第一型曲線積分

1、第一型曲線積分第1頁，共22頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)13分，星期六一 第一型曲線積分的定義 上的連續(xù)函 是定義在 設(shè)某物體的密度函數(shù) 數(shù)當(dāng) 是直線段時(shí), 應(yīng)用定積分就能計(jì)算得該物體 的質(zhì)量.現(xiàn)在研究當(dāng) 是平面或空間中某一可求長度的曲線段時(shí)物體的質(zhì)量的計(jì)算問題. (2) 近似求和：在每一個(gè) 上任取一點(diǎn) 由于 (1) 分割：把 分成 個(gè)可求長度的小曲線段 第2頁，共22頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)13分，星期六 上的連續(xù)函數(shù), 故當(dāng) 的弧長都很小時(shí), 每一小段 的質(zhì)量可近似地等于 其中 為小曲線段 的長度. 于是在整個(gè) 上的質(zhì)量就近似地等于和式 (3) 當(dāng)對的分割越來越細(xì)密(即 )

2、 時(shí), 上述和式的極限就應(yīng)是該物體的質(zhì)量.由上面看到, 求物質(zhì)曲線段的質(zhì)量, 與求直線段的質(zhì) 第3頁，共22頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)13分，星期六量一樣, 也是通過“分割、近似求和、取極限”來得到的. 下面給出這類積分的定義. 個(gè)可求長度的小曲線段 的弧長,它把 定義在 上的函數(shù). 對曲線 做分割 分成記為 分割 的細(xì)度為 在 上任取 一點(diǎn) 若有極限 為平面上可求長度的曲線段, 定義1 設(shè) 為第4頁，共22頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)13分，星期六且 的值與分割 的取法無關(guān), 則稱此 極限為上的第一型曲線積分, 記作為空間可求長曲線段 , 若 為定義在 上 的函數(shù), 則可類似地

3、定義 在空間曲線 上 的第一型曲線積分, 并且記作 于是前面講到的質(zhì)量分布在曲線段 上的物體的質(zhì) 第5頁，共22頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)13分，星期六量可由第一型曲線積分 (1) 或 (2) 求得. 1. 若在 為 常數(shù), 則也存在, 且2. 若曲線段 由曲線 首尾相接而成, 都存在, 則 也存在, 且第6頁，共22頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)13分，星期六3 都存在, 且在 則4也存在, 且 第7頁，共22頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)13分，星期六5存在, 的弧長為則存在常數(shù) 使得6. 第一型曲線積分的幾何意義 為L若為坐標(biāo)平面 上的分段光滑曲線, 上定義的連續(xù)非負(fù)函數(shù)

4、. 由第一型曲線的定義, 易見 以 為準(zhǔn)線, 母線平行于 軸的柱面上截取 第8頁，共22頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)13分，星期六的部分的面積就是 第9頁，共22頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)13分，星期六二 第一型曲線積分的計(jì)算定理20.1 設(shè)有光滑曲線 為定義在 上的連續(xù)函數(shù), 則 證 由弧長公式知道, 上由 的弧長 的連續(xù)性與積分中值定理, 有 第10頁，共22頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)13分，星期六所以 這里 則有 第11頁，共22頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)13分，星期六令現(xiàn)在證明 因?yàn)閺?fù)合函數(shù) 連續(xù), 所以在閉區(qū) 間 上有界, 即存在常數(shù) 使對一切 都有 第

5、12頁，共22頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)13分，星期六再由 上連續(xù), 所以它在 上一致連續(xù), 即對任給的 使當(dāng) 時(shí), 從而 所以 第13頁，共22頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)13分，星期六因此當(dāng)在(4)式兩邊取極限后, 即得所要證的(3)式. 上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)時(shí), (3)式成為 再由定積分定義 當(dāng)曲線 由方程 表示, 且 在 第14頁，共22頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)13分，星期六上有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)時(shí), (3)式成為 例1 設(shè) 是半圓周 試計(jì)算第一型曲線積分 解 當(dāng)曲線 L由方程表示, 且 在 第15頁，共22頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)13分，星期六例2 一段(圖20

6、-2), 試計(jì)算第一型曲線積分 解 由參 仿照定理20.1, 對于空間曲線積分(2), 當(dāng)曲線 量方程 表示時(shí), 第16頁，共22頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)13分，星期六其計(jì)算公式為: 例3 計(jì)算 其中 為球面 被平面 所截得的圓周.解 由對稱性知 所以 第17頁，共22頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)13分，星期六*例4 計(jì)算 其中 為內(nèi)擺線 解 由對稱性知 第18頁，共22頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)13分，星期六其中 *例5 求圓柱面 被圓柱面 所 而內(nèi)擺線的參數(shù)方程為 因此 第19頁，共22頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)13分，星期六包圍部分的面積 A. 解 圖中直影線部分為被圍柱面在第一卦限的部分, 它的面積為 把 平面上的 位于第一象限的四分之一圓周記為, 則被圍柱面在第一卦限部分正是以曲線 L 為準(zhǔn)線母線平行于 z 積分的幾何意義可知它的面積為 的那部分柱面. 由第一型曲面 軸的 第20頁，共22頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)13分，星期六L 的參數(shù)方程為:因此, 定義, 線密度為 的 曲線狀物體對于 x , y 軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為 注