以不必用繁雜的數(shù)學(xué)去求解泊松方程，而是通過(guò)提出嘗試解，然后驗(yàn)證是否滿足方程和邊界條件。滿足即為唯一解，若不滿足，可以加以修改。 唯一性定理給出了確定靜電場(chǎng)的條件，為求電 場(chǎng)強(qiáng)度指明了方向。四、應(yīng)用舉例 半徑為a的導(dǎo)體球殼接地 殼內(nèi)中心放置一個(gè)點(diǎn)電荷 Q，求殼內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)。解：點(diǎn)電荷 Q 放在球心處，殼接地 因而腔內(nèi)場(chǎng)唯

7、一確定。 Q 不滿足 已知點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢(shì)為 但它在邊界上要使邊界上任何一點(diǎn)電勢(shì)為0 ， 設(shè) 它滿足 根據(jù)唯一性定理，它是腔內(nèi)的唯一解。 可見(jiàn)腔內(nèi)場(chǎng)與腔外電荷無(wú)關(guān)，只與腔內(nèi)電荷Q有關(guān)。 解：導(dǎo)體球具有球?qū)ΨQ性，電荷只分布在外表面上。 假定電場(chǎng)也具有球?qū)ΨQ性，則電勢(shì)坐標(biāo)與 無(wú)關(guān)。因電荷分布在有限區(qū)，外邊界條件 導(dǎo)體表面電荷Q已知，電場(chǎng)唯一確定。設(shè) 滿足 ， 帶電荷Q 的半徑為a 的導(dǎo)體球放在均勻無(wú)限大介 質(zhì)中，求空間電勢(shì)分布。 在導(dǎo)體邊界上 3兩種均勻介質(zhì)（ 和 ） 充滿空間，一半 徑 a 的帶電Q導(dǎo)體球放 在介質(zhì)分界面上（球心 在界面上），求空間電 勢(shì)分布。Q利用 場(chǎng)對(duì)稱 對(duì)稱性分析：場(chǎng)仍對(duì)稱

8、！ 在兩介質(zhì)分界面上：束縛電荷只分布在導(dǎo)體與介質(zhì)分界面上。對(duì)于上半個(gè)空間，介質(zhì)均勻極化，場(chǎng)具有對(duì)稱性，同樣下半空間也具有對(duì)稱性。而在介質(zhì)分界面上 ，所以可考慮球外電場(chǎng)仍具有球?qū)ΨQ性。 試 探 解 QPS2 S1 給定，所以球外場(chǎng)唯一確定。 解：外邊界為無(wú)窮遠(yuǎn)，電荷分布在有限區(qū) 導(dǎo)體上Q確定常數(shù) 在介質(zhì)分界面上 下半空間 上半空間 導(dǎo)體球面上面電荷分布： 下半球面上均勻分布 上半球面上均勻分布 束縛電荷分布：其他實(shí)例：Q左半空間電勢(shì)？Q球殼外空間電勢(shì)？第二章第三節(jié)分離變量法2. 3 拉普拉斯方程的解 分離變量法、分離變量法的適用條件四、應(yīng)用實(shí)例（習(xí)題課）三、解題步驟二、拉普拉斯方程的解在坐標(biāo)系中

9、的形式1、空間 ，自由電荷只分布在某些介質(zhì)（或?qū)?體）表面上，將這些表面視為區(qū)域邊界， 可用 拉普拉斯方程。一、拉普拉斯方程的適用條件2、在所求區(qū)域的介質(zhì)中若有自由電荷分布，則要求 自由電荷分布在真空中產(chǎn)生的勢(shì)為已知。 一般所求區(qū)域?yàn)榉謪^(qū)均勻介質(zhì)，則不同介質(zhì)分界面上有束縛面電荷。區(qū)域V中電勢(shì)可表示為兩部分的和，即 ， 為已知自由電荷產(chǎn)生的電勢(shì)， 不滿足 ， 為束縛電荷產(chǎn)生的電勢(shì)，滿足拉普拉斯方程但注意，邊值關(guān)系還要用 而不能用二、拉普拉斯方程在幾種坐標(biāo)系中解的形式1、直角坐標(biāo) （1）令 令（2）若 （3）若 ，與 無(wú)關(guān)。 注意：在（1）、（2）兩種情況中若考慮了某些邊界條件， 將與某些正整數(shù)有

10、關(guān)，它們可取1，2，3， ，只有對(duì)它們?nèi)『秃蟛诺玫酵ń狻?柱坐標(biāo) 討論 ，令 有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解 、單值性要求 ， 只能取整數(shù)，令 若 ， 3球坐標(biāo) 締合勒讓德函數(shù)（連帶勒讓德函數(shù)） 若 不依賴于 ，即 具有軸對(duì)稱性，通解為 -為勒讓德函數(shù) 若 與 均無(wú)關(guān)， 具有球?qū)ΨQ性， 通解：三解題步驟 根據(jù)具體條件確定常數(shù)選擇坐標(biāo)系和電勢(shì)參考點(diǎn) 坐標(biāo)系選擇主要根據(jù)區(qū)域中分界面形狀，參考點(diǎn)主要根據(jù)電荷分布是有限還是無(wú)限；分析對(duì)稱性、分區(qū)寫出拉普拉斯方程在所選 坐標(biāo)系中的通解；（1）外邊界條件： 電荷分布有限 注意：邊界條件和邊值關(guān)系是相對(duì)的。導(dǎo)體邊界可視為外邊界，給定 （接地 ），或給定總電荷 Q，或給定

11、。電荷分布無(wú)限，電勢(shì)參考點(diǎn)一般選在有限區(qū)。如 （直角坐標(biāo)或柱坐標(biāo)），電勢(shì)可選在坐標(biāo)原點(diǎn)。 均勻場(chǎng)中，（2）內(nèi)部邊值關(guān)系：介質(zhì)分界面上 一般討論分界面無(wú)自由電荷的情況 四應(yīng)用舉例1、兩無(wú)限大平行導(dǎo)體板，相距為 ，兩板間電勢(shì) 差為V (與 無(wú)關(guān))，一板接地，求兩板間的 電勢(shì) 和 。xyOVZ解：（1）邊界為平面，故應(yīng)選直角坐標(biāo)系 下板 ，設(shè)為參考點(diǎn) （2）定性分析：因在 （常數(shù)），可考慮 與 無(wú)關(guān)。 (4) 定常數(shù)： (5) 電場(chǎng)為均勻場(chǎng) 常數(shù) 電勢(shì)：(3) 列出方程并給出解： 方程的解： 一對(duì)接地半無(wú)限大平板，相距為 ，左端有一極板電勢(shì)為 V（常數(shù)），求兩平行板之間的電勢(shì)。x y z V解：（1

12、）邊界為平面，選直角坐標(biāo)系；上、下兩平板接地，取為參考點(diǎn)；且當(dāng) （2） 軸平行于平板，且 與 無(wú)關(guān)，可設(shè) （3）確定常數(shù) A，B，C，D，k 通解 兩邊同乘 并從0 b積分： （m = 奇數(shù)） （m = 偶數(shù)） 令 半徑 a，帶有均勻電荷分布 的無(wú)限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體， 求導(dǎo)體柱外空間的電勢(shì)和電場(chǎng)。解：電荷分布在無(wú)限遠(yuǎn)，電勢(shì)零點(diǎn)可選在有限區(qū)，為簡(jiǎn)單可選在導(dǎo)體面 r = a 處，即 選柱坐標(biāo)系。對(duì)稱性分析： 導(dǎo)體為圓柱，柱上電荷均勻分布， 一定與 無(wú)關(guān)。 柱外無(wú)電荷，電場(chǎng)線從面上發(fā)出后，不會(huì)終止到面上，只能終止到無(wú)窮遠(yuǎn)，且在導(dǎo)體面上電場(chǎng)只沿 方向，可認(rèn)為與z無(wú)關(guān)， x y z o r 當(dāng) r = a 時(shí)

13、， 在導(dǎo)體面上 補(bǔ)充題1長(zhǎng)方形盒的長(zhǎng)為A、寬為B、高為C，上蓋電位為 ，其余接地，求盒內(nèi)的電位分布。 CAB補(bǔ)充題2無(wú)窮長(zhǎng)導(dǎo)體圓筒，半徑為a，厚度可以忽略不計(jì)。圓筒分成相等的兩個(gè)半片，相互絕緣。其中的一半的電位為 ，另一半電位為 ，求圓筒內(nèi)的電位分布。4一半徑為 a，介電常數(shù)為 的無(wú) 限長(zhǎng)電介質(zhì)圓柱，柱軸沿 方 向， 方向上有一外加均勻電 場(chǎng) ，求空間電勢(shì)分布和柱面 上的束縛電荷分布。 解：(1)邊界為柱面,選柱坐標(biāo)系。均勻場(chǎng)電勢(shì)在無(wú)窮遠(yuǎn)處不為零，故參考點(diǎn)選在有限區(qū)域，例如可選在坐標(biāo)原點(diǎn)常數(shù)（或0） x y z O (2) 考慮對(duì)稱性電勢(shì)與z無(wú)關(guān)，設(shè)柱內(nèi)電勢(shì)為 ，柱外為 它們分別滿足 , 。通

14、解為： (3) 確定常數(shù) 因?yàn)橛型饧泳鶆驁?chǎng)，它們對(duì)x軸對(duì)稱，可考慮 、 也 相對(duì)x軸對(duì)稱（ 為偶函數(shù)），所以 中不應(yīng)包 含 項(xiàng)，故：、 均為零。 常數(shù)（或零），有限，故中不應(yīng)有 項(xiàng) 。 （均勻場(chǎng)電勢(shì)）， 中不含 項(xiàng)），得 （因此 時(shí)， 兩邊 為任意值， 前系數(shù)應(yīng)相等（ ）（4）解為 （5）求柱內(nèi)電場(chǎng)： 仍沿x方向 Z（6）柱面上束縛面電荷分布 （7）若圓柱為導(dǎo)體，可用上述方法重新求解，或令 5如圖所示的導(dǎo)體球（帶電Q）和不帶電荷的導(dǎo)體球殼，用分離變量法求空間各點(diǎn)的電勢(shì)及球殼內(nèi)、外面上的感應(yīng)電荷。 解：(1)邊界為球形，選球坐標(biāo)系，電荷分布在有限區(qū)，選 若將Q移到殼上，球接地為書中P64例題 （

15、2）設(shè)球殼內(nèi)為I區(qū)，殼外為II區(qū)。 球殼內(nèi):球殼外 電荷在球上均勻分布，場(chǎng)有球?qū)ΨQ性， 與 無(wú)關(guān) III（3）確定常數(shù) 導(dǎo)體殼為等勢(shì)體 在導(dǎo)體殼上 （4） （5）球殼上的感應(yīng)電荷 殼外面 殼內(nèi)面 以上結(jié)果均與高斯定理求解一致。R0 z 6均勻介質(zhì)球（介電常數(shù)為 ）的中心置一自由電偶極子 ，球外充滿另一種介質(zhì)（介電常數(shù)為 ），求空間各點(diǎn)電勢(shì)和束縛電荷分布。解: (1) 與 的邊界為球面，故選球坐標(biāo)系，電荷分布在有限區(qū)，選(2)設(shè)球內(nèi)電勢(shì)為 ，球外電勢(shì)為 ,球外無(wú)自由電荷分布，電勢(shì)滿足 。但球內(nèi)有自由偶極子，不滿足拉普拉斯方程，但滿足泊松方程。考慮偶極子使介質(zhì)極化，極化電荷分布在偶極子附近和球面上

16、。自由偶極子在介質(zhì)中產(chǎn)生的電勢(shì)所以 滿足 還可設(shè) 為簡(jiǎn)單令 考慮軸對(duì)稱： （3）確定常數(shù) R0， 有限 R 邊值關(guān)系 并注意到 比較 的系數(shù)，得 （4）電勢(shì)解為 （5）球面上束縛（極化）電荷分布 補(bǔ)充題3 一半徑為R0的球面，給定球面上任意一點(diǎn) P 的電勢(shì) ， 為常數(shù)，求面內(nèi)外的電勢(shì)分布。R0 P O答案：注意：答案：作業(yè)： 1、2、4、5 補(bǔ)充題 3、4 選作：6 *、補(bǔ)充題 1、2補(bǔ)充題4 有一半徑為 a 的無(wú)限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體，柱軸沿 方向，沿 方向上有一外加均勻電場(chǎng) ，求空間電勢(shì)分布（球外為真空）和面電荷分布（令柱面處電勢(shì)為零）。x y z O 第二章第四節(jié)鏡 象 法2.4 鏡 象 法重點(diǎn)掌

17、握： 1、鏡象法的基本概念 2、求解電勢(shì)的基本方法 求解泊松方程的難度 、電象法的概念和適用條件 一般靜電問(wèn)題可以通過(guò)求解泊松方程或拉普拉斯方程得到電場(chǎng)。但是，在許多情況下非常困難。例如，對(duì)于介質(zhì)中、導(dǎo)體外存在點(diǎn)電荷的情況雖然可以采用疊加法求解，但是求解比較困難。求解的困難主要是介質(zhì)分界面或?qū)w表面上的電荷一般非均勻分布的，造成電場(chǎng)缺乏對(duì)稱性。 Q Q 2. 以唯一性定理為依據(jù) 在唯一性定理保證下，采用試探解，只要保證解滿足泊松方程及邊界條件即是正確解。 特別是對(duì)于只有幾個(gè)自由點(diǎn)電荷時(shí)，可以將導(dǎo)體面上感應(yīng)電荷分布等效地看作一個(gè)或幾個(gè)點(diǎn)電荷來(lái)給出嘗試解。 電象法概念、適用情況電象法： 用假想點(diǎn)電

18、荷來(lái)等效地代替導(dǎo)體邊界面上的面電荷分布，然后用空間點(diǎn)電荷和等效點(diǎn)電荷迭加給出空間電勢(shì)分布。適用情況： 所求區(qū)域有少許幾個(gè)點(diǎn)電荷，它產(chǎn)生的感應(yīng)電荷一般可以用假想點(diǎn)電荷代替。 b)導(dǎo)體邊界面形狀比較規(guī)則，具有一定對(duì)稱性。 c) 給定邊界條件注意： a）做替代時(shí)，所研究空間的泊松方程不能被改變（即自由 點(diǎn)電荷位置、Q 大小不能變）。所以假想電荷必須放在 所求區(qū)域之外。 b）不能改變?cè)羞吔鐥l件（實(shí)際是通過(guò)邊界條件來(lái)確定假 想電荷的大小和位置）。 c）一旦用了假想（等效）電荷，不再考慮原來(lái)的電荷分布。 d）坐標(biāo)系選擇仍然根據(jù)邊界形狀來(lái)定。 格林等效層定理（不證明）* （1）等勢(shì)面包圍的體積V內(nèi)的電荷在

19、V外產(chǎn)生的電勢(shì)與在此等勢(shì)面上置一導(dǎo)體面，并將V內(nèi)電荷都搬到導(dǎo)體上所產(chǎn)生的電勢(shì)完全一樣。 （2）相反，帶電導(dǎo)體所產(chǎn)生的電勢(shì)也可以用導(dǎo)體面內(nèi)一定等效電荷分布來(lái)代替，只要它產(chǎn)生與導(dǎo)體表面完全重合的等勢(shì)面。 等勢(shì)面 VQP導(dǎo)體面 QPQQ 四、應(yīng)用舉例 接地?zé)o限大平面導(dǎo)體板附近有一點(diǎn)電荷，求空間電勢(shì)。Q Q/ P z 解：根據(jù)唯一性定理左半空間 右半空間，Q在（0，0，a）點(diǎn)， 電勢(shì)滿足泊松方程。邊界上 從物理問(wèn)題的對(duì)稱性和邊界條件考慮，假想電荷應(yīng)在左半空間 z 軸上。 設(shè)電量為 ，位置為（0，0， ） 由邊界條件確定 和 、 唯一解是 因?yàn)橄箅姾稍谧蟀肟臻g，所以舍去正號(hào) 解討論：（a）導(dǎo)體面上感應(yīng)電

20、荷分布（b）電荷Q 產(chǎn)生的電場(chǎng)的電力線全部終止在導(dǎo)體面上 它與無(wú)導(dǎo)體時(shí)，兩個(gè)等量異號(hào)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)在 右半空間完全相同。 （c） 與 位置對(duì)于導(dǎo)體板鏡象對(duì)稱，故這種方法稱 為鏡象法（又稱電象法）（d）導(dǎo)體對(duì)電荷Q 的作用力相當(dāng)兩點(diǎn)電荷間的作用力解：（1）分析： 因?qū)w球接地故球的電勢(shì)為零。根據(jù)鏡象法原則假想電荷應(yīng)在球內(nèi)。因空間只有兩個(gè)點(diǎn)電荷，場(chǎng)應(yīng)具有軸對(duì)稱，故假想電荷應(yīng)在線上，即極軸上。 真空中有一半徑R0的接地導(dǎo)體球，距球心 a R0 處有一點(diǎn)電荷 Q，求空間各點(diǎn)電勢(shì)。 球坐標(biāo)系 P R O Z（2）由邊界條件確定 和 設(shè) 因 任意的解得 ，因此Q發(fā)出的電力線一部分會(huì)聚到導(dǎo)體球面上，剩余傳到

21、無(wú)窮遠(yuǎn)。 球面感應(yīng)電荷分布 （3）討論： 導(dǎo)體球接地后，感應(yīng)電荷總量不為零，可認(rèn)為電荷 移到地中去了。（4）若導(dǎo)體不接地，可視為 分布在導(dǎo)體面上。不接地導(dǎo)體已為等勢(shì)體，加上 還要使導(dǎo)體為等勢(shì)體， 必須均勻分布在球面上。這時(shí)導(dǎo)體球上總電量 （因?yàn)榫鶆蚍植记蛎嫔峡墒箤?dǎo)體產(chǎn)生的電勢(shì)等效于在球心的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢(shì)）。 （5）若導(dǎo)體球不接地，且?guī)献杂呻姾?，導(dǎo)體上總電荷為 ，此時(shí)要保持導(dǎo)體為等勢(shì)體， 也應(yīng)均勻分布在球面上。 等效電荷一般是一個(gè)點(diǎn)電荷組或一個(gè)帶電體系，而不一定就是一個(gè)點(diǎn)電荷。（6）導(dǎo)體球不接地而帶自由電荷 時(shí) 所受到的作用力可以看作 與 及位于球心處的等效電荷 的作用力之和。設(shè) ， ，第

22、一項(xiàng)為排斥力，第二項(xiàng)為吸引力（與 無(wú)關(guān)，與 正負(fù)無(wú)關(guān)）。當(dāng) 時(shí)，F(xiàn) 0 ，即正電荷與帶正電導(dǎo)體球在靠的很近時(shí)會(huì)出現(xiàn)相互吸引。3有一點(diǎn)電荷 位于兩個(gè)互相垂直的半無(wú)限大接地導(dǎo)體板所圍成的直角空間內(nèi)，它到兩個(gè)平面的距離為 a 和 b，求空間的電勢(shì)。 假想電荷應(yīng)在第 I 象限之外。 要保證互相垂直的兩個(gè)接地導(dǎo)體板的電勢(shì)同時(shí)為零，應(yīng)當(dāng)放幾個(gè)電荷？ 解：（1）分析：Q（-a, -b, 0）-Q（a, -b, 0）xyOQ（a, b, 0）-Q （-a, b, 0）S2 S1 Q（2）電勢(shì)分布 放在 處用鏡象法求解的條件是什么？ （3）若兩平面夾角 象電荷數(shù)4另外幾種容易求解又常見(jiàn)的情況： 作業(yè) 8、9、1

23、1、 2.5 格林函數(shù)方法三、用格林函數(shù)求解一般的邊值問(wèn)題一、點(diǎn)電荷密度的函數(shù)表示二、格林函數(shù)內(nèi)容提要本節(jié)僅研究泊松方程解的格林函數(shù)方法。 它與點(diǎn)電荷解的邊值相關(guān)，但可以解靜電學(xué)的許多邊值問(wèn)題。 設(shè)V內(nèi)電荷分布 已知， 第一邊值問(wèn)題 給定V邊界S上的各點(diǎn)電勢(shì) 或給定邊界S上法向分量 第二邊值問(wèn)題求V內(nèi)各點(diǎn)電勢(shì)值。本節(jié)內(nèi)容不作考試要求。格林函數(shù)方法在求解靜電場(chǎng)的某些問(wèn)題中非常有用，而且在理論物理的研究中是很重要的工具。一、點(diǎn)電荷密度的函數(shù)表示 處于 點(diǎn)上的單位點(diǎn)電荷的密度 一般 2常用公式 點(diǎn)電荷的泊松方程：設(shè)電勢(shì)為 單位點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢(shì) 空間區(qū)域V上的邊界條件 或 常數(shù) 格林函數(shù)的對(duì)稱性 （偶

24、函數(shù)） 對(duì)于靜電場(chǎng)的點(diǎn)電荷問(wèn)題 稱為靜電場(chǎng)的格林函數(shù) （ 或 常數(shù)） 只對(duì) 微商。2. 格林函數(shù)上單位點(diǎn)電荷在無(wú)窮空間中激發(fā)的電勢(shì) （1）無(wú)界空間中的格林函數(shù) 的距離 到 球坐標(biāo)中 （偶函數(shù)）顯然滿足點(diǎn)電荷泊松方程。 （2）上半空間的格林函數(shù) （3）球外空間的格林函數(shù) 設(shè)點(diǎn)電荷Q = 1 坐標(biāo)為 觀察點(diǎn)為 （ 相當(dāng)于題中的 a ） 設(shè)假想點(diǎn)電荷在 ，它的坐標(biāo)為 （它在 連線上，題中b對(duì)應(yīng)這里的 ） 三、用格林函數(shù)求解一般的邊值問(wèn)題相應(yīng)格林函數(shù)問(wèn)題：V內(nèi) 點(diǎn)上有單位點(diǎn)電荷， ， 給定，求V內(nèi) 。 滿足 （真空情況） 解為 邊界上1. 第一類邊值問(wèn)題求解的格林方法（1）V內(nèi)有電荷分布（2）二者的聯(lián)

25、系由格林第二公式給出 滿足泊松方程，為V內(nèi)電勢(shì) 設(shè)（為討論方便 與 互換） 為格林函數(shù) 只要知道相應(yīng)問(wèn)題的 和 即可得到 2第二類邊值問(wèn)題解的格林函數(shù)方法 ，S上 給定， （1）V內(nèi)有電荷分布 求V內(nèi)相應(yīng)格林函數(shù)問(wèn)題 在S上） 常數(shù)（ （2） 只要知道 和 ，即可馬上得到 （1） 的求解本身也不是一件很容易的事情。一般只有區(qū)域幾何形狀規(guī)則、簡(jiǎn)單才容易求解。電象法是求解格林函數(shù)的有效方法之一。3格林函數(shù)方法求解討論 （2）格林函數(shù)方法也可用來(lái)解拉普拉斯方程的邊值問(wèn)題。由 第一類邊值問(wèn)題 第二類邊值問(wèn)題 第二章第六節(jié)電多極矩2.6 電多極矩 二、電多極矩一、電勢(shì)的多極展開(kāi) 三、電荷體系在外電場(chǎng)中 的能量(相互作用能)主要內(nèi)容一、電勢(shì)的多極展開(kāi) 小區(qū)域電荷分布若已知 ，原則上可通過(guò)求電勢(shì)。 一般若體電荷分布不均勻或區(qū)域不規(guī)則，積分十分困難（用計(jì)算機(jī)可數(shù)值求解）。 但是在許多實(shí)際情況中，電荷分布區(qū)域的線度遠(yuǎn)小于該區(qū)域到場(chǎng)點(diǎn)的距離，可以近似處理，解析求解。條件 。P O(1)