《蒙特卡羅方法及應(yīng)用》3.由巳知分布的隨機抽樣

1、第三章 由已知分布的隨機抽樣隨機抽樣概述直接抽樣方法挑選抽樣方法替換抽樣方法復(fù)合抽樣方法隨機抽樣的一般方法隨機抽樣的其它方法隨機抽樣概述 由已知分布的隨機抽樣指的是由已知分布的總體中抽取簡單子樣。隨機數(shù)序列是由單位均勻分布的總體中抽取的簡單子樣，屬于一種特殊的由已知分布的隨機抽樣問題。 本章所敘述的由任意已知分布中抽取簡單子樣，是在假設(shè)隨機數(shù)為已知量的前提下，使用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生的。 隨機抽樣概述 方便起見，用XF表示由己知分布F(x)中產(chǎn)生的簡單子樣的個體。 對于連續(xù)型分布，常用分布密度函數(shù)f(x)表示總體的己知分布，用Xf表示由己知分布密度函數(shù)f(x)產(chǎn)生的簡單子樣的個體。 另外，在抽樣

2、過程中用到的偽隨機數(shù)均稱隨機數(shù)。 隨機抽樣概述 用X1，X2，XN表示容量為N的簡單子樣，已知分布函數(shù)F(x)的分布密度函數(shù)為f(x)，則相應(yīng)的簡單子樣中的個體表示為XF或Xf。 需強調(diào)，隨機數(shù)與隨機變量的簡單子樣在數(shù)學(xué)處理上有根本的區(qū)別，隨機數(shù)的產(chǎn)生方法依據(jù)的數(shù)學(xué)公式是近似意義上的、是半經(jīng)驗性的；而隨機變量的抽樣方法卻是有嚴(yán)格的理論依據(jù)的，是精確的。隨機抽樣概述 隨機變量抽樣的任務(wù)是用數(shù)學(xué)方法實現(xiàn)對任意已知的隨機變量取樣，產(chǎn)生滿足所需分布的隨機變量的簡單子樣。直接抽樣方法 對于任意給定的分布函數(shù)F(x)，直接抽樣方法如下： 對離散隨機變量： 對連續(xù)隨機變量： 表示隨機數(shù)。 可解釋為：XF等于

3、滿足F(t)的自變量的下界；Xn為具有分布函數(shù)F(t)的大于或等于n的最小的一個t。1) 離散型分布的直接抽樣方法 設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為x1, x2, , xN, 其概率分別為p1, p2, , pN累積分布函數(shù)：0 x1xN-1xNp1p2pNx2pkxk-1xk0 x1xN-1xNx2xk-1xk1F(x)離散型分布的直接抽樣方法 歸一化：當(dāng)F(x)的值在之間，則隨機變量取值為xk，因此，抽取一個0, 1區(qū)間均勻分布隨機數(shù)，當(dāng)則例1. 二項分布的抽樣 二項分布為離散型分布，其概率函數(shù)為： 其中，P為概率。對該分布的直接抽樣方法如下： 例2. 泊松(Possion)分布的抽樣 泊松

4、(Possion)分布為離散型分布，其概率函數(shù)為： 其中，0 。對該分布的直接抽樣方法如下： 例3. 擲骰子點數(shù)的抽樣 擲骰子點數(shù)X=n的概率為： 選取隨機數(shù)，如 則 在等概率的情況下，可使用如下更簡單的方法： 其中表示取整數(shù)。例4. 碰撞核種類的確定 中子或光子在介質(zhì)中發(fā)生碰撞時，如介質(zhì)是由多種元素組成，需要確定碰撞核的種類。假定介質(zhì)中每種核的宏觀總截面分別為1，2，n，則中子或光子與每種核碰撞的概率分別為： 其中，t12n。例4. 碰撞核種類的確定 碰撞核種類的確定方法為：產(chǎn)生一個隨機數(shù)，如果 則，中子或光子與第I種核發(fā)生碰撞。 例5. 中子與核的反應(yīng)類型的確定 假設(shè)中子與核的反應(yīng)類型有如

5、下幾種:彈性散射，非彈性散射，裂變，吸收，相應(yīng)的反應(yīng)截面分別為el，in，f，a。則發(fā)生每一種反應(yīng)類型的概率依次為 ： 其中，反應(yīng)總截面telinfa。 反應(yīng)類型的確定方法為：產(chǎn)生一個隨機數(shù) 連續(xù)型分布的直接抽樣方法 對于連續(xù)型分布，如果分布函數(shù)F(x) 的反函數(shù) F1(x)存在，則直接抽樣方法是：例6. 在a，b上均勻分布的抽樣 在a，b上均勻分布的分布函數(shù)為： 則 例7. 分布 分布為連續(xù)型分布，作為它的一個特例是： 其分布函數(shù)為： 例7. 分布 分布為連續(xù)型分布，作為它的一個特例是： 其分布函數(shù)為： 則 例8. 指數(shù)分布 指數(shù)分布為連續(xù)型分布，其一般形式如下： 其分布函數(shù)為： 則 例8.

6、 指數(shù)分布 指數(shù)分布為連續(xù)型分布，其一般形式如下： 其分布函數(shù)為： 則 因1也是隨機數(shù)，可將上式簡化為： 連續(xù)型分布函數(shù)的直接抽樣方法對于累積分布函數(shù)的反函數(shù)存在且容易實現(xiàn)的情況，使用起來是很方便的。但是，對如下情況，直接抽樣法是不合適的。累積分布函數(shù)無法用解析形式給出，其反函數(shù)也無法給出。累積分布函數(shù)可給出其解析形式，但反函數(shù)解不出來。累積分布函數(shù)即使能夠給出反函數(shù)，但運算量很大。 克服這些困難的比較好的是挑選抽樣方法。挑選抽樣方法 為了實現(xiàn)從己知分布密度函數(shù)f(x)抽樣，選取與f(x)取值范圍相同的分布密度函數(shù)h(x)，如果 則挑選抽樣方法為： 使用挑選抽樣方法時，要注意：選取h(x)時要

7、使得h(x)容易抽樣且M的值要盡量小。 因為M小能提高抽樣效率。 抽樣效率在挑選抽樣方法中進(jìn)行挑選時被選中的概率。按此定義，該方法的抽樣效率E為： 所以，M越小，抽樣效率越高。 當(dāng) f(x) 在0，1上定義時，取 h(x)=1，Xh=， 此時挑選抽樣方法為解釋：在區(qū)域，0 x 1， 0y M內(nèi)，產(chǎn)生均勻的相互獨立的隨機點（1,M2）,（2,M3）, （2N-1,M2N）丟棄在f(x)之上的所有點，保留f(x)之下的所有點，從而形成在區(qū)域0 x 1， 0y f(x)內(nèi)均勻的相互獨立的隨機點 （X1,Y1）, （X2,Y2）,（XN,YN）， 由此產(chǎn)生的X1、X2、. XN 便是由已知總體分布f(

8、x)中產(chǎn)生的簡單子樣。例9. 圓內(nèi)均勻分布抽樣 令圓半徑為R0，點到圓心的距離為r，則r的分布密度函數(shù)為 累積分布函數(shù)為 容易知道，該分布的直接抽樣方法是 為什么不采用直接抽樣方法？ 下面使用挑選抽樣方法：取 則抽樣框圖為 （由取值確定）例10. 分布密度函數(shù)為 該分布的直接抽樣方法是 在計算機上采用是否合適，為什么？ 下面使用挑選抽樣方法：取 則抽樣框圖為 該方法的抽樣效率 E=?（是由取值確定的）復(fù)合抽樣方法 實際問題中，有這樣的隨機變量，它服從的分布與一個參數(shù)有關(guān)，而該參數(shù)也是一個服從確定分布的隨機變量，稱這樣的隨機變量服從復(fù)合分布。如，分布密度函數(shù) 是一個復(fù)合分布。其中Pn0，n=1，

9、2，且 fn(x)為與參數(shù)n有關(guān)的分布密度函數(shù)，n=1，2，參數(shù)n服從如下分布 累積分布函數(shù) 一般形式為： 其中， F1(y)表示分布函數(shù)。帶有參數(shù)n，即把含有n的因式分離出來，集中表達(dá)。 f2(x/y)表示與參數(shù)y有關(guān)的條件分布密度函數(shù)，不含帶有n的因式。 后續(xù)有例子進(jìn)一步說明。 一般形式為： 復(fù)合分布的抽樣方法為： 首先，由分布函數(shù)F1(y) 或分布密度函數(shù)f1(y)中抽樣YF1或Yf1， 然后，再由分布密度函數(shù)f2(x/ YF1)中抽樣確定Xf2 (x/YF)例11. 指數(shù)函數(shù)分布的抽樣 指數(shù)函數(shù)分布的一般形式為： 引入如下兩個分布密度函數(shù)： 則 使用復(fù)合抽樣方法，首先從f1(y)中抽取

10、y （如何得到？） 前面的課程已經(jīng)證明， 與 具有相同的累積分布函數(shù)，即 則 使用復(fù)合抽樣方法，首先從f1(y)中抽取y 再由f2(x/ YF1)中抽取x 為了實現(xiàn)某個復(fù)雜的隨機變量 y 的抽樣，將其表示成若干個簡單的隨機變量 x1，x2，xn 的函數(shù)得到 x1，x2，xn 的抽樣后，即可確定 y 的抽樣，這種方法叫作替換法抽樣。5. 替換抽樣方法例12. 散射方位角余弦分布的抽樣散射方位角在0,2上均勻分布，直接抽樣方法為： 采用替換抽樣方法。（為什么？）令=2，則在0,上均勻分布，作變換其中01，0，則(x, y) 表示上半個單位圓內(nèi)的點。如果 (x, y) 在上半個單位圓內(nèi)均勻分布，則在

11、0,上均勻分布，由于 因此，抽樣sin和cos的問題就變成在上半個單位圓內(nèi)均勻抽樣 (x, y) 的問題。 為獲得上半個單位圓內(nèi)的均勻點，采用挑選抽樣法，在上半個單位圓的外切矩形內(nèi)均勻投點（如圖）。 舍棄圓外的點，余下的就是所要求的點。抽樣方法為：6.隨機抽樣的一般方法（1）加抽樣方法 加抽樣方法是對如下加分布給出的一種抽樣方法： 其中Pn0， ，且 fn(x)為與參數(shù)n有關(guān)的分布密度函數(shù)，n=1，2，。 由復(fù)合分布抽樣方法可知，加分布的抽樣方法為:首先抽樣確定n，然后由 fn(x)中抽樣x，即：例13. 多項式分布抽樣 多項式分布密度函數(shù)的一般形式為： 將 f(x) 改寫成如下形式： 其中，

12、例13. 多項式分布抽樣 則該分布的抽樣方法為： （怎么得來的？）例14. 球殼內(nèi)均勻分布抽樣 設(shè)球殼內(nèi)半徑為R0，外半徑為R1，點到球心的距離為r，則r的分布密度函數(shù)為 分布函數(shù)為該分布的直接抽樣方法是為避免開立方根運算，作變換：則 x0,1，其分布密度函數(shù)為：其中則x及r的抽樣方法為：減抽樣方法 減抽樣方法是對如下形式的分布密度函數(shù)給出的一種抽樣方法： 其中A1、A2為非負(fù)實數(shù)，f1(x) 、f2(x)均為分布密度函數(shù)。 減抽樣方法分為以下兩種形式： 以上兩種形式的抽樣方法，究竟選擇哪種好，要看f1(x) 、f2(x)哪一個容易抽樣，如相差不多，選用第一種方法抽樣效率高。 （1）將f (x

13、)表示為 令m表示f2(x)f1(x)的下界，使用挑選法，從f1(x)中抽取Xf1 抽樣效率為： （2）將f (x)表示為 使用挑選法，從f2(x)中抽取Xf2 抽樣效率為：7. 隨機抽樣的其它方法 偏倚抽樣方法近似抽樣方法近似-修正抽樣方法多維分布抽樣方法指數(shù)分布的抽樣 使用蒙特卡羅方法計算積分時，可考慮將積分I改寫為其中 f *(x) 為一個與 f (x) 有相同定義域的新的分布密度函數(shù)。于是可以這樣計算積分I：這里 Xi 是從 f *(x) 中抽取的第 i 個子樣。偏移抽樣方法 由此可以看出，原來由 f (x) 抽樣，現(xiàn)改為由另一個分布密度函數(shù) f *(x) 抽樣，并附帶一個權(quán)重糾偏因子

14、這種方法稱為偏倚抽樣方法。 從 f (x) 中抽取的 Xf ，滿足而對于偏倚抽樣，有 一般情況下，Xf 是具有分布 f (x) 總體的簡單子樣的個體，只代表一個。Xf* 是具有分布 f *(x) 總體的簡單子樣的個體，但不代表一個，而是代表 W(Xf*) 個，這時Xf*是帶權(quán)W(Xf*)服從分布 f (x) 。 在實際問題中，分布密度函數(shù)的形式有時是非常復(fù)雜的，有些甚至不能用解析形式給出，只能用數(shù)據(jù)或曲線形式給出。對于這樣的分布，需要用近似分布密度函數(shù)代替原來的分布密度函數(shù)，用近似分布密度函數(shù)的抽樣代替原分布密度函數(shù)的抽樣，這種方法稱為近似抽樣方法。近似抽樣方法令 利用階梯函數(shù) fa(x) 作

15、為原分布密度函數(shù)的近似，即 fa(x) f (x)，有每一子區(qū)間內(nèi)原分布和近似分布積分概率相同，如圖：階梯近似 顯然， fa(x)的累積分布函數(shù)在分點xi處的值為： 近似分布fa(x)是每個子區(qū)間中的均勻分布，因而其隨機數(shù)i可這樣選取，找到ri，滿足 的分點xi-1和 xi ， i可表示為 對于梯形近似，有其中，c 為歸一因子， fi f (xi) ，x0，x1， ，xn為任意分點。根據(jù)對稱抽樣方法，梯形近似抽樣方法為：梯形近似除了上述這種近似外，近似抽樣方法還包括對直接抽樣方法中分布函數(shù)反函數(shù)的近似處理，以及用具有近似分布的隨機變量代替原分布的隨機變量。例23. 正態(tài)分布的近似抽樣我們知道，

16、隨機數(shù)的期望值為 1/2，方差為 1/12，則隨機變量漸近正態(tài)分布，因此，當(dāng) n 足夠大時便可用 Xn 作為正態(tài)分布的近似抽樣。特別是 n12 時，有 對于任意分布密度函數(shù) f (x) ，設(shè) fa(x) 是 f (x) 的一個近似分布密度函數(shù)，它的特點是抽樣簡單，運算量小。令則分布密度函數(shù) f(x) 可以表示為乘加分布形式：其中 H1(x) 為非負(fù)函數(shù)，f1(x) 為一分布密度函數(shù)。 對 f(x) 而言，fa(x) 是它的近似分布密度函數(shù)，而H1(x) f1(x)正好是這種近似的修正。近似-修正抽樣方法近似-修正抽樣方法如下：抽樣效率 由上述近似-修正抽樣方法可以看出，如果近似分布密度函數(shù) f

17、a(x) 選得好，m 接近 1，這時有很大可能直接從 fa(x) 中抽取 Xfa ，而只有很少的情況需要計算與f (x) 有關(guān)的函數(shù) H1(Xf1)。在乘抽樣方法中，每一次都要計算 H(Xfa)f (Xfa)fa(Xfa)。因此，當(dāng) f (x) 比較復(fù)雜時，近似-修正抽樣方法有很大好處。例24. 裂變中子譜分布的近似-修正抽樣裂變中子譜分布的一般形式為： 其中A，B，C，Emin，Emax 均為與元素有關(guān)的量。對于鈾-235，A=0.965，B=2.29，C=0.453，Emin=0，Emax=。若采用乘減抽樣方法，其抽樣效率約為0.5。令相應(yīng)的則從 fa(x) 的抽樣為從 f1(x) 的抽樣

18、為參數(shù)的確定，使1A0，且使 H1(E) 的上界M1 最小。裂變中子譜的近似修正抽樣方法為對于鈾-235，m0.8746，M10.2678，0.5543，抽樣效率 E0.9333。而且近似修正抽樣方法有0.8746的概率直接用近似分布抽樣，只計算一次對數(shù)。因此，較之乘減抽樣方法大大節(jié)省了計算時間，提高了抽樣效率。為方便起見，這里僅討論二維分布的情況，對于更高維數(shù)的分布，可用類似的方法處理。對于任意二維分布密度函數(shù)，總可以用其邊緣分布密度函數(shù)和條件分布密度函數(shù)的乘積表示:其中 fl(x)，f2(y|x) 分別為分布 f (x,y) 的邊緣分布密度函數(shù)和條件分布密度函數(shù)，即多維分布抽樣方法二維分布密度函數(shù)的抽樣方法是:首先由 fl(x) 中抽取 Xf1，再由 f2(y|Xf1) 中抽樣確定 Yf2 。對于多維分布密度函數(shù)，也可直接采用類似于一維分布密度函數(shù)的抽樣方法。例如，對如下形式的二維分布密度函數(shù)：其中 H(x,y) 為非負(fù)函數(shù)，f1(x,y) 為任意二維分布密度函數(shù)。設(shè) M 為 H(x,y) 的上界，則有二維分布的乘抽樣方法如下：例25. 下面二維分布密度函數(shù)的抽樣將 f (x,y) 寫為其中用直接抽樣方法分別從 fl(x) 和 f2(y|Xf1) 中抽樣，得到 前面已經(jīng)介紹了，指數(shù)分布的直接抽樣為：這不僅需要計算對數(shù)，而且由于要使用偽隨機數(shù)，受精度的