2020年高考數(shù)學(xué)構(gòu)造函數(shù)法解決導(dǎo)數(shù)不等式問(wèn)題

1、2020年高考數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)函數(shù)法解決導(dǎo)數(shù)不等式問(wèn)題2020年高考數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)函數(shù)法解決導(dǎo)數(shù)不等式問(wèn)題6/62020年高考數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)函數(shù)法解決導(dǎo)數(shù)不等式問(wèn)題結(jié)構(gòu)函數(shù)法解決導(dǎo)數(shù)不等式問(wèn)題在函數(shù)中解決抽象函數(shù)問(wèn)題首要的前提是對(duì)函數(shù)四種基天性質(zhì)的嫻熟掌握，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)單一性的延長(zhǎng)，假如把題目中直接給出的增減性換成一個(gè)f(x)，則單一性就變的相當(dāng)隱晦了，其他在導(dǎo)數(shù)中的抽象函數(shù)不等式問(wèn)題中，我們要研究的常常不是f(x)自己的單一性，而是包括f(x)的一個(gè)新函數(shù)的單一性，所以結(jié)構(gòu)函數(shù)變的相當(dāng)重要，其他題目中若給出的是f(x)的形式，則我們要結(jié)構(gòu)的則是一個(gè)包括f(x)的新函數(shù)，由于只有這個(gè)新函數(shù)求導(dǎo)今后才會(huì)出現(xiàn)f(x)，

2、所以解決導(dǎo)數(shù)抽象函數(shù)不等式的重中之重是結(jié)構(gòu)函數(shù)。比方：f(x)0，則我們知道原函數(shù)f(x)是單一遞加的，若f(x)10，我們知道g(x)f(x)x這個(gè)函數(shù)是單一遞加的，所以結(jié)構(gòu)函數(shù)的過(guò)程有點(diǎn)近似于積分求原函數(shù)的過(guò)程，只可是結(jié)構(gòu)出的新函數(shù)要經(jīng)過(guò)題目中給出的條件能判斷出單一性才可。既然是找原函數(shù)，那么即可能碰上找不到式子的原函數(shù)的時(shí)候，可是我們判斷單調(diào)性只要要判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可，比方g(x)的原函數(shù)是不可以正確的找到的，可是如果我們知道一個(gè)式子的導(dǎo)函數(shù)里面包括g(x)，則也能大概將那個(gè)函數(shù)看作是原函數(shù)，比方m(x)g(x)，或許m(x)的導(dǎo)函數(shù)中包括一個(gè)能判斷符號(hào)的式子和g(x)相乘或x相除的形

3、式，我們也可以將m(x)大概看作g(x)的原函數(shù)。結(jié)構(gòu)函數(shù)模型總結(jié)：關(guān)系式為“加”型：（1）f(x)f(x)0結(jié)構(gòu)exf(x)exf(x)f(x)（2）xf(x)f(x)0結(jié)構(gòu)xf(x)xf(x)f(x)（3）xf(x)nf(x)0結(jié)構(gòu)xnf(x)xnf(x)nxn1f(x)xn1xf(x)nf(x)（注意對(duì)x的符號(hào)進(jìn)行討論）關(guān)系式為“減”型(x)f(x)0結(jié)構(gòu)f(x)f(x)exf(x)exf(x)f(x)（1）fxx2xe(e)e（2）xf(x)f(x)0結(jié)構(gòu)f(x)xf(x)f(x)xx2（3）結(jié)構(gòu)f(x)xnf(x)nxn1f(x)xf(x)nf(x)xf(x)nf(x)0 xn(xn

4、)2xn1（注意對(duì)x的符號(hào)進(jìn)行討論）例1.設(shè)f(x),g(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù)，f(x)，g(x)分別是f(x),g(x)的導(dǎo)函數(shù)，且滿(mǎn)足f(x)g(x)f(x)g(x)0，則當(dāng)axb時(shí)，有（）A.f(a)g(b)f(b)g(a)B.f(a)g(a)f(a)g(b)C.f(a)g(a)f(b)g(b)D.f(a)g(a)f(b)g(a)分析：由于f(x)g(x)f(x)g(x)0不等式左側(cè)的原函數(shù)為f(x)g(x)，所以需要構(gòu)造新函數(shù)，令h(x)f(x)g(x)，可知h(x)0，則函數(shù)h(x)是單一遞減函數(shù)，所以當(dāng)axb，有h(a)h(b)即答案選C。變式：設(shè)f(x),g(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù)

5、，f(x)g(x)f(x)g(x)0，g(3)0，求不等式f(x)g(x)0的解集。分析：同上題f(x)g(x)f(x)g(x)的原函數(shù)為f(x)g(x)，結(jié)構(gòu)新函數(shù)h(x)f(x)g(x)可知h(x)0，h(x)單一遞減，又由于g(3)0即h(3)0，所以f(x)g(x)0的解集是(3,)例2.已知定義為R的奇函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)f(x)0，1f(1),bln1x若a2f(2),cf(ln2)，則以下對(duì)于a,b,c的大小關(guān)系正確的222是（）Aa.bcB.acbC.cbaDb.ac分析：著眼點(diǎn)是f(x)f(x)0，xf(x)f(x)0，則試圖找出不等式左側(cè)這部分

6、xx的原函數(shù)或許某個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的一部分是不等式左側(cè)，設(shè)h(x)xf(x)，則h(x)xf(x)f(x)，當(dāng)x0時(shí)xf(x)f(x)0，h(x)0，當(dāng)x0時(shí)，xf(x)xf(x)0，h(x)0，所以h(x)xf(x)是左減右增的函數(shù)，所以xb2f(2)cln1f(ln2)a1f(1)222例3.已知函數(shù)f(x)為定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，且f(x)f(x)對(duì)于隨意xR恒建立，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（）A.f(1)ef(0)、f(2013)e2013f(0)B.f(1)ef(0)、f(2013)e2013f(0)C.f(1)ef(0)、f(2013)e2013f(0)D.f(1)ef(0)、f(20

7、13)e2013f(0)分析：由f(x)f(x)f(x)f(x)0，結(jié)構(gòu)函數(shù)h(x)f(x)，求導(dǎo)得exh(x)f(x)f(x)0，函數(shù)h(x)在定義域內(nèi)單一遞加，所以exf(1)f(0),f(2013)f(0)e1e20131例4.設(shè)函數(shù)f(x)在R上的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且2f(x)xf(x)x2，下邊的不等式在R內(nèi)恒建立的是（）A.f(x)0B.f(x)0C.f(x)xD.f(x)x分析：2f(x)xf(x)x22f(x)xf(x)x20，試著找出不等式左側(cè)部分的原函數(shù)，若設(shè)h(x)x2f(x)1x3，則h(x)x2f(x)xf(x)x2沒(méi)法判斷h(x)3的正負(fù)，所以結(jié)構(gòu)函數(shù)有誤，結(jié)構(gòu)的原

8、則是結(jié)構(gòu)的新函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)是可以判斷的，所以設(shè)h(x)x2f(x)1x4，則h(x)x2f(x)xf(x)x2，當(dāng)x04時(shí)，h(x)0；當(dāng)x0時(shí)，h(x)0，則h(x)為左減右增的函數(shù)，且h(0)0，即f(x)1x20，即f(x)04例5.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x)1f(x),f(0)4，則不等式f(x)1eln3x的解集為（）A.(0,)1)C.(1,)D.(e,)B.(,2分析：f(x)1eln3xexf(x)exeln3exf(x)ex3令h(x)exf(x)ex,h(x)exf(x)f(x)10所以h(x)為R上的單一減函數(shù)，又由于h(0)3，故不等式的解集為(0,)

9、例6.設(shè)f(x)是奇函數(shù)f(x)(xR)的導(dǎo)函數(shù)，f(1)0，當(dāng)x0時(shí)，xf(x)f(x)0，則使得f(x)0建立的x的取值范圍是（）A.(,1)(0,1)B.(1,0)(1,)C.(,1)(1,0)D.(0,1)(1,)分析：令g(x)f(x),g(x)xf(x)f(x)xx2當(dāng)x0時(shí)，g(x)0由于f(x)為R上的奇函數(shù)且f(1)0，所以f(1)0，g(1)f(1)01所以當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)0f(x)0當(dāng)x(1,)時(shí)，g(x)0f(x)0又由于g(x)g(x)，故g(x)為偶函數(shù)，所以當(dāng)x(1,0)，g(x)0f(x)0當(dāng)x(1,)時(shí)，g(x)0f(x)0綜上，f(x)0的解集為(

10、,1)(0,1)例7.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(1)2，對(duì)隨意xR，f(x)2，則f(x)2x4的解集為（）A.(1,1)B.(1,)C.(,1)D.(,)分析：f(x)2x4f(x)2x4令g(x)f(x)2x,g(x)f(x)20所以g(x)為R的單一遞加函數(shù)，又由于g(1)f(1)2(1)4所以不等式的解集為(1,)例8已知f(x)定義域?yàn)?0,)，f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且知足f(x)xf(x)，則不等式f(x1)(x1)f(x21)的解集是（）A.(0,1)B.(1,)C.(1,2)D.(2,)分析：f(x)xf(x)f(x)xf(x)0令g(x)xf(x),g(x)f(x)

11、xf(x)0單一遞減f(x1)(x1)f(x21)(x1)f(x1)(x21)f(x21)g(x1)g(x21)x10 x1x210 x1或x1x2x1x21x2或x1高考真題舉例分析：1.函數(shù)f(x)知足x2f(x)2xf(x)ex,f(2)e2，當(dāng)x0時(shí)，f(x)的極值狀態(tài)是x8分析：由于x2f(x)2xf(x)ex，重點(diǎn)由于等式右側(cè)函數(shù)的原函數(shù)不簡(jiǎn)單找出，因x此把等式左側(cè)函數(shù)的原函數(shù)找出來(lái)，設(shè)h(x)x2f(x)，則h(x)ex，且xh(2)e2，由于x2f(x)2xf(x)ex，則f(x)ex2h(x)，判斷f(x)的極2xx3值狀態(tài)就是判斷f(x)的正負(fù)，設(shè)g(x)ex2h(x)，則

12、(x)ex2hxexx(x2g(x)e2xex)這里波及二階導(dǎo)，g(x)在x2處獲得最小值0，所以g(x)0，則f(x)0，故f(x)沒(méi)有極大值也沒(méi)有極小值。（有難度，但不失為好題目）2.定義在R上的函數(shù)f(x)知足f(x)f(x)1,f(0)4，則不等式exf(x)ex3的解集為_(kāi).分析：由于f(x)f(x)1，設(shè)h(x)exf(x)，則h(x)exf(x)f(x)，不等式exf(x)ex3exf(x)ex30，設(shè)函數(shù)g(x)exf(x)ex3，g(x)h(x)ex，由于f(x)f(x)1，所以h(x)ex，所以g(x)0，又由于f(0)4，所以g(0)f(0)130，綜上可判斷出g(x)在定義域內(nèi)單一遞加且g(0)0，所以原不等式的解集為(0,)3.定義在R上的函數(shù)f(x)知足f(1)1，對(duì)隨意的xR有f(x)1，則不等式2f(x2)x21的解集是2分析：f(x2)x21f(x2)x210，令tx2，則f(t)t10，設(shè)222h(t)f(t)t1，則h(t)f(t)1，所以h(t)0，即函數(shù)h(t)單一遞減，22又由于h(1)0，h(t)為偶函數(shù)，所以t0,