湖南平江二中2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1 “大衍數(shù)列”來源于乾坤譜中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華

2、傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.大衍數(shù)列前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列第20項為（ ）A180B200C128D1622在區(qū)間上任取兩個實數(shù)a，b，則函數(shù)無零點的概率為（）ABCD3某大學(xué)推薦7名男生和5名女生參加某企業(yè)的暑期兼職，該企業(yè)欲在這12人中隨機挑選3人從事產(chǎn)品的銷售工作，記抽到的男生人數(shù)為，則（）A2BCD4把4個蘋果分給兩個人，每人至少一個，不同分法種數(shù)有()A6B12C14D165設(shè)隨機變量，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，那么向正方形中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值是（ ）（注：若，則，）A7539

3、B7028C6587D60386已知定義在R上的偶函數(shù)（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），記，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）ABCD7函數(shù)的最大值為（ ）AB1 CD8觀察下列各式：則（）A28B76C123D1999定義函數(shù)為不大于的最大整數(shù)，對于函數(shù)有以下四個命題：；在每一個區(qū)間，上，都是增函數(shù)；的定義域是，值域是.其中真命題的序號是（ ）ABCD10觀察如圖中各多邊形圖案，每個圖案均由若干個全等的正六邊形組成，記第個圖案中正六邊形的個數(shù)是.由，可推出（ ）ABCD11下列四個結(jié)論：在回歸分析模型中，殘差平方和越大，說明模型的擬合效果越好；某學(xué)校有男教師60名、女教師40名，為了解教師的體育愛好情

4、況，在全體教師中抽取20名調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是分層抽樣；線性相關(guān)系數(shù)越大，兩個變量的線性相關(guān)性越弱；反之，線性相關(guān)性越強；在回歸方程中，當(dāng)解釋變量每增加一個單位時，預(yù)報變量增加0.5個單位.其中正確的結(jié)論是（ ）ABCD12下列求導(dǎo)運算正確的是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13設(shè)是等差數(shù)列的前項和，已知，則_.14復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)_.（其中為虛數(shù)單位）15已知函數(shù)f（x）x33x+1，則函數(shù)yf（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是_16設(shè)，則的展開式中的常數(shù)項為_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù),（）.（1）當(dāng)時，求的單

5、調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)點，是函數(shù)圖象的不同兩點，其中，是否存在實數(shù)，使得，且函數(shù)在點切線的斜率為，若存在，請求出的范圍；若不存在，請說明理由.18（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，記函數(shù)在上的最大值為，證明：.19（12分）某市政府為了節(jié)約生活用電，計劃在本市試行居民生活用電定額管理，即確定一戶居民月用電量標(biāo)準(zhǔn)a，用電量不超過a的部分按平價收費，超出a的部分按議價收費為此，政府調(diào)查了100戶居民的月平均用電量單位：度，以，分組的頻率分布直方圖如圖所示根據(jù)頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)，求直方圖中x的值并估計該市每戶居民月平均用電量的值；用頻率估計概率，利用的結(jié)果，假設(shè)該市每戶居民月平均用電量

6、X服從正態(tài)分布估計該市居民月平均用電量介于度之間的概率；利用的結(jié)論，從該市所有居民中隨機抽取3戶，記月平均用電量介于度之間的戶數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望20（12分）已知復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第二象限，求.21（12分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，以AC的中點O為球心，AC為直徑的球面交PD于點M，交PC于點N. （1）求證：平面ABM平面PCD；（2）求直線CD與平面ACM所成角的大?。唬?）求點N到平面ACM的距離.22（10分）已知函數(shù).（1）已知函數(shù)只有一個零點，求的取值范圍；（2）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍參考

7、答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)前10項可得規(guī)律：每兩個數(shù)增加相同的數(shù)，且增加的數(shù)構(gòu)成首項為2，公差為2的等差數(shù)列?？傻脧牡?1項到20項為60，72,84,98,112,128,144,162,180,200.所以此數(shù)列第20項為200.故選B?！军c睛】從前10個數(shù)觀察增長的規(guī)律。2、D【解析】在區(qū)間上任取兩個實數(shù)a，b，其對應(yīng)的數(shù)對構(gòu)成的區(qū)域為正方形，所求事件構(gòu)成的區(qū)域為梯形區(qū)域，利用面積比求得概率.【詳解】因為函數(shù)無零點，所以，因為，所以，則事件函數(shù)無零點構(gòu)成的區(qū)域為梯形，在區(qū)間上任取兩個實數(shù)a，

8、b所對應(yīng)的點構(gòu)成的區(qū)域為正方形，所以函數(shù)無零點的概率.【點睛】本題考查幾何概型計算概率，考查利用面積比求概率，注意所有基本事件構(gòu)成的區(qū)域和事件所含基本事件構(gòu)成的區(qū)域.3、B【解析】依題意可得，X的可能取值為0,1,2,3，分別求出概率，再由期望公式即可求出【詳解】依題意可得，X的可能取值為0,1,2,3，則，所以【點睛】本題主要考查離散型隨機變量期望的求法4、C【解析】給兩個人命名為甲、乙，根據(jù)甲分的蘋果數(shù)進(jìn)行分類即可求出【詳解】按照分給甲的蘋果數(shù)，有種分法，故選C【點睛】本題主要考查分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用5、C【解析】由題意正方形的面積為，再根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，求得陰影部分的面積，利用面

9、積比的幾何概型求得落在陰影部分的概率，即可求解，得到答案【詳解】由題意知，正方形的邊長為1，所以正方形的面積為 又由隨機變量服從正態(tài)分布，所以正態(tài)分布密度曲線關(guān)于對稱，且，又由，即，所以陰影部分的面積為，由面積比的幾何概型可得概率為，所以落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值是，故選C【點睛】本題主要考查了正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)，以及面積比的幾何概型的應(yīng)用，其中解答中熟記正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)，準(zhǔn)確求得落在陰影部分的概率是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題6、A【解析】先根據(jù)函數(shù)奇偶性，求出，得到，再由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，以及余弦函數(shù)單調(diào)性，得到在上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】因為是定

10、義在R上的偶函數(shù)，所以，即，即，所以，解得：，所以，當(dāng)時，因為是單調(diào)遞增函數(shù)，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，即.故選：A.【點睛】本題主要考查由函數(shù)單調(diào)比較大小，由函數(shù)奇偶性求參數(shù)，熟記函數(shù)單調(diào)性與奇偶性即可，屬于?？碱}型.7、A【解析】由題意求得導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)單調(diào)性，即可求解函數(shù)的最大值，得到答案.【詳解】由題意，可得，當(dāng)時，則函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，則函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最大值為，故選A.【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問題，其中解答中求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】試題分析：觀察可得各式的值構(gòu)成數(shù)列

11、1，3，4，7，11，其規(guī)律為從第三項起，每項等于其前相鄰兩項的和，所求值為數(shù)列中的第十項繼續(xù)寫出此數(shù)列為1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，第十項為123，即考點：歸納推理9、D【解析】畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象可知函數(shù)的周期性、單調(diào)性、定義域與值域，從而可判斷各命題的真假.【詳解】畫出的圖象，如圖所示，可知是最小正周期為1的函數(shù)，當(dāng)時，可得，正確；由圖可知，在每一個區(qū)間，上，都是增函數(shù)，正確；由圖可知，的定義域是，值域是，正確；由圖可知，是錯誤的.真命題的序號是，故選D.【點睛】本題通過對多個命題真假的判斷，綜合考查函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的周期性、函數(shù)的定義域與值域，屬于難題.

12、這種題型綜合性較強，也是高考的命題熱點，同學(xué)們往往因為某一處知識點掌握不好而導(dǎo)致“全盤皆輸”，因此做這類題目更要細(xì)心、多讀題，盡量挖掘出題目中的隱含條件，另外，要注意從簡單的自己已經(jīng)掌握的知識點入手，然后集中精力突破較難的命題.10、A【解析】觀察圖形，發(fā)現(xiàn)，第一個圖案中有一個正六邊形，第二個圖案中有7個正六邊形；根據(jù)這個規(guī)律，即可確定第10個圖案中正六邊形的個數(shù)【詳解】由圖可知， 故選A.【點睛】此類題要能夠結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：當(dāng)時，11、D【解析】根據(jù)殘差的意義可判斷；根據(jù)分成抽樣特征，判斷；根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義即可判斷；由回歸方程的系數(shù)，可判斷【詳解】根據(jù)殘差的意義，可知當(dāng)殘差的平方和越小

13、，模擬效果越好，所以錯誤；當(dāng)個體差異明顯時，選用分層抽樣法抽樣，所以正確；根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)特征，當(dāng)相關(guān)系數(shù)越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強，所以錯誤；根據(jù)回歸方程的系數(shù)為0.5，所以當(dāng)解釋變量每增加一個單位時，預(yù)報變量增加0.5個單位.綜上，正確，故選D.【點睛】本題考查了統(tǒng)計的概念和基本應(yīng)用，抽樣方法、回歸方程和相關(guān)系數(shù)的概念和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題12、B【解析】利用導(dǎo)數(shù)運算公式，對每個選項進(jìn)行一一判斷.【詳解】對A，因為，故A錯；對B，故B正確；對C，故C錯；對D，故D錯.所以本題選B.【點睛】熟記導(dǎo)數(shù)公式，特別是復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，即，不能漏了前面的負(fù)號.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共2

14、0分。13、49【解析】.14、【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則，分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)化簡成的形式，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求出所求即可【詳解】，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是.故答案為：.【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算、共軛復(fù)數(shù)的定義，考查基本運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題15、【解析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的符號，即可求解，得到答案【詳解】由題意，函數(shù)，則，令，即，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故答案為：【點睛】本題主要考查了利用研究函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系式解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題16、-160.【解析】 由， 所以二項式展開式的常

15、數(shù)項為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）的增區(qū)間為,減區(qū)間為；（2）存在實數(shù)取值范圍是.【解析】（1）分別研究，兩種情況，先對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的方法判斷其單調(diào)性，即可得出結(jié)果；（2）先由題意，得到，再根據(jù)，得到，得出，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合題中條件，得到，構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】(1)當(dāng)時, ,令得,令得.當(dāng)時，所以在上是增函數(shù)。所以當(dāng)時，的增區(qū)間為,減區(qū)間為；(2) 由題意可得：，所以，令，則在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減,，當(dāng)時，所以存在實數(shù)取值范圍是.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，通常需要對函數(shù)求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)的方

16、法研究單調(diào)性，最值等，屬于?？碱}型.18、（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）見解析.【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）對求導(dǎo)，得，因為，所以，令，求導(dǎo)得在上單調(diào)遞增， ，使得，進(jìn)而得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以，令 ，求導(dǎo)得在上單調(diào)遞增，進(jìn)而求得m的范圍.【詳解】（1）因為，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）當(dāng)時，則，當(dāng)時，令，則，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以存在，使得，即，即.故當(dāng)時，此時；當(dāng)時，此時.即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.則 .令，則.所以在上單調(diào)遞增，所以，.故成立.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性和取值范圍，也考查

17、了構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.19、 (1)225.6.(2) （i） ；（ii） 分布列見解析；.【解析】分析：（1）由矩形面積和為列方程可得，利用每個矩形的中點橫坐標(biāo)與該矩形的縱坐標(biāo)相乘后求和，即可得到該市每戶居民平均用電量的值；(2) （i）由正態(tài)分布的對稱性可得結(jié)果；（ii）因為，則，從而可得分布列，利用二項分布的期望公式可得結(jié)果.詳解：（1）由得（2）（i）（ii）因為，.所以的分布列為0123所以點睛：“求期望”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望對于某些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布（如二項分布），則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布

18、的期望公式()求得因此，應(yīng)熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度20、【解析】設(shè)，根據(jù)題意列出關(guān)于的方程組求解，再結(jié)合所對應(yīng)的點在第二象限，即可求出【詳解】設(shè)，則，又，.，聯(lián)立，解得又在第二象限，即 故答案為【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的相關(guān)定義，設(shè)出復(fù)數(shù)的表示形式，根據(jù)題意列出方程組即可，本題較為基礎(chǔ)，注意計算。21、 (1)證明見解析.(2) .(3) .【解析】分析：（）要證平面ABM平面PCD，只需證明平面PCD內(nèi)的直線PD，垂直平面PAD內(nèi)的兩條相交直線BM、AB即可；（）先根據(jù)體積相等求出D到平面ACM的距離為h，即可求直線PC與平面ABM所成的角；（）先根據(jù)條件分析出所求距離等于點P到平面ACM距離的，設(shè)點P到平面ACM距離為h，再利用第二問的結(jié)論即可得到答案詳解：（1）AC是所作球面的直徑，AMMC，PA平面ABCD，則PACD，又CDAD，CD平面PAD，則CDAM，AM平面PCD，平面ABM平面PCD；（2），設(shè)D到平面ACM的距離為h，由，求得，；（3），所求距離. 點睛：這個題目考查了空間中的直線和平面的位置關(guān)系，求線面角，一是可以利用等體積計算出直線的端點到面的距離，除以線段長度就是線面角的正弦值；還可以建系，用空間向量的方法求直線的方向向量和面的法向量，再求線面角即可.22、（1）或；（2）【解析】(1)先求導(dǎo)，再對a分類討論，研究函數(shù)的